boi duong hoc sinh gioi toan 8 hay hay

Thanh M, ngy 15/7/2011 Chuyờn TNH CHT CHIA HT CA S NGUYấN I Mc tiờu Sau hc xong chuyờn hc sinh cú kh nng: 1.Bit dng tớnh cht chia hết số nguyên d chng minh quan hệ chia hết, tìm số d tìm điều kiện chia hết Hiu cỏc bc phõn tớch bi toỏn, tỡm hng chng minh Cú k nng dng cỏc kin thc c trang b gii toỏn II Cỏc ti liu h tr: - Bi nõng cao v mt s chuyờn toỏn - Toỏn nõng cao v cỏc chuyờn i s - Bi dng toỏn - Nõng cao v phỏt trin toỏn - III Ni dung Kin thc cn nh Chứng minh quan hệ chia hết Gọi A(n) biểu thức phụ thuộc vào n (n N n Z) a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích có thừa số m + Nếu m hợp số ta phân tích m thành tích thừa số đôI nguyên tố chứng minh A(n) chia hết cho tất số + Trong k số liên tiếp tồn số bội k b/ Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta xét trờng hợp số d chia m cho n * Ví dụ1: C/minh A=n3(n2- 7)2 36n chia hết cho 5040 với số tự nhiên n Giải: Ta có 5040 = 24 32.5.7 A= n3(n2- 7)2 36n = n.[ n2(n2-7)2 36 ] = n [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6] = n.(n3-7n 6).(n3-7n +6) Ta lại có n3-7n = n3 + n2 n2 n 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) =(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3) Tơng tự : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d Do A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) Ta thấy : A tích số nguyên liên tiếp mà số nguyên liên tiếp: Tồn bội số (nên A M5 ) Tồn bội (nên A M7 ) Tồn hai bội (nên A M9 ) Tồn bội có bội (nên A M16) Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi nguyên tố A M 5.7.9.16= 5040 Ví dụ 2: Chng minh với số nguyên a : a/ a3 a chia hết cho b/ a5-a chia hết cho Giải: a/ a3-a = (a-1)a (a+1) tích số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1) Cách 1: Ta xết trờng hợp số d chia a cho Nếu a= k (k Z) A M (1) Nếu a= 5k a -1 = (5k2 1) -1 = 25k2 10k M A M (2) 2 Nếu a= 5k a +1 = (5k 2) + = 25 k 20k +5 A M (3) Từ (1),(2),(3) A M 5, n Z Cách 2: Phân tích A thành tổng hai số hạng chia hết cho : + Một số hạng tích số nguyên liên tiếp + Một số hạng chứa thừa số Ta có : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a21) = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1) Mà = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) M (tích số nguyên liên tiếp ) 5a (a -1) M 5 Do a -a M * Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a5-a tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Ta có: a5-a (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a21) = a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 5a M 5 a -a (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M a5-a M Mà (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M 5(Tính chất chia hết hiệu) c/ Khi chứng minh tính chia hết luỹ thừa ta sử dụng đẳng thức: an bn = (a b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ +abn-2+ bn-1) (HĐT 8) n n n-1 n-2 n-3 n-2 n-1 a + b = (a + b)( a - a b+ a b - - ab + b ) (HĐT 9) Sử dụng tam giác Paxcan: 1 1 1 3 1 Mỗi dòng bắt đầu kết thúc Mỗi số dòng (kể từ dòng thứ 2) số liền cộng với số bên trái số liền Do đó: Với a, b Z, n N: an bn chia hết cho a b( a b) a2n+1 + b2n+1 chia hết cho a + b( a -b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Bội số a) (a+1)n = Bsa +1 (a-1)2n = Bsa +1 (a-1)2n+1 = Bsa -1 * VD3: CMR với số tự nhiên n, biểu thức 16 n chia hết cho 17 n số chẵn Giải: + Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, k N thì: A = 162k = (162)k chia hết cho 162 1( theo nhị thức Niu Tơn) Mà 162 = 255 M 17 Vậy A M 17 - Nếu n lẻ : A = 16n = 16n + mà n lẻ 16 n + M 16+1=17 (HĐT 9) A không chia hết cho 17 +Cách 2: A = 16n = ( 17 1)n = BS17 +(-1)n (theo công thức Niu Tơn) Nếu n chẵn A = BS17 + = BS17 chia hết cho 17 Nếu n lẻ A = BS17 = BS17 Không chia hết cho 17 Vậy biểu thức 16n chia hết cho 17 n số chẵn, n N d/ Ngoài dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết VD 4: CMR tồn bội 2003 có dạng: 2004 2004.2004 Giải: Xét 2004 số: a1 = 2004 a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 a2004 = 2004 20042004 2004 nhóm 2004 Theo nguyên lý Dirichle, tồn hai số có số d chia cho 2003 Gọi hai số am an ( n nên 3n > Ta lại có: 3n < 4n +5(vì n 0) nên để 12n2 5n 25 số ngyên tố thừa số nhỏ phải hay 3n = n = Khi đó, 12n2 5n 25 = 13.1 = 13 số nguyên tố Vậy với n = giá trị biểu thức 12n 5n 25 số nguyên tố 13 b/ 8n2 + 10n +3 = (2n 1)(4n + 3) Biến đổi tơng tự ta đợc n = Khi đó, 8n + 10n +3 số nguyên tố c/ A = n3 + 3n Do A số tự nhiên nên n(n + 3) M 4 Hai số n n + chẵn Vậy n , n + chia hết cho - Nếu n = A = 0, không số nguyên tố - Nếu n = A = 7, số nguyên tố -Nếu n = 4k với k Z, k > A = k(4k + 3) tích hai thừa số lớn nên A hợp số - Nếu n + = A = 1, không số nguyên tố - Nếu n + = 4k với k Z, k > A = k(4k - 3) tích hai thừa số lớn nên A hợp số Vậy với n = n3 + 3n số nguyên tố Bài 7: Đố vui: Năm sinh hai bạn Một ngày thập kỷ cuối kỷ XX, nhờ khách đến thăm trờng gặp hai học sinh Ngời khách hỏi: Có lẽ hai em tuổi nhau? Bạn Mai trả lời: Không, em bạn em tuổi Nhng tổng chữ số năm sinh chúng em số chẵn Vậy em sinh năm 1979 1980, không? Ngời khách suy luận nào? Giải: Chữ số tận năm sinh hai bạn phảI trờng hợp ngựoc lại tổng chữ số năm sinh hai bạn 1, số chẵn Gọi năm sinh Mai 19a9 +9+a+9 = 19 + a Muốn tổng số chẵn a {1; 3; 5; 7; 9} Hiển nhiên Mai sinh năm 1959 1999 Vậy Mai sinh năm 1979, bạn Mai sinh năm 1980 Chuyờn 2: TNH CHT CHIA HT TRONG N Tit 10-12: Mt s du hiu chia ht Vớ d I.Mt s du hiu chia ht Chia hết cho 2, 5, 4, 25 8; 125 an an a1a0 M2 a0 M2 a0 = 0; 2; 4;6;8 an an a1a0 M5 a0 = 0;5 an an a1a0 M4 ( 25) a1a0 M4 ( 25) an an a1a0 M ( 125) a2 a1a0 M ( 125) Chia hết cho 3; an an a1a0 M3 (hoặc 9) a0 + a1 + + an M3 ( 9) Nhận xét: D phép chia N cho ( 9) d phép chia tổng chữ số N cho ( 9) Dấu hiệu chia hết cho 11: 11 ( a0 + a2 + a4 + ) ( a1 + a3 + a5 + ) M 11 Cho A = a5 a4 a3a2 a1a0 AM 4.Dấu hiệu chia hết cho 101 101 ( a1a0 + a5 a4 + ) ( a3 a2 + a7 a6 + ) M 101 A = a5 a4 a3a2 a1a0 AM II.Vớ d Ví dụ 1: Tìm chữ số x, y để: a) 134 x yM45 b) 1234 xyM72 Giải: a) Để 134 x yM45 ta phải có 134 x y chia hết cho y = y = Với y = từ 134 x 40M9 ta phải có 1+3+5+x+4 M9 x + 4M9 x = ta có số 13554 với x = từ : 134 x yM9 ta phải có 1+3+5+x+4 +5 M9 x M9 x = 0; x = lúc đóta có số: 135045; 135945 b) Ta có 1234 xy = 123400 + xy = 72.1713 + 64 + xy M72 64 + xy M72 Vì 64 64 + xy 163 nên 64 + xy 72 144 + Với 64 + xy =72 xy =08, ta có số: 123408 + Với 64 + xy =14 xy =80, ta có số 123480 Ví dụ Tìm chữ số x, y để N = x36 y5M 1375 Giải: Ta có: 1375 = 11.125 NM 125 y5M 125 y = N = x3625M 11 ( + + x ) ( + + ) = 12 x M 11 x = Vậy số cần tìm 713625 Ví dụ a) 4 có chia hết cho 101 không? Hỏi số A1991 = 1991 1991 1991so1991 101 Tìm n để An M Giải: a) Ghép chữ số liên tiếp A1991 có cặp số 91;19 Ta có: 1991.91-1991.19 = 1991 72 M 101 nên A1991 M101 b) 101 n.91 n.19 = 72n M 101 nM 101 b) An M TIT 13 14: II MT S NH L V PHẫP CHIA HT A.Tóm tắt lý thuyết Định lý phép chia hết: a) Định lý Cho a, b số nguyên tuỳ ý, b , có số nguyên q, r cho : a = bq + r với r b , a só bị chia, b số chia, q thơng số r số d Đặc biệt với r = a = b.q Khi ta nói a chia hết cho b hay b ớc a, ký hiệu a Mb Vậy a Mb có số nguyên q cho a = b.q b) Tính chất a) Nếu a Mb b Mc a Mc M b) Nếu a Mb b Ma a = b c) Nếu a Mb , a Mc (b,c) = a Mbc d) Nếu ab Mc (c,b) = a Mc Tính chất chia hết tổng, hiệu, tích - Nếu a m a + b m b m - Nếu a m b m - Nếu a m a b m b m a b m - Nếu am a n m (n số tự nhiên) 3.Mt s tớnh cht khỏc: Trong n s t nhiờn liờn tip cú mt s chia ht cho n Tớch n s t nhiờn liờn tip chia ht cho n! A Ma A Mb v (a;b) = AMa.b B.Vớ d: ( ) Chng minh rng vi mi s nguyờn dng n ta cú: n + n 124 Gii: ( ) A = n + n = n ( n + 1) ( n 1) ( n + ) M4! = 24 Bi t luyn: Chng minh rng a n + 6n + 8n 48 vi n chn b n 10n + 384 vi n l Chng minh rng : n + n 2n 72 vi n nguyờn CMR vi mi s nguyờn a biu thc sau: a) a(a 1) (a +3)(a + 2) chia ht cho b) a(a + 2) (a 7)(a -5) chia ht cho c) (a2 + a + 1)2 chia ht cho 24 d) n3 + 6n2 + 8n chia ht cho 48 (mi n chn) CMR vi mi s t nhiờn n thỡ biu thc: a) n(n + 1)(n +2) chia ht cho b) 2n ( 2n + 2) chia ht cho Tit 15 16: Đồng d thức I.Lớ thuyt ng d: a) Định nghĩa : Cho số nguyên m > Nếu số nguyên a, b cho số d chia cho m ta nói a đồng d với b theo môđun m Kí hiệu : a b(mod m) b) Tính chất a) a b(mod m) a c b c(mod m) b) a Mb(mod m) na Mnb(mod m) c) a b(mod m) a n b n (mod m) d) a b(mod m) ac bc(mod m) c) Mt s hng ng thc: a m b m Ma b a n + b n Ma + b (n l) n ( a + b ) = B (a ) + b II.Vớ d: Chng minh: 29 + 299 M200 Gii: + = = 512 112(mod 200) (1) = 112 (mod 200) 112 = 12544 12 (mod 200) 112 12 (mod 200) 12 = 61917364224 24(mod 200) 112 24.112(mod 200) 2688(mod 200) 88(mod 200) 88(mod 200) (2) T (1) v (2) + = 200(mod 200) hay 29 + 299 M200 III,Bi t luyn: S dng hng ng thc v ng d 1962 1964 (1961 + 1963 + 19651966 + 2) ( 241917 + 141917 ) 19 ( + 99 ) 200 13123456789 183 (19791979 19811981 + 1982) 1980 (3 + 32 + 33 + + 3100 ) 120 ( 2222 5555 + 5555 2222 ) 7 ( ) Tit 17 18: QUY NP TON HC 10 Tit 27-30 TèM GI TR LN NHT - GI TR NH NHT I: DNG Nu a > : P = ax + bx +c = x=- 4ac-b b 4ac-b Suy Khi +ax + MinP = ữ 4a 2a 4a b 2a b Nu a < : P = ax + bx +c = a x ữ 4a 2a ữ a c+b b Suy MaxP = Khi x= a 4a a c+b Mt s vớ d: Tỡm GTNN ca A = 2x2 + 5x + 25 25 Gii:A = 2x2 + 5x + = 2( x + x + ) + = 16 16 25 56 25 31 = 2( x + ) + = + 2( x + ) = + 2( x + ) 8 31 Khi x = Tỡm GTLN ca A = -2x + 5x + Suy MinA = 25 25 Gii: A = -2x2 + 5x + = - 2( x x + ) + = 16 16 25 56 + 25 81 = 2( x )2 + + = 2( x ) = 2( x ) 8 Suy MinA = 10 11 12 13 81 Khi x = Tỡm GTNN ca B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 Gii: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + MinB = : Tỡm GTLN ca C = -3x - y + 8x - 2xy + Gii: C = -3x - y + 8x - 2xy + = 10 - 10 GTLNC = 10 khi: BI TP: Tỡm GTNN A= x x + 2008 Tỡm GTLN B = + 3x - x2 Tỡm GTLN D = 2007 x x Tỡm GTNN ca F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + Tỡm GTNN ca G = x 10 x3 +25 x +12 Tỡm GTNN ca M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y Tỡm GTNN C = ( x 1) 3x + Tỡm GTNN ca N = (x +1) + ( x - 3) Tỡm GTNN ca K = x + y - xy +x + y 62 HNG DN A = x - 5x + 2008 = (x - 2,5)2 + 2001,75 MinA = 2001,75 x = 2,5 B = + 3x - x2 = -1,25 - ( x - 1,5)2 D = 2007 - x - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5)2 F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + = (x +x+1) = G = x - 10x +25x + 12 = x(x - 5) + 12 10 M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1) + (y - 4) -16 11 C = ( x 1) 3x + * Nu x C = (3x - 3) + * Nu x < C = (3x + 1) + 12 N = (x +1) + ( x - 3) = 2(x- 1) + K = x + y - xy +x + y = ( x - y) + (x + 1) + (y + 1) - * Mt nhng phng phỏp thng dựng l s dng cỏc bt ng thc ó bit chng minh mt bt ng thc khỏc.Tuy nhiờn s dng ,ngoi hai bt ng thc Cụ-si v bt ng thc Bu-nhi-a-cp-ski Cỏc bt ng thc khỏc s dng lm bi thi cn chng minh li (Xem phn trờn). tin theo dừi, tụi s lit kờ cỏc bt ng thc vo di õy a + b 2ab (a,b>0) (BT Cụ-si) (a +b ) 2 ( ) 4ab a + b ( a + b) a b + 2; a, b > b a 1 + ; a, b > a b a+b a + b + c ab + bc + ca ( ax + by ) ( a + b )( x + y ) a b ( a + b) x + y ( Bu nhi a cop xki) x+ y a b c ( a + b + c) + + x y z x+ y+z ab bc ca + + a + b + c (Vi a,b,c > 0) Vớ d 9:Chng minh c a b ab bc ca Gii:2A - 2B = + + 2a 2b 2c c a b = a + + b + + c + b c c b a c c a p dng bt ng thc b a a b a b + 2; a, b > Ta cú:2A - 2B a ( 2) + b( ) + c( 2) b a Vy A B.ng thc xy a = b = c > Vớ d 10: Cho cỏc s dng x , y tho x + y = Chng minh rng : xy + x + y 63 1 2 2 + = + = + 2 2 xy x + y xy x + y x + xy + y xy x + y = = ng thc xy x = y = ( x + y) Gii: Vớ d 11: Chng minh bt ng thc : a2 b2 c2 a c b + + + + b2 c2 a2 c b a a2 b2 a b a b2 c2 a2 c a c b c b c Gii: + = ; + = ; + = c a a a a b c c c b c a b b b Cng tng v ba bt ng thc trờn ta cú: a2 b2 c2 a c b 2 + + + + c a c b a b a2 b2 c2 a c b + + + + c b a b c a ng thc xy a = b = c Bi tp: 1 Cho a,b,c l s dng.Chng minh rng ( a + b + c ) + + a b c Cho cỏc s dng a,b,c bit a.b.c = Chng minh rng: (a + 1)(b + 1)(c + 1) Cho cỏc s a,b bit a + b = Chng minh rng a) a + b b) a + b Cho s dng a,b,c v a + b + c = Chng minh: + + Cho x , y , z 0v x + y + z Chng minh rng: + + + + Cho s dng a , b cú tng bng Chng minh rng a + b + 14 Cho s dng a , b cú tng bng Chng minh rng (a + ) + (b + ) Chng minh bt ng thc sau vi mi a,b,c>0 1 1 1 + + + + , a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b Cho a,b,c l s dng Chng minh : a b c 1 + + + + bc ac ab a b c 10 Cho a,b,c l s dng a2 b2 c2 a+b+c Chng minh rng : + + b+c a+c b+a 11 Chng minh: a + b vi a + b a b c + + Vi a,b,c > 12 Chng minh: b+c c+a a+b 13 Chng minh: a + b + c abc( a + b + c ) 14 Bi 28: Cho x 0; y 0; z 0; Chng minh rng :(x + y).(y + z).(z + x) 8xyz 64 15 Cho A = 1 1 + + + + + + Chng minh rng A > n +1 n + 2n + 2n + 3n + HNG DN: a b a c b c A= 3+ + + + + + 3+ 2+ 2+ = b a c a c a p dng (a + 1) 2a a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b) b) p dng cõu a Xem bi + + + + = ++ = + + = A = + = ( + ) + + = ( vỡ 2ab (a+b) ) B = + = 3( +) + (a + ) + + (b + ) + = + 5(a + ) + 5(b + ) = 5( a + b) + 5( + ) 5( a + b) + = 25 Suy ra: (a + ) + (b + ) + ; + ; + Cng theo v BT trờn ta c pcm Ta cú: + = ( + ) b c 1b c + = + ac ab a c b a c a c a + = + ab bc b a c b Cng tng v bt ng thc trờn ta c pcm ng thc xỏy v ch a = b = c (Hóy kim tra li) a b c ( a + b + c) + + 10 p dng BT x y z x+ y+z 11 a+b (a+b) 12 ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + + a b c + + = (a+b+c) ( + + ) (a+b+c) = Suy ra: b+c c+a a+b 13 p dng BT vớ d cho s a + b + c ri tip tc ỏp dng ln na cho s a2b2 + b2c2 + c2a2 ta cú pcm 14 p dng BT ( x + y ) xy Nhõn tng tha s ca BT suy PCM 15 A cú 2n + s hng (Kim tra li !).p dng BT hng thớch hp s cú pcm Chuyên đề 9: 1 + ; a, b > Vi tng cp s a b a+b Phơng pháp tam giác đồng dạng I Kiến thức Ta biết tam giác đồng dạng suy đợc cặp góc tơng ứng nhau, cặp 65 cạnh tơng ứng tỉ lệ, đặc biệt tỉ số diện tích chúng bình phơng tỉ số đồng dạng Để chứng minh góc hay cặp đoạn thẳng tỉ lệ pp tam giác đồng dạng ta làm theo bớc sau : Bớc : Xét tam giác có chứa góc hay chứa cặp đoạn thẳng Bớc : Chứng minh tam giác đồng dạng Bớc : Suy cặp góc tơng ứng nhau, cặp cạnh tơng ứng tỉ lệ Để tạo đợc tam giác đồng dạng với tam giác khác, cách vẽ đờng song song với cạnh tam giác ta vẽ thêm đờng phụ nhiều cách khác, chẳng hạn : - Nối điẻm có sẵn hình làm xuất tam giác - Từ điểm cho trớc, vẽ đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng - Trên tia cho trớc, đặt doạn thẳng đoạn thẳng khác Một vài ứng dụng pp tam giác đồng dạng a) Dùng pp tam giác đồng dạng để CM điểm thẳng hàng Ta CM tam giác đồng dạng để suy cặp góc tơng ứng nhau, từ dùng cách cộng góc để dợc góc bẹt dẫn tới điểm thẳng hàng Ví dụ : Cho tam giác ABC, tia phân giác góc B góc C cắt O Trên cạnh AB, AC lần lợt lấy M N cho BM.BC = BO ; CN.CB = CO2 CMR điểm M, O, N thẳng hàng @ Bg : A BO BM = BM.BC = BO ; BOM BCO có BO BC N O =B ả ; BM = BO nên BOM ~ BCO (c.g.c) O =C B M 2 1 BO BC 12 ả ả B C Chứng minh tơng tự ta đợc CON ~ CBO (c.g.c) O2 = B2 +O ả +O ả =C +B ả +O ả = 1800 Suy điểm M, O, N thẳng hàng Ta có O 3 Nhận xét Điều gợi ý cho ta dùng pp đồng dạng để giải ví dụ ? Đó đề có cho BO trung bình nhân BM BC ; CO trung bình nhân CN CB, từ suy đợc cặp đoạn thẳng tỉ lệ dẫn tới tam giác đồng dạng b) Dùng pp tam giác đồng dạng để CM tích đoạn thẳng tổng tích cặp đoạn thẳng số cho trớc Ta CM tam giác đồng dạng để suy cáắccpj cạnh tơng ứng tỉ lệ, dẫn tới tích cặp đoạn thẳng Ví dụ : Cho hình bình hành ABCD, góc B nhọn Gọi H K lần lợt hình chiếu B AD CD Chứng minh DA.DH + DC.DK = DB2 @ Bg : *Tìm hớng giải : Các tích DA.DH, DC.DK cha có mối liên quan trực tiếp với nh với DB Vì ta thay tích tích khác H chúng, có liên quan với nh liên quan với DB Muốn phải tạo đợc cặp tam giác đồng dạng với điều kiện DB phải cạnh tam giác nh A B *Lời giải: Vẽ AI DB I D 66 C K DA DI = DA.DH = DB.DI DB DH BA BI DC BI = = DC.DK = DB.BI IBA ~ KDB DB DK DB DK IDA ~ HDB (1) (2) Cộng vế BĐT (1) (2) ta đợc : DA DH + DC DK = DB DI + DB BI = DB(DI + BI) = DB2 (đpcm) = 900 hình bình hành ABCD trở thành hình chữ nhật Lúc Chú ý : Nếu B áp dubgj định lý Pt-ta-go ta có điều phải chứng minh c) Dùng pp tam giác đồng dạng để giải toán dựng hình Đối với số toán dựng hình dựng hình tam giác, biết yếu tố độ dài, lại biết tỉ số độ dài biết số đo góc ta nghĩ đến pp tam giác đồng dạng Ví dụ : AB = BC = a Dựng tam giác ABC biết àA = 600 ; BC @ Bg : Phân tích : Giả sử dựng đợc tam giác ABC thoả mãn đề Vẽ đờng thẳng song song với BC, cắt AB, AC lần lợt M N Từ C vẽ đờng thẳng song song với AB cắt MN P Dễ thấy A AM AB i = = MP = BC = a AMN ~ ABC 600 AN AC Vậy AMN dựng đợc, từ dựng đợc P, C B N p Cách dựng : M i A i - Dựng AMN cho A = 60 ; AM = ; AN = i a - Trên tia MN lấy điểm P cho MP = a C B i i i - Dựng PC // AB (C thuộc tia AN) - Dựng CB // MN (B thuộc tia AM) Tam giác ABC tam giác phải dựng (Phần CM biện luận tự làm) II Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Gọi M N lần lợt trung điểm AH BH