Tính chất của ánh xạ phủ dãy

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN ĐỖ VẠN DANH TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ PHỦ-DÃY KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP CỬ NHÂN TỐN ỨNG DỤNG ĐÀ NẴNG – 2015 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ PHỦ-DÃY KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP CỬ NHÂN TỐN ỨNG DỤNG Sinh viên thực : Đỗ Vạn Danh Lớp sinh hoạt : 11CTUD1 Giảng viên hƣớng dẫn: TS Lƣơng Quốc Tuyển ĐÀ NẴNG – 2015 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN DANH MỤC QUY ƢỚC, THUẬT NGỮ VÀ KÍ HIỆU ĐƢỢC DÙNG TRONG LUẬN VĂN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu 5 Phƣơng pháp nghiên cứu Ý nghĩa đóng góp đề tài Cấu trúc luận văn CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Một số khái niệm tính chất khơng gian Tơpơ 1.2 Cơ sở sở lân cận không gian tôpô 12 1.3 Không gian 16 1.4 Không gian compắc không gian khả li 17 1.5 Ánh xạ liên lục 19 CHƢƠNG 2: TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ PHỦ-DÃY 23 2.1 Các mạng, phủ, không gian 23 2.2 Ánh xạ có tính chất phủ 26 2.3 Tính chất ánh xạ phủ-dãy 26 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 LỜI CẢM ƠN Qua năm học tập rèn luyện trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng, em học tập nhiều điều bổ ích, thiết thực cho sống Được làm việc môi trường lành mạnh, giúp em trưởng thành nhiều trí thức nhận thức Em xin chân thành cảm ơn trường Đại học Sư Phạm khoa Tốn ln tạo thuận lợi để em hồn thành khóa học Xin cảm ơn thầy khoa Tốn ln giảng dạy nhiệt tình, truyền lửa cho em đường khó khăn tới Đặc biệt, em xin cảm ơn sâu sắc đến thầy Lương Quốc Tuyển dẫn dắt đốc thúc em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Cuối cùng, em xin cảm ơn bạn lớp, khoa, trường giúp đỡ em học tập sống Cảm ơn bạn năm vừa qua Em xin chân thành cảm ơn DANH MỤC QUY ƢỚC, THUẬT NGỮ VÀ KÍ HIỆU ĐƢỢC DÙNG TRONG LUẬN VĂN Không gian Tôpô viết gọn không gian Tất ánh xạ giả thiết toàn ánh liên tục Kí hiệu N tập số tự nhiên, R tập số thực Giả sử họ gồm tập khơng gian X x  X , K  X ƒ : X  Y ánh xạ từ không gian X lên không gian Y Kí hiệu P : P    P : P   (b) (c)  K  P  : P  K   (a)  (d) St ( x, )  ( ) x (e) f ( )   f ( P) : P   Giả sử (X,d) không gian mêtric x  X , n  N P  X Kí hiệu  S n ( x)   y  X : d ( x, y)   Kí hiệu Giả sử (X ) 1  n họ gồm tất tập X họ gồm tập khơng gian X Khi đó, (a) gọi khép kín với phép giao hữu hạn  ℋ = họ hữu hạn ℋ  (c) P  B với gọi mịn Q với B  Q tồn cho MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán mối quan hệ ánh xạ có tính chất phủ nhiều tác giả giới quan tâm Năm 2000, P Yan, S Lin L Jiang chứng minh ánh xạ đóng phủ-dãy khơng gian mêtric ánh xạ 1-phủ-dãy Hơn nữa, năm 2001, S Lin P Yan chứng minh ánh xạ compắc