Các điểm bất động của lớp ánh xạ tăng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Bùi Thị Doan ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA LỚP ÁNH XẠ TĂNG Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành Phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến : Quý Thầy Cô thuộc khoa tốn trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh nhiệt tình dạy giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu học tập khóa học Ban giám hiệu, q thầy phịng sau đại học trường ĐHSP tạo điều kiện tốt cho suốt khóa học Ban giám hiệu, thầy đồng nghiệp trường THPT Xuyên Mộc tạo điều kiện giúp đỡ mặt để tơi hồn thành luận văn Đặc biệt PGS.TS Nguyễn Bích Huy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu thực luận văn TP.Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 10 năm 2010 Học viên: Bùi Thị Doan MỞ ĐẦU Lý thuyết phương trình khơng gian có thứ tự xây dựng từ năm 1940 đựơc phát triển, hoàn thiện tận Lý thuyết tìm ứng dụng đa dạng có ý nghĩa để nghiên cứu nhiều lớp phương trình cụ thể xuất phát từ Tốn học, Khoa học Tự nhiên, Y học, Kinh tế học,… Trong lý thuyết phương trình khơng gian có thứ tự lớp phương trình với ánh xạ tăng đóng vai trị quan trọng Khi nghiên cứu phương trình dạng ta nghiên cứu sâu tính chất nghiệm nhất, tính ổn định nghiệm, tính gần nghiệm nhờ dãy lặp đơn điệu,… Các định lý Tarskii Krasnoselskii điểm bất động ánh xạ tăng đòi hỏi điều kiện ngặt đặt lên nón (nón Minihedral) lên ánh xạ (điều kiện hoàn toàn liên tục) Với việc sử dụng nguyên lý tập có thứ tự bổ đề Zorn, Nguyên lý đệ quy tổng quát, Nguyên lý Entropy điều kiện liên tục ánh xạ bỏ qua điều kiện Compact giảm nhẹ nhiều định lý điểm bất động Krasnoselskii, Carl, Heikkila, …được tìm gần Để nghiên cứu lớp phương trình xuất phát từ khoa học gần nhà nghiên cứu khảo sát lớp ánh xạ nghiên cứu cách đưa ánh xạ tăng phương pháp tương tự xét ánh xạ tăng, lớp ánh xạ T-đơn điệu hỗn hợp đơn điệu Gần ánh xạ đa trị đơn điệu nghiên cứu ứng dụng Các kết phương trình với ánh xạ tăng thu phong phú đa dạng trình bày báo khoa học Luận văn muốn giới thiệu cách hệ thống với chứng minh chi tiết cho kết số lớp ánh xạ tăng quan trọng thường gặp Luận văn có chương Chương 1.Các khái niệm sử dụng Chương Điểm bất động toán tử đơn điệu liên quan đến tính compắc Chương Điểm bất động toán tử T-đơn điệu Chương Điểm bất động toán tử hỗn hợp đơn điệu Chương 5.Ứng dụng Chương Ở chương đầu trình bày khái niệm tính chất khơng gian Banach có thứ tự nón, nón sinh, nón chuẩn ,nón quy,ánh xạ tăng ( ánh xạ đơn điệu)…, đặc biệt nguyên lý Entropi (Brezis, Browder) mà dùng để chứng minh định lý luận văn Chương Chương trình bày điểm bất động toán tử compact đơn điệu, compact đơn điệu tới hạn điểm bất động tốn tử đơn điệu khơng gian với nón Minihedral- mạnh Chương Trình bày điểm bất động toán tử T-đơn điệu, nguyên lý ánh xạ co phần tử so sánh phương trình tốn tử ngược dương Chương Trình bày tốn tử hỗn hợp đơn điệu điểm bất động, điểm bất động toán tử hỗn hợp đơn điệu Chưong Là chương kết thúc nội dung luận văn, trình bày vài ứng dụng điểm bất động số lớp ánh xạ tăng vào tốn tìm nghiệm phương trình vi