Gọi O giao điểm AN với CM Chứng minh : a) AN CM b) AH2 = MC.MO @ Bg AB BN AB BH BN A = = = a) ABH ~ CAH (g-g) hay (1) CA AH AM CA AM = àA Ta có B (2) 1 O M ả Từ (1) (2) suy ABN ~ CAM (c.g.c) ảA = C 2 ã ả = CAO ã ả = 90 Xét tam giác CAO có CAO +C +A 2 = 900 Vậy AN CM O b) AOM ~ CHM (g.g) B C N H AM MO AM.MH = MC.MO = CM MH AH AH = MC.MO hay HA2 = MC.MO 2 Bài : Cho tam giác ABC, phân giác AE Chứng minh AB.AC > AE2 @ Bg ãAEC > B (t/c góc ABE) A F 67 B E C AF < AC Trên AC lấy điểm F cho ãAEF = B AE AF AB.AF = AE2 AB.AC > AE2 = AEF ~ ABE (g-g) AB AE Bài : Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm di động AC Từ C vẽ đờng thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM H, cắt tia BA O Chứng minh : a) OA.OB = OC.OH b) Góc OHA có số đo không đổi c) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi O @ Bg OB OH OA.OB = OC.OH = a) BOH ~ COA (g-g) OC OA H OB OH OA OH = = b) (1) A M OC OA OC OB chung (2) OHA OBC có O B K C Từ (1) (2) OHA ~ OBC (c.g.c) ã ã OHA (không đổi) = OBC BM BK = BM.BH = BK.BC c) Vẽ MK BC ; BKM ~ BHC (g.g) (3) BC BH CM CK = CM.CA ~ (g.g) = BC.CK CKM CAB CB CA (4) Cộng vế (3) (4) ta đợc BM.BH + CM.CA = BK.BC + BC.CK = BC(BK + CK) = BC (không đổi) Bài : Cho tam giác ABC cân A, đờng cao AH Trên đoạn thẳng CH HB lần lợt lấy hai điểm M N cho CM = HN Đờng thẳng qua M vuông góc với BC cắt AC E Qua N vẽ đờng thẳng d NE Chứng minh M di động đoạn thẳng CH đờng thẳng d luôn qua điểm cố định @ Bg A Dễ thấy CH = MN = BC E HF HN CM = = (1) HFN ~ MNE (g.g) MN ME ME AH CH CH CM = = (2) B N AHC ~ EMC (g.g) H M C EM CM AH EM 1 HF CH F BC BC BC (không đổi) = Từ (1) (2) Do HF = MN CH 2 = = MN AH AH AH AH Vì H cố định nên F cố định Bài : Cho tam giác ABC, đờng cao AD, BE, CF Gọi M, N, I, K lần lợt hình chiếu D AB, AC, BE, CF Chứng minh điểm M, N, I, K thẳng hàng @ Bg BM BD BI = = MI // FE BF BC BE CN CD CK = = NK // FE Vì DN // BE DK // AB nên CE CB CF Vì DM // CF DI // CA nên 68 (1) A (2) F M B E K I D N C AMD ~ ADB AM AD = AD AB (3) AND ~ ADC AN AD = AD AC (4) AM AC = AN AB AF AC AM AF MN // FE = = (5) ACF ~ ABE AE AB AN AE Từ (1) ; (2) ; (5) suy điểm M, I, N, K thẳng hàng Bài : Lấy cạnh AB, AC BC ABC làm cạnh đáy, dựng tam giác vuông cân ABD, ACE, BCF, hai tam giác đầu dựng phía ABC tam giác thứ dựng nửa mặt phẳng bờ BC với ABC Chứng minh tứ giác AEFD hình bình hành (hoặc A, E, F, D thẳng hàng) @ Bg ã Nếu BAC 90 ; BAD ~ BCF(2 tam giác vuông cân) A E BD BA BD BF F o ã = = Mặt khác DBF ) = ãABC ( = 45 + B D1 BF BC BA BC ã ã BDF ~ BAC (c.g.c) BDF = BAC ã ã Chứng minh tơng tợ có FEC ~ BAC FEC = BAC B Chia vế (3) cho (4) ta đợc C o ã ã ã Ta có DAE ) + (900 - BDF ) = 1800 AE // DF + ãADF = (90 + BAC Chứng minh tơng tự ta đợc AD // EF Vậy AEFD hình bình hành ã Trờng hợp BAC = 900 điểm A, E, F, D thẳng hàng Bài : Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lợt trung điểm AB, AD Gọi E F lần lợt giao điểm BN với MC AC Cho biết AB = 30 cm, tính diện tích tam giác BEM AFN @ Bg A M B =C BN CM ABN = BCM (c.g.c) B 1 ABN vuông A, AB = 30; AN = 15 BN2 = 1125 E S BEM BM 225 F = = N ữ = S BAN BN 1125 1 SBAN = 30.15 = 225 SBEM = 225 = 45 (cm2) D C FN AN 1 = = FN = BF = BN AFN ~ CFB FB BC 2 1 SAFN = SABN = 225 = 75 cm2 3 Bài : Qua điểm O nằm tam giác ABC ta vẽ đờng thẳng song song với cạnh Các đờng thẳng chia tam giác ABC thành hình bình hành tam giác nhỏ Biết diện tích tam giác a2 , b2 , c2 