Áp dụng tính chất AR và tính chất điểm bất động để phân loại topo một số lớp tập

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN −−− −−− PHẠM THỊ QUỲNH ANH ÁP DỤNG TÍNH CHẤT AR VÀ TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỂ PHÂN LOẠI TOPO MỘT SỐ LỚP TẬP Chuyên ngành: Cử Nhân Toán - Tin KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH Đà Nẵng, 5/2013 Mục lục Lời mở đầu Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian vectơ 11 1.3 Không gian topo 15 1.4 Phép co rút 22 Chương TÍNH CHẤT AR, TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ÁP DỤNG PHÂN LOẠI TOPO MỘT SỐ LỚP TẬP 27 2.1 Tính chất AR 27 2.2 Tính chất điểm bất động 32 2.3 Mối quan hệ tính chất AR tính chất điểm bất động 34 2.4 Áp dụng phân loại topo số lớp tập 38 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 LỜI MỞ ĐẦU Người ta bắt đầu nghiên cứu topo vào năm đầu kỉ 20 Từ khoảng 1925 đến 1975 trở thành lĩnh vực lớn mạnh quan trọng bậc tốn học Các khơng gian topo tìm thấy sẵn có giải tích tốn học Điều làm cho ngành nghiên cứu không gian topo trở thành đối tượng quan trọng việc thống tốn học Topo nghiên cứu đặc tính hữu dụng không gian ánh xạ tính AR, tính liên thơng, tính compact, tính liên tục Tính chất AR tính chất nghiên cứu nhiều lĩnh vực topo Nó tâm điểm gây ý nhiều nhà Tốn học ngồi nước quan tâm Nó có ứng dụng nhiều tốn học Trong đó, đáng ý định lí Borsuk, định lí thú vị Tính chất điểm bất động có sức thu hút lớn nhiều nhà Toán học Bắt đầu nguyên lý Brouwer năm 1910, xem định lý trung tâm lý thuyết điểm bất động Sau người ta tìm cách mở rộng không gian khác, vào năm 1930, Schauder mở rộng kết Brouwer không gian Banach Các tính chất AR tính chất điểm bất động bất biến qua phép đồng phôi Điều nghĩa tập đồng phơi với không gian AR hay không gian điểm bất động AR khơng gian điểm bất động Áp dụng tính chất để hai tập R2 , R3 hay Rn không đồng phôi với cách làm hiệu Và với mục đích tìm hiểu tính chất AR, tính chất điểm bất động em chọn đề tài:"Áp dụng tính chất AR tính chất điểm bất động để phân loại topo số lớp tập" làm khóa luận kết thúc bốn năm đại học Khóa luận trình bày cách hệ thống vấn đề liên quan đến tính AR, tính chất điểm bất động áp dụng chúng để phân loại topo số lớp tập Khóa luận chia làm hai chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị −2− Chương chủ yếu trình bày lại kiến thức giải tích sở nhằm phục vụ cho chương Chương 2: Tính chất AR, tính chất điểm bất động áp dụng phân loại topo số lớp tập Chương trình bày theo mục chính: - Tính chất AR - Tính chất điểm bất động - Mối liên hệ tính chất AR tính chất điểm bất động - Áp dụng tính chất AR, tính chất điểm bất động để phân loại topo số lớp tập Do thời gian thực khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế em thật mong đợi góp ý, sữa chữa tất thầy cô bạn để luận