Cấp tăng và sự phân bố không điểm của hàm nguyên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH HUỲNH THÁI SƠN CẤP TĂNG VÀ SỰ PHÂN BỐ KHÔNG ĐIỂM CỦA HÀM NGUYÊN Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011 MỤC LỤC MỤC LỤC 0T T MỞ ĐẦU 0T T Lý chọn đề tài .5 0T 0T Mục đích nghiên cứu 0T 0T Đối tượng phạm vi nghiên cứu 0T 0T Ý nghĩa khoa học, thức tiễn 0T 0T Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .6 0T 0T 1.1 Hàm giải tích 0T 0T 1.1.1 Định nghĩa 0T 0T 1.1.2 Định lý 0T T 1.2 Tích phân phức, tích phân Stieljes .6 0T 0T 1.2.1 Định lý 0T T 1.3 Lý thuyết Cauchy 0T 0T 1.3.1 Định lý (Định lý Cauchy) .7 0T 0T 1.3.2 Định lý (Sự tồn nguyên hàm) 0T T 1.3.3 Định lý (Sự tồn logarit) .8 0T 0T 1.3.4 Định lý (Cơng thức tích phân Cauchy) 0T T 1.3.5 Định lý (Cơng thức tích phân Cauchy đạo hàm) 0T T 1.3.6 Định lý (Định lý Morera) 0T 0T 1.3.7 Định lý (Bất đẳng thức Cauchy đạo hàm) 0T T 1.3.9 Định lý (Định lý Liouville) 0T 0T 1.3.10 Định lý (Định lý giá trị trung bình) 0T T 1.4 Hàm điều hòa 0T 0T 1.4.1 Định nghĩa 0T 0T 1.4.2 Định lý 10 0T T 1.4.3 Định lý 10 0T T 1.5 Lý thuyết chuỗi 10 0T 0T 1.5.1 Định lý (Định lý Weierstrass) 10 0T 0T 1.5.2 Định lý (Định lý Taylor) 10 0T 0T 1.5.3 Định lý (Định lý nhất) 11 0T 0T 1.5.4 Định lý 11 0T T 1.5.5 Định lý (Định lý Laurent) 12 0T 0T 1.5.6 Định nghĩa 12 0T 0T 1.6 Hàm nguyên hàm phân hình 12 0T 0T 1.6.1 Định nghĩa 12 0T 0T 1.6.2 Định lý 13 0T T 1.6.3 Định nghĩa 13 0T 0T Chương CẤP TĂNG CỦA HÀM NGUYÊN 14 0T T T T 2.1 Cấp loại hàn nguyên 14 0T 0T 2.1.1 Định lý 14 0T T 2.1.2 Định nghĩa 14 0T 0T 2.1.3 Định nghĩa 15 0T 0T 2.2 Mối liên hệ cấp , loại hệ số Taylor hàm nguyên 15 0T T 2.2.1 Bổ đề 15 0T T 2.2.2 Bổ đề 16 0T T 2.2.3 Định lý 17 0T T 2.2.4 Định lý 18 0T T 2.2.5 Ví dụ 19 0T T 2.3 Các cơng thức hàm giải tích đĩa 20 0T T 2.3.1 Định lý (Công thức Schwarz) 20 0T 0T 2.3.2 Định lý (Công thức Poisson) 20 0T 0T 2.3.3 Định lý (Công thức Poison – Jensen) 21 0T T 2.3.4 Định lý ( Công thức Jensen ) 22 0T 0T 2.3.5 Định nghĩa 23 0T 0T 2.3.6 Hệ Công thức Jensen 24 0T 0T Chương PHÂN BỐ KHÔNG ĐIỂM 25 0T 0T 3.1 Số mũ hội tụ mật độ trên, mật độ dãy không điểm 25 0T T 3.1.1 Định nghĩa 25 0T 0T 3.1.2 Bổ đề 25 0T T 3.1.3 Bổ đề 26 0T T 3.1.4 Định lý (Định lý Hadamard) 26 0T 0T 3.1.5 Định lý 27 0T T 3.2 Phân tích hàm nguyên thành nhân tử 28 0T 0T 3.2.1 Định nghĩa 28 0T 0T 3.2.2 Định lý (Định lý Hadamard) 29 0T 0T 3.3 Đánh giá tích tắc 30 0T 0T 3.3.1 Bổ đề (Bổ đề đánh giá Borel) 30 0T 0T 3.3.2 Định lý 31 0T T 3.3.3 Định lý (Định lý Borel) 32 0T 0T 3.4 Phân bố khơng điểm hàm ngun có cấp không nguyên 33 0T T 3.4.1 Định lý 33 0T T 3.4.2.