Tính SABC a) Chứng minh S a2 + b2 + c2 b) A @ Bg E F a) Dễ thấy tam giác ODH, EON, FMO đồng dạng với ABC O c b N M a DH a DH Đặt SABC = d Ta có = (1) = ữ d d BC BC BEM ~ BAN 2 a2 69 B D H C 2 b ON HC b HC = ữ = ữ = d d BC BC BC (2) c MO BD c BD = ữ = ữ = d d BC BC BC Cộng vế đẳng thức (1) , (2) , (3) ta đợc (3) a + b + c DH + HC + BD = =1 d BC a + b + c = d Vậy S = d2 = (a + b + c)2 b) S = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac a2 + b2 + c2 + (a2 + b2) + (b2 + c2) + (c2 + a2) = 3(a2 + b2 + c2) Dấu = xẩy a = b = c O trùng với trọng tâm G ABC Vớ d 8: a Rỳt gn Biu thc B = b Thc hin phộp tớnh: 4a + 12a + Vi a 2 2a a 0,5a + a + a : + (a 2.) + 0,5a a + a( a ) Gii: ( 2a + 3) = 2a + 4a + 12a + = ( 2a + 3)( a 2) a 2a a 0,5a + a + a a + 2a + a + 2 : + = + b + 0,5a a + a( a ) a+2 a a( a ) a + 2a + a2 = = = ( a ) ( a + 2a + ) a ( a ) a ( a ) a 2 a B = x + y xy x3 + y3 : Vớ d 9: Thc hin phộp tớnh: A = ( Vi x y) x2 y2 x + y xy Gii: A= = ( x y) x + y xy x +y x + y xy : = 2 x y x + y xy ( x y )( x + y ) ( x + y ) ( x + y xy ) x y 2 3 2 ( x + y) a b A= Vớ d 10: Cho biu thc : A = x4 + x3 + x + x x + 2x x + Rỳt gn biu thc A Chng minh rng A khụng õm vi mi giỏ tr ca x Gii: x4 + x3 + x +1 x4 + x3 + x +1 = x x3 + 2x x +1 x x3 + x + x x + 70 = = ( ) x ( x + 1) + ( x + 1) ( x + 1) x + = x2 x2 x +1 + x2 x +1 x2 x +1 x2 +1 ( ( x + 1) ( (x ) ( ) ( ) ) ( x + ( x + 1) = x x +1 x2 +1 x +1 2 )( )( ) ) b A = ( x + 1) ; ( x + 1) 0; x + > A Vớ d 11: Tớnh giỏ tr biu thc : x +1 a5 + a6 + a + a8 a + a + a + a vi a = 2007 Gii: a +a +a +a a +a +a +a = 1 1 a +a +a +a + + + a5 a6 a7 a8 a5 + a + a + a8 a8 a5 + a6 + a7 + a8 = = a + a + a1 + a3 + a + a +1 a8 a 13 + a + a + a = = a13 B = 200713 a + a + a +1 B= ( ( ) ) x 25 y2 : Vớ d 12: Tớnh giỏ tr biu thc : x 10 x + 25 x y y Bit x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x Gii: x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x ( x y ) + x = x = y x = x = y = x 25 y2 ( x 5)( x + 5) ( y 2)( y + 1) C= : = 2 y2 x 10 x + 25 x y y x ( x 5) = ( x + 5)( y + 1) = 8.2 = x( x 5) 3.( ) Bi tp: 13 Chng minh rng Biu thc (x P= (x 2 ) ) + a (1 + a ) + a x + a (1 a ) + a x + khụng ph thuc vo x 14 Cho biu thc M = a b c 15 x x + x x 3x + x + 2x Tỡm xỏc nh ca M Tớnh giỏ tr ca x M = Rỳt gn M Cho a,b,c l s ụi mt khỏc Chng minh rng : bc ca ab 2 + + = + + ( a b )( a c ) ( b a )( b c ) ( c a )( c b ) a b b c c a x + 10 16 Cho biu thc : B = x + x x + x 10 a b Rỳt gn B Chng minh rng : n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 16 vi n 71 Z a Rỳt gn biu thc : A = 3; y -2 2x + y xy x2 + vi x xy + x y xy + x + y + x 2+ x 4x 2 x x 3x : x x + x 2x x b Cho Biu thc : A = a b c Tỡm iu kin cú ngha v Rỳt gn biu thc A Tỡm giỏ tr ca x A > Tỡm giỏ tr ca A trng hp x = 19 -3; x a.Thc hin phộp tớnh: 1 16 + + + + + x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x + x 16 1 2 a a +9 a +9 b Rỳt gn C = a + a2 a2 + a.A = 20 Cho a,b,c l s ụi mt ab bc ac + + Tớnh S = ( b c )( c a ) ( a b )( c a ) ( b c )( a b ) 21 2a b 5b a + 3a b 3a + b Tớnh giỏ tr ca biu thc : bit: 10a 3b 5ab = & 9a b 22 Cho a + b + c = v a + b + c = a Nu x y z = = Chng minh rng xy + yz + zx = a b c b.Nu a3 + b3 + c3 = Tớnh giỏ tr ca a,b,c Bi 11: Cho Biu thc : A = 23 a b 24 2a a + 3a 3a + Tớnh giỏ tr ca A a = -0,5 Tớnh giỏ tr ca A : 10a2 + 5a = 1 + + = Chng minh nu xyz = thỡ: + x + xy + y + yz + z + zx a + 3ab 2a 5ab 