Nhóm đồng điều của một phức đơn hình và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN  KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Tên đề tài: NHĨM ĐỒNG ĐIỀU CỦA MỘT PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG Người hướng dẫn : TS Lê Hồng Trí Người thực Phan Trần Đức Minh Lớp: 08ST : Khoa: Toán ĐÀ NẴNG 2012 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Trường Đại học Sư phạm – Đại Học Đà Nẵng, Khoa Tốn Đặc biệt, tơi biết ơn Thầy giáo TS Lê Hồng Trí dẫn giúp đỡ tơi tận tình Và tơi biết ơn giúp đỡ q giá Thầy giáo Nguyễn Thanh Hồng Cuối cùng, tơi xin cảm ơn ủng hộ, động viên nhiệt tình người thân bạn bè tơi thực khóa luận! MỤC LỤC Mở đầu Chương I Đơn hình Phức đơn hình 1.1 Đơn hình 1.2 Phức đơn hình 14 1.3 Thứ phân trọng tâm 24 1.4 Ánh xạ đơn hình 24 1.5 Nhóm abel tự sinh tập 25 Chương II Nhóm đồng điều phức đơn hình ứng dụng 29 2.1 Nhóm đồng điều phức đơn hình 29 2.2 Ứng dụng 39 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Vấn đề topo việc xác định hai khơng gian topo có đồng phơi với hay không Để hai không gian topo đồng phôi với ta cần xây dựng song ánh liên tục với ánh xạ ngược liên tục từ không gian vào không gian Để hai không gian topo không đồng phôi với ta chứng minh ánh xạ khơng tồn Thường khó để thực điều này, cách mà người ta thuờng làm tìm vài tính chất topo thỏa mãn cho khơng gian mà không thỏa mãn cho không gian (chẳng hạn số tính chất topo bất biến qua phép đồng phơi) Ví dụ, cầu đóng đơn vị R khơng đồng phơi với R cầu đóng đơn vị tập compact R khơng Hoặc R khơng đồng phơi với R Bởi bỏ điểm R khơng cịn liên thơng nữa, thực điều R liên thơng Tuy nhiên việc giải toán tổng quát cần nhiều kĩ thuật tinh vi Tôp đại số bắt nguồn từ nỗ lực nhiều nhà toán học Poincaré Betti nhằm xây dựng bất biến topo Poincaré giới thiệu nhóm khơng gian topo Từ đó, số lớp không gian topo quen thuộc mặt cầu, mặt xuyến, lọ Klein có nhóm khác nên chúng không đồng phôi với Thực tế người ta phân loại đa tạp compact việc sử dụng nhóm Trong đó, cách khác, Betti kết hợp không gian topo với dãy nhóm abel, gọi nhóm đồng điều Với trường hợp này, chứng minh hiển nhiên mà không gian đồng phơi có nhóm đồng điều đẳng cấu với Những nhóm dùng để giải vấn đề toán đồng phơi Và điều thuận lợi chúng dễ tính nhóm Có vài cách khác định nghĩa nhóm đồng điều, hai cách mà người ta thường xem xét nhóm đồng điều đơn hình nhóm đồng điều kì dị Trong khóa luận này, tơi trình bày nhóm đồng điều đơn hình số tính chất II Mục đích nghiên cứu Thực đề tài này, mong muốn: - Tìm hiểu tính chất topo đa diện thơng qua cấu trúc phức đơn hình chúng - Tìm hiểu nhóm đồng điều phức đơn hình - Ứng dụng tính nhóm đồng điều số phức đơn hình III Phương pháp nghiên cứu Thực đề tài chủ yếu tiến hành nghiên cứu lý luận Kiến thức