Định lý 33 0T T 3.5 Phân bố không điểm hàm nguyên có cấp nguyên 34 0T T 3.5.1 Định lý (Định lý Lindelof) 35 0T 0T 3.5.2 Định lý ( Định lý Lindelof ) 36 0T 0T KẾT LUẬN 39 0T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 0T 0T MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết hàm nguyên phần quan trọng đặc sắc giải tích phức Lý thuyết cịn phát triển tổng quát lý thuyết đa thức Hàm ngun khơng đồng khơng có đếm khơng điểm Luận văn nhằm tìm hiểu, khảo sát phân bố dãy không điểm hàm nguyên thông qua cấp tăng loại Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày tính chất cấp tăng hàm nguyên Sau xem xét tính chất liên quan đến phân bố khơng điểm hàm nguyên Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu cấp tăng loại hàm ngun, cơng thức tích phân, đặc trưng Nevanlinna, hàm đếm không điểm, mật độ mật độ dãy không điểm Ý nghĩa khoa học, thức tiễn Luận văn hệ thống lại các nghiên cứu có phân bố khơng điểm hàm ngun thơng qua cấp loại Luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho người quan tâm đến lĩnh vực Mặc dù thân cố gắng thầy giáo hướng dẫn tận tình giúp đỡ, khả thời gian có hạn nên luận văn cịn nhiều thiếu sót Kính mong góp ý q thầy bạn đồng nghiệp Nhân dịp hoàn thành luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, thầy cô giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn khóa 18, bạn học, gia đình người thân Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm giải tích 1.1.1 Định nghĩa Hàm f gọi giải tích (hay chỉnh hình) z0 tồn r > cho f có đạo hàm z ∈ D(0, r ) , D ( z0 , r ) đĩa tâm z0 bán kính r Hàm f gọi giải tích miền Ω giải tích z ∈ Ω 1.1.2 Định lý Giả sử Ω ⊂  miền A(Ω) tập hàm giải tích Ω Khi Nếu f ∈ A(Ω) f ( z ) ≠ 0, ∀ z ∈ Ω ∈ A(Ω) f (i) (ii) f ∈ A(Ω) f nhận giá trị thực f hàm Nếu 1.2 Tích phân phức, tích phân Stieljes Cho γ = (t ) x(t ) + iy (t ) , t ∈[ a, b ] đường cong  Với giả thiết γ trơn khúc f liên tục γ , ta định nghĩa tích phân f γ ∫γ f ( z )dz = ∫a f ( γ ( t ) )γ ′ ( t ) dt b 1.2.1 Định lý Cho f , g