phủ-dãy khơng gian mêtric ánh xạ 1-phủ-dãy Sau đó, T V Ân L Q Tuyển chứng minh ánh xạ π, s-ánh xạ phủ-dãy không gian mêtric ánh xa 1-phủ-dãy Gần đây, F C Lin S Lin chứng minh ánh xạ biên compắc phủ-dãy không gian mêtric ánh xạ 1-phủ-dãy Ngồi ra, tác giả cịn chứng minh ánh xạ biên compắc phủ-dãy không gian X có đặc trưng đếm tập compắc X khả mêtric ánh xạ 1-phủ-dãy đặt câu hỏi mở sau 1.1 Câu hỏi Giả sử f : X  Y ánh xạ biên compắc phủ-dãy Khi dó, X khơng gian g-khả mêtric, ƒ có phải ánh xạ 1-phủ-dãy hay không? 1.2 Câu hỏi Giả sử f : X  Y ánh xạ biên compắc phủ-dãy Khi dó, X khơng gian có đặc trưng đếm tập compắc X khả mêtric, ƒ có phải ánh xạ 1-phủ-dãy hay khơng? 1.3 Câu hỏi Giả sử f : X  Y ánh xạ biên đóng phủ-dãy Khi dó, X khơng gian có đặc trưng đếm tập compắc X khả mêtric, ƒ có phải ánh xạ 1-phủ-dãy hay không? Đối với Câu hỏi 1.1, L.Q.Tuyển cho câu trả lời khẳng định báo “L.Q.Tuyển, Remarks on sequence-covering maps, Comment Math Univ Carolin, 53 (2002), 645-650” Ngoài ra, Câu hỏi 1.2 Câu hỏi 1.3 thu hút nhiều nhà toán học giới quan tâm đến chưa có lời giải Với lý định hướng thầy giáo Lương Quốc Tuyển, định chọn nghiên cứu đề tài “Tính chất ánh xạ phủ-dãy” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Trong khóa luận, chúng tơi nghiên cứu vấn đề ánh xạ có tính chất phủ với mục đích sau (1) Hệ thống lại số kiến thức tôpô đại cương, số kiến thức lý thuyết không gian mêtric suy rộng (2) Chứng minh chi tiết số kết tính chất ánh xạ có tính chất phủ tác giả đưa tài liệu Đối tƣợng nghiên cứu Các ánh xạ có tính chất phủ Phạm vi nghiên cứu Trong khóa luận, chúng tơi nghiên cứu tốn tính chất ánh xạ có tính chất phủ ánh xạ 1-phủ-dãy, phủ-dãy, thương-dãy,…trong Lý thuyết không gian mêtric suy rộng, thuộc lĩnh vực Tôpô đại cương Phƣơng pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực đề tài với quy trình nghiên cứu sau (1) Tham khảo tài liệu hệ thống lại số kiến thức tôpô đại cương (2) Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến “ánh xạ có tính chất phủ” (3) Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài (4) Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hồn chỉnh khóa luận Ý nghĩa đóng góp đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho quan tâm nghiên cứu tính chất ánh xạ có tính chất phủ Cấu trúc khóa luận Nội dung khóa luận gồm có chương Ngồi ra, khóa luận cịn có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận, Tài liệu tham khảo Chƣơng Cở sở lý thuyết Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm tơpơ dùng Chương Chƣơng Tính chất ánh xạ phủ-dãy Chương dành cho việc trình bày số khái niệm số kết mạng, phủ tính chất ánh xạ có tính chất phủ ánh xạ 1-phủ-dãy, phủ-dãy, thương-dãy mối quan hệ chúng CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm, tính