3b a an + bn + ab + = a 9b 6ab a 9b 3bn a an + 3ab Thc hin phộp tớnh: 2008 25 Chng minh ng thc sau: 26 1 + + + ( 3n 1)( 3n + 2) 2.5 5.8 27 Tớnh tng : S(n) = 28 Rỳt gn ri tớnh giỏ tr ca biu thc : 2a 12a + 17 a a2 A= Bit a l nghim ca Phng trỡnh : a 3a + = 29 b a c b a c Gi a,b,c l di cnh ca tam giỏc bit rng: + + + = Chng minh rng tam giỏc ú l tam giỏc u 72 30 Chng minh rng nu a,b l s dng tha iu kin: a + b = thỡ : a b 2( b a ) = 2 b a a b + 3 31 Thc hin phộp tớnh: x yz y xz z xy + + A= ( x + y )( x + z ) ( x + y )( y + z ) ( y + z )( x + z ) 32 33 (1 x ) a + b + c 3abc Rỳt gn biu thc : A = a+b+c Chng minh rng biu thc sau luụn dng TX: 2 B= 1+ x2 34 x + x : + x x + x x Rỳt gn ri Tớnh giỏ tr biu thc vi x + y = 2007 A= x( x + 5) + y ( y + 5) + 2( xy 3) x( x + 6) + y ( y + 6) + xy Cho s a,b,c tha ng thc: 35 Tớnh giỏ tr biu thc P = ( a + b )( b + c )( c + a ) abc a+bc a+cb b+ca = = c b a xy z yz x zx y Cho biu thc : A = Chng minh rng nu : xy + z yz + x xz + y 36 x + y + z = thỡ A = HNG DN: x + a (1 + a ) + a x + 1 + a + a = P= x a (1 a ) + a x + 1 a + a ( ( 13 ) ) 2 x x + x x 3x + x + 2x ( x + 3) ( x 1) = x+4 14 M= 15 ab bc 1 ca 1 = + = + = ( a b )( a c ) a b c a ( b a )( b c ) b c a b 1 = ( c a )( c b ) = b c + c a 16 a.Rỳt gn B = x + 10 x + 10 = x + x x + x 10 ( x 1)( x + 10) x + ( ( x 1) ( x + 1) ; ( x > 10lx 1) = ( x + 10) ( x 1)( x + 10 ) ( x + 1) ; ( x < 10 ) b n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 = [ n( n + 1) ] 17 A= 2x + 3y xy x2 + xy + x y xy + x + y + x 73 ) 2x + 3y xy x2 + = = xy + x y xy + x + y + x ( x 3)( x + 3)( y + 2) 18 2+ x 4x 2 x x 3x 4x : = a.A = 2 x3 x x + x 2x x 4x b.A > >0 x>3 x3 x = 11 x = c x = 121 x = 11 A = x = A khụng xỏc nh 19 a.A = 1 16 32 + + + + + = 16 x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x x 32 1 2 a a + a + = b Rỳt gn C = a2 + a2 a2 + ab bc ac + + ( b c )( c a ) ( a b )( c a ) ( b c )( a b ) ab( a b ) + bc( b c ) + ac( c a ) ( a b )( b c )( c a ) = = = ( a b )( b c )( c a ) ( a b )( b c )( c a ) 21 T: 10a 3b 5ab = & 9a b 5ab = 3b 10a (1) 2a b 5b a 3a 15ab 6b Bin i A = (2) + 3= 3a b 3a + b 9a b Th (1) vo (2) ; A = - 22 T a + b + c = v a + b + c = suy ra: ab + bc + ca = (1) 20 S= a Nu x y z = = a b c x y z x+ y+z = = = = x+ y+z a b c a+b+c = x + y + z Suy xy + yz + zx = suy : ( x + y + z) b p dng ( a + b + c ) ( a + b + c ) = 3( a + b )( b + c )( c + a ) T a3 + b3 + c3 = Suy ra: 3( a + b )( b + c )( c + a ) = T ú tớnh c a , b , c 23 Xem bi 21 24 T xyz = Bin i 1 + + + x + xy + y + yz + z + zx y yz = + + + y + yz + y + yz + y + yz 74 25 Chng minh : a + 3ab 2a 5ab 3b a an + bn + ab a+b + = = a 9b 6ab a 9b 3bn a an + 3ab 3b a 2008 26 = 1.2.3 1997 3.4.5 1999 1999 1999 = = 2.3.4 1998 2.3.4 1998 1998 3996 27 1 + + + ( 3n 1)( 3n + 2) 2.5 5.8 11 1 1 n = + + = 32 5 3n 3n + 2( 3n + ) 2a 12a + 17a 28 A= = 2a 8a + a2 a = 0; a = A = 1; A = a 3a + = a = 1; a = A = ( a b) + ( b c) + ( c a ) = b c a + + + = 29 ab bc ca a b c 30 Rỳt gn ( ) ( a b) a + b a b 2( b a ) = = b a a 2b + ab b + b + a + a + ( 31 )( ) y xz y z x yz x y = = = ( x + y )( x + z ) x + z x + y ( x + y )( y + z ) x + y y + z 2 z xy z x = Cng tng v c A = ( x + z )( y + z ) y + z x + z 32 A= a + b + c 3abc a+b+c ( a + b + c 3abc = ( a + b + c ) a + b + c ab bc ca 33 TX: 34 A= x ;B = 1 + x2 x( x + 5) + y ( y + 5) + 2( xy 3) ( x + y + )( x + y 1) = ( x + y + 6)( x + y ) x( x + 6) + y ( y + 6