BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH HUỲNH THÁI SƠN CẤP TĂNG VÀ SỰ PHÂN BỐ KHÔNG ĐIỂM CỦA HÀM NGUYÊN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011 MỤC LỤC MỤC LỤC 0T T MỞ ĐẦU 0T T Lý chọn đề tài .5 0T 0T Mục đích nghiên cứu 0T 0T Đối tượng phạm vi nghiên cứu 0T 0T Ý nghĩa khoa học, thức tiễn 0T 0T Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .6 0T 0T 1.1 Hàm giải tích 0T 0T 1.1.1 Định nghĩa 0T 0T 1.1.2 Định lý 0T T 1.2 Tích phân phức, tích phân Stieljes .6 0T 0T 1.2.1 Định lý 0T T 1.3 Lý thuyết Cauchy 0T 0T 1.3.1 Định lý (Định lý Cauchy) .7 0T 0T 1.3.2 Định lý (Sự tồn nguyên hàm) 0T T 1.3.3 Định lý (Sự tồn logarit) .8 0T 0T 1.3.4 Định lý (Công thức tích phân Cauchy) 0T T 1.3.5 Định lý (Công thức tích phân Cauchy đạo hàm) 0T T 1.3.6 Định lý (Định lý Morera) 0T 0T 1.3.7 Định lý (Bất đẳng thức Cauchy đạo hàm) 0T T 1.3.9 Định lý (Định lý Liouville) 0T 0T 1.3.10 Định lý (Định lý giá trị trung bình) 0T T 1.4 Hàm điều hòa 0T 0T 1.4.1 Định nghĩa 0T 0T 1.4.2 Định lý 10 0T T 1.4.3 Định lý 10 0T T 1.5 Lý thuyết chuỗi 10 0T 0T 1.5.1 Định lý (Định lý Weierstrass) 10 0T 0T 1.5.2 Định lý (Định lý Taylor) 10 0T 0T 1.5.3 Định lý (Định lý nhất) 11 0T 0T 1.5.4 Định lý 11 0T T 1.5.5 Định lý (Định lý Laurent) 12 0T 0T 1.5.6 Định nghĩa 12 0T 0T 1.6 Hàm nguyên hàm phân hình 12 0T 0T 1.6.1 Định nghĩa 12 0T 0T 1.6.2 Định lý 13 0T T 1.6.3 Định nghĩa 13 0T 0T Chương CẤP TĂNG CỦA HÀM NGUYÊN 14 0T T T T 2.1 Cấp loại hàn nguyên 14 0T 0T 2.1.1 Định lý 14 0T T 2.1.2 Định nghĩa 14 0T 0T 2.1.3 Định nghĩa 15 0T 0T 2.2 Mối liên hệ cấp , loại hệ số Taylor hàm nguyên 15 0T T 2.2.1 Bổ đề 15 0T T 2.2.2 Bổ đề 16 0T T 2.2.3 Định lý 17 0T T 2.2.4 Định lý 18 0T T 2.2.5 Ví dụ 19 0T T 2.3 Các công thức hàm giải tích đĩa 20 0T T 2.3.1 Định lý (Công thức Schwarz) 20 0T 0T 2.3.2 Định lý (Công thức Poisson) 20 0T 0T 2.3.3 Định lý (Công thức Poison – Jensen) 21 0T T 2.3.4 Định lý ( Công thức Jensen ) 22 0T 0T 2.3.5 Định nghĩa 23 0T 0T 2.3.6 Hệ Công thức Jensen 24 0T 0T Chương PHÂN BỐ KHÔNG ĐIỂM 25 0T 0T 3.1 Số mũ hội tụ mật độ trên, mật độ dãy không điểm 25 0T T 3.1.1 Định nghĩa 25 0T 0T 3.1.2 Bổ đề 25 0T T 3.1.3 Bổ đề 26 0T T 3.1.4 Định lý (Định lý Hadamard) 26 0T 0T 3.1.5 Định lý 27 0T T 3.2 Phân tích hàm nguyên thành nhân tử 28 0T 0T 3.2.1 Định nghĩa 28 0T 0T 3.2.2 Định lý (Định lý Hadamard) 29 0T 0T 3.3 Đánh giá tích tắc 30 0T 0T 3.3.1 Bổ đề (Bổ đề đánh giá Borel) 30 0T 0T 3.3.2 Định lý 31 0T T 3.3.3 Định lý (Định lý Borel) 32 0T 0T 3.4 Phân bố không điểm hàm nguyên có cấp không nguyên 33 0T T 3.4.1 Định lý 33 0T T 3.4.2.Định lý 33 0T T 3.5 Phân bố không điểm hàm nguyên có cấp nguyên 34 0T T 3.5.1 Định lý (Định lý Lindelof) 35 0T 0T 3.5.2 Định lý ( Định lý Lindelof ) 36 0T 0T KẾT LUẬN 39 0T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 0T 0T MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết hàm nguyên phần quan trọng đặc sắc giải tích phức Lý thuyết phát triển tổng quát lý thuyết đa thức Hàm nguyên không đồng đếm không điểm Luận văn nhằm tìm hiểu, khảo sát phân bố dãy không điểm hàm nguyên thông qua cấp tăng