văn em hoàn thiện Cuối em xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến ThS Nguyễn Hồng Thành dành nhiều thời gian hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành luận văn Xin cảm ơn tập thể thầy khoa Tốn tận tình giúp đỡ em suốt thời gian qua Đà Nẵng, ngày tháng năm Sinh viên Phạm Thị Quỳnh Anh −3− Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1 Cho X tập khác rỗng, ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn điều kiện sau d (x, y) ≥ ∀ x , y ∈ X d (x, y) = x = y d (x, y) = d (y, x) ∀ x , y ∈ X d (x, z) d (x, y) + d (y, z) ∀ x , y , z ∈ X Khi d gọi metric X (X, d) gọi khơng gian metric Ví dụ 1.1 Khơng gian Euclide Rk không gian metric với metric k |ξi − ηi |2 ) d(x, y) = ( i=1 (x = (ξ1 , , ξk ), y = (η1 , , ηk ) ∈ Rk ) Thật vậy, hiển nhiên d thỏa mãn tiên đề 1), 2) Ta kiểm tra tiên đề 3) Lấy x = (ξ1 , , ξk ) ∈ Rk , y = (η1 , , ηk ) ∈ Rk , z = (ζ1 , , ζk ) ∈ Rk , ta có: k k i=1 k i=1 k |ξi − ηi | + = i=1 (|ξi − ηi | + |ηi − ζi |)2 |ξi − ζi | (d(x, y)) = k |ηi − ζi |2 |ξi − ηi ||ηi − ζi | + i=1 i=1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có k k |ξi − ηi ||ηi − ζi | |ηi − ζi |2 ) |ξi − ηi | ) ( ( i=1 k i=1 i=1 Vì vậy: k k |ξi − ηi | + 2( (d(x, y)) i=1 k |ξi − ηi | ) ( i=1 k |ηi − ζi |2 |ηi − ζi | ) + i=1 i=1 k 2 |ηi − ζi |2 ) ]2 = [d(x, y) + d(y, z)]2 |ξi − ηi | ) ( = [( k i=1 i=1 Định nghĩa 1.2 Cho (X, d) không gian metric, dãy {xn } phần tử không gian metric (X, d) gọi hội tụ đến phần tử x0 X lim d(xn , x0 ) = n→∞ hay với ε > 0, tồn n0 ∈ N cho với n ≥ n0 d(xn , x0 ) < ε Kí hiệu lim xn = x0 xn → x0 , x0 gọi giới hạn dãy {xn } n→∞ Tính chất 1.1 (Về hội tụ không gian metric) Cho {xn }, {yn } dãy khơng gian metric X Ta có a Nếu dãy {xn } hội tụ đến x ∈ X dãy {xnk } dãy {xn } hội tụ đến x b Giới hạn dãy hội tụ c Nếu xn → x yn → y d(xn , yn ) → d(x, y) n → ∞ Chứng minh a Do lim xn = x nên n→∞ Với ε > 0, tồn n0 ∈ N cho: ∀n ≥ n0 d(xn , x) < ε Vậy với k ≥ n0 nk ≥ k ≥ n0 , ta có d(xnk , x) < ε Hay lim xnk = x n→∞ −5− b Giả sử lim xn = x ; lim xn = x n→∞ n→∞ Khi đó, từ bất đẳng thức tam giác ta có d(x, x ) ≤ d(xn , x) + d(xn , x ) Cho n → ∞ ≤ d(x, x) ≤ lim d(xn , x) + lim d(xn , x ) = n→∞ n→∞ Vậy d(x.x ) = hay x = x c.Với n ta có: d(x, y) ≤ d(x, xn ) + d(xn , yn ) + d(yn , y) Suy d(x, y) − d(xn , yn ) ≤ d(x, xn ) + d(yn , y) Tương tự ta có: d(xn , yn ) − d(x, y) ≤ d(x, xn ) + d(yn , y) Vì |d(xn , yn ) − d(x, y) ≤ d(x, xn ) + d(yn , y)| Vì lim d(x, xn ) = lim d(y, yn ) = n→∞ n→∞ Suy ra: lim d(xn , yn ) = d(x, y) n→∞ Định nghĩa 1.3 Cho (X, d), A ⊂ X, B ⊂ X A trù mật B B ⊂ A¯ Nếu A¯ = X ta nói tập A trù mật khắp nơi X Định nghĩa 1.4 Không gian metric gọi khả ly tồn tập hữu hạn hay đếm A ⊂ X trù mật khắp nơi X −6− Định nghĩa 1.5 Cho(X, d) không gian metric, A tập hợp không gian metric (X, d) Điểm x0 X gọi điểm tập hợp A