de thi chon hsg toan 7

Vẽ hai tia Bx và Cy cùng vuông góc với BC và nằm cùng một nữa mặt phẳng chúa điểm A bờ là đường thẳng BC.. Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AD cắt Bx và Cy theo thứ tự tại M và N.[r]

PHÒNG GD –ĐT CAN LỘC TRƯỜNG THCS KHÁNH VĨNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 1013 MÔN: TOÁN (Thời gian 120 phút) 1 1 2011 2011 2011 2011 A     &B     1.2 3.4 5.6 99.100 51 52 53 100 Bài 1: Cho B Chứng minh : A là số nguyên Bài : Tìm x biết  x  7 a x 1   x  7 x 11 0 x −1 x − x − x − + − = 2004 2003 2002 2001 2bz  3cy 3cx  az ay  2bx x y z     a 2b 3c Bài 3: Cho Chøng minh r»ng: a 2b 3c b T×m x biÕt: A  10099  9999   100 & B  100100  99100   99 Bài : So sánh A & B Biết Bài 5: Cho tam giác ABC, vuông cân A D là điểm bất kì trên BC Vẽ hai tia Bx và Cy cùng vuông góc với BC và nằm cùng mặt phẳng chúa điểm A bờ là đường thẳng BC Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AD cắt Bx và Cy theo thứ tự M và N Chứng minh: a AM = AD b A là trung điểm MN c BC = BM + CN d Tam giác DMN vuông cân x  15 Bài 6: Tìm giá trị lớn các biểu thức: A = x  Hết HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Bài 1: (3điểm) 1 1 1 1         99 100 A= 1  1 1 1           99 100  1  1 1       100  2 1 1 1 1 1 1 1 1                      99 100  49 50  1 1       51 52 53 99 100 1 1 1   B 2011 Z         99 100  = 2011A Suy A B = 2011  51 52 53 54 Bài 2: (4 điểm) a (2 điểm)   x  7  x  7  x 1 1   x 1   x  7  x  7 10 x 11 0   x   x 1 1   x   10  0     x   x10     0     1 ( x  7)10 0      x 7010 x7 x 8 hoac x 6  ( x 7)  b (2 diểm) Ta có x −1 x − x − x − + − = 2004 2003 2002 2001   x   x   x    1    1    1   2004   2003   2002   x x x x    0 2004 2003 2002 2001 x   1 0   2001  x  2005 x  2005 x  2005 x  2005    0 2004 2003 2002 2001 1     x  2005       0  2004 2003 2002 2001  1        0 2004 2003 2002 2001   Ta có: nên x – 2005 = hay x = 2005 Bài 3: (3 điểm) Lêi gi¶i: 2bz  3cy 3cx  az ay  2bx   a 2b 3c Ta cã 2abz  3acy 2.3bcx  2abz 3acy  3.2bcx 2abz  3acy  6bcx  2abz  3acy  6bcx   2  a 4b 9c a  4b  9c = =0 2bz  3cy y z   a =  2bz-3cy =  2b 3c (1) 3cx  az x z  Vµ 2b =  3cx-az =  a 3c (2) x y z   a 2b 3c Tõ (1) vµ (2) ta cã (§PCM) Bài 4: (3điểm) a Hs chứng minh bài toán tổng quát  n  bn  n 1  a n1  b n1   n với a,b nguyên dương Thật không tính tổng quát , giả sử a > b Ta có : a a n  bn n 1  n 1  b n b  a n  bn  n n 1 n  a n  bn  a n  bn    n n .a n  a n  b n a   a n 1  b n a     n  n 1 n   a  b  a b    a b  Vậy  n n n 1 n 1 n 1 n Áp dụng với a = 100 ; b = n = 99 ta có điều phải chứng minh Bài 5: (5điểm) Vẽ hình chính xác: 0.5đ Câu a (1,5 đ) Xét  ABM và  ADC có: AB = AC (  ABC vuông cân)   MAB DAC N A M  (cùng phụ với BAD )   MBA DAC (450 , Bx  BC,   Cy  BC và ACB ABC 450 ) C B D Suy  ABM =  ADC (g-c-g) Vậy AM = AD (1) Câu b (1đ) Chứng minh tương tự ta có:  ABD =  ACN suy AD = AN (2) Từ (1) và (2) suy AM = AN Vậy A là trung điểm MN Câu c (1đ) Ta có: BM = CD (  AMB =  ADC) BD = CN (  ABD =  ACN) Suy ra: BM + CN = BD + CD = BC\ Vậy BM + CN = BC  C  B Câu d (1đ) Xét  BMD và  CDN có: BM = CD (  AMB =  ADC) BD = CN (  ABD =  ACN) Nên  BMD =  CDN(c-g-c) Suy ra: MD = ND (3)     và BMD NDC mà BMD  MDB 90 (vΔMBD ì vu ng ô tai B)    MDB  NDC 900     mà : MDB  NDC  MDN 1800  MDN 900 Từ (1) và (2) suy ra:  DMN vuông cân D (2) x  15 x   12 12 B  1  x 3 x 3 x 3 Bài 6: (2 điểm): Ta có 12 2 Vậy B lớn x  lớn hay x  nhỏ mà x2 0 nên x  3 2 Do đó x  nhỏ là x = Vậy B đạt giá trị lớn x = và giá trị lớn là