cấp tăng và sự phân bố không điểm của hàm nguyên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ____________________________________ HUỲNH THÁI SƠN CẤP TĂNG VÀ SỰ PHÂN BỐ KHÔNG ĐIỂM CỦA HÀM NGUYÊN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011 MỤC LỤC 0TMỤC LỤC0T 2 0TMỞ ĐẦU0T 5 0T1. Lý do chọn đề tài0T 5 0T2. Mục đích nghiên cứu0T 5 0T3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu0T 5 0T4. Ý nghĩa khoa học, thức tiễn0T 5 0TChương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ0T 6 0T1.1. Hàm giải tích0T 6 0T1.1.1 Định nghĩa0T 6 0T1.1.2 Định lý0T 6 0T1.2. Tích phân phức, tích phân Stieljes0T 6 0T1.2.1 Định lý0T 6 0T1.3. Lý thuyết Cauchy0T 7 0T1.3.1 Định lý (Định lý Cauchy)0T 7 0T1.3.2 Định lý (Sự tồn tại của nguyên hàm)0T 8 0T1.3.3 Định lý (Sự tồn tại logarit)0T 8 0T1.3.4 Định lý (Công thức tích phân Cauchy)0T 8 0T1.3.5 Định lý (Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm)0T 8 0T1.3.6 Định lý (Định lý Morera)0T 9 0T1.3.7 Định lý (Bất đẳng thức Cauchy đối với đạo hàm)0T 9 0T1.3.9 Định lý (Định lý Liouville)0T 9 0T1.3.10 Định lý (Định lý giá trị trung bình)0T 9 0T1.4. Hàm điều hòa0T 9 0T1.4.1 Định nghĩa0T 9 0T1.4.2 Định lý0T 10 0T1.4.3 Định lý0T 10 0T1.5. Lý thuyết chuỗi0T 10 0T1.5.1 Định lý (Định lý Weierstrass)0T 10 0T1.5.2 Định lý (Định lý Taylor)0T 10 0T1.5.3 Định lý (Định lý duy nhất)0T 11 0T1.5.4 Định lý0T 11 0T1.5.5 Định lý (Định lý Laurent)0T 12 0T1.5.6 Định nghĩa0T 12 0T1.6. Hàm nguyên và hàm phân hình0T 12 0T1.6.1 Định nghĩa0T 12 0T1.6.2 Định lý0T 13 0T1.6.3 Định nghĩa0T 13 0TChương 2.0T 0T CẤP TĂNG CỦA HÀM NGUYÊN0T 14 0T2.1 Cấp và loại của hàn nguyên0T 14 0T2.1.1 Định lý0T 14 0T2.1.2 Định nghĩa0T 14 0T2.1.3 Định nghĩa0T 15 0T2.2. Mối liên hệ của cấp , loại và hệ số Taylor của hàm nguyên0T 15 0T2.2.1 Bổ đề0T 15 0T2.2.2 Bổ đề0T 16 0T2.2.3 Định lý0T 17 0T2.2.4 Định lý0T 18 0T2.2.5 Ví dụ0T 19 0T2.3. Các công thức của hàm giải tích trên đĩa0T 20 0T2.3.1 Định lý (Công thức Schwarz)0T 20 0T2.3.2 Định lý (Công thức Poisson)0T 20 0T2.3.3 Định lý (Công thức Poison – Jensen)0T 21 0T2.3.4 Định lý ( Công thức Jensen )0T 22 0T2.3.5 Định nghĩa0T 23 0T2.3.6 Hệ quả của Công thức Jensen0T 24 0TChương 3. PHÂN BỐ KHÔNG ĐIỂM0T 25 0T3.1. Số mũ hội tụ và mật độ trên, mật độ dưới của dãy không điểm0T 25 0T3.1.1 Định nghĩa0T 25 0T3.1.2 Bổ đề0T 25 0T3.1.3 Bổ đề0T 26 0T3.1.4 Định lý (Định lý Hadamard)0T 26 0T3.1.5 Định lý0T 27 0T3.2. Phân tích hàm nguyên thành nhân tử0T 28 0T3.2.1 Định nghĩa0T 28 0T3.2.2 Định lý (Định lý Hadamard)0T 29 0T3.3. Đánh giá tích chính tắc0T 30 0T3.3.1 Bổ đề (Bổ đề đánh giá của Borel)0T 30 0T3.3.2 Định lý0T 31 0T3.3.3 Định lý (Định lý Borel)0T 32 0T3.4. Phân bố không điểm của hàm nguyên có cấp không nguyên0T 33 0T3.4.1 Định lý0T 33 0T3.4.2.Định lý0T 33 0T3.5. Phân bố không điểm của hàm nguyên có cấp nguyên0T 34 0T3.5.1 Định lý (Định lý Lindelof)0T 35 0T3.5.2 Định lý ( Định lý Lindelof )0T 36 0TKẾT LUẬN0T 39 0TTÀI LIỆU THAM KHẢO0T 40 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết hàm nguyên là một phần quan trọng và đặc sắc của giải tích phức. Lý thuyết này còn được phát triển như là một tổng quát của lý thuyết đa thức. Hàm nguyên không đồng nhất bằng không chỉ có đếm được không điểm. Luận văn này nhằm tìm hiểu, khảo sát phân bố dãy không điểm của hàm nguyên thông qua cấp tăng và loại của nó. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày các tính chất của cấp tăng của hàm nguyên. Sau đó xem xét các tính chất liên quan đến phân bố không điểm của hàm nguyên. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là cấp tăng và loại của hàm nguyên, công thức tích phân, đặc trưng Nevanlinna, hàm đếm không điểm, mật độ trên mật độ dưới của dãy không điểm. 4. Ý nghĩa khoa học, thức tiễn Luận văn hệ thống lại các các nghiên cứu đã có về phân bố không điểm của hàm nguyên thông qua cấp và loại của nó. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho những người quan tâm đến lĩnh vực trên. Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được thầy giáo hướng dẫn tận tình giúp đỡ, nhưng vì khả năng và thời gian có hạn nên luận văn chắc còn nhiều thiếu sót. Kính mong sự góp ý của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp. Nhân dịp hoàn thành luận văn, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, các thầy cô giáo đã giảng dạy lớp Cao học Toán khóa 18, các bạn học, gia đình và người thân. Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm giải tích 1.1.1 Định nghĩa Hàm f được gọi là giải tích (hay chỉnh hình) tại 0 z nếu tồn tại 0r > sao cho f có đạo hàm tại mọi (0, )zD r∈ , ( ) 0 ,Dz r là đĩa tâm 0 z bán kính r . Hàm f được gọi là giải tích trên miền Ω nếu nó giải tích tại mọi z∈Ω . 1.1.2 Định lý Giả sử Ω⊂ là một miền và ()A Ω là tập các hàm giải tích trên Ω . Khi đó (i) Nếu ()fA∈Ω và ( ) 0,fz z≠ ∀ ∈Ω thì 1 ()A f ∈Ω . (ii) Nếu ()fA∈Ω và f chỉ nhận giá trị thực thì f là hàm hằng . 1.2. Tích phân phức, tích phân Stieljes Cho () () ()t x t iy t γ = + , [ ] ,t ab∈ là đường cong trong  . Với giả thiết γ trơn từng khúc và f liên tục trên γ , ta định nghĩa tích phân của f trên γ là ( ) ( ) ( ) () b a f z dz f t t dt γ γγ ′ = ∫∫ . 1.2.1 Định lý Cho ,fg là các hàm liên tục trên đường cong trơn từng khúc γ , () () ()t x t iy t γ = + , [ ] ,t ab∈ . Khi đó i) ( () ()) () ()f z g z dz f z dz g z γ γγ αβ α β += + ∫ ∫∫ , , αβ ∈∈ . ii) () ()f z dz f z dz γ γ − = − ∫∫ , γ − là đường cong ngược của γ , [ ] () ( ), ,t a b t t ab γγ − = +− ∈ . iii) Nếu 12 γγγ = + tức tồn tại (,)c ab∈ sao cho [ ] [ ] 12 ,, , ac cb γγ γγ = = thì 12 () () ()f z dz f z dz f z dz γγγ = + ∫∫∫ . iv) () () ()f z dz f z dz f z ds γγ γ ≤= ∫∫ ∫ , ds là vi phân độ dài cung ,2 ,2 ( ( )) ( ( ))dz ds x t y t= = + . v) Nếu ()fz M≤ với mọi z γ ∈ và l là độ dài đường cong γ thì () ()f z dz f z dz M dz Ml γγ γ ≤ ≤= ∫∫ ∫ . Cho f là hàm bị chặn trên đoạn [ ] ,ab và F là hàm thực không giảm trên đoạn [ ] ,ab . Ta gọi phép chia P là một dãy hữu hạn { } 01 1 , n jn j P t t at t b = = =<<<= . Với mỗi phép chia P , đặt ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n F P jj j j S f M Ft Ft − = = − ∑ , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n F P jj j j s f m Ft Ft − = = − ∑ , trong đó ( ) ( { } ( ) ( { } 11 sup : , , inf : , j jj j jj M fx x t t m fx x t t −−  =∈=∈  . Hàm f gọi là khả tích Stieljes theo hàm F nếu ( ) { } ( ) { } inf : sup : FF PP SfP sfP= . Khi f khả tích Stieljes thì ta gọi tích phân Stieljes của f theo F là ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } inf : sup : b FF PP a fxdFx SfP sfP= = ∫ . Nếu F là hàm không giảm trên [ ) ,a ∞ thì ta gọi tích phân Stieljes của hàm f xác định trên [ ) ,a ∞ theo hàm F là ( ) ( ) ( ) ( ) lim b aa b f x dF x f x dF x ∞ →∞ = ∫∫ . 