tồn hình cầu B(x0 , r) tâm x0 chứa A Định nghĩa 1.6 Cho (X, d) không gian metric, x0 ∈ X r > Tập hợp B(x0 , r) = x ∈ X | d(x, x0 ) < r gọi hình cầu mở tâm x0 bán kính r Tập hợp B[xo , r] = x ∈ X | d(x, x0 ) ≤ r gọi hình cầu đóng tâm x0 bán kính r Định nghĩa 1.7 Cho (X, d) khơng gian metric, hai tập A F hai tập không gian metric (X, d) Tập A gọi tập mở điểm x0 thuộc A điểm trong, hay với x0 ∈ A, tồn r > mà B(x0 , r) ⊂ A Tập F gọi tập đóng X \ F mở Ví dụ 1.2 Chứng minh hình cầu mở B(x0 , r) tập mở Chứng minh Với x1 ∈ B(x0 , r) d(x0 , x1 ) < r Chọn r1 = r − d(x0 , x1 ) > Với B(x1 , r1 ) d(x1 , x) > r1 Suy d(x1 , x) < r − d(x1 , x0 ) Suy d(x0 , x) ≤ d(x0 , x1 ) + d(x1 , x) < r Do x ∈ B(x0 , r) Vậy B(x1 , r1 ) ⊂ B(x0 , r) −7− Vậy hình cầu mở B(x0 , r) tập mở Định lý 1.1 Tập hợp F không gian metric X đóng với dãy {xn } phần tử F mà lim xn = x0 n→∞ x0 ∈ F Chứng minh Giả sử F đóng tồn dãy {xn } ∈ F cho lim xn = x0 n→∞ x0 ∈ / F suy x0 ∈ X\F Vì X\F tập hợp mở nên tồn hình cầu B(x0 , ε) chứa X\F Vì lim d(xn , x0 ) = nên với n đủ lớn d(xn , x0 ) < ε tức xn ∈ X\F n→∞ với n đủ lớn Điều mâu thuẫn với giả thiết Giả sử với dãy {xn } phần tử F , lim xn = n→∞ ∈ X x0 x0 ∈ F giả sử F tập hợp đóng Khi X\F khơng phải m tập hợp mở Do tồn điểm x0 X\F điểm X\F Khi đó, với số tự nhiên n, tồn phần tử xn cuả F thuộc hình cầu B(x0 , n1 ); {xn } dãy phần tử tập hợp F hội tụ đến x0 ∈ / F (Vì d(x0 , xn ) < n1 với n) Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy định lí chứng minh Định nghĩa 1.8 Cho d(X, d) không gian metric, A ⊂ X Hợp tất tập mở chứa A gọi phần A Kí hiệu : intA Định nghĩa 1.9 Cho (X, d) không gian metric, A ⊂ X Giao tất tập đóng chứa A gọi bao đóng A Kí hiệu : A Định nghĩa 1.10 Cho (X, dX ) (Y, dY ) hai không gian metric Ánh xạ f : X → Y gọi liên tục điểm x0 ∈ X với số dương ε, tồn số dương δ cho với x ∈ X , dX (x, x0 ) < δ −8− dY (f (x), f (x0 )) < ε Ánh xạ f gọi liên tục (hoặc liên tục X ) liên tục điểm x X Định nghĩa 1.11 Ánh xạ f : X → Y từ không gian metric (X, dX ) vào không gian metric (Y, dY ) gọi liên tục với ε > 0, tồn δ > cho với x1 , x2 ∈ X , dX (x1 , x2 ) < δ dY (f (x1 ), f (x2 )) < ε Chú ý 1.1 Một ánh xạ liên tục liên tục điều ngược lại không Định lý 1.2 Ánh xạ liên tục f liên tục x0 ∈ X dãy {xn } ⊂ X ,nếu xn → x0 f (xn ) → f (x0 ) Chứng minh * Điều kiện cần: Giả sử f liên tục x0 {xn } ⊂ X dãy X cho xn → x0 Ta chứng minh f (xn ) → f (x0 ) Y Vì f liên tục x0 nên ta có với ε > 0, tồn δ > để (f (x), f (x0 )) < ε (*) d(x, x0 ) < δ Vì xn → x0 nên với δ trên, tồn n0 để d(xn , x0 ) < δ n ≥ n0 Khi đó: (f (xn ), f (x0 )) < ε (**) So sánh (*) (**) ta f (xn ) → f (x0 ) *Điều kiên đủ: Giả sử X không liên tục x0 tồn ε > cho với δ > tồn x ∈ X : d(x, x0 ) < δ mà d(f (x), f (x0 )) ≥ ε Chọn δ = tồn x1 ∈ X thỏa mãn d(x1 , x0 ) < mà d(f (x1 ), f (x0 )) ≥ ε δ = 21 tồn