DE THI HSG CAP HUYEN LOP 8 DAP AN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN HUYỆN CỦ CHI Ngày 04 tháng 04 năm 2016 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ BÀI Câu (2 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử a) x − x − b) x − x − 14 x + 24 x − 14 x + x + 36 x − 19 x + 33 x − a) Tìm giá trị x để biểu thức A xác định b) Tìm giá trị x để biểu thức A có giá trị c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên Câu (3 điểm): Cho biểu thức A = Câu (5 điểm): Giải phương trình: a) ( x + x) + 4( x + x) = 12 x +1 x + x + x + x + x + + + = + + b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 c) x − x − 38 x − x + = (phương trình có hệ số đối xứng bậc 4) Câu (4 điểm): a) Tìm GTNN: x + 5y + xy − x − y + 2015 3( x + 1) b) Tìm GTLN: x + x2 + x +1 Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng HA' HB' HC' + + AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB _*HẾT* _ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN HUYỆN CỦ CHI Ngày 04 tháng 04 năm 2016 Môn thi: TOÁN Câu (2 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử a) x − x − (1 điểm) = x + x − 3x − = x( x + 2) − 3( x + 2) = ( x − 3)( x + 2) x − x − 14 x + 24 (1 điểm) x − x + x − x − 12 x + 24 x ( x − 2) + x ( x − 2) − 12 x ( x − 2) ( x − 2)( x + x − 12) = ( x − 2)( x + x − 3x − 12) = ( x − 2)( x + 4)( x − 3) b) = = = x − 14 x + x + 36 Câu (3 điểm): Cho biểu thức A = x − 19 x + 33 x − a) ĐKXĐ: x − 19 x + 33x − ≠ (1 điểm)  x ≠ x ≠ 3 3 x − 14 x + x + 36 b) (1 điểm) x − 19 x + 33 x − ( x − 3) (3 x + 4) = (3 x − 1)( x − 3) 3x + = 3x − A =  3x + = −4  x= ( thỏa mãn ĐKXĐ) −4 Vậy với x = A = c) A = 3x + 3x − + 5 = =1+ (1 điểm) 3x − 3x − 3x − Vì x ∈ Z  A ∈ Z  mà Ư(5) = {-5;-1;1;5} 3x – x ∈ Z  3x – ∈ Ư(5) x −1 -5 -4/3 (loại) -1 (nhận) 2/3 (loại) (nhận) Vậy x ∈ {0;2} A ∈ Z Câu (5 điểm): Giải phương trình: a) ( x + x) + 4( x + x) = 12 (1 điểm) Giải phương trình ta tập nghiệm S = {-2;1} x +1 x + x + x + x + x + + + = + + (2 điểm) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x +1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 +1+ +1+ +1 = +1+ +1+ +1  2008 2007 2006 2005 2004 2003 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + = + +  2008 2007 2006 2005 2004 2003 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + − − − =0  2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 + + − − − )=0  ( x + 2009)( 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 + + − − − ≠ 0)  x + 2009 = ( 2008 2007 2006 2005 2004 2003  x = -2009 Vậy tập nghiệm phương trình S = {-2009} b) c) x − x − 38 x − x + = (2 điểm)  Chia vế cho x , ta được: 6 x − x − 38 − + = x x 1  6( x + ) − 5( x + ) − 38 = (*) x x 1  Đặt x + = y => x + = y x x Thay vào phương trình (*) giải phương trình, ta −1 Tập nghiệm phương trình là: {-2; ;0; } Câu (4 điểm): a) Tìm GTNN: P= x + 5y + xy − x − y + 2015 3( x + 1) b) Tìm GTLN: Q= x + x2 + x +1 2 a) P = x + 5y + xy − x − y + 2015 (2 điểm) P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + + 4y2 – 4y + + 2010 P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 ≥ 2010 => Giá trị nhỏ P = 2010 x = ; y = 2 b) Q = 3( x + 1) (2 điểm) x + x2 + x +1 3( x + 1) = x ( x + 1) + ( x + 1) 3( x + 1) = ( x + 1)( x + 1) x +1 = Q đạt GTLN  x + đạt GTNN Mà x + ≥ => x + đạt GTNN x = => GTLN C x = Câu (6 điểm): a) S HBC S ABC Vẽ hình (0,5điểm) HA'.BC HA' = = ; (0,5điểm) AA' AA'.BC Tương tự: S HAB HC' S HAC HB' = = ; S ABC CC' S ABC BB' (0,5điểm) HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC + + = + + =1 AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC (0,5điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒ BI AN.CM = BN.IC.AM c)Vẽ Cx ⊥ CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD - ∆ BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 ≤ (BC+CD)2 (0,5điểm) (0,5điểm ) (0,5điểm ) (0,5điểm) (0,5điểm) (0,5điểm) AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 (0,5điểm) -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2 (AB + BC + CA ) ≥4 ⇔ AA'2 + BB'2 + CC'2 (0,5điểm) (Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ ∆ ABC đều) ... điểm) 20 08 2007 2006 2005 2004 2003 x +1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 +1+ +1+ +1 = +1+ +1+ +1  20 08 2007 2006 2005 2004 2003 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + = + +  20 08 2007... 2009 x + 2009 + + − − − =0  20 08 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 + + − − − )=0  ( x + 2009)( 20 08 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 + + − − − ≠ 0)  x + 2009 = ( 20 08 2007 2006 2005 2004 2003  x... nghiệm phương trình S = {-2009} b) c) x − x − 38 x − x + = (2 điểm)  Chia vế cho x , ta được: 6 x − x − 38 − + = x x 1  6( x + ) − 5( x + ) − 38 = (*) x x 1  Đặt x + = y => x + = y x x Thay