chuẩn bị bao gồm kiến thức đại số đồng điều topo đại cương IV Nội dung nghiên cứu Ngoài phần Mở đầu Kết luận, đề tài bao gồm chương: Chương I Đơn hình Phức đơn hình 1.1 Đơn hình 1.2 Phức đơn hình 1.3 Thứ phân trọng tâm 1.4 Ánh xạ đơn hình 1.5 Nhóm abel tự sinh tập Chương II Nhóm đồng điều phức đơn hình ứng dụng 2.1 Nhóm đồng điều phức đơn hình 2.2 Ứng dụng Chương I Đơn hình Phức đơn hình 1.1 Đơn hình Định nghĩa Cho a0 , a1, , an   R N Tập hợp a0 , a1, , an  gọi độc lập hình học (độc lập affine) n  n    t0 , t1 , , tn   R n1 ,   ti  0,  ti    t0  t1   tn  i 0  i 0  Nhận xét i) Tập điểm độc lập hình học ii) Với n  1, a0 , a1, , an  độc lập hình học a1  a0 , a2  a0 , , an  a0 độc lập tuyến tính Chứng minh Thật vậy, giả sử a0 , a1, , an  độc lập hình học Khi  1, , , n  R , giả sử n n   a  a   , ta có i 1 i i  n   i    i  a0   i 1  i 1  n n Đặt t0   i ti  i , i  1, n , ta có i 1 n t a  lập hình i i i 0 Vì a0 , a1, , an  độc n t i i 0 học  t0  t1   tn  nên hay 1      n  Ngược lại, giả sử a1  a0 , a2  a0 , , an  a0  độc lập tuyến tính Khi   t0 , t1, , tn  R n1 n giả sử t i i 0  n t a i 0 i i  , ta có  n  ti   a0    ti    ti  a0   i 0 i 0  i 0  n n Vì a1  a0 , a2  a0 , , an  a0  độc lập tuyến tính nên ti  0, i  0, n iii) Tập hợp gồm hai điểm phân biệt, tập hợp gồm ba điểm không thẳng hàng, tập hợp gồm bốn điểm không đồng phẳng, … tập độc lập hình học Định nghĩa Cho tập hợp điểm độc lập hình học a0 , a1, , an   n R N , ta gọi tập hợp  ti  i 0 n t i 0 i   1 n-phẳng P sinh a0 , a1, , an  Kí  hiệu: P  Af a0 , a1, , an  Nhận xét i) i  0, n,  P n n i 0 i 0 ii) x  P, ! t0 , t1 , , tn   R n1,  ti  1: x   ti Chứng minh Thật vậy, giả sử tồn n n  ,1, , n   R n1, i  1: x  i i 0 i 0 Khi n n  t a   a i 0 i i i 0 i i n    ti   i   i 0 Hơn n t i 0 i n n i 0 i 0   i    ti  i    Vì a0 , a1, , an  độc lập hình học nên i  0, n, ti  i  hay ti  i , i  0, n iii) P  a0  La1  a0 , a2  a0 , , an  a0  Chứng minh Đặt P '  a0  La1  a0 , a2  a0 , , an  a0 n n i 0 i 0 x  P   t0 , t1 , , tn   R ,  ti  1: x   ti n 1 Ta có n n n   x  t0a0   ti  1   ti  a0   ti  a0   ti   a0  i 1 i 1  i 1 i 1  n Suy x  P ' hay P  P ' n Ngược lại, x  P '  1 , , , n   R : x  a0   i   a0  n i 1 Ta có n n   x  1   i  a0   i i 1 i 1   n   n Vì 1   i    i  nên x  P hay P '  P i 1   i 1 Vậy P  a0  La1  a0 , a2  a0 , , an  a0  iv) Nếu w nằm n-phẳng P sinh hệ điểm độc lập hình học a0 , a1, , an  w, a0 , a1, , an độc lập hình học Chứng minh Giả sử w, a0 , a1, , an w  a0 , a1  a0 , a2  a0 , , an  a0 a1  a0 , a2  a0 , , an  a0 khơng độc lập hình học, tức phụ thuộc tuyến tính Vì độc lập tuyến tính nên tồn  t1, t2 , , tn  R n n n i 1 i 1 cho w  a0   ti   a0  hay w  a0   ti   a0  Suy w  P , mâu thuẫn với giả thiết Vậy w, a0 , a1, , an  độc lập hình học Định nghĩa Cho hệ điểm độc lập