x2 ∈ X thỏa mãn d(x2 , x0 ) < 21 mà d(f (x2 ), f (x0 )) ≥ ε −9− Suy D1 ∈ AR, D2 ∈ AR Mặt khác D1 ∩ D2 = A = {(0, 0)} ∈ AR Vậy theo định lí (2.6) S = D1 ∪ D2 ∈ AR Vậy theo hệ (2.2) tập X S không đồng phôi với Mệnh đề 2.5 Tập K = I ∪ D và mặt trụ tròn xoay M = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y = a2 , z ∈ R; } không đồng phôi với Với I = [−1, 0] ∈ R, D = {(x, y) ∈ R2 |(x − 1)2 + y ≤ 1} Chứng minh Xét tập K Ta có I , D tập lồi không gian lồi địa phương Suy I ∈ AR D ∈ AR Mặt khác I ∩ D = {(0, 0)} ∈ AR Nên theo định lí (2.6) K = I ∪ D ∈ AR Ta có M ∈ / AR Vì giả sử ngược lại M ∈ AR phép chiếu M xuống mặt phẳng Oxy đường tròn x2 + y = a2 AR Điều vơ lí ta chứng minh đường trịn khơng AR Vậy theo hệ (2.2) Tập K M không đồng phôi với − 41 − Mệnh đề 2.6 Tập L = {(x, y, z) ∈ R3 |z = x2 + y ; ≤ z ≤ a2 } S = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y = 1} không đồng phôi với Chứng minh Khi chiếu mặt L xuống mặt phẳng Oxy ta hình trịn D1 = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y ≤ a2 } mà D1 ∈ AR Ta lập r-ánh xạ sau r : D1 → L xác định bởi: (x, y) ∈ D1 → (x, y, x2 + y ) ∈ L Khi L = r(D1 ) nên theo định lí (2.3) ta có L ∈ AR Mặt khác S ∈ / AR Vậy theo hệ (2.2) tập L S không đồng phôi với Mệnh đề 2.7 Tập N = {(x, y, z) ∈ R3 |z = x2 + y ; ≤ z ≤ a} S = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y = 1} không đồng phôi với Chứng minh Khi chiếu mặt N xuống mặt phẳng Oxy ta hình trịn D1 = − 42 − {(x, y) ∈ R2 |x2 + y ≤ a2 } mà D1 ∈ AR Ta lập r-ánh xạ sau r : D1 → N xác định bởi: (x, y) ∈ D1 → (x, y, x2 + y ) ∈ N Khi N = r(D1 ) nên theo định lí (2.3) ta có N ∈ AR Mặt khác S ∈ / AR Vậy theo hệ (2.2) tập N S không đồng phôi với Mệnh đề 2.8 S n−1 = {x ∈ Rn | ||x|| = 1} B n = {x ∈ Rn | ||x|| ≤ 1} không đồng phôi với Chứng minh Ta có S n−1 tập compact Giả sử S n−1 ∈ AR Suy S n−1 có tính chất điểm bất động (Định lí Borsuk) Cho ánh xạ liên tục f : S n−1 → S n−1 x −→ −x Giả sử f có điểm bất động tức tồn x0 ∈ S n−1 Mà f (x0 ) = x0 ⇒ f (x0 ) = −x0 = x0 ⇔ x0 = 0 = ||x|| = (vơ lí) Vậy f khơng có điểm bất động Suy S n−1 khơng có tính chất điểm bất động Vậy S n−1 ∈ / AR Mặt khác ta có B n tập lồi không gian Rn Suy B n ∈ AR Theo hệ (2.2) S n−1 B n không đồng phôi với Mệnh đề 2.9 Tập D2 = {((x, y) × (z, t))|(x, y), (z, t) ∈ D} S = {((x, y) × (z, t))|(x, y), (z, t) ∈ S} không đồng phôi với Chứng minh Xét tập D2 Ta có D1 = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y ≤ Suy D1 ∈ AR Tương tự D2 = {(z, t) ∈ R2 |z + t2 ≤ 1} Suy D2 ∈ AR − 43 − Mà D2 = D1 × D2 Suy D2 ∈ AR (Định lí 2.7) Tiếp tục xét tập S Ta có S1 = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y = 1} Suy S1 ∈ / AR S2 = {(z, t) ∈ R2 |x2 + y = Suy S2 ∈ / AR Mà S = S1 × S2 Suy S ∈ / AR (Định lí 2.7) Theo hệ (2.2) tập D2 S không đồng phôi với Mệnh đề 2.10 Tập D2 = {((x, y) × (z, t))|(x, y), (z, t) ∈ D} F = {((x, y) × (z, t))|(x, y) ∈ D, (z, t) ∈ S} khơng đồng phơi với Chứng minh Ta có D2 ∈ AR Xét tập F Đặt D = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y ≤ Suy D ∈ AR S = {(z, t) ∈ R2 |x2 + y = Suy S ∈ / AR Mà F = D × S Suy F ∈ / AR (Định lí 2.7) Theo hệ (2.2) tập D2 F không đồng phơi với Mệnh đề 2.11 Tập [−1, 1] × D tập S × D khơng đồng phơi với Chứng minh Ta có S × D ∈ / AR Xét tập [−1, 1] × D Ta có [−1, 1] ∈ AR Mặt khác D ∈ AR Suy [−1, 1] × D ∈ AR (Định lí 2.7) Theo hệ (2.2) tập [−1, 1] × D tập S × D khơng đồng phơi với − 44 − Mệnh đề 2.12 Tập [−1, 1] × S tập D2 không đồng phôi với Chứng minh Ta có tập D2 ∈ AR Xét tập [−1, 1] × S Ta có [−1, 1] ∈ AR Mặt khác S ∈ / AR Suy [−1, 1] × S ∈ / AR (Định lí 2.7) Theo hệ (2.2) tập [−1, 1] × S tập D2 khơng đồng phôi với Mệnh đề 2.13 Tập Q = D1 ∩ D2 với D1 = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y ≤ 1} D2 = {(x, y) ∈ R2 |(x − 1)2 + y ≤ 1} S = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y = không đồng phôi với Chứng minh Ta có tập D1 , D2 tập lồi không gian lồi địa phương Suy Q = D1 ∩ D2 tập lồi không gian lồi địa phương Vậy Q ∈ AR Lại có S ∈ / AR Theo hệ (2.1) tập Q S không đồng phôi với − 45 − Mệnh đề 2.14 I = [−1, 1] ∈ R đường thẳng R không đồng phôi với Chứng minh Ta có đoạn thẳng I khơng có tính chất điểm bất động (ví dụ 2.1) Bây cho ánh xạ liên tục f :R→R x −→ x + Giả sử f có điểm bất động tức tồn x0 ∈ R Mà f (x0 ) = x0 ⇒ f (x0 ) = x0 + = x0 (vô lí) Vậy f khơng có điểm bất động Suy R khơng có tính chất điểm bất động Theo định lí (2.10) I R khơng đồng phơi với Mệnh đề 2.15 Hình trịn D = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y ≤ 1} đường thẳng R khơng đồng phơi với Chứng minh Ta có hình trịn D tập lồi, compact khơng gian R2 nên D có − 46 − tính chất điểm bất động (định lí 2.13) Mặt khác R khơng có tính chất điểm bất động Theo định lí (2.10) D R không đồng phôi với Mệnh đề 2.16 I = [−1, 1] S = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y = 1} không đồng phôi với Chứng minh Theo ví dụ (2.1) I = [−1, 1] có tính chất điểm bất động Bây ta chứng minh S khơng có tính chất điểm bất động Cho ánh xạ liên tục: f :S→S (x, y) −→ (−x, −y) khơng có điểm bất động Giả sử f có điểm bất động tức tồn x0 ∈ S.Mà f (x0 ) = x0 ⇒ f(x, y) = (−x, −y)  = (x, y) −x = x x = ⇔ ⇔ −y = y y = Mà điểm (x, y) = (0, 0) ∈ / S Vậy f khơng có điểm bất động Nên S khơng có tính chất điểm bất động Theo định lí (2.10) I S khơng đồng phơi với − 47 − Mệnh đề 2.17 Tập T = {(x, 0), (0, y)|x, y ∈ [−1, 1]} S = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y = 1} không đồng phôi với Chứng minh Xét tập T Ta có T1 = {(x, 0)|x ∈ [−1, 1]} ∈ AR Tương tự T2 = {(0, y)|y ∈ [−1, 1]} ∈ AR Mặt khác T1 ∩ T2 = {(0, 0)} ∈ AR Theo định lí (2.6) suy T = T1 ∪ T2 ∈ AR Mà T tập compact