1.3. Lý thuyết Cauchy 1.3.1 Định lý (Định lý Cauchy) Cho Ω là miền bị chặn, có biên là hữu hạn các đường cong trơn từng khúc. Nếu f giải tích trên Ω và liên tục trên Ω thì () 0f z dz ∂Ω = ∫ . Giả sử f là hàm giải tích trên miền đơn liên Ω và 0 ,zz là hai điểm trong Ω . Khi đó tích phân 0 () () z z Fz f d ηη = ∫ không phụ thuộc vào đường cong nối 0 z và z trong Ω . 1.3.2 Định lý (Sự tồn tại của nguyên hàm) Cho miền đơn liên Ω và hàm f giải tích trên Ω . Khi đó với mọi 0 z ∈Ω , hàm F xác định bởi 0 () () z z Fz f d ηη = ∫ , ở đây tích phân lấy theo đường cong trơn từng khúc bất kỳ nối 0 z với z , là một nguyên hàm của f trên Ω . 1.3.3 Định lý (Sự tồn tại logarit) Giả sử Ω là miền đơn liên, f giải tích trên Ω khác không tại mọi z∈Ω . Khi đó tồn tại hàm g giải tích trên Ω sao cho g ef = . Hàm g gọi là một logarit của f , ký hiệu loggf= . Ta gọi đường tròn tâm 0 z , bán kính r , là đường cong có phương trình 0 () it t z re γ = + , [ ] 0,2t π ∈ , được ký hiệu là , , o rz r CC hoặc 0 zz r−= . Từ đây về sau ta hiểu đường cong là đường cong trơn từng khúc , chu tuyến là chu tuyến trơn từng khúc . 1.3.4 Định lý (Công thức tích phân Cauchy) Cho Ω là miền bị chặn , có biên là hữu hạn đường cong . Nếu f giải tích trên Ω và liên tục trên Ω thì với mọi 0 z ∈Ω ta có 0 0 1 () () 2 fz f z dz izz π ∂Ω = − ∫ . Nhận xét Trường hợp f giải tích trên Ω , 0 z ∈Ω và γ là một chu tuyến sao cho 0 z γ ∈Ω Ω thì ta có 0 0 1 () () 2 fz f z dz izz γ π = − ∫ . 1.3.5 Định lý (Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm) Cho hàm f giải tích trên miền Ω . Khi đó hàm f có đạo hàm mọi cấp trên miền Ω và đạo hàm cấp n của hàm f tại 0 z được biểu diễn bởi công thức () 0 1 0 ! () ( ) , 0,1,2, , 2( ) n n n fz f z dz n i zz γ π + = = − ∫ trong đó γ là một chu tuyến sao cho 0 z γ ∈Ω Ω . 1.3.6 Định lý (Định lý Morera) Cho f là một hàm liên tục trên miền đơn liên Ω và tích phân của f theo mọi đường cong đóng trong Ω đều bằng 0. Khi đó f là hàm giải tích trên Ω . 1.3.7 Định lý (Bất đẳng thức Cauchy đối với đạo hàm) Cho hàm f giải tích trên miền Ω , 0 z ∈Ω và số 0R > sao cho 0 (,)Dz R Ω . Khi đó 0 ! () , n n nM fz R ≤ ở đây , 0 max ( ) Rz zC M fz ∈ = . 1.3.9 Định lý (Định lý Liouville) Cho f là một hàm giải tích và bị chặn trên toàn mặt phẳng , tức tồn tại số dương M sao cho ()fz M≤ với mọi z∈ . Khi đó f là hàm hằng . 1.3.10 Định lý (Định lý giá trị trung bình) Cho f là hàm giải tích trên miền Ω , 0 z ∈Ω và số 0R > sao cho (0, )DR Ω . Khi đó giá trị của f tại o z bằng trung bình các giá trị của f trên đường tròn [ ] 0 ,0 ( ) Re , 0,2 it Rz Ctz t π =+∈ , tức là 2 00 0 1 ( ) ( Re ) 2 it fz fz dt π π = + ∫ . 