De thi HSG cap huyen mon Toanco dap an

Lưu ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HÒN ĐẤT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP - CẤP HUYỆN MÔN : TOÁN NĂM HỌC: 2012 – 2013 THỜI GIAN LÀM BÀI : 150 phút ( không kể thời gian giao đề) (ĐỀ CHÍNH THỨC)   x   x x2  :     2  2 x  y y  x   x  y x  y  xy   Bài (5đ) Cho biểu thức A = 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x = 1+ và y = - 3) Tìm x, y trường hợp y = 2x thì A = Bài (4đ) Thực phép tính sau: 1) P 1 1     3.7 7.11 11.15 399.403 2) Q = 22011 - 22010 - 22009 - ……… – – Bài (4đ) 1) Chứng minh với số tự nhiên n thì: n  6n3  11n  30n  24 chia hết cho 24 2) Cho số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = Tính: T = x  x2 1  z 1  x  2 1 y  1 z  y 1 y 2 1  x 1  y  z 1 z2 Bài ( 5đ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một dây cung MN quay xung quanh trung điểm H OB Gọi I là trung điểm MN Từ A kẻ tia Ax  MN, cắt MN K Tia BI cắt Ax C 1) Chứng minh OI  MN, từ đó suy tứ giác CMBN là hình bình hành 2) Chứng minh C là trực tâm tam giác AMN 3) Khi MN quay xung quanh H thì C di động trên đường nào Bài (2đ) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình: 2x2 + 2xy + y2 – 4x +2y + 10 = -HẾT - Ghi chú: Thí sinh không sử dụng máy tính PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HÒN ĐẤT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP - CẤP HUYỆN MÔN : TOÁN NĂM HỌC: 2012 – 2013 (ĐỀ CHÍNH THỨC) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Bài (5 điểm) Đáp án 1) ĐKXĐ: x  y và x  0; y  y xy : 2 y  x  x  y Rút gọn đến: A = x y x y  x Tính đúng: A =  1 2 2   1 4 2 2) Thay vào, tính đúng A =   y 2 x   x  y 1  x  y  x  3) Khi y = 2x thì A = ta có hệ PT : Giải hệ PT : x = ; y = (thỏa mãn) Vậy x = ; y = thì A = Bài 4 4     (4 điểm) 1) Ta có : 4P = 3.7 7.11 11.15 399.403 1 1 1 1         399 403 = 7 11 11 15 1 400 100    P 1209 = 403 1209 2) Ta có : 2Q = 22012 - 22011 - 22010 - 22009 - ……… – 22 – Q = 2Q – Q = 22012 - 22011 - 22011 + (22010 - 22010 ) + (22009 -22009) + …… + (2-2) +1 Q = 22012 – 22011 + = 22012 - 22012 + = Bài 1) n  6n  11n  30n  24 (4 điểm)  n4  6n3 11n2  6n    24n  24  n  n3  6n 11n    24  n  1 = n   n3  n    5n  5n    6n     24  n  1 n  n  1  n  5n    24  n  1 = n  n  1  n    n  3  24  n  1 = Vì n; n + 1; n + 2; n + 3; là bốn số tự nhiên liên tiếp nên tích chúng chia hết cho 2.3.4 = 24 và 24 (n - 1) chia hết cho 24 nên n  6n  11n  30n  24 chia hết cho 24 2) Ta có 1+x2 = xy + yz + zx + x2 = y(x+z)+x(x+z) =(x+z)(x+y) Tương tự ta có: 1+y2 =(y+x)(y+z) 1+z2 =(z+x)(z+y)  y  x  y  z   z  x  z  y  z  x  z  y  x  y  x  z  x y x  z x  y     x  y  y  z  T= Điểm 0,5 1 1,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 z  x  y  x  z  y  x  y  z   z  x  z  y  = =x(y+z)+y(x+z)+z(x+y) Bài (5 điểm) = 2(xy+yz+zx) =2 Vậy T = 0,5 1) Vẽ hình đúng c/m OI  MN  AK // OI  I là trung điểm BC c/m tứ giác CMBN là hình bình hành  2) Ta có AK là đường cao AMN ; ANB 90 Mà CMBN là hình bình hành  CM // BN  CM  AN  MC là đường cao AMN  C là trực tâm tam giác AMN 0,5 0,5 0,5 0,5 3) Chỉ IH là đường trung bình OBC  IH // OC Mà IH  Ax  OC  Ax  C nằm trên đường tròn đường kính AO 0,75 0,75 0,5 Hình vẽ: M B H O I C x K A N Bài (2 điểm) Từ phương trình: 2x2 + 2xy + y2 – 4x +2y + 10 =  x2 + x2 + 2xy + y2+ 2x – 6x + 2y + + =  x2+ y2+ + 2xy + 2x + 2y + x2– 6x + =  (x + y +1)2 + (x – )2 =  x  y  0  x 3      x  0  y  Lưu ý: Học sinh giải cách khác đúng cho điểm tối đa 0,5 0,5 0,5 0,5