Suy T có tính chất điểm bất động (định lí Borsuk) Lại có S ∈ / AR Theo định lí (2.10) ta có tập T S khơng đồng phôi với − 48 − Mệnh đề 2.18 Tập H = H1 ∪H2 ∪H3 S = {(x, y) ∈ R2 |x2 +y = 1} không đồng phôi với Với H1 = {(x, 0)|x ∈ [−1, 1]} H2 = {(0, y)|y ∈ [−1, 1]} √ √ H3 = {(x, x)|x ∈ [ −2 , 22 ]} Chứng minh Xét tập H Ta có H1 ∈ AR., H2 ∈ AR Mặt khác H1 ∩ H2 = {(0, 0)} ∈ AR Theo định lí (2.6) suy H12 = H1 ∪ H2 ∈ AR Mà H12 tập compact Suy H12 có tính chất điểm bất động (Định lí Borsuk) Tiếp tục ta có H3 ∈ AR Mà H12 ∩ H3 = A ∈ AR Suy H = H12 ∪ H3 ∈ AR Lại có H tập compact Suy H có tính chất điểm bất động.( Định lí Borsuk) Mà S khơng có tính chất điểm bất động Theo định lí (2.10) H S không đồng phôi với − 49 − Mệnh đề 2.19 Tập T = {(x, 0), (0, y)|x, y ∈ [−1, 1]} đường thẳng R không đồng phơi với Chứng minh Ta có tập T có tính chất điểm bất động Mặt khác R khơng có tính chất điểm bất động (Ví dụ 2.2) Theo định lí (2.10) T R khơng đồng phơi với Mệnh đề 2.20 Tập X = {(x, sin x1 )|x ∈ (0, 2π ]} ∪ {(0, 0)} ⊂ R2 S = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y = 1} không đồng phôi với Chứng minh Giả sử tồn f : X → X liên tục mà khơng có điểm bất động suy f (0, 0) = (0, 0) − 50 − Suy tồn x0 ∈ (0, 2π ] : f (0, 0) = (x0 , sin x10 ) Đặt X1 = {(x, sin x1 )|x ∈ (0, 2π )} n→∞ Ta chọn dãy (Mn )n = (xn , 0)n mà Mn −−−→ (0, 0) Ta có f liên tục, nên lim f (Mn ) = f (0, 0) = (x0 , sin x10 ) n→∞ Đặt P1 , P2 : R → R phép chiếu với: P1 (x, y) = x P2 (x, y) = y n→∞ n→∞ Suy P1 (f (Mn )) −−−→ P1 (x0 , sin x10 ) = x0 > 0, mà xn −−−→ Suy tồn n0 ∈ N : P1 (f (Mn0 )) ≥ xn0 Thật khơng P1 (f (Mn )) < xn với n Do lim P1 f (Mn ) ≤ lim xn n→∞ n→∞ x0 ) = x0 ≤ vơ lí Vậy f (Mn0 ) ∈ [Mn0 , I], với I = I( 2π , 0) Lập g : X → [Mn0 ,I xác định sau Suy P1 (x0 , sin  M g(M ) = M n0 M ∈ [Mn0 ,I ] M ∈ X \ (Mn0 , I] Lúc g liên tục theo bổ đề dán gf |[ Mn0 , I] : [Mn0 , I] → [Mn0 , I] liên tục Bây ta chứng minh [Mn0 , I] đồng phôi với đoạn [0,1] để suy [Mn0 , I] có tính chất điểm bất động Thật ta có phép chiếu P1 : [Mn0 , I] → [xn0 , 2π ] phép đồng phôi Mặt khác, [xn0 , 2π ] đồng phôi với đoạn [0, 1] với phép đồng phôi [xn0 , ] → [0, 1] 2π x −→ x − xn0 2π − xn0 Suy [Mn0 , I] đồng phôi với đoạn [0, 1] Mà [0, 1] có tính chất điểm bất động, suy [Mn0 , I] có tính chất điểm − 51 − bất động Suy tồn M ∗ ∈ [Mn0 , I] : g(f (M ∗ )) = M ∗ +Nếu M ∗ = Mn0 suy f (M ∗ ) = f (Mn0 ) ∈ [Mn0 , I] Suy g(f (M ∗ )) = f (M ∗ ) = M ∗ vơ lí f khơng có điểm bất động +Nếu M ∗ ∈ [Mn0 , I], g(f (M ∗ )) = M ∗ ∈ [Mn0 , I] Suy f (M ∗ ) ∈ [Mn0 , I] g(f (M ∗ )) = f (M ∗ ), suy f (M ∗ ) = M ∗ (vơ lí).