hàm liên tục đường cong trơn khúc γ , γ = (t ) x(t ) + iy (t ) , t ∈[ a, b ] Khi i) ii) ∫γ (α f ( z ) + β g ( z ))dz = α ∫γ f ( z )dz + β ∫γ g ( z ) , ∫ γ− α ∈ , β ∈  f ( z )dz = − ∫ f ( z )dz , γ − đường cong ngược γ , γ γ − (t )= γ (a + b − t ) , t ∈ [ a, b ] iii) Nếu γ= γ + γ tức tồn f ( z )dz ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz ∫γ = γ γ c ∈ ( a, b) cho = γ γ= [ a ,c ] , γ γ [ c ,b ] iv) ∫γ f ( z )dz ≤ ∫γ dz= ds = f ( z ) dz = ∫ f ( z ) ds , ds vi phân độ dài cung γ ( x , (t )) + ( y , (t )) v) Nếu f ( z ) ≤ M với z ∈ γ l độ dài đường cong γ ∫γ f ( z )dz ≤ ∫γ f ( z ) dz ≤ M ∫ dz = Ml γ Cho f hàm bị chặn đoạn [ a, b ] F hàm thực không giảm đoạn [ a, b ] Ta gọi phép chia P dãy hữu hạn P = {t j } j =1 , t0 = a < t1 < < tn = b n Với phép chia P , đặt n = S PF ( f ) ∑M j =1 ( F (t ) − F (t )= ) , s ( f ) ∑ m ( F (t ) − F (t )) , n j j −1 j { } F P j =1 j j −1 j { } M j =sup f ( x ) : x ∈ ( t j −1 , t j  , m j =inf f ( x ) : x ∈ ( t j −1 , t j  Hàm f gọi khả tích Stieljes theo hàm F inf {S PF ( f ) : P} = sup {sPF ( f ) : P} Khi f khả tích Stieljes ta gọi tích phân Stieljes f theo F = = {S PF ( f ) : P} sup {sPF ( f ) : P} ∫a f ( x )dF ( x ) inf b Nếu F hàm không giảm [ a, ∞ ) ta gọi tích phân Stieljes hàm f xác định [ a, ∞ ) theo hàm F ∫ ∞ a f ( x )dF ( x ) = lim ∫a f ( x )dF ( x ) b b →∞ 1.3 Lý thuyết Cauchy 1.3.1 Định lý (Định lý Cauchy) Cho Ω miền bị chặn, có biên hữu hạn đường cong trơn khúc Nếu f giải tích Ω liên tục Ω ∫ f ( z )dz = ∂Ω Giả sử f hàm giải tích miền đơn liên Ω z0 , z hai điểm Ω Khi tích phân F ( z ) = z ∫ f (η )dη không phụ thuộc vào đường cong nối z0 z Ω z0 1.3.2 Định lý (Sự tồn nguyên hàm) Cho miền đơn liên Ω hàm f giải tích Ω Khi với z0 ∈ Ω , hàm F z xác định F ( z ) = ∫ f (η )dη , tích phân lấy theo đường cong trơn khúc nối z0 z0 với z , nguyên hàm f Ω 1.3.3 Định lý (Sự tồn logarit) Giả sử Ω miền đơn liên, f giải tích Ω khác không z ∈ Ω Khi tồn hàm g giải tích Ω cho eg = f Hàm g gọi logarit f , ký hiệu g = log f Ta gọi đường trịn tâm z0 , bán kính r , đường cong có phương trình γ (t= ) z0 + reit , t ∈ [ 0, 2π ] , ký hiệu Cr , z , Cr z − z0 = r o Từ sau ta hiểu đường cong đường cong trơn khúc , chu tuyến chu tuyến trơn khúc 1.3.4 Định lý (Cơng thức tích phân Cauchy) Cho Ω miền bị chặn , có biên hữu hạn đường cong Nếu f giải