hình học a0 , a1, , an   R N Ta định nghĩa n-đơn hình  sinh a0 , a1, , an  , kí hiệu    a0 , a1, , an  , tập hợp n n   x  t a  i  0, n , t  0, ti  1 Các số t0 , t1, , tn xác định nhất,    i i i i 0 i 0   gọi tọa độ trọng tâm x a0 , a1, , an Đặt ti  x   ti , i  0, n Nhận xét ti  x  hàm số liên tục Chứng minh Xét ánh xạ  : P  a0  La1  a0 , , an  a0   La1  a0 , , an  a0  x  a0 Vì  phép đẳng cự nên  liên tục xác định x Mỗi i 1, , n ánh xạ qi : La1  a0 , , an  a0   R xác định n x   i   a0  i ánh xạ tuyến tính từ khơng gian hữu hạn chiều i 1 La1  a0 , , an  a0  vào không gian định chuẩn R nên liên tục Từ đó, với i 1, , n ánh xạ pi  qi  liên tục Ánh xạ p0 : P  R xác định x n   pi  x  liên tục i 1 Vậy i 0, , n ánh xạ pi : P  R liên tục nên pi   ti liên tục 37 Giả sử Cv  Cv '   , hay tồn x  Cv  Cv ' Khi u, u '  K   : uRv, u ' Rv ', x  St u  St u ' Nên  ,  K : u  , u '  , x  Int   Int , kéo theo    u, u '  K , theo , hay uRu ' Suy vRv ' , hay Cv  Cv ' , mâu thuẫn Mệnh đề Cho K phức đơn hình v  họ đỉnh thành phần liên thơng C K Khi đó, H  K  nhóm abel tự có sở v  B0  K  Chứng minh Ta có v  K 0    : v  C Nên vRv , từ a0 , a1, , an   K   : a0  v, an  v , i  0, n  1, ai , 1   K  n1  Khi v  v  1    , 1   Đặt  i 0  n 1 a , a   c i 1 i i 0 vv , ta có v  K   ,   : v  v  1cvv Theo c  C0  K  , c   n v   n  v   c    n v    n c vK   v vK    Ta viết lại c   m v  1  v  nc vK   v vv vv vK    v vK    v vv Tiếp theo ta chứng minh c   m v  0, c  B0  K   Giả sử c  B0  K  , hay d  C1  K  : c  1d Khi đó, 1-đơn hình nằm C nên ta xem d   d với d 1-xích có giá  trị tất 1-đơn hình định hướng sinh 1-đơn hình nằm C ,    Từ c   1d , 1d có giá trị tất  38 đỉnh thuộc C ,    , 1d  m v ,   Xét đồng cấu  : C0  K   Z , xác định v 1, v  K   Khi  v, v ' ,   1  v,, v '     v ' v     Theo đó, d  C1  K  ,   1d   Đặc biệt,    1d     m v   m ,   Ta có H  K   C0  K  B0  K  h  H  K   c  C0  K  : h  c  B0  K   h   m v  1    nc vK   v vv  B0  K    m v  B0  K      m v  B0  K     m  v  B0  K     Giả sử h   r  v  B0  K   Khi    m  r  v   m v   r v  B  K     Suy m  r  0,   , hay m  r ,   Hệ Cho K phức đơn hình K liên thông đường H0  K   Z 39 2.2 Ứng dụng Tính nhóm đồng điều phức đơn hình phân loại topo giá chúng Ví dụ Cho phức đơn hình K (Hình 2.1) Hình 2.1 Xét dãy đồng cấu 0 2 1  C1  K   C0  K   0 Ta tính H1  K   Z1  K  B1  K   Z1  K   Z1  K   p 1  K  , p có dạng p  1  a, b     b, c   3  c, a  ,i  Z, i  1,3  1 p  1  b  a     c  b     a  c    1    a  1    b      c 0 Suy 1      1     1          40   Hay Z1  K      a, b    b, c    c, a    Z Vậy H1  K   Z1  K   Z Vì K liên thơng đường nên H  K   Z Ví dụ Cho phức đơn hình L (Hình 2.2) Hình 2.2 Xét dãy đồng cấu 3 0 2 1  C2  L   C1  L   C0  L   0 Ta tính H  L   Z  L  Ta có          b, c    a, c    a, b      Nên H  L   Ta