phân Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM SỬ DỤNG 1.1 Khơng gian Banach có thứ tự 1.1.1 Nón thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.1.1: Cho X không gian Banach thực Tập K chứa X gọi nón i K tập đóng ii K  K  K ,  K  K   iii K  ( K )    Nếu K nón thứ tự X sinh nón K định x  y hay y  x  y  xK Mỗi x  K \   gọi dương Mệnh đề 1.1.1 Giả sử “  ” thứ tự sinh nón K Khi đó: x y i  x  z  y  z ,  x   y z  X ,   ii ( xn  yn ( n  * ),lim xn  x, lim yn  y ) x y iii Nếu dãy {xn} tăng, hội tụ x xn  x n  * Chứng minh i Với z  X ta có y + z –(x + z) = y- x  K (vì x  y ) nên xz yz Với   , ta có y - x  K nên  ( y  x)  K suy  x   y ii Vì Mà xn  yn  yn  xn  K lim ( y  xn )  y  x K tập đóng n n Nên ( y  x)  K  x  y iii Vì dãy  xn  tăng nên xn  xnm m  Cố định n, cho m   ta có xn m  x suy xn  x n  1.1.2 Nón chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Nón K gọi nón chuẩn nếu: N > :  x  y  x  N y Mệnh đề 1.1.2 Giả sử "  " thứ tự sinh nón chuẩn K Khi i u  v đoạn u , v :  x  X : u  x  v bị chặn theo chuẩn ii Nếu xn  yn  zn Thì lim x  a, lim zn  a n n n lim y  a n n iii Nếu dãy  xn  đơn điệu, có dãy hội tụ a Thì lim x  a n n Chứng minh i Với x  u , v  u  x v  0 xu vu Mà K nón chuẩn nên  N > cho x  u  N v  u  x  u  xu  N vu  x  N vu  u  u , v bị chặn theo chuẩn ii Ta có  yn  xn  zn  xn Mà K nón chuẩn nên  N > cho yn  xn  N zn  xn Vì iii  yn  xn  N zn  a  N a  xn  yn  a  xn  a  N zn  a  N a  xn  yn  a  N zn  a  ( N  1) a  xn lim x  a, lim zn  a suy lim yn  a  suy lim yn  a n n n n n   hội tụ a Giả sử dãy  xn  tăng có dãy xnk Với n cố định, k đủ lớn ta có xn  xnk Cho k   ta có xn  a n  Cho   , chọn k0 để * xnk  a   ta có N n  nk0  a  xn  a  xnk  a  xn  a  xnk   Vậy lim x  a n n 1.1.3 Nón quy (Regular cone) Định nghĩa 1.1.3: Nón K gọi nón quy dãy tăng, bị chặn hội tụ Mệnh đề 1.1.3: Nón quy nón chuẩn Chứng minh Giả sử K nón quy K khơng nón chuẩn Khi n  N * xn , yn  X cho:  xn  yn mà xn  n yn Đặt un  xn xn  yn xn ta có un  ta có  yn  xn n Vì  hội tụ nên  n 1 n n 1 Đặt v   , sn  u1  u2  u3   un    hội tụ suy  hội tụ n 1  n 1 Ta có dãy (sn) tăng bị chặn (vì sn  v n  ) K nón quy nên dãy (sn) hội tụ Suy 1.1.4   un hội tụ n 1 suy lim u n  điều vơ lý un  n  Nón sinh (Repro ducing cone) Định nghĩa 1.1.4: Nón K gọi nón sinh X= K – K hay x  X, u,v  K cho x  u  v Mệnh đề 1.1.4: Nếu K nón sinh tồn x  X, u,v  K : x  u  v, u  M x , M>0 cho v  M x Chứng minh: Đặt C  K  B ( ,1)  K  B ( ,1)  Vì K nón sinh nên x   nC n 1  Thật x   nC n 1 suy n0  N * : x  n0C Suy u, v  B ( ,1)  K mà x  n0u  n0v , x  X (vì K nón sinh Ngược lại Ta có x  X suy u  B ( , ), u u , v  K mà v  B( , ) v x uv n0u, n0v  K ) u  u B ( ,1), Suy v  v B ( ,1)  u , v  n0 B ( ,1) , n0  max  u , v    u , v   nB ( ,1) n 1   x   nC n 1 Ta chứng minh : r  Vì  X   nC n 1 cho B( , r )  C mà X không gian Banach nên n0  * , G mở X cho G  n0 C Vì C lồi , đối xứng nên 1 G  2n0 2n0 Suy 1 C  CC 2  C 1 G G  2n0 2n0 Ta có B( , r )  mở chứa  nên 1 G G  2n0 2n0 Đặt B  B( ,1) II, Ta chứng minh : r BC r Lấy a  B ta chứng minh a  C Ta xây dựng dãy  xn  thoả mãn xn  Thật vậy: Vì r B nC n 2 n r C , a xk  n1   n k 1 2 neân y  r B,   0, x  n C n 2 Sao cho y  x   Ta có r r a  B nên x1  