tích Ω liên tục Ω với z0 ∈ Ω ta có f ( z0 ) = f ( z) dz ∫ 2π i ∂Ω z − z0 Nhận xét Trường hợp f giải tích Ω , z0 ∈ Ω γ chu tuyến cho z0 ∈ Ωγ  Ω ta có f ( z0 ) = f ( z) dz ∫ 2π i γ z − z0 1.3.5 Định lý (Cơng thức tích phân Cauchy đạo hàm) Cho hàm f giải tích miền Ω Khi hàm f có đạo hàm cấp miền Ω đạo hàm cấp n hàm f z0 biểu diễn công thức f ( n ) ( z0 ) = n! f ( z) dz , n 0,1, 2, , = ∫ 2π i γ ( z − z0 ) n +1 γ chu tuyến cho z0 ∈ Ωγ  Ω 1.3.6 Định lý (Định lý Morera) Cho f hàm liên tục miền đơn liên Ω tích phân f theo đường cong đóng Ω Khi f hàm giải tích Ω 1.3.7 Định lý (Bất đẳng thức Cauchy đạo hàm) Cho hàm f giải tích miền Ω , z0 ∈ Ω số R > cho D( z0 , R )  Ω Khi f n ( z0 ) ≤ n!M , M = max f ( z ) z∈C Rn R , z0 1.3.9 Định lý (Định lý Liouville) Cho f hàm giải tích bị chặn tồn mặt phẳng , tức tồn số dương M cho f ( z ) ≤ M với z ∈  Khi f hàm 1.3.10 Định lý (Định lý giá trị trung bình) Cho f hàm giải tích miền giá trị f zo Ω , z0 ∈ Ω số R > cho D(0, R )  Ω Khi trung bình giá trị f đường tròn CR , z (t ) = z0 + Reit , t ∈ [ 0, 2π ] , tức = f ( z0 ) 2π 2π ∫ f ( z0 + Reit )dt 1.4 Hàm điều hòa 1.4.1 Định nghĩa Hàm u ( x, y ) hai biến thực x, y miền Ω gọi hàm điều hòa đạo hàm riêng cấp hai liên tục thỏa mãn phương trình Laplace ∆u= ∂ 2u ∂ 2u + = với ( x, y ) ∈ Ω ∂x ∂y 1.4.2 Định lý Cho = f ( z ) u ( x, y ) + iv( x, y ) hàm giải tích miền Ω ∈  Khi u ( x, y ) v( x, y ) hàm điều hòa miền Ω 1.4.3 Định lý Hàm hai biến thực miền đơn đơn liên Ω hàm điều hòa phần thực hay phần ảo hàm giải tích Ω 1.5 Lý thuyết chuỗi ∞ ∑ f ( z) Cho chuỗi hàm hội tụ miền Ω có tổng f ( z ) Chuỗi gọi hội tụ n n =1 tập A Ω ε > tồn n0 cho n ≥ n0 , z ∈ A có ∞ Chuỗi ∑ n =1 ∞ f n ( z ) gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi ∑ f ( z) n =1 n ∞ ∑ f ( z) < ε k =n k hội tụ Chuỗi hội tụ tuyệt đối chuỗi hội tụ 1.5.1 Định lý (Định lý Weierstrass) ∞ ∑ f ( z) Cho chuỗi hàm n =1 n hội tụ miền Ω có tổng f ( z ) Nếu hàm f n ( z ) giải tích Ω f ( z ) giải tích Ω ∞ f ( k ) ( z ) = ∑ f n( k ) ( z ) với k ∈ , z ∈ Ω n =1 ∞ Chuỗi hàm có dạng ∑ c (z − z ) n n =0 ∞ Giả sử chuỗi ∑ c (z − z ) n =0 n n n gọi chuỗi Taylor z0 hội tụ đĩa D( z0 , R ) Ký hiệu f ( z ) tổng Theo Định lý 1.5.1 hàm f ( z ) khả vi vô hạn lần f (k )= ( z) ∞ ∑ n(n − 1) (n − k + 1) c ( z − z ) n n=k o n−k Thay z = z0 vào đẳng thức ta f ( k ) ( z0 ) = k !ck hay cn = f ( n ) ( z0 ) n! 1.5.2 Định lý (Định lý Taylor) Cho f hàm giải tích miền Ω z0 ∈ Ω Khi đĩa D ( z0 , R ) , ∞ n(t ) n( r ) n( r ) ≤ λ ∫ λ +1 dt nên ta có lim λ = λ r t r →∞ r r Do  3.1.3 Bổ đề {an } Số mũ hội tụ dãy cấp ρ1 hàm đếm n(r ) Chứng minh Giả sử k số mũ hội tụ dãy {an } , lấy λ > k tùy ý Khi chuỗi ∞ ∑ n =1 an λ hội tụ n( r ) = Từ n(r ) < r λ với r đủ lớn r →∞ r λ theo Bổ đề 3.1.2 ta có lim Vì ρ1 cấp n(r ) nên r ρ −ε < n(r ) < r ρ +ε ( với r đủ lớn ) Suy ρ1 ≤ λ Do λ > k 1 nên ρ1 ≤ λ tùy ý Mặt khác ta có n(t ) < t ρ +ε /2 , ε > Chọn λ= ρ1 + ε , ta có n(t ) < t λ −ε /2 = t λ +1−1−ε /2 , Suy ∫ ∞ n(t ) < 1+ε /2 λ +1 t t n(t ) n(t ) hội tụ lim λ = Ta lại có λ +1 t →∞ t t ∞ ∑a n =1 Từ suy ∞ ∑ n =1 λ n an ∞ = ∫0 λ dn(t ) , tλ ∫ r r n (t ) dn(t ) n(r ) λ = + ∫0 t λ +1 dt tλ rλ hội tụ λ > k Do λ tùy ý thỏa mãn λ =+ ρ1 ε ( ε > 0) Vậy ρ1 = k nên ρ1 ≥ k  3.1.4 Định lý (Định lý Hadamard) Số mũ hội tụ tập không điểm hàm ngun khơng vượt q cấp tăng Chứng minh Theo Hệ Cơng thức Jensen 2.3.5 ta có n(r ) ≤ log M f (er ) + O(1) Do limsup r →∞ log log M f (er ) log n(r ) ≤ limsup r →∞ log r log r log log M f (r ) = limsup r →∞ log r Vậy ρ1 ≤ ρ  3.1.5 Định lý Giả sử f ( z ) hàm ngun có lọai khơng lớn σ tương ứng với cấp ρ , ∆ ( Λ ) , ∆ ( Λ ) mật độ mật độ dãy Λ tương ứng với cấp ρ Nếu f ( z ) triệt tiêu tập Λ hai bất đẳng thức ∆ ( Λ ) > eρσ ∆ ( Λ ) > ρσ f ( z ) ≡ Chứng minh Giả sử ∆ ( Λ ) > ρσ Đặt nΛ (r ) hàm đếm dãy Λ , n(r ) = n f (r ) Với λ > ta có λ r n(t ) dt ≤ N (λ r ) ∫ r log λ t log λ Theo Công thức Jensen với f không đồng nΛ (r ) ≤ n(r ) < N ( λ r ) ≤ log M f (λ r ) + 0(1) < (σ + ε ) λ ρ r ρ Do nΛ (r ) < n (r ) (σ + ε ) λ ρ r ρ , Λ ρ < (σ + ε ) λ ρ Suy r log λ log λ  σλ ρ  σλ ρ ,  ∆ (Λ) ≤  = eρσ log λ  log λ  ( λ ) Vậy ∆ ( Λ ) ≤ eρσ , mâu thuẫn Nếu ∆ ( Λ ) > ρσ , ∆ ( Λ ) =liminf r →∞ nΛ (r ) rρ n(r ) ≥ nΛ (r ) > ( ρσ + 2ε ) r ρ Do N (r ) > ρ ( ρσ + ε ) r ρ Sử dụng Công thức Jensen ta có log M f (r ) > Suy σ > ρ ( ρσ + ε ) ρ ( ρσ + ε ) r ρ , , σρ > ( ρσ + ε ) log M f (r ) r ρ > mâu thuẫn ρ ( ρσ + ε ) Vậy f ≡  3.2 Phân tích hàm nguyên thành nhân tử 3.2.1 Định nghĩa ∞ Tích vơ hạn hàm nguyên ∏g n =1 n ( z ) gọi hội tụ z0 với N ,  M  lim  ∏ g n ( z0 )  giá trị hữu hạn, khác không M →∞  n= N  Tích vơ hạn hàm nguyên gọi hội tụ lập K , tồn N cho M ∏g