chất số kết không gian tôpô nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết Chương khóa luận 1.1 Một số khái niệm tính chất không gian Tôpô 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp τ họ gồm tất tập X thỏa mãn điều kiện sau (a) Ø, X τ (b) Nếu U, V  τ, U  V  τ (c) Nếu U     ,   U   Khi đó, (1) τ gọi tôpô X (2) Cặp (X, τ) gọi không gian tôpô (3) Mỗi phần tử τ gọi tập hợp mở (4) Mỗi phần tử X gọi điểm Ví dụ Cho tập hợp X Đặt  = {Ø, X} Rõ ràng  tơpơ X, ta gọi tơpơ thơ X Khi đó, cặp (X,  ) gọi không gian tôpô thô Đặt  = (X ) (tập tất tập X) Rõ ràng  tôpô X, ta gọi tơpơ rời rạc X Khi đó, cặp (X,  ) gọi không gian tôpô rời rạc 1.1.2 Định nghĩa Cho G tập không gian tôpô (X, τ) Khi đó, tập U X gọi lân cận G tồn V  τ cho G  V  U Ngoài ra, U  τ, ta nói U lân cận mở G Đặt biệt, G  {x} ta nói G lân cận x 1.1.3 Nhận xét Lân cận điểm không thiết tập mở, tập mở lân cận điểm thuộc 1.1.4 Định nghĩa Tập G không gian tôpô (X, τ) gọi tập đóng X X\ G  τ 1.1.5 Nhận xét Đối với không gian tôpô X, ta có (1) Ø, X tập vừa mở vừa đóng (2) Giao hữu hạn tập mở tập mở (3) Hợp tùy ý tập mở tập mở (4) Hợp hữu hạn tập đóng tập đóng (5) Giao tùy ý tập đóng tập đóng Chứng minh (1) Vì Ø, X  τ nên chứng mở Cũng X\ Ø = X tập đóng Và X  X nên X\X = Ø tập đóng (2) (3) Suy từ định nghĩa (4) Giả sử có F1 , F2 , , Fn hữu hạn tập đóng X với i  1, n n Bây ta, ta chứng minh F i tập đóng Thật vậy, ta có, i 1 n n i 1 i 1 X \ ( Fi )   ( X \ Fi ) n Mà X \ Fi mở với i = 1, n nên (X \ F ) i i 1 n Từ suy F i tập đóng i 1 tập mở n Ta chứng minh F i i 1 tập compắc Thật vậy, giả sử U  U   phủ n mở  F Khi đó, U phủ mở Fi với i  1, n Hơn nữa, i i 1 Fi tập compắc nên tồn  i hữu hạn nằm  cho Fi  với i  1, n U    i n Đặt J =  i , suy J   Hơn nữa, i 1 n  i 1  n   F    U    U  i i 1  i  nên,  = U  J phủ hữu hạn U phủ J n F i i 1 (2) Giả sử F tập đóng khơng gian X compắc Khi đó, giả sử U phủ mở F Đặt,  = U  {X\ F} Suy  phủ mở X, đó, tồn U , U , , U n , X\ F  cho  n  X   U i    X \ F   i 1  n Suy F  U i Như F tập compắc i 1 1.4.4 Định nghĩa Giả sử F, H tập khơng gian X cho F  H Khi đó, (1) Ta nói F tập trù mật H cl(F) = H Nếu H = X, ta nói F trù mật X (2) X gọi không gian khả li X tồn tập đếm trù mật 18 1.5 Ánh xạ liên lục 1.5.1 Định nghĩa Giả sử ƒ : (X, τ)  (Y, σ) ánh xạ từ không gian tôpô (X, τ) vào không gian tôpô (Y, σ) Khi đó, (1) ƒ gọi ánh xạ liên tục điểm x  X với lân cận V ƒ( x ) Y, tồn lân cận U x0 X cho ƒ(U)  V (2) ƒ gọi liên tục X ƒ liên tục điểm X 1.5.2 Định lí Giả sử ƒ : (X, τ)  (Y, σ) ánh xạ từ không gian tôpô (X, τ) vào không gian tôpô (Y, σ) Khi đó, khẳng định sau tương đương (1) ƒ liên tục (2) Tạo ảnh tập mở Y tập mở X; (3) Tạo ảnh tập đóng Y tập đóng X; (4) ƒ(cl(G))  cl(ƒ(G)) với G  X; 1 1 (5) cl( f (G) )  f (cl (G)) với G  Y; 1 1 (6) f ( IntG)  Intf (G) với G  Y; Chứng minh (1)  (2) Giả sử V  τ lân cận mở ƒ(x) Y với x  X Khi đó, với x  X , tồn lân cận U x cho ƒ(U)  V Bởi thế, 1 x  U  f (V ) 1 Vậy f (V ) mở X (2)  (3) Giả sử K tập đóng Y, nhờ khẳng định (1) ta có f 1 (Y \ K ) mở X Tức X\ f 1 ( K ) mở X Do vậy, f 1 ( K ) đóng X 1 (3)  (4) Nhờ khẳng định (3) ta có với G  X, f clf G  tập đóng 1 X Vì G  f (clf (G)) nên 19   cl (G)  cl f 1 (cl ( f (G)))  f 1 cl  f (G), suy   f (cl (G))  f f 1 cl  f G   cl  f G  1 (4)  (5) Giả sử G  Y Đặt H= f (G) Theo khẳng định (4) ta có f cl H   cl  f H   cl G  Bởi cl ( H )  f 1  cl ( f ( H ))   f 1  cl G   Cho nên   cl f 1 (G)  f 1 (cl (G)) (5)  (4) Giả sử G  X Đặt H = ƒ(G),ta có cl  G   cl  f 1  H    f 1  cl  H   Do   f cl G  f cl f 1 ( H )  cl H   cl  f G  (4)  (6) Nhờ khẳng định (4) ta có, với G  Y, suy      f cl X \ f 1 (G)  cl f X \ f 1 (G) Bởi   cl f X \ f 1 (G)  cl (Y \ G), f (cl ( X \ f 1 (G)))  cl (Y \ G) Do   X \ Int f 1 (G)  X \ f 1 ( Int (G)) Như 20   f 1 ( Int (G))  Int f 1 G  (6)  (1) Lấy x bất khì thuộc X, giả sử V lân cận mở ƒ(x) Ta có ƒ(x)  V = Int(V) Nhờ khẳng định (6) nên x  f 1 ( Int (V ))  Int ( f 1 (V )) 1 Đặt U  Int  f V , ta có U lân cận x ƒ(U)  V Vậy ƒ ánh xạ liên tục 1.5.3 Định lí Giả sử X, Y, Z khơng gian tôpô, ƒ: X  Y g: Y  Z ánh xạ liên tục Khi đó, h  g  f : X  Z, ánh xạ liên tục Chứng minh Giả sử X, Y, Z không gian tôpô, ƒ: X  Y g: Y  Z ánh xạ liên tục Giả sử U tập mở Z Khi đó, g ánh xạ 1 liên tục nên theo Định lí 1.5.2(2), ta suy g (U ) tập mở Y Lại vì, ƒ   1 1 ánh xạ liên tục nên theo Định lí 1.5.2(2), ta suy f g (U ) tập mở X Tóm lại,   f 1 g 1(U )  ( gf ) 1 (U )  h 1 (U ) tập mở X Do vậy, h ánh xạ liên tục 1.5.4 Định lí Giả sử ƒ : X  Y ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y K tập compắc X Khi đó, ƒ(K) tập compắc Y Chứng minh Giả sử ƒ : X  Y ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y K tập compắc X Giả sử U   phủ mở ƒ(K) Bởi vì, K  f 1 ( f ( K )) 21 1 Lại vì, ƒ liên tục nên f U    phủ mở K Hơn nữa, K compắc nên phủ có phủ hữu hạn, nghĩa tồn số 1 ,  , ,  n   cho n K   f 1 (U  i ) i 1 Do đó, n f ( K )  U  i i 1 n Vậy U  i 1 phủ ƒ(K) Đó phủ hữu hạn U   phủ i ƒ(K) Như vậy, ƒ(K) tập compắc Y 1.5.5 Định nghĩa Giả sử ƒ : X  Y ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y Khi đó, (1) ƒ gọi ánh xạ mở ƒ(G) tập mở Y với G  X (2) ƒ gọi ánh xạ đóng ƒ(G) tập đóng Y với G  X 22 CHƢƠNG TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ PHỦ-DÃY Trong chương này, chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết số kết mạng, phủ tính chất ánh xạ có tính chất phủ ánh xạ 1-phủ-dãy, phủ-dãy, mối quan hệ chúng 2.1 Các mạng, phủ, không gian Mục dành cho việc trình bày khái niệm số kết mạng, phủ không gian 2.1.1 Định nghĩa Giả sử P tập X { x n } dãy