C cho a  x1  2 2 a  x1  r r B nên x2  C cho a  x1  x2  2 2 a  x1  x  r B nên x3  C cho 2 a  x1  x2  x3  r 24 r  Sao cho Cứ tiếp tục trình ta dãy (xn) thỏa xn  Vì xn    1 K  B ( ,1)  K  B ( ,1) nên un ,  K : un  n ,  n n 2 r  2 Do n 1  u hội tụ nên n n 1   n 1 n 1 Suy , n u   un , v   Đặt  v n 1 ta có   n 1 n 1 u   un  , v    n lim (  x )  u  v n k 1 k (1.1.1) Suy a   xn Từ (1.1.1) (1.1.2) a uv suy  n 1 u , v  K (do un ,  K) nên    u 1, v  (1.1.2) u, v  K  B( ,1) III) x  X , x   Ta có r x r  B  C nên u ', v '  K : u '  1, v '  x Suy x  2 x u ' x v ' r r  u , v  K  2   u  x u'  x r r  2   v  r x v '  r x Ta có xuv Đặt M  ta có điều phải chứng minh r 1.1.5 r x  u ' v ' x  u  r x u '  v  x v '  r Đặt  mà Ta có xn  un  hội tụ n n r Mặt khác a   x  n k 1 k Mà  1 C hay xn  n K  B ( ,1)  K  B( ,1) n r r Nón Minihedral Định nghĩa 1.1.5 - Nón K gọi nón Minihedral x1 , x2  K tồn a  sup  x1 , x2  - Nón K gọi nón Minihedral mạnh A  K tồn a  sup A 1.1.6 Nón liên hợp Định nghĩa 1.1.6: Nếu K nón ta định nghĩa nón liên hợp nón K K *   f  X * / f ( x)  x  K  K * có tính chất sau:  K * đóng  K *  K *  K * ,  K *  K *   Mệnh đề 1.1.6 x0  K  f ( x0 )  f  K * Chứng minh: Chiều  ) Hiển nhiên Chiều  ) Giả sử trái lại tức f ( x0 )  f  K * , x0  K Suy x0  X \ K nên theo định lý tách tập lồi g  X * : g ( x0 )  g ( y ) y  K x  K , cố định x ta có g ( x0 )  g (tx) t  Cho t    g  K* ta có g ( x)   g(x0) < điều vô lý 1.2 Ánh xạ tăng Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X, Y không gian Banach thực; P K nón tương ứng X Y Ánh xạ F : X  Y gọi ánh xạ tăng (hay ánh xạ đơn điệu) x1 , x2  X x1  x2 ta có F ( x1 )  F ( x2 ) Ánh xạ F : X  Y gọi dương x  X , x   ta có F ( x)   Chú ý Nếu F ánh xạ tuyến tính : F ánh xạ tăng  F dương Thật : x  X , x   F tăng nên F ( x)  F ( )   suy F dương x1 , x2  X x1  x2  x1  x2   mà F dương  F ( x1  x2 )    F ( x1 )  F ( x2 ) Vậy F tăng Định lý 1.2.1 Giả sử P nón sinh X, K nón chuẩn Y F : X  Y tốn tử tuyến tính dương Khi F liên tục Chứng minh : Vì F tốn tử tuyến tính nên ta cần chứng minh F bị chặn Kết luận : un ( l )  u( l ), ( l )  v( l ) theo l Ỵ [0 ,l ] un , liên tục [0,l ] , "n = 1,2,3 nên suy u(.), v(.) liên tục [0,l ] 2) Chứng minh (4.1.30) Vì "l1 ,l Ỵ [0,l ]  u( l1 ), u( l ) Ỵ 0,v nên u( l1 ) = l1 A(u( l1 ),u( l1 )) ³ l1 A( ,v ) ³ l1cA( v,0 ) ³ Suy u( l1 ) ³ l1 c.l A( v,0 ) l2 l1 c.l A(u( l ),u( l )) ( u( l ),u( l ) Ỵ 0,v ) l2  u( l1 ) ³ l1 c.u( l ) l2 Tương tự ta chứng minh u( l ) ³ l2 c.u( l1 ) l1 Hệ 4.1.1 Giả sử K nón chuẩn X ; A : K ´ K  K toán tử hỗn hợp đơn điệu, thỏa điều kiện sau: i Với y cố định, A(., y ) : K  K lõm Với x cố định, A( x,.) : K  K lồi ii $c, $u,v Ỵ K cho < c £ 1, A( u,v ´ u,v ) Ì u,v A( u,v ) ³ cA( v,u ) + ( 1- c )u (4.1.33) Khi A có điểm bất động x Ỵ u,v Chứng minh Đặt B( x, y ) = A( x + u, y + u ) - u "x, y Ỵ K Khi ta có B ( ,v - u ´ ,v - u ) Ì ,v - u (4.1.34) B toán tử hỗn hợp đơn điệu thỏa điều kiện i định lý 4.1.1 ì ï B( v - u,0 ) = A( v,u ) - u Hơn ï í ï ï ỵ B( 0,v - u ) = A( u,v ) - u Từ hệ thức (4.1.33), (4.1.34) (4.1.35) ta có (4.1.35) ìB( v - u,0 ) £ v - u ï ï í ï ï ỵB( 0,v - u ) = A( u,v ) - u ³ c.