n= N n ( z ) hội tụ đến hàm hN ( z ) , z ∈ K , M → ∞ Từ định nghĩa tích vơ hạn hội tụ tổng qt, ta có tích tích vô hạn hội tụ nguyên là Sự hội tụ (hội tụ ) tích vơ hạn ∞ ∏g n =1 n hàm ( z ) tương đương với hội tụ (hội tụ ) ∞ chuỗi ∑ log g n =1 Cho ∑a − P −1 n n ( z) { an } dãy số phức khác không tồn p số nguyên không âm để < ∞ Ta ký hiệu tích vơ hạn n z ∏ ( z) = ∏ G( a n , p) , n p= 1− z ,   G ( z, p) =   z2 z3 zp  − z z + + + + p > , ( )    p   Các hàm G ( z , p ) gọi nhân tử sơ cấp Weierstrass Chú ý rằng, z < G ( z , p ) → (1 − z ) exp  − log (1 − z )  = p → ∞ Vì G ( z , p ) hội tụ tập compact đĩa đơn vị D(0,1) , G ( z , p ) hàm ngun G ( z , p ) có khơng điểm đơn z = khơng có khơng điểm khác ∏ ( z ) hội tụ tuyệt đối đĩa D(0, R ) Nếu u ≤ ∏ ( z ) đuợc gọi tích tắc Weierstrass loại p 3.2.2 Định lý (Định lý Hadamard) Giả sử f hàm nguyên , f không đồng không , f có cấp hữu hạn p Khi f biểu diễn dạng f ( z ) = z me Pq ( z )  z  , p ,  n  ∞ ∏G  a n =1 với a1 , a2 , không điểm hàm f , p ≤ ρ , Pq ( z ) đa thức bậc q ≤ ρ m số bội nghiệm z = Chứng minh Giả sử a1 , , an không điểm f ( z ) D(0, R ) Khi theo (6), Chương II ta có log f ( z ) = 2π R ( z − an ) Reiψ + z log Re log ψ f d + + iC ( ) ∑ ∫0 Reiψ − z R − zan a 0, Ap =3e(2 + log p), 1+ u log G (u ,0) ≤ log(1 + u ) Chứng minh Giả sử p p +1 u u3 un log (1 − u ) =−u − − − − , n p > Nếu u < ∞ p +1 n u u p +1 nên ta có log G ( u , p ) ≤ ∑ ≤ ≤u ( p + 1) (1 − u ) n= p +1 n Nếu u > hội tụ p p +1 log (1 + u ) < u , nên p u u log G ( u , p ) ≤ u + + + p 1 1 1  p + p − + p −1  =u  +  p p −1 u u u   {an } ,  p +1 ≤u    p  p −1 p < e ( + log p ) u  1  + + +  p  1+ u 1+ u p p +1 p +1  u 1 u , =+ e ( log p ) 1 +  < Ap u + u + u   = Ap 3e (1 + log p )  3.3.2 Định lý Cho {an } dãy số phức Nếu chuỗi ∞ ∑a n =1 p +1 hội tụ tích n  z  , p  n  ∞ ∏ ( z) = ∏ G  a n =1 hội tụ tập compact thỏa mãn điều kiện ∞ n (t )  r n(t )  log ∏ ( z ) < K p r p  ∫0 p +1 dt + r ∫r p + dt  , t  t  K= p ( p + 1) Ap , r = z Chứng minh Nếu p ≥ theo Bổ đề đánh giá Borel ta có ∞ log ∏ ( z ) ≤ Ap ∑ n =1 =Ap r p +1 ∞ Do chuỗi ∑a n =1 p +1 r p +1 dn(t ) p +1 ∞ A r = p p ∫ p t (t + r ) an ( r + an )   n(t ) ∞ p p +1 ∞ + + A r  p ∫0 t p+1 (t + r ) t p+1 ( t + r )2  n(t )dt t p (t + r )   hội tụ nên ta có n n (t ) n(t ) n(t ) → t → ∞ , p ≤ p +1 → t → ∞ p +1 t t ( t + 