loại Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày tính chất cấp tăng hàm nguyên Sau xem xét tính chất liên quan đến phân bố không điểm hàm nguyên Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu cấp tăng loại hàm nguyên, công thức tích phân, đặc trưng Nevanlinna, hàm đếm không điểm, mật độ mật độ dãy không điểm Ý nghĩa khoa học, thức tiễn Luận văn hệ thống lại các nghiên cứu có phân bố không điểm hàm nguyên thông qua cấp loại Luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho người quan tâm đến lĩnh vực Mặc dù thân cố gắng thầy giáo hướng dẫn tận tình giúp đỡ, khả thời gian có hạn nên luận văn nhiều thiếu sót Kính mong góp ý quý thầy cô bạn đồng nghiệp Nhân dịp hoàn thành luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, thầy cô giáo giảng dạy lớp Cao học Toán khóa 18, bạn học, gia đình người thân Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm giải tích 1.1.1 Định nghĩa Hàm f gọi giải tích (hay chỉnh hình) z0 tồn r > cho f có đạo hàm z ∈ D(0, r ) , D ( z0 , r ) đĩa tâm z0 bán kính r Hàm f gọi giải tích miền Ω giải tích z ∈ Ω 1.1.2 Định lý Giả sử Ω ⊂ miền A(Ω) tập hàm giải tích Ω Khi Nếu f ∈ A(Ω) f ( z ) ≠ 0, ∀ z ∈ Ω ∈ A(Ω) f (i) (ii) f ∈ A(Ω) f nhận giá trị thực f hàm Nếu 1.2 Tích phân phức, tích phân Stieljes Cho γ = (t ) x(t ) + iy (t ) , t ∈[ a, b ] đường cong Với giả thiết γ trơn khúc f liên tục γ , ta định nghĩa tích phân f γ ∫γ f ( z )dz = ∫a f ( γ ( t ) )γ ′ ( t ) dt b 1.2.1 Định lý Cho f , g hàm liên tục đường cong trơn khúc γ , γ = (t ) x(t ) + iy (t ) , t ∈[ a, b ] Khi i) ii) ∫γ (α f ( z ) + β g ( z ))dz = α ∫γ f ( z )dz + β ∫γ g ( z ) , ∫ γ− α ∈ , β ∈ f ( z )dz = − ∫ f ( z )dz , γ − đường cong ngược γ , γ γ − (t )= γ (a + b − t ) , t ∈ [ a, b ] iii) Nếu γ= γ + γ tức tồn f ( z )dz ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz ∫γ = γ γ c ∈ ( a, b) cho = γ γ= [ a ,c ] , γ γ [ c ,b ] iv) ∫γ f ( z )dz ≤ ∫γ dz= ds = f ( z ) dz = ∫ f ( z ) ds , ds vi phân độ dài cung γ ( x , (t )) + ( y , (t )) v) Nếu f ( z ) ≤ M với z ∈ γ l độ dài đường cong γ ∫γ f ( z )dz ≤ ∫γ f ( z ) dz ≤ M ∫ dz = Ml γ Cho f hàm bị chặn đoạn [ a, b ] F hàm thực không giảm đoạn [ a, b ] Ta gọi phép chia P dãy hữu hạn P = {t j } j =1 , t0 = a < t1 < < tn = b n Với phép chia P , đặt n = S PF ( f ) ∑M j =1 ( F (t ) − F (t )= ) , s ( f ) ∑ m ( F (t ) − F (t )) , n j j −1 j { } F P j =1 j j −1 j { } M j =sup f ( x ) : x ∈ ( t j −1 , t j , m j =inf f ( x ) : x ∈ ( t j −1 , t j Hàm f gọi khả tích Stieljes theo hàm F inf {S PF ( f ) : P} = sup {sPF ( f ) : P} Khi f khả tích Stieljes ta gọi tích phân Stieljes f theo F = = {S PF ( f ) : P} sup {sPF ( f ) : P} ∫a f ( x )dF ( x ) inf b Nếu F hàm không giảm [ a, ∞ ) ta gọi tích phân Stieljes hàm f xác định [ a, ∞ ) theo hàm F ∫ ∞ a f ( x )dF ( x ) = lim ∫a f ( x )dF ( x ) b b →∞ 1.3 Lý thuyết Cauchy 1.3.1 Định lý (Định lý Cauchy) Cho Ω miền bị chặn, có biên hữu hạn đường cong trơn khúc Nếu f giải tích Ω liên tục Ω ∫ f ( z )dz = ∂Ω Giả sử f hàm giải tích miền đơn liên Ω z0 , z hai điểm Ω Khi tích phân F ( z ) = z ∫ f (η )dη không phụ thuộc vào đường cong nối z0 z Ω z0 1.3.2 Định lý (Sự tồn