hội tụ đến x X Khi đó, (1) Dãy xn  gọi từ lúc nằm P tồn m  N cho x xn : n  m  P (2) Dãy xn  gọi thường xuyên gặp P, tồn dãy xn  xn  từ lúc nằm P (3) P gọi lân cận dãy x, với dãy L hội tụ đến x X, L từ lúc nằm P 2.1.2 Định nghĩa Giả sử (1) họ gồm tập X Khi đó, gọi họ đếm theo điểm   x đếm với x  X (2) gọi họ hữu hạn theo điểm   x hữu hạn với x  X 2.1.3 Định nghĩa Cho khơng gian X Khi đó, X gọi không gian dãy, với G  X thỏa mãn khơng có dãy G hội tụ đến điểm nằm ngồi G, G đóng X 2.1.4 Định nghĩa Giả sử họ gồm tập X Khi đó, 23 (1) gọi mạng x X, x  P với P  lân cận U x, tồn P  cho x  P  U với gọi mạng X, ( ) x mạng x với x  X (2) (3) gọi k-mạng X, với tập compắc K  X với U mở X, tồn họ hữu hạn 𝒬  cho K   𝒬  U : x  X } phủ X thỏa mãn điều kiện (a) (b) với x  X 2.1.5 Định nghĩa Giả sử (a) x ={ x mạng x (b) Nếu P1 , P2  x , tồn P x cho P  P1  P2 Khi đó, (1) gọi sở yếu X, với tập G  X, G mở X với x  G, tồn P  x cho P  G Khi đó, ta nói x sở lân cận yếu x phần tử x gọi lân cận yếu x (2) gọi sn-mạng X, phần tử của x với x  X Lúc đó, ta nói x x lân cận dãy sn-mạng x 2.1.6 Nhận xét: (1) Cơ sở  sở yếu  sn-mạng  mạng (2) Trong không gian dãy, sở yếu  sn-mạng Chứng minh (1) Ta cần chứng minh sở yếu sn-mạng, phép kéo theo khác suy trực tiếp từ Định nghĩa 2.1.4 Định nghĩa 2.1.5 Thật vậy, giả sử = { x : x  X } sở yếu X Nhờ Định nghĩa 2.1.5 ta suy để chứng minh sn-mạng ta cần chứng minh phần tử lân cận dãy x Thật vậy, giả sử ngược lại rằng, tồn x  X Px  x x cho Px không lân cận dãy x Suy tồn dãy S hội tụ đến x X cho tồn dãy L S thỏa 24 L  Px =Ø Bây giờ, ta chứng minh L tập đóng X Giả sử y  X\ L Khi đó, y = x, Px  X\ L, y  x, {x}  L tập đóng sở yếu X nên tồn tạo Py  y cho y  Py  X \ L  x  X \ L Do vậy, với y  X\ L, tồn F  y cho y  F  X \ L Bởi sở yếu nên X\ L tập mở X, kéo theo L tập đóng X Điều mâu thuẫn với x  L (2) Giả sử X không gian dãy Sử dụng khẳng định (1) ta cần chứng minh sn-mạng sở yếu Thật vậy, giả sử = { x : x  X } sn-mạng X Ta chứng minh G  X thỏa mãn với x  G, tồn Px  x cho x  Px  G , G tập hợp mở X Thật vậy, giả sử ngược lại G không mở X, kéo theo X\ G khơng đóng X Khi đó, X khơng gian dãy nên tồn dãy xn  X\ G hội tụ đến x  X \ G Mặt khác, x  G nên theo giả thiết tồn Px  x cho x  Px  G Hơn nữa, Px lân cận dãy x nên xn  từ lúc nằm Px  G Điều mâu thuẫn với x  G với n  N Do vậy, sử dụng Định nghĩa 2.1.5 ta suy sở yếu X 2.1.7 Định nghĩa Cho khơng gian X Khi đó, (1) X gọi khơng gian gf-đếm được, có sở yếu  x : x  X  cho x đếm với x  X 25 (2) X gọi không gian snf-đếm được, có sn-mạng  x : x  X  cho x đếm với x  X 2.2 Ánh xạ có tính chất phủ 2.2.1 Định nghĩa: Cho ánh xạ ƒ: X  Y Khi 1 (1) ƒ gọi s-ánh xạ f ( y) tập khả li X với y  Y (2) ƒ gọi π-ánh xạ X không gian mêtric với mêtric d với y  Y, d ( f 1 ( y), X \ f 1 (U ))  