Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F.[r]
(1)đề MễN THI: TOÁN LỚP Bài 1: (2 điểm) a) T×m cÆp sè (x;y) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh :x2-+2y2=2(xy+2y-2) b) Cho a + b = Tính giá trị biểu thức C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2 ) Bài 2: (3,0 điểm) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x − x −2 x − x −4 + = + b) 2009 2008 2007 2006 Bài 3: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC E và F a) Chứng minh DE + DF = 2AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF N Chứng minh N là trung điểm EF Bài 4: (2,0 điểm) a) Cho a;b;c là độ dài ba cạnh tam giác ABC cho a3 +b +c3 =3abc Chứng minh tam giác ABC b) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a th× M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4)+1 lµ sè chÝnh ph¬ng -HÕt C©u Híng dÉn ⇔ x − y ¿ 2=0 ¿ y −2 ¿2=0 ¿ a) x2-+2y2=2(xy+2y-2) ⇔ (x-y)2+(y-2)2=0 ⇔ ¿ ¿ ¿ x= y ¿ Vëy (x;y)=(2;2) b) C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) = 2( a+b)(a2 – ab + b2) – 3(a2 + b2 ) = §iÓm 1,0 1,0 (2) (a2 – ab + b2) – 3(a2 + b2 ) = (a2 + b2) – 2ab – 3(a2 + b2 ) (a2 + b2) – 2ab = - ( a+b)2 = -1 b) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x =0,5 y2 + 4y -12 = ⇔ y2 + 6y – 2y -12 = ⇔ (y + 6)(y -2) = ⇔ y = - 6; y = * x2 + x = - vô nghiệm vì x2 + x +6 > với x * x + x = ⇔ x2 + x -2 = ⇔ x2 +2x –x -2 = 0,5 ⇔ x(x + 2) – (x + 2) = ⇔ (x + 2)(x – 1) = ⇔ x = -2; x = Vậy nghiệm phương trình x = -2 ; x =1 x − x −2 x − x −4 + = + b) 2009 2008 2007 2006 x −1 x −2 x −3 x −4 −1)+( − 1)=( −1)+( −1) ⇔ ( 2009 2008 2007 2006 x −2010 x −2010 x − 2010 x − 2010 + = + ⇔ 2009 2008 2007 2006 1 1 + − − )=0 ⇔ (x − 2010)( 2009 2008 2007 2006 1 1 < < Vì ; ; 2009 2007 2008 2006 1 1 + − − <0 Do đó : 2009 2008 2007 2006 0,5 0,5 0,5 Vậy x – 2009 = ⇔ x = 2010 DF DC a Lý luận : AM MC ( Do AM//DF) (1) DE BD AM BM ( Do AM // DE) (2) DE DF BD DC BC 2 AM BM BM Từ (1) và (2) ( MB = MC) DE + DF = AM b AMDN là hình bành hành NE AE Ta có ND AB NF FA DM DM AE ND AC MC BM AB NE NF ND ND => NE = NF 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (3) F A N E B D M C a) a3 +b +c3 =3abc ⇔ a3 +b +c3 -3abc=0 ⇔ (a+b)3+c3-3abc=0 ⇔ (a+b+c)[(a+b)2 -(a+b)c+c2]-3abc=0 ⇔ (a+b+c)(a2 +b2+c2-ab-bc-ca)=0 ⇔ a2 +b2+c2-ab-bc-ca=0 ⇔ (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0 ⇔ a=b=c nên tam giác ABC b) M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4)+1 =(a2+5a+4)( a2+5a+6)+1 đặt a2+5a+5=x ( x ∈ Z ) ta có (x-1)(x+1)+1= x2 là số chính phơng 0,5 0,5 0,5 0,5 (4)