nguyên hàm) Cho miền đơn liên Ω hàm f giải tích Ω Khi với z0 ∈ Ω , hàm F z xác định F ( z ) = ∫ f (η )dη , tích phân lấy theo đường cong trơn khúc nối z0 z0 với z , nguyên hàm f Ω 1.3.3 Định lý (Sự tồn logarit) Giả sử Ω miền đơn liên, f giải tích Ω khác không z ∈ Ω Khi tồn hàm g giải tích Ω cho eg = f Hàm g gọi logarit f , ký hiệu g = log f Ta gọi đường tròn tâm z0 , bán kính r , đường cong có phương trình γ (t= ) z0 + reit , t ∈ [ 0, 2π ] , ký hiệu Cr , z , Cr z − z0 = r o Từ sau ta hiểu đường cong đường cong trơn khúc , chu tuyến chu tuyến trơn khúc 1.3.4 Định lý (Công thức tích phân Cauchy) Cho Ω miền bị chặn , có biên hữu hạn đường cong Nếu f giải tích Ω liên tục Ω với z0 ∈ Ω ta có f ( z0 ) = f ( z) dz ∫ 2π i ∂Ω z − z0 Nhận xét Trường hợp f giải tích Ω , z0 ∈ Ω γ chu tuyến cho z0 ∈ Ωγ Ω ta có f ( z0 ) = f ( z) dz ∫ 2π i γ z − z0 1.3.5 Định lý (Công thức tích phân Cauchy đạo hàm) Cho hàm f giải tích miền Ω Khi hàm f có đạo hàm cấp miền Ω đạo hàm cấp n hàm f z0 biểu diễn công thức f ( n ) ( z0 ) = n! f ( z) dz , n 0,1, 2, , = ∫ 2π i γ ( z − z0 ) n +1 γ chu tuyến cho z0 ∈ Ωγ Ω 1.3.6 Định lý (Định lý Morera) Cho f hàm liên tục miền đơn liên Ω tích phân f theo đường cong đóng Ω Khi f hàm giải tích Ω 1.3.7 Định lý (Bất đẳng thức Cauchy đạo hàm) Cho hàm f giải tích miền Ω , z0 ∈ Ω số R > cho D( z0 , R ) Ω Khi f n ( z0 ) ≤ n!M , M = max f ( z ) z∈C Rn R , z0 1.3.9 Định lý (Định lý Liouville) Cho f hàm giải tích bị chặn toàn mặt phẳng , tức tồn số dương M cho f ( z ) ≤ M với z ∈ Khi f hàm 1.3.10 Định lý (Định lý giá trị trung bình) Cho f hàm giải tích miền giá trị f zo Ω , z0 ∈ Ω số R > cho D(0, R ) Ω Khi trung bình giá trị f đường tròn CR , z (t ) = z0 + Reit , t ∈ [ 0, 2π ] , tức = f ( z0 ) 2π 2π ∫ f ( z0 + Reit )dt 1.4 Hàm điều hòa 1.4.1 Định nghĩa Hàm u ( x, y ) hai biến thực x, y miền Ω gọi hàm điều hòa đạo hàm riêng cấp hai liên tục thỏa mãn phương trình Laplace ∆u= ∂ 2u ∂ 2u + = với ( x, y ) ∈ Ω ∂x ∂y 1.4.2 Định lý Cho = f ( z ) u ( x, y ) + iv( x, y ) hàm giải tích miền Ω ∈ Khi u ( x, y ) v( x, y ) hàm điều hòa miền Ω 1.4.3 Định lý Hàm hai biến thực miền đơn đơn liên Ω hàm điều hòa phần thực hay phần ảo hàm giải tích Ω 1.5 Lý thuyết chuỗi ∞ ∑ f ( z) Cho chuỗi hàm hội tụ miền Ω có tổng f ( z ) Chuỗi gọi hội tụ n n =1 tập A Ω ε > tồn n0 cho n ≥ n0 , z ∈ A có ∞ Chuỗi ∑ n =1 ∞ f n ( z ) gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi ∑ f ( z) n =1 n ∞ ∑ f ( z) < ε k =n k hội tụ Chuỗi hội tụ tuyệt đối chuỗi hội tụ 1.5.1 Định lý (Định lý Weierstrass) ∞ ∑ f ( z) Cho chuỗi hàm n =1 n hội tụ miền Ω có tổng f ( z ) Nếu hàm f n ( z ) giải tích Ω f ( z ) giải tích Ω ∞ f ( k ) ( z ) = ∑ f n( k ) ( z ) với k ∈ , z ∈ Ω n =1 ∞ Chuỗi hàm có dạng ∑ c (z − z ) n n =0 ∞ Giả sử chuỗi ∑ c (z − z ) n =0 n n n gọi chuỗi Taylor z0 hội tụ đĩa D( z0 , R ) Ký hiệu f ( z ) tổng Theo Định lý 1.5.1 hàm f ( z ) khả vi vô hạn lần f (k )= ( z) ∞ ∑ n(n − 1) (n − k + 1) c ( z − z ) n n=k o n−k Thay z = z0 vào đẳng thức ta f ( k ) ( z0 ) = k !ck hay cn = f ( n ) ( z0 ) n! 1.5.2 Định lý (Định lý Taylor) Cho f hàm giải tích miền Ω z0 ∈ Ω Khi đĩa D ( z0 , R ) ,