với lân cận U y 2.2.2 Định nghĩa: Cho ánh xạ ƒ: X  Y Khi 1 (1) ƒ gọi ánh xạ 1-phủ-dãy với y  Y, tồn x  f ( y) cho dãy hội tụ đến y Y ảnh dãy hội tụ đến x X (2) ƒ gọi ánh xạ phủ-dãy dãy hội tụ Y ảnh dãy hội tụ X (3) ƒ ánh xạ thương-dãy với dãy hội tụ L Y, tồn dãy hội tụ S X cho ƒ(S) dãy L (4) Ánh xạ 1-phủ-dãy, phủ-dãy, thương-dãy gọi ánh xạ có tính chất phủ 2.2.3 Nhận xét Ánh xạ 1-phủ-dãy  ánh xạ phủ-dãy  ánh xạ thương-dãy Chứng minh Suy trực tiếp từ Định nghĩa 2.2.2 2.3 Tính chất ánh xạ phủ-dãy 2.3.1 Định lí Giả sử ƒ: X  Y π-ánh xạ thương-dãy Khi đó, Y khơng gian snf-đếm 26 Chứng minh Với n  N , ta đặt n x Khi dó, n1  St  x, mịn n =  f S n (a) : a  X  , n  : n  N ,  = với n  N n x : n  N đếm Hơn nữa, (1) mạng x Giả sử x  U với U mở Y Bởi ƒ π-ánh xạ nên tồn n  N cho d( f 1 ( x), X \ f 1 (U ))  n Do vậy, ta lấy m  2n , St(x, kéo theo St  x, n m )U ,  : n  N  mạng x với x  Y (2) Giả sử P1 , P2  x Khi đó, tồn m, n  N cho P1  St ( x, m ) , P2  St ( x, n ) Đặt k = max{m,n}, ta suy Pk = St ( x, k )  (3) Mỗi phần tử x x Pk  P1  P2 lân cận dãy x Thật vậy, giả sử ngược lại tồn P = St ( x, )  x không lân cận dãy x Khi đó, tồn dãy xn  hội tụ đến x Y   cho xn  khơng từ lúc nằm P Suy tồn dãy xnk xn  thỏa x n k  P với k  N 27 1 Bởi ƒ ánh xạ thương-dãy nên tồn dãy ai  hội tụ đến a  f ( x) X   cho  f (ai ) dãy xn Mặt khác, S n (a) lân cận a k X nên ai  từ lúc nằm S n (a) Do vậy,  f (ai ) từ lúc nằm f S n (a)  P Điều mâu thuẫn với  f (ai ) dãy x  nk x n k  P với k  N Từ chứng minh ta suy snf-đếm sn-mạng Y Y khơng gian 2.3.2 Định lí Giả sử ƒ : X  Y ánh xạ phủ-dãy Y khơng gian snf-đếm Khi đó, ƒ s-ánh xạ X có sở đếm theo điểm, ƒ ánh xạ 1-phủ-dãy =  { y : y  Y} sn-mạng Y cho Chứng minh Giả sử họ đếm Ta giả sử y y khép kín với phép giao hữu hạn (1) Giả sử ƒ s-ánh xạ sở đếm theo điểm X Đầu tiên, ta chứng minh với y  Y, tồn xy  f 1 ( y) cho với lân cận U x y , tồn P  y thỏa P  ƒ(U) Thật vậy, giả sử ngược lại tồn y  Y cho , tồn lân cận U x x thỏa P  ƒ (U) với P  Khi đó, y sở X nên với x  X, tồn Bx  cho x  Bx  U x Điều chứng tỏ P  ƒ( B x )với P  Mặt khác, y với x y  f 1 ( y) 1 sở đếm theo điểm f ( y) tập khả li X 1 nên { Bx : x  f ( y) } họ đếm Do ta viết 1 { Bx : x  f ( y) } = { Bm : m  N } 28 Hơn nữa, y đếm nên ta viết y ={ Fn : n  N } Bây ta đặt n y Khi đó, y = { Pn   Fi : n  N } i 1  Py Pn1  Pn với n  N Bởi thế, với m,n  N, tồn xn,m  Pn \ f ( Bm ) Tiếp theo, với n  m, ta đặt y k  xn,m , k  m Bởi y n(n  1) mạng y Pn1  Pn với n  N nên y k  hội tụ đến y Y Mặt khác, ƒ ánh xạ phủ dãy nên y k  ảnh dãy xn  đến X Hơn nữa, x  f 1 ( y)   { Bm : m  N } nên tồn mo  N cho x  Bmo Do đó, tồn k o  N cho { x }  { xk : k  k o }  Bm0 Từ ta suy { y }  { yk : k  k o }  f ( Bm0 ) Bây giờ, ta lấy k  k , tồn n  m0 cho y k  xn,m0 , kéo theo xn,m0  f ( Bm0 ) Điều mâu thuẫn với xn,m0  P \ f ( Bm0 ) Tiếp theo, ta chứng minh ƒ ánh xạ 1-phủ-dãy Thật vậy, giả sử y  Y Khi đó, nhờ chứng minh ta suy tồn x y  f 1 ( y) cho với lân cận U x y , tồn P  y thỏa P  ƒ(U) Mặt khác, X khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nên theo Định lí 1.2.8, x y , tồn sở lân cận giảm đếm { Bn : n  N } Bây giờ, giả sử y k  dãy hội tụ đến y Y, ta chon z n  X sau 29 Bởi Bn sở lân cận x y nên cách kí hiệu ta suy tồn Pkn  y cho Pkn  f ( Bn ) với n  N Hơn nữa, y sn-mạng y nên ƒ( Bn ) lân cận dãy y Y Do đó, với n  N , tồn in  N cho yi  f ( Bn ) với i  in Ta giả sử  in  in1 với n  N Bây giờ, với zj = 𝑘ℎ𝑖 j  in z j  f 1 ( y j ) 1 z j  f ( y j )  Bn jN ta lấy 𝑘ℎ𝑖 in  j  in1 Cuối ta đặt   S = zj : j 1 , S dãy hội tụ đến x y X ƒ( S ) = { y n : n  N } Do vậy, ƒ ánh xạ 1-phủ-dãy 2.3.3 Định lí Nếu ƒ : X  Y π, s-ánh xạ phủ-dãy, ƒ ánh xạ 1-phủ-dãy Chứng minh Bởi ƒ π-ánh xạ nên nhờ Nhận xét 2.2.3 Định lí 2.3.1, Y khơng gian snf-đếm Mặt khác, ƒ s-ánh xạ phủ-dãy nên sử dụng Định lí 2.3.2 ta suy ƒ ánh xạ 1-phủ-dãy 30 KẾT LUẬN Trong khóa luận này, chúng tơi nghiên cứu tính chất ánh xạ phủ-dãy, 1-phủ-dãy thương-dãy chúng π, s-ánh xạ Khóa luận đạt kết sau (1) Hệ thống chứng minh chi tiết số kiến thức Tôpô đại cương (2) Trình bày số kết mạng, phủ, khơng gian ánh xạ có tính chất phủ (3) Chứng minh chi tiết số kết mối quan hệ π, s-ánh xạ phủ dãy, 1-phủ-dãy thương-dãy 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO (1) An T V and Tuyen L Q (2008), Further properties of 1-sequencecovering maps, Comment Math Univ Caroline, 49, 477-484 (2) An T V and Tuyen L Q (2011), On an affirmative answer to S Lin’s problem, Topology and its Applications, 158(13), 1567-1570 (3) Ge Y anhd Lin’s, (2007), On Ponomarev-systems, Boll Unione Mat Itali Sez B Artic Ric Mat., 10, 455-467 (4) Lin S (1995), Generalized Metric Spaces and Mappings, Chinese Science Press, Beijing (5) Tuyen L Q (2002), Remarks on sequence-covering maps, Comment Math Univ Carolinae, 53, 645-650 (6) Tuyen L Q (2014), ), Remarks on sequence-covering close maps, Fasciouli Math., 53, 161-166 32 ... thương -dãy với dãy hội tụ L Y, tồn dãy hội tụ S X cho ƒ(S) dãy L (4) Ánh xạ 1 -phủ- dãy, phủ- dãy, thương -dãy gọi ánh xạ có tính chất phủ 2.2.3 Nhận xét Ánh xạ 1 -phủ- dãy  ánh xạ phủ- dãy  ánh xạ thương -dãy. .. dùng Chương Chƣơng Tính chất ánh xạ phủ- dãy Chương dành cho việc trình bày số khái niệm số kết mạng, phủ tính chất ánh xạ có tính chất phủ ánh xạ 1 -phủ- dãy, phủ- dãy, thương -dãy mối quan hệ chúng... ánh xạ đóng ƒ(G) tập đóng Y với G  X 22 CHƢƠNG TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ PHỦ-DÃY Trong chương này, chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết số kết mạng, phủ tính chất ánh xạ có tính chất phủ ánh xạ