tính H1  L   Z1  L  B1  L   p 1  L  , p có dạng p  1  a, b     b, c   3  c, a  ,i  Z, i  1,3 41  1 p  1  b  a     c  b   3  a  c     Theo ví dụ 1, Z1  L      a, b   b, c    c, a    Z Mà  a, b    b, c    c, a    2 nên 1  L   B1  L  Suy H1  L   Vì L liên thơng đường nên H  L   Z Ví dụ Cho phức đơn hình M gồm mặt thực 3-đơn hình (Hình 2.3) Hình 2.3 Xét dãy đồng cấu 3 0 2 1  C2  M   C1  M   C0  M   0 Ta tính H  M   Z  M   p Z  M  , p có dạng p  11   2   3   4 ,i  Z, i  1,4 42   p   i  2 i i 1  1  e1  e4  e3     e5  e2  e1     e2  e3  e6     e4  e5  e6   1    e1      e2   1    e3   1    e4      e5       e6 0 1         1      1                      p  1 1        Suy H  M   2  M   Z Ta tính H1  M   Z1  M  B1  M   p Z1  M  , p có dạng p  1e1   i ei , i  Z, i  1,6 i2 Đặt p1  p   1   , ta có p1  1    e2   i ei  1e5 i 3 Đặt p2  p1     1     , ta có p2  1e5   i ei  1     e3  e6  i 3 Suy p  p2   q , q  1  1    Do 1 p   1 p2  Ta có p2  3    1  e3   4e4  1  5  e5  6  1    e6 1 p2     1        1    a1    1    a2  1      1    a3    1    a4 0 43     1       1      p2  1  e4  e5  e6  Mà e4  e5  e6   2 Vậy nên p2   21  Suy p   1   q  Theo 1  M   B1  M  Kết luận: H1  M   Vì M liên thơng đường nên H  M   Z Ví dụ Cho phức đơn hình K (Hình 2.5) Hình 2.5 Xét dãy đồng cấu 0 2 1  C1  K   C0  K   0 Ta tính H1  K   Z1  K  B1  K   Z1  K   Z1  K  Ta có  p Z1  K   p  1  a, b     b, c   3  c, d     d , a  , i  Z, i  1,4 44  1 p  1  b  a     c  b     d  c     a  d    1    a  1    b      c      d 0 Suy 1    3     Nên Z1  K      a, b    b, c    c, d    d , a    Z Từ Z1  K   Z Vậy H1  K   Z Vì K liên thông đường nên H  K   Z Ví dụ Cho phức đơn hình K (hình 2.6) Ta tính nhóm đồng điều K Hình 2.6 Ta có dãy đồng cấu 3 0 2 1  C2  K   C1  K   C0  K   0 Ta có H  K   Z  K  B2  K   Z  K   Z  K  p  C2  K  , p có dạng p    c, b, d    p    c, b, d      b, d    c, d    c, b      b, d     c, d     c, b  45 Suy  p     Nên Z  K   Vậy H  K     Theo ta có B1  K      c, b    b, d    c, d    Z Ta tính H1  K   Z1  K  B1  K  p  Z1  K   p  1  a, c     c, b   3 b, d     c, d   5  d , a   1 p  1  c  a     b  c     d  b     d  c     a  d    1    a      b  1      c        d 0 1        1          0 1        0    1   0  0 Suy   Z1  K   1   a, c    c, d    d , a       c, b   b, d    c, d   1, Z Ta có h  H1  K   p  Z1  K  : h  p  B1  K   h  1   a, c    c, d    d , a       c, b    b, d    c, d    B1  K   1   a, c    c, d    d , a    B1  K    Nên H1  K   1   a, c    c, d    d , a    B1  K  1 Z Suy H1  K   Z Vì K liên thông đường nên H  K   Z 46 Ví dụ Cho phức đơn hình L (Hình 2.7) Hình 2.7 Xét dãy đồng cấu 3 0 2 1  C2  L   C1  L   C0  L   0 Ta tính H  L   Z  L  B2  L   Z  L   Z  L   p Z  L  , p có dạng p  1  a, b, c     a, c, d  , 1 , Z    p  1  a, b, c    2  a, c, d   1  