De HSG huyen toan 8De 19

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN : TOÁN LỚP 8.. số học sinh đội tuyển Toán bằng.[r]

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN : TOÁN LỚP Thời gian làm bài : 60 phút Bµi (2 ®iÓm ) a Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: A = x4 - 6x3 + 27x2 - 54x + 32 b A,p dông chøng minh víi mäi sè nguyªn n gi¸ trÞ c¶ biÓu thøc A lµ sè ch½n A = n4 - 6n3 + 27n - 54n + 32 lµ sè ch½n Bµi (3 ®iÓm)  4x x3  x  x  16  16 x  x  A     : x  x3  x2  x  x2  x 1   Cho hai biÓu thøc : x2  x  B x 1 a Rót gän A , B b.Với giá trị nào x thì A + B có giá trị lớn ? Tìm giá trị lớn đó Bài (2 ®iÓm ) Một khối có sinh đội tuyển Anh và số học sinh đội tuyển Toán số học số học sinh đội tuyển Văn Đội tuyển Văn có số học sinh ít tổng số học sinh hai đội tuyển là 38 học sinh Tính số học sinh đội tuyển Bài (2,5 ®iÓm ) Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC, biết AB=5cm, AM=6cm và AC=13cm Đường thẳng qua B và vuông góc với BC cắt đường thẳng AM D Đường thẳng qua C và vuông góc với BC cắt đường thẳng AB E Chứng minh CD vuông góc ME Bài (0,5 ®iÓm ) Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn: 2 a  1  2a    2a  3  2.6b 992 ***** Hết ***** ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN THI : TOÁN LỚP Bµi Bµi ®iÓm Néi dung a, Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö : A = x4 - 6x3 + 27x2- 54x +32 = (x - 1)(x3- 5x2 +22x -32) = ( x - 1)( x – )( x2-3x + 16) b Chøng minh víi mäi sè nguyªn n gi¸ trÞ c¶ biÓu thøc A lµ sè ch½n : Víi ∀ n Z gi¸ trÞ c¶ biÓu thøc: A = n4 -6n3 +27n -54n +32 A = ( n - 1)( n – )( n2-3n + 16) ∀ n Z => n – , n – nguyªn liªn tiÕp Z ®iÓm 1® 1® => ( n - 1); ( n – ) lµ hai sè => ( n - 1)( n – ) ⋮ => ( n - 1)( n – ) = k víi k Z => A = 2k.( n2-3n + 16) => A lµ sè ch½n Bµi ®iÓm a Rót gän A x 1 vµ x  §KX§  4x x3  x  x  16  16 x  3x  A     : x2   x 2 x 8  x  x  x 1   x  x  x    16  x  1  x    A  :  2  x2  x  x  x 1 x       16 x   x  1  x   A   2 x  x 1  x   16 A  x 1 x2  x 1 0,5 ® Rót gän B §KX§ B 1® x 1  x  1  x   = x2  x  x+2  x 1  x  1  x  x  1 x  x  b T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A + B x 1 vµ x  ta cã Víi §KX§ 0,5 ® 1® x 1 x2  2 x  x 1 x  x 1 A B  x  x 1 A B  1  x   2  A  B  1 3  x    2 4  đó : A + B  V×  3 4 1 Khi đó x + = nê n x =2 ( tho¶ VËy GTLN cña A + B lµ m·n §K) Bµi ®iÓm Gọi số học sinh đội tuyển Toán, Anh,Văn thứ tự là x, y, z N) Ta có x= y= z (x, y, z ⇒ ⇒ 2x y 4z = = 12 12 12 (x + y )− z x y z 38 = = = = =2 18 16 15 (18+16) −15 19 Tính đúng: x = 36; y = 32; z = 30 và kết luận Bµi 2,5 ®iÓm (1đ) (0,5đ) (0,5đ) E (0,5đ) D A B C M I K Gọi AM cắt EC K trên đoạn MK lấy điểm I cho (0,5đ) MI = MA = 6cm MAB MIC (c.g c)  AB IC 5cm, AI 2 AM 12cm, AC 13cm  AI  IC  AC  AIC vuông I  AIC 900 BAM CIM (c.g c)  BAM CIM 900 (0,5đ) BEK có BC, KM là các đường cao  M là trực tâm  EM  BK (I) (0,5đ) MBD MCK (c.g.c)  MD MK Mà MB=MC và DMC BMK  DMC KMB(c.g.c) (0,5đ)  MDC MKB  DC / / BK ( II ) Từ (I) và (II) suy ra: EM  DC a a a Bµi  1,  2,  là số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết (0,5 vì 0,5 ®iÓm điểm) 2 cho  a  1  a    a  3 chia hết cho - Nếu b 1 thì vế trái chia hết cho còn vế phải không chia hết cho (vô lí)  b = Thay b = vào ta tìm a = Vậy a = và b =