[ A( v,u ) - u ] ³ cB( v - u,0 ) * Nếu B( v - u,0 ) = A( v,u ) = u ( (4.1.35) ) "x, y Ỵ u,v ta có A( x, y ) ³ u Mặt khác A( x, y ) £ A( v,u ) = u Suy A( x, y ) = u, "x, y Ỵ u,v Suy A( u,u ) = u nên u điểm bất động A * Nếu B( v - u,0 ) > tốn tử B thỏa giả thiết ii định lý 4.1.1 nên B có điểm bất động x* Ỵ 0,v - u nghĩa A( x* + u,x* + u ) - u = x*  A( x* + u,x* + u ) = x* + u Hay A( x,x ) = x với x = x* + u Vậy x điểm bất động của A  Hệ 4.1.2 Giả sử K nón chuẩn X , A : u,v ´ u,v  u,v toán tử hỗn hợp đơn điệu thỏa điều kiện sau : i Với y cố định, A(., y ) : u,v  u,v lõm Với x cố định, A( x,.) : u,v  u,v lồi ii Tồn số c cho < c £ 1, A( v,u ) £ cA( u,v ) + ( 1- c )v A( u,v ) ³ ( u + v ) Khi A có điểm bất động x Ỵ u,v Chứng minh Tương tự chứng minh hệ 4.1.1 ta xét toán tử B : ,v - u ´ ,v - u  ,v - u xác định sau B( x, y ) = A( x + u, y + u ) - u "x, y Ỵ ,v - u Như ta thấy B thỏa điều kiện i ii định lý 4.1.2 nên theo định lý 4.1.2 B có điểm bất động x* Ỵ ,v - u Nghĩa x* = B( x*,x*) Hay A( x* +u,x* +u ) - u = x*  A( x* +u,x* +u ) = x* +u  A( x,x ) = x với x = x* +u Vậy x điểm bất động của A 4.2 Điểm tựa bất động toán tử hỗn hợp đơn điệu * Các khái niệm : X không gian Banach nón K Đặt D = u0 ,v0 D1 = D2 = = Dk = D Ì X Định nghĩa 4.2.1 a Toán tử A : D1 ´ D2 ´ ´ Dk  X gọi hỗn hợp đơn điệu A tăng m biến giảm biến lại b Giả sử A : D1 ´ D2 ´ ´ Dk  X hỗn hợp đơn điệu điểm ( x, y ) Ỵ D ´ D gọi cặp điểm tựa bất động A x = A( s1 ,s2 , ,sk ) y = A( s'1 ,s'2 , ,s'k ) si = x, s'i = y A tăng theo biến thứ i si = y, s'i = x A giảm biến thứ i Nhận xét : i) lại Nếu A toán tử hỗn hợp đơn điệu, tăng với m biến đầu giảm với k-m biến cịn ta xét tốn tử A' : D' Ì X '  X ' xác định sau A '( x , y ) = A ( x , x , ,x,  y, y , ,y ) , D' = D ´ D X ' = X ´ X Khi A' tăng m biến k -m biến theo biến thứ giảm theo biến thứ hai ii) Trong không gian Banach X ' , ta xét nón K ' = K ´( -K ) kí hiệu " a " quan hệ ïì x £ x' với £ quan hệ thứ tự thứ tự X ' sinh nón K ' sau : ( x, y )a( x', y')  íï ïïỵ y' £ y sinh nón K Dể dàng kiểm tra K có tính chất nón chuẩn hay nón quy hay nón Minihedral K ' có tính chất tương tự Xét ánh xạ B : D'  X ' xác định B( x, y ) = ( A'( x, y ), A'( y,x )) (4.2.2) Bổ đề 4.2.1 Giả sử A : D k  X toán tử hỗn hợp đơn điệu B : D'  X ' xác định (4.2.2) đó: (x,y) cặp điểm tựa bất động A điểm tựa bất độngcủa B B ánh xạ đơn điệu tăng quan hệ “ a ” Nếu u0 £ A( u0 , ,u0 ,v0 ,v0 ), A( v0 , ,v0 ,u0 ,u0 ) £ v0 Thì v'0 a B( u'0 ) , B( u'0 )a u' u' = ( u0 ,v0 ) , u' = ( v0 ,u0 ) Chứng minh: Giả sử A tăng với m biến đầu giảm với k-m lại (x,y) cặp điểm tựa bất động A ì x = A( x,x, ,x, y, , y ) ï ï í ï ï ỵ y = A( y, y, , y,x,x, ,x ) ìï A' ( x, y ) = x Tương đương với ïí ' ïï A ( y,x ) = y ỵ hay B(x,y) = (x,y) Vậy (x,y) điểm tựa bất động B B ánh xạ đơn điệu tăng quan hệ “ a ” Thậy ( x1 , y1 ) ,( x2 , y2 ) Ỵ D' ta có ì ì ï A' ( x1 , y1 ) £ A' ( x2 , y2 ) x1 £ x2 ï ï ï í ' ( x ( x1 , y1 )a( x2 , y2 )  íï ' ï y £ y ï ï A ( y2 ,x2 ) £ A ( y1 ,x1 ) ỵ î  B( y1 ,x1 )a B( y1 ,x2 ) 3.Do ỉ ư÷ ỉ ư÷ u0 £ A( u0 ,u0 , ,u0 ,v0 , ,v0 ) = A' ( u0 ,v0 ) ỗ ỗ ữ ữ A ỗỗ x , x , x ,  y , ,y ÷ - A ỗỗ y, y , ,y , x , ,x ÷ £ a x - y , ữứ ỗố m ỗ ữ ữữ ố k -m ứ k -m m v0 ³ A( v0 , ,v0 ,u0 , ,u0 , ) = A' ( v0 ,u0 ) Nên ( u0 ,v0 ) a A' ( u0 ,v0 ), A' ( v0 ,u0 )  u' a B( u0 ,v0 ) = B( u' ) Tương tự ta chứng minh B( v' ) a ( v' ) 4.2.2 Trường hợp toán tử liên tục Định lý 4.2.1 Giả sử Di = D "i = 1,k , A: D1 ´ D ´ ´ D k  X toán tử hỗn hợp đơn điệu có tính chất: ìïu0 £ A( x1 ,x2 , xm ,xm+1 ,xm+2 , ,xk ) ïí ïïv0 ³ A( x'1 ,x' , x' m ,x' m+1 ,x' m+2 , ,x' k ) ỵ (4.2.1) Ở xi = u0 , x' i = v0 x j = v0 , x' j = u0 với £ i £ m, m+1 £ j £ k Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (H1) K nón chuẩn A hồn tồn liên tục (H2) K nón quy A tựa liên tục yếu, tức xn  x, yn  y yếu A( xn , , xn , yn , yn , , yn )   A( x , , x , y, y, , y ) A có cặp điểm tựa bất động ( u* ,v* ) nghĩa A( u* , ,u* ,v* , ,v* ) = u* A( v* , ,v* ,v* ,u* , ,u* ) = v* , u* £ v* với cặp điểm tựa bất động (x,y) A ta có u* £ y £ v* u* £ x £ v* , với un = A( un-1 , ,un-1 ,vn-1 , ,vn-1 ) ; = A( vn-1 ,vn-1 , ,vn-1 ,un-1 ,un-1 , ,un-1 ) "n ³ Và u0 £ u1 £ £ un £ £ v1 £ v0 (4.2.2) Ta có u* = lim un , v* = lim v n n¥ n¥ Chứng minh: Xét ánh xạ A' : A' : D ´ D  D xác định A' ( x, y ) = A( x, ,x, y, , y ) Đặt u1 = A' ( u0 ,v0 ), v1 = A' ( v0 ,u0 ) Từ giả thiết A hỗn hợp điệu, u0 £ v0 nên u0 £ u1 £ v1 £ v0 Ta xác định : un+1 = A' ( un ,vn ) vn+1 = A' ( ,un ) Từ giả thiết un-1 £ un £ £ vn-1 A hỗn hợp đơn điệu nên un £ un+1 £ ta có (4.2.4) * Ta chứng minh: un  u* ,vn  v* Ỵ X trường hợp: a) Nếu có (H1) Vì K nón chuẩn nên dãy {xn} bị chặn mà A hoàn toàn liên tục nên tập {u1 ,u2 ,u3 , ,un , } tập compact tương đối Do tồn dãy {unk } Ì {un }n cho unk  u* ,u* ẻ X khi k Ơ k Suy un  u* n  ¥ (do K nón chuẩn dãy {xn} đơn điệu ) Suy un £ u* , "n ³ Chứng minh tương tự ta có  v* ,v* Ỵ X n  ¥ Vậy ta có un £ u* £ v* £ , "n ³ b) Nếu có (H2) Từ giả thiết (4.2.4) K nón quy nên suy un  u* ,  v* n  +¥ Vì A tựa liên tục nên : yeáu un+1 = A' (un , )   A' (u* , v* ) n  ¥ yếu vn+1 = A' (vn , un )   A' (v* , u* ) n  ¥ ìïu* = A' ( u* ,v* ) Cho n  ¥ , áp dụng (4.2.5) ta ïí * ïïv = A' ( v* ,u* ) ỵ Như ( u* ,v* ) cặp điểm tựa bất động A' rõ ràng u* £ v* ìïu* £ x £ v* * Bây ta giả sử ( x, y ) cặp điểm tựa bất động A ta chứng minh ïí ïïu* £ y £ v* ỵ ' ìï x = A' ( x, y ) Thật ïí ïï y = A' ( y,x ) ỵ ìïu £ x £ v ìï A' ( u ,v ) £ A' ( x, y ) £ A' ( v ,u ) 0 0 0 ïí  ïí ïïu £ y £ v ïï A' ( u ,v ) £ A' ( y,x ) £ A' ( v ,u ) 0 0 ỵ ỵ ìïu £ x £ v hay ïí ïïu £ y £ v ỵ ìïu £ x £ v n n Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta được: ïí ïïu £ y £ v n ỵ n ìïu* £ x £ v* Cho n  ¥ ta có ïí ïïu* £ y £ v* ỵ Định lý 4.2.2 Giả sử điều kiện định lý 4.2.1 thỏa mản, nửa $a : < a < cho ổ ửữ ổ ữử A ỗỗỗ  x , x , x ,  y , ,y ữữ - A ỗỗỗ y, y , ,y ,  x , ,x ÷÷ £ a x - y ; "x , y ẻ D ỗố m bieỏn k -m bieỏn ữữứ ốỗ m bieỏn k -m bieỏn ÷÷ø (4.2.3) Khi A có điểm bất ng x ẻ D Chng minh: ổ ửữ ữ Ta cng gi s A' ( x, y ) = Aỗỗỗ  x,x, x ,  y, , y  ÷÷ çè m k -m ø Do toán tử A hỗn hợp đơn điệu nên A' toán tử hỗn hợp đơn điệu Từ (4.2.6) ta có vn+1 - un+1 £ A' (vn ,un ) - A' (un ,vn ) £ a - un , n = 1, , Lặp lại lập luận ta có vn+1 - un+1 £ a n v1 - u1 Cho n  ¥ , ta vn+1 - un+1  ( < a < ) Từ kết luận định lý 4.2.1 ta có x = u* = v* Vậy x điểm bất động A Nhận xét: Rõ ràng với k = điều kiện (4.2.6) điều kiện