1) t Do log ∏ ( z ) ≤ Ap r p +1   r ∞  p + + n(t )dt    ∫ ∫  p +1 p  o r   t ( t + r ) t ( t + r )  ∞ n (t )  r n(t )  z ≤ K p r p  ∫0 p +1 dt + r ∫r p + dt  , r = t  t  p = đánh giá tích tắc đơn giản Khi ∞  r  log ∏ ( z ) ≤ ∑ log 1 + =  an  n =1  ∞ = r ∫0 ∫ ∞  r log 1 +  n(t )dt  t r n (t ) ∞ n (t ) dt n(t ) dt ≤ ∫0 dt + r ∫r t (t + r ) t t2  3.3.3 Định lý (Định lý Borel) Cấp ρ tích tắc ∏ ( z) với số mũ hội tụ dãy không điểm ∏ ( z) Chứng minh Giả sử p số nguyên nhỏ để chuỗi ∞ ∑a n =1 tích tắc p +1 hội tụ , {an } dãy không điểm n ∏ ( z) Giả sử ρ1 số mũ hội tụ dãy {an } p < ρ1 < p + Xét trường hợp ρ1 < p + Chọn ε > cho as ρ1 < ε < p + Khi n(t ) < t ρ +ε Theo Định lý 3.3.2 ta có ∞ n (t )  r n(t )  log ∏ ( z ) ≤ K p r p  ∫0 p +1 dt + r ∫r p + dt  t  t  ( ∞ ≤ K p r p O(1) + ∫0 t ρ +ε − p −1dt + r ∫r t ρ +ε − p − dt r 1 )   r ρ +ε − p r ρ +ε − p ≤ K p r p  O(1) + +  ρ1 + ε − p p + − ρ1 − ε   1 Bây xét trường hợp ρ1= p + Theo Bổ đề 3.1.2 ta có n( r ) , r p +1 ∫ ∞ r n(t ) dt tiến r → ∞ t p+2 Từ Định lý 3.3.2 ta có log M Π (r ) < ε r p +1 = ε r ρ , ∀ε > Vậy ρ ≤ ρ1 < r ρ + 2ε Do ρ1 = limsup log n(r ) log r ∏ ( z) = nên theo Hệ Cơng thức Jensen 2.3.5, ta có log M Π (er ) ≥ n(r ) Từ ρ= Vậy ρ ≥ ρ1 log log M Π (r ) log r ta có ρ = ρ1  3.4 Phân bố không điểm hàm nguyên có cấp khơng ngun 3.4.1 Định lý Số mũ hội tụ tập khơng điểm hàm ngun f có cấp không nguyên với cấp tăng f Chứng minh Giả sử f hàm nguyên có cấp tăng ρ ( không nguyên ) , ρ1 số mũ hội tụ dãy không điểm f , ∏( z) tích tắc tương ứng tập khơng điểm f Theo phân tích Hadamard ta có f ( z ) = z me Pq ( z ) ∏( z) , degPq = q (1) Sử dụng Định lí Borel 3.2.5 ta as log M f (r ) < C1r q + r ρ +ε , ε > , as log M f (r ) < r λ + 2ε , λ = max ( ρ1 , q ) Suy ρ ≤ λ Ngược lại , theo Định lý Hadamand 3.1.4 ta có ρ1 ≤ ρ Theo Định lý Hadamand 3.2.3 ta có q ≤ ρ Suy ρ ≥ max ( ρ1 , p ) từ suy ρ = max ( ρ1 , p ) Vì ρ khơng ngun mà q ngun nên ρ1 = ρ  3.4.2.Định lý Nếu cấp ρ hàm nguyên f ( z ) không nguyên lọai σ f mật độ không điểm ∆ f f đồng thời không đồng thời vô cực đồng thời số dương Chứng minh ∆ f ≤ eρσ f Theo chứng minh Định lý 3.3.2 ta có Theo Định lý 3.1.5 ta có đánh giá ∞ n (t )  r n(t )  log ∏ ( r ) ≤ K p r ρ  ∫0 p +1 dt + r ∫r p + dt  t  t  ( ) n(t ) < ∆ f + ε t ρ , ε > Suy Theo định nghĩa ∆ f ta có ( ( log M Π (r ) ≤ K p r p