Điều vơ lí giả thiết f khơng có điểm bất động, Vậy X có tính chất điểm bất động Mặt khác S khơng có tính chất điểm bất động Vậy theo định lí (2.10) tập X S không đồng phôi với Mệnh đề 2.21 Tập H = H1 ∪ H2 ∪ H3 đường thẳng R không đồng phôi với Với H1 = {(x, 0)|x ∈ [−1, 1]} H2 = {(0, y)|y ∈ [−1, 1]} √ √ − H3 = {(x, x)|x ∈ [ , 22 ]} Chứng minh Ta chứng minh tập H có tính chất điểm bất động Mặt khác đường thẳng R khơng có tính chất điểm bất động Theo định lí (2.10) H R không đồng phôi với − 52 − Mệnh đề 2.22 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy (D) hình trịn đơn vị tâm O (xem hình 1) ∀i ∈ N ∪ {0}, OAi bán kính hình trịn với A0 ∈ Ox, A1 ∈ Oy, OAi phân giác góc A0 OAi−1 , ∀i Đặt ∞ (U ) = OAi (U) S = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y = 1} không đồng phôi với i=0 Chứng minh Ta có (U ) tập compact khơng lồi có tính chất điểm bất động (xem [2]) Cho ánh xạ liên tục: f :S→S (x, y) −→ (−x, −y) khơng có điểm bất động Giả sử f có điểm bất động tức tồn x0 ∈ S Mà f (x0 ) = x0 ⇒ f(x, y) = (−x, −y)  = (x, y) −x = x x = ⇔ ⇔ −y = y y = Mà điểm (x, y) = (0, 0) ∈ / S Vậy f khơng có điểm bất động Nên S khơng có tính chất điểm bất động Vậy theo định lí (2.10) (U ) S khơng đồng phơi với − 53 − KẾT LUẬN Khóa luận thực công việc sau: - Hệ thống lại số kiến thức giải tích hàm - Trình bày tính chất khơng gian AR, không gian điểm bất động - Nêu lên mối quan hệ tính chất AR tính chất điểm bất động áp dụng để phân loại topo số lớp tập Do nhiều hạn chế mặt kiến thức thời gian, khóa luận phân loại topo số lớp tập R, R2 , R3 Hướng mở rộng phân loại topo lớp không gian khác − 54 − Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội, 2000 [2] Đồn Thị Ngọc Cảnh, Một ví dụ tập compact khơng lồi có tính chất điểm bất động,Tuyển tập báo cáo "Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học" lần thứ 6, Đại học Đà Nẵng 2008 [3] Tạ Khắc Cư, Lý thuyết co rút, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội, 2005 [4] A.Granas-J.Dugundji, Fixed point theory, Springer, 2003 [5] Nguyễn Hồng, Khơng gian metric, Nhà xuất giáo dục, 1997 [6] Nguyễn Xuân Liêm, Topo đại cương - Độ đo tích phân, Nhà xuất giáo dục, 1996 [7] Đỗ Văn Lưu, Topo đại cương, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 1996 [8] Đỗ Hồng Tân - Nguyễn Thị Thanh Hà, Các định lí điểm bất động, Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội, 2003 [9] Lê Hồng Trí, Bài giảng giải tích hàm nâng cao, Tài liệu lưu hành nội Đại học Đà Nẵng, 2003 ... 2: Tính chất AR, tính chất điểm bất động áp dụng phân loại topo số lớp tập Chương trình bày theo mục chính: - Tính chất AR - Tính chất điểm bất động - Mối liên hệ tính chất AR tính chất điểm bất. .. làm hiệu Và với mục đích tìm hiểu tính chất AR, tính chất điểm bất động em chọn đề tài: "Áp dụng tính chất AR tính chất điểm bất động để phân loại topo số lớp tập" làm khóa luận kết thúc bốn năm... gian topo 15 1.4 Phép co rút 22 Chương TÍNH CHẤT AR, TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ÁP DỤNG PHÂN LOẠI TOPO MỘT SỐ LỚP TẬP 27 2.1 Tính chất AR