Lipschits truyền thống biết cho ánh xạ co 4.2.3 Trường hợp tốn tử khơng liên tục Định lý 4.2.3 Giả sử u0 ,v0 Ỵ X , K nón Minihedral mạnh Toán tử A : u0 ,v0 k  X tốn tử hỗn hợp ì ỉ ï ÷ư÷ ùù ỗỗ u Ê A ỗu0 , u0 , u0 , v0 , , v0 ữữ ỗ ữ ùù ù ốỗ m bieỏn k -m bieỏn ứ đơn điệu cho thỏa ïí ï ỉ ùù ữ ỗ v0 A ỗỗv0 , v0 , v0 , u0 , , u0 ữữữ ù ùù ỗỗ   ÷ è m biến k -m biến ø ï ỵ Khi A có cặp điểm tựa bất động (u* ,v* ) với u* £ v* Hơn nũa với cặp điểm tựa bất động ì ïu* £ x £ v* ( x, y ) tốn tử A ta ln có ïí * * ï u y v £ £ ï ỵ Chứng minh Với D' = D ´ D, X' = X ´ X , X ' xét nón K ' = K ´( -K ) Xét toán tử B : D'  X ' cho B( x, y ) = ( A' ( x, y ), A' ( y,x )) Vỡ ỡ ổ ù ữửữ ùù ỗỗ , u0 , u0 , v0 , , v0 ÷÷ ïu0 £ A ỗỗu ữ ỗố m bieỏn ùùù k -m bieỏn ứ ùù ổ ửữ ỗỗ ù ữ v A v , v , v , u , , u ữ ùù ỗỗ 0 0ữ ữứ ỗố m bieỏn ùù k m biế n ỵ nên theo bổ đề 4.2.1 (v0 ,u0 ) a B (u0 ,v0 ) mà ì ï v0 £ A' ( u0 ,v0 ) ï B (u0 ,v0 ) = ( A ( u0 ,v0 ), A ( v0 ,u0 )) nên ta có í ' ï ï ỵu0 ³ A ( v0 ,u0 ) ' '  Ta chứng minh B toán tử đơn điệu từ D' vào X ' Ta có B( D' ) Ì X ' theo bổ đề 4.2.1 B ánh xạ đơn điệu  Chứng minh B có điểm bất động Do K nón Minihdral mạnh nên K ' nón Minihdral mạnh Áp dụng định lý 2.3.1 toán tử B ta suy B có điểm bất động u = (u* ,v* ) Vậy theo bổ đề 4.2.1 A có điểm tựa bất động (u* ,v* )  Chứng minh u* £ v* ì ï u* £ x' £ v* ï Giả sử (u ,v ) cặp điểm tựa bất động A' , Ta chứng minh í * ' * ï ï ỵu £ y £ v ' ' Chú ý : Cặp điểm tựa bất động (u* ,v* ) định lý 4.2.2 xác định rõ Chẳng hạn ta đặt { D = ( x, ,x, y, , y ) Ỵ u0 ,v0 k : A( x, ,x, y, , y ) ³ x & A( y, , y,x, ,x ) £ y } Từ giả thiết (4.2.1) ta suy D ¹ f Giả sử D1 = { x : ( x, ,x, y, , y ) Ỵ D} D2 = { y : ( y, , y,x, ,x ) Ỵ D} Vậy v* = sup D1 , u* = infD2 Định lý 4.2.4 Giả sử u0 ,v0 Ỵ X , u0 < v0 A : u0 ,v0 ( định lý (4.2.1) A u0 ,v0 k k  X toán tử hỗn hợp đơn điệu thỏa (4.2.1) ) tập compact tương đối X Khi A có cặp điểm tựa bất động Chứng minh: Đặt D' = u0 ,v0 ´ u0 ,v0 , X ' = X ´ X B : D'  X ' u'  B( u' ) = B( u,v ) = ( A' ( u,v ), A' ( v,u )) Do A thỏa điều kiện (4.2.1) định lý 4.2.1 A toán tử hỗn hợp đơn điệu nên suy ( B toán tử tăng Mặt khác A u0 ,v0 k ) tập compact tương đối X nên suy B(D’) compact tương đối X’ K nón chuẩn nên theo hệ 2.1.1 B có điểm bất động (u* ,v* ) D’ nên suy A có cặp điểm tựa bất động (u* ,v* ) Định lý 4.2.5 Giả sử u0 ,v0 Ỵ X , u0 < v0 A : u0 ,v0 k  X toán tử hỗn hợp đơn điệu thỏa (4.2.1) định lý (4.2.1) K nón quy Khi A có cặp điểm tựa bất động (u* ,v* ) với u* £ v* Hơn ( x, y ) điểm tựa bất động A u* £ x , y £ v* Chứng minh Kết suy sử dụng bổ đề 4.2.1 , hệ 2.2.1 toán tử B xác định bổ đề 4.2.1 Chương 5: ỨNG DỤNG 5.1 Bài tốn tìm nghiệm tuần hồn chu kì 2p phương trình x' + a( t ).x = f (t ,x( t ),x( t - h )) (5.1.1) Ta tìm nghiệm phương trình (5.1.1) tìm hàm x = x(t) có chu kì 2p liên tục tuyệt đối thỏa (5.1.1) hầu khắp nơi Giả sử 2p  a(t) liên tục, có chu kì 2p , ò a( t )dt > 0  f(t,x,y) bị chặn  , liên tục theo t, có chu kì 2p theo t tăng theo x, y Ta chứng minh với giả thiết phương trình (5.1.1) có nghiệm tuần hồn với chu kì 2p Chứng minh ìï x' + a( t ).x = g( t ) , t Ỵ  Cơng thức nghiệm phương trình ïí ïïỵ x( t0 ) = x0 t u é ù t ò a( s )ds ê ò a( s )ds ú x( t ) = e t0 êê x0 + ò e t0 g( u )du úú ê ú t0 êë úû - Xét t0 = ta muốn tìm nghiệm thỏa x( ) = x( 2p ) 2p u é ù 2p ò a( s )ds ê ị a( s )ds ú Ta có x0 = x( 2p ) = e ê x0 + ò e g( u )du ú ê ú ê ú ë û - 2p ò  x0 e u a( s )ds ò a( s )ds g( u )du - x0 = ò e 2p -1 é a( s )ds ù 2p u a( s )ds ò ê ò ú g( u )du  x0 = êe -1ú ò e ê ú ê ú ë û 2p Khi (5.1.2) trở thành (5.1.2) -1 u é p a( s )ds ù 2p u a( s )ds t a( s )ds ò ò ò ò a( s )ds ê ò ú -1ú ò e x( t ) = e êe g( u )du + ò e e t g( u )du ê ú ê ú ë û -1 u é p a( s )ds ù 2p u a( s )ds t ò ò a( s )ds ê ò ú = êe -1ú ò e t g( u )du + ò e t g( u )du ê ú ê ú ë û t - Xét a( s )ds ánh S : C0 [ 0; 2p ]  C0 [ 0; 2p ] xạ xác định ì ï x (t - h) neáu h £ t £ 2p Sx (t ) = ï í ï ï ỵ x (t + 2p - h) neáu £ t £ h Ta có x = x(t) có chu kì 2p thỏa (5.1.1) tương đương với x = x(t) có chu kì 2p x' + a( t )x = f (t,x( t ),Sx( t )) , t Ỵ [0; 2p] hay ì x( ) = x( 2p ) ï ï í ' ï ï ỵ x + a( t )x = f (t,x( t ),Sx( t )) , t Î [0; 2p] Xét ánh xạ F : C0 [ 0; 2p ]  C0 [ 0; 2p ] xác định -1 é p a( s )ds ù 2p u a( s )ds ò ê ò ú Fx( t ) = êe f (u,x( u ),Sx( u )) du + -1ú ò e t ê ú ê ú ë û u t òe ò a( s )ds t f (u,x( u ),Sx( u )) du Nếu x điểm bất động F ta có x( ) = x( 2p ) , x' ( ) = x' ( 2p ) nên từ x ta xây dựng nghiệm chu kì 2p (5.1.1)  Bây ta chứng minh F có điểm bất động i Ta có F ánh xạ tăng ( f ánh xạ tăng theo biến x,y) Do f bị chặn  nên tồn m > cho f ( t,x, y ) £ m , "t,x, y -1 u u ìïé p ü ï ïïê ị a( s )ds ùú 2p ò a( s )ds ï t a( s )ds ò ï ï 0 t  Fx( t ) £ m íêe -1ú ị e du + ò e duï ú ïïê ï ï ú ïïêë ï û ï ỵ  2p Mà a(t) hàm liên tục , có chu kì 2p ò a( t )dt > 0 cho Fx( t ) £ b , "t Ỵ [0, 2p] , "x Î C0 [ 0; 2p ]  - b £ Fx( t ) £ b , "x Ỵ C0 [ 0; 2p ] nên có số b đủ lớn Chọn x1 Ỵ C0 [ 0; 2p ] cho x1( t ) = b "t Ỵ [0 , 2p] suy x1( t ) = b thỏa ì -x1 £ Fx1 ï ï í ï ï ỵ Fx1 £ x1 Vậy F ( -x1 ,x1 ) Ì -x1 ,x1 ii Ta chứng minh F ( -x1 ,x1 ) tập compact tương đối Với x Ỵ C0 [ 0; 2p ] cho trước, ta có 2p t Fx( t ) = c.ò h( t,u )du + ò k( t,u )du 0 2p t ¶h ¶k  ( Fx ) ( t ) = c.ò ( t,u )du + ị ( t,u )du + k( t,u ) ¶ t ¶ t 0 ' Nên $M > cho ( Fx )' ( t ) £ M , "t Ỵ [0 ,2p] ( f bị chặn  )  ( Fx )' ( t ) £ M , "t Ỵ [0 , 2p] , "x Ỵ C0 [ 0; 2p ] Hay $M > cho ( Fx )' ( t ) £ M , "x Ỵ -x1 ,x1 , "t Ỵ [0 , 2p] Nên theo định lý Ascoli-Azela ta có F ( -x1 ,x1 ) tập compact tương đối iii Mặt khác nón hàm khơng âm C0 [ 0; 2p ] nón chuẩn Vậy theo hệ 2.1.1 F có điểm bất động x -x1 ,x1 5.2 Xét phương trình -x" = lf ( t,x ) (5.2.1) với x( ) = x( ) = Ở l tham số , f ( t,x ) xác định liên tục đoạn éë 0,1ùû ´ éë 0, ¥) , x = x( t ) ³ f ( t,0 ) º Rõ ràng ta thấy xl ( t ) º nghiệm tầm thường phương trinh (5.2.1) với l Bây ta giả thiết : i f(t,x) hàm tăng theo biến x Nghĩa £ t £ 1, £ x1 £ x2 ta có f ( t,x1 ) £ f ( t,x2 ) ii f ( t ,x ) > " t Ỵ (0,1) , x > iii f ( t,x ) hội tụ đến với t Ỵ [0 ,1] x  +¥ x Khi Với M > tồn số R > cho l ³ R có nghiệm không tầm thường xl ( t ) Ỵ C [0,1] thỏa mãn xl ( t ) ³ Mt( 1- t ) "t Ỵ [0 ,1] Chứng minh Ta có tốn (5.2.1) tương đương với việc tìm nghiệm thuộc C [0 ,1] phương trình sau x( t ) = l ò G( t,s ) f ( s,x( s ))ds Ở hàm G(t,s) hàm Green toán tử vi phân x " với