O(1) + ∆ f + ε )∫ t r ρ − p −1 ) dt + ( ∆ f + ε ) r ∫r t ρ − p − dt ∞ Do p không nguyên nên chọn p cho p < ρ < p + ta có ( ) log M Π (r ) < r ρ ∆ f + ε K p (∫ t r ρ − p −1 ) ∞ ( ) dt + ∫r t ρ − p − r dt < Cρ ∆ f + ε r ρ < Cρ (∆ f + rε )r ρ Theo biểu diễn Hadamard ta có ( ) log M Π (r ) < a0 r q + Cρ ∆ f + ε r ρ ( ) < Cρ ∆ f + rε r ρ Suy log M f ( r ) rρ ( < Cρ ∆ f + rε ) σ f ≤ Cρ ∆ f Vậy ta có ∆ f ≤ eρσ f σ f ≤ Cρ ∆ f  3.5 Phân bố khơng điểm hàm ngun có cấp ngun Chú ý p định nghĩa số nguyên nhỏ để chuỗi ∑a p +1 hội tụ Theo Định n lý Hadamand Định lý Borel ta có p ≤ ρ ≤ p + , ρ số nguyên nên ρ = p ρ= p + Nếu ρ= p + Nếu ρ = p ∑ ∑ an an ρ ρ hội tụ; phân kỳ Ta ký hiệu aρ hệ số z ρ đa thức P ( z ) biểu diễn Hadamand 3.5.1 Định lý (Định lý Lindelof) Nếu ρ= p + f ( z ) hàm nguyên có loại tối thiểu (σ = 0) aρ = có loại trung bình (0 < σ < ∞) a p ≠ Chứng minh Theo Định lý Hadamand ta có ( log f ( z ) ≤ Re(aρ z ρ ) + log ∏ ( z ) + z ρ −1 ) , z →∞ (3) Theo Định lý Borel ta có log M ∏ (r ) < ε r p +1 Do ρ= p + nên log M ∏ (r ) < ε r ρ , ε > (4) ( (5) Suy ) log M f (r ) < aρ + 3ε r ρ Vì f ( z ) hàm nguyên , với P( z= ) aρ z ρ + + a0 ta có  f  m r ,exp ( aρ z ρ + + a0 ) = m  r,   ∏ ( ) ( ) m= r ,exp ( aρ z ρ + + a0 )  f  m  r,  =  ∏  2π = ∫ 2π log + ( (6) ) 2π + iψ ρ log exp a re ( ) + + a0 dψ ρ ∫ 2π > aρ r ρ , 2π f ( reiψ ) ∏ ( reiψ ) dψ  2π  2π  ∫ log + f ( reiψ ) dψ + ∫ log +  ψ d  2π  ∏ ( reiψ )    1 = m ( r, f ) + m  r,  ,  Π  1 aρ r ρ < m r ,exp ( aρ z ρ + + a0 ) < m ( r , f ) + m  r ,  + log2 2Π  Π ( ) Theo Công thức Jensen R n (t ,0) 2π dt log Π ( reiψ ) dψ − log Π (0) , = ∫0 t ∫ 2π (7) ∫ r ∫ r 0 n(t ,0) dt = t 2π ∫ 2π log + Π ( reiψ ) dψ − 2π ∫ 2π log + dψ − log Π (0) , Π ( reiψ ) n ( t ,0 )  1 dt + log Π (0) + m  r , = m ( r , ∏ ) , t  ∏  1 m ( r, ∏ ) ≥ m  r,   ∏ Từ (8) (7) , (8) , (4) ta có aρ 2π r ρ < m ( r , f ) + m ( r , Π ) + 0(1) < log M f (r ) + 3ε r ρ , ε > log M f ( z ) Từ (5) , (9) ta có rρ aρ < < aρ + 3ε , log M f (r ) 2π Định lý chứng minh (9) rρ  + 3ε 3.5.2 Định lý ( Định lý Lindelof ) 1 ∑ ρ aρ Giả sử ρ = p , đặt δ f (r= ) aρ + , δ f = limsup δ f (r ) , r →∞ n ( ) σ f γ f đồng thời không đồng thời vô hạn = γ f max ∆ f , δ f Khi đồng thời số dương Chứng minh Ta có log f ( z ) = 2π R ( z − am ) Reiψ + z log ( ) log ψ + + iC f re d ∑ ∫0 Reiψ − z R − za m a