1.4. Hàm điều hòa 1.4.1 Định nghĩa Hàm (,)uxy của hai biến thực ,xy trong miền Ω gọi là hàm điều hòa nếu các đạo hàm riêng cấp hai liên tục và thỏa mãn phương trình Laplace 22 22 0 uu u xy ∂∂ ∆= + = ∂∂ với mọi (,)xy∈Ω . 1.4.2 Định lý Cho () (,) (,)f z uxy ivxy= + là một hàm giải tích trên miền Ω∈ . Khi đó (,)uxy và (,)vxy là hàm điều hòa trên miền Ω . 1.4.3 Định lý Hàm hai biến thực trên miền đơn đơn liên Ω là hàm điều hòa khi và chỉ khi là phần thực hay phần ảo của một hàm giải tích nào đó trên Ω . 1.5. Lý thuyết chuỗi Cho chuỗi hàm ( ) 1 n n fz ∞ = ∑ hội tụ trên miền Ω có tổng là ( ) fz . Chuỗi gọi là hội tụ đều trên tập con A của Ω nếu mọi 0 ε > tồn tại 0 n sao cho mọi 0 nn≥ , zA∈ đều có ( ) k kn fz ε ∞ = < ∑ . Chuỗi ( ) 1 n n fz ∞ = ∑ gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi ( ) 1 n n fz ∞ = ∑ hội tụ. Chuỗi hội tụ tuyệt đối là chuỗi hội tụ. 1.5.1 Định lý (Định lý Weierstrass) Cho chuỗi hàm ( ) 1 n n fz ∞ = ∑ hội tụ đều trên miền Ω và có tổng là ( ) fz . Nếu mọi hàm ( ) n fz giải tích trên Ω thì ( ) fz giải tích trên Ω và ( ) ( ) ( ) ( ) 1 kk n n fz fz ∞ = = ∑ với mọi ,kz∈ ∈Ω . Chuỗi hàm có dạng 0 0 () n n n cz z ∞ = − ∑ gọi là chuỗi Taylor tại 0 z . Giả sử chuỗi 0 0 () n n n cz z ∞ = − ∑ hội tụ trong đĩa 0 (,)Dz R . Ký hiệu ()fz là tổng của nó . Theo Định lý 1.5.1 hàm ()fz khả vi vô hạn lần và () ( ) ( 1) ( 1) ( ) k nk no nk f z nn n k c z z ∞ − = = − −+ − ∑ . Thay 0 zz= vào đẳng thức này ta được () 0 () ! k k f z kc= hay () 0 () ! n n fz c n = . 1.5.2 Định lý (Định lý Taylor) Cho f là một hàm giải tích trên miền Ω và 0 z ∈Ω . Khi đó trong đĩa ( ) 0 ,Dz R , [...]... limsup log n(r ) và log r ∏ ( z) = 1 nên theo Hệ quả Công thức Jensen 2.3.5, ta có log M Π (er ) ≥ n(r ) Từ đó ρ= Vậy ρ ≥ ρ1 log log M Π (r ) log r và ta có ρ = ρ1  3.4 Phân bố không điểm của hàm nguyên có cấp không nguyên 3.4.1 Định lý Số mũ hội tụ của tập không điểm của hàm nguyên f có cấp không nguyên bằng với cấp tăng của f Chứng minh Giả sử f là hàm nguyên có cấp tăng ρ ( không nguyên ) , ρ1...  hàm f chỉ có đếm được không điểm n =1 1.6.3 Định nghĩa Hàm giải tích trên miền Ω trừ ra một số các điểm bất thường là cực điểm gọi là hàm phân hình trên Ω Tập các cực điểm của hàm phân hình f là đếm được, hơn nữa là tập rời rạc trong Ω Chương 2 CẤP TĂNG CỦA HÀM NGUYÊN 2.1 Cấp và loại của hàn nguyên Để mô tả một cách tổng quát về cấp tăng của hàm nguyên ta đưa vào hàm M f (r ) = max f ( z ) , hàm. .. có cấp ρ và loại σ n  eσρ  ρ n b)= ∑  Hàm nguyên f ( z )  z , 0 < ρ < ∞, σ < ∞ n = 2  n log n  có cấp ρ và loại tối thiểu ∞ n  eρ log n  ρ n c) Hàm nguyên f ( z ) = ∑  z , 0 . Borel)0T 32 0T3.4. Phân bố không điểm của hàm nguyên có cấp không nguyên0 T 33 0T3.4.1 Định lý0T 33 0T3.4.2.Định lý0T 33 0T3.5. Phân bố không điểm của hàm nguyên có cấp nguyên0 T 34 0T3.5.1. Chương 2. CẤP TĂNG CỦA HÀM NGUYÊN 2.1 Cấp và loại của hàn nguyên Để mô tả một cách tổng quát về cấp tăng của hàm nguyên ta đưa vào hàm ( ) max ( ) f zr M r fz = = , hàm () f Mr là hàm đơn. tăng của hàm nguyên. Sau đó xem xét các tính chất liên quan đến phân bố không điểm của hàm nguyên. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là cấp tăng và loại của hàm nguyên,