điều kiện biên ïìt( 1- s ) , t £ s x( ) = x( ) = xác định G( t,s ) = ï í ïïỵs( 1- t ) , t > s Ta xét toán tử A : P  E xác định Ax( t ) = ò G( t,s ) f ( s,x( s ))ds Đặt E = C[ 0;1 ] P = { x Î C[ 0;1 ] / x( t ) ³ , "t Ỵ [ 0;1 ] } * Rõ ràng P nón chuẩn của E * Ta thấy A hàm tăng giả thiết i t Đặt w( t ) = Au0 ( t ) = ò s( 1- t ) f ( s,u0 ( s ))ds + ò t( 1- s ) f ( s,u0 ( s ))ds t Với u0 ( t ) = Mt( 1- t ) , M > Ta tính t w' ( t ) = ị ( -s ) f ( s,u0 ( s ))ds + ò ( 1- s ) f ( s,u0 ( s ))ds , "t Ỵ [ 0;1 ] Do t w "(t ) = - f (t, u0 (t )) < "t Ỵ (0,1) (5.2.2) Từ (5.2.2) u0 ( ) = u0 ( ) = , tồn số a đủ nhỏ thỏa mản W ( t ) ³ au0 ( t ) "t Î [0 ,1] Hay Au0 ( t ) = W ( t ) ³ mu0 ( t ) "t Ỵ [0 ,1] Ta đặt R = a -1 Khi với l ³ R ta có lAu0 ( t ) ³ u0 ( t ) "t Ỵ [0 ,1] (5.2.3) Từ giả thiết (iii) ta chọn số c cho c > M f ( t,c ) £ , "t Ỵ [0 ,1] c l Đặt v0 ( t ) º c u0 ( t ) < v0 ( t ) "t Ỵ [0,1] lAv0 ( t ) = l ò G( t,s ) f ( s,c )ds £ 8c ò G( t,s )ds 0  lAv0 ( t ) £ 4ct( - t ) £ c = v0 ( t ) "t Ỵ [0 ,1] (5.2.4) Từ (5.2.3) (5.2.4) ta suy lA( u0 ,v0 ) Ì u0 ,v0 * Bây ta chứng minh lA( u0 ,v0 ) tập compact tương đối Hàm f ( t ,x ) liên tục [0 ,1]´[0 ,c ] nên bị chặn Do $k > : f ( t,x ) £ k "t Ỵ [0 ,1] "x Ỵ [0 ,c ] t Ta có ( Ax( t ))' = ò ( -s ) f ( s,x( s ))ds + ò ( 1- s ) f ( s,x( s ))ds t t Suy ( Ax( t ))' £ ò kds + ò kds =k "t Ỵ [0 ,1] , "x Ỵ u0 ,v0 t Từ ta thấy tập lA( u0 ,v0 ) liên tục đồng bậc Áp dụng định lý Arzela-Ascoli ta thấy tập lA( u0 ,v0 ) tập compắc tương đối Vậy áp dụng hệ 2.1.1 tốn tử lA có điểm bất động xl Ỵ u0 ,v0 hay u0 ( t ) £ xl ( t ) £ v0 ( t ) , "t Ỵ [0 ,1] xl ( t ) ³ Mt( 1- t ) "t Ỵ [0 ,1] xl ( t ) nghiệm toán (5.2.1) thỏa KẾT LUẬN Luận văn cố gắng trình bày cách hệ thống, với chứng minh đầy đủ chi tiết kết điểm bất động số lớp ánh xạ tăng ánh xạ compắc đơn điệu, compắc đơn điệu tới hạn, T-đơn điệu, hỗn hợp đơn điệu Luận văn cịn phát triển theo hướng nghiên cứu ánh xạ đa trị ứng dụng ánh xạ tăng Qua trình làm luận văn tơi biết áp dụng phương pháp nghiên cứu kết học học phần Giải tích hàm, giải tích phi tuyến, phương trình vi phân …để học tập nghiên cứu vấn đề TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dajun Guo and V.Lakshmikantham, Fixed point theory on Abtract Cones [2] K.Deimling, Nonlinear Functional in Analysis Cones, Springer Verlag, NewYork,1985 [3] M.A.Krasnoselskii and P.P.Zabreiko, Geometrical Methods of Nonlinear Analysis, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York Tokyo,1984 [4] E.Zeidler, Nonlinear Functional in Analysis and its Applieations T1,3; Springer Verlag, 1987 ... cứu khảo sát lớp ánh xạ nghiên cứu cách đưa ánh xạ tăng phương pháp tương tự xét ánh xạ tăng, lớp ánh xạ T-đơn điệu hỗn hợp đơn điệu Gần ánh xạ đa trị đơn điệu nghiên cứu ứng dụng Các kết phương... tử hỗn hợp đơn điệu điểm bất động, điểm bất động toán tử hỗn hợp đơn điệu Chưong Là chương kết thúc nội dung luận văn, trình bày vài ứng dụng điểm bất động số lớp ánh xạ tăng vào tốn tìm nghiệm... cB( v,0 ) Vậy theo định lý 4.1.1 tốn tử B có điểm bất động x Ỵ ,v suy x* = v - x điểm bất động toán tử A b) Sự điểm bất động Giả sử x0 Ỵ 0,v điểm bất động A Ta cần chứng minh x0 = x* Ta có A( x0