b, c    a, c    a, b      c, d    a, d    a, c     1    a, c   1  b, c   1  a, b     c, d     a, d  0 Suy 1    Vậy 2  L   , nên H  L   Ta tính H1  L   Z1  L  B1  L   p Z1  L  , p có dạng p  1  a, b     b, c   3  c, d     d , a   5  a, c  ,i  Z, i  1,5 47  1 p  1  b  a     c  b     d  c     a  d     c  a    1      a  1    b        c      d 0 1      1                              Theo p  1  b, c    a, c    a, b      c, d    a, d    a, c    1  a, b, c    2  a, c, d    1  a, b, c     a, c, d    p  B1  L  Suy Z1  L   B1  L  Vậy H1  L   Vì L liên thông đường nên H  L   Z Ví dụ Cho phức đơn hình M (Hình 2.8) Hình 2.8 Xét dãy đồng cấu 3 0 2 1  C2  M   C1  M   C0  M   0 Ta tính H  M   Z  M  B2  M   Z  M   Z  M  48  p C2  M  , p có dạng p  11   2   3   4 , i  1,4,i Z Ta có p  2  M   1    3    Suy H  M   Tiếp theo ta tính H1  M  Ta có  p C1  M  , p có dạng p  1e1   2e2   3e3   4e4   5e5   6e6   7e7  8e8  1e1   i ei i2 Đặt p1  p   1    p  1  e5  e2  e1  Khi giá trị p1 e1 0, e2 1    Tương tự, đặt p2  p1    1      p1  1     e6  e3  e2  Suy giá trị p2 e1 , e2 e3 1    3  Đặt p3  p2    1       Khi giá trị p3 e1, e2 , e3 Theo đó,  p C1  M  p  p3   2q với q  11 + 1    + 1      p3 cho hình 2.9 Hình 2.9 49 Nếu p 1  M  1 p   1  p3   2q    1 p3   p3 1  M  Suy giá trị p3 e4 phải Theo đó, p3 1  M  , p3 có dạng p3  m  e5  e6  e7  e8  Mà e5  e6  e7  e8   1        , nên p3   m 1        Từ  p 1  M  , p  2  m          q  Vậy 1  M   B1  M  nên H1  M   Vì M liên thơng đường nên H  M   Z 50 KẾT LUẬN Trong đề tài này, tơi tìm hiểu nghiên cứu tính chất topo đa diện thơng qua cấu trúc phức đơn hình chúng, tìm hiểu nhóm đồng điều ứng dụng tính nhóm đồng điều số phức đơn hình Qua đó, tơi hi vọng đề tài giúp người có nhìn trực quan kĩ thuật thiết lập hình ảnh đại số không gian topo việc phân loại lớp khơng gian topo có cấu trúc phức đơn hình Tuy nhiên, bước khởi đầu để tiếp cận với lí thuyết đồng điều kì dị, lí thuyết trung tâm, quan trọng đẹp đẽ topo đại số 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] James R Munkres, Elements of Algebraic Topology, Addison – Wesley Publishing Company, Inc., 1984 [2] Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002 ... 1.4 Ánh xạ đơn hình 1.5 Nhóm abel tự sinh tập Chương II Nhóm đồng điều phức đơn hình ứng dụng 2.1 Nhóm đồng điều phức đơn hình 2.2 Ứng dụng Chương I Đơn hình Phức đơn hình 1.1 Đơn hình Định nghĩa... tính nhóm Có vài cách khác định nghĩa nhóm đồng điều, hai cách mà người ta thường xem xét nhóm đồng điều đơn hình nhóm đồng điều kì dị Trong khóa luận này, tơi trình bày nhóm đồng điều đơn hình. .. hiểu tính chất topo đa diện thơng qua cấu trúc phức đơn hình chúng - Tìm hiểu nhóm đồng điều phức đơn hình - Ứng dụng tính nhóm đồng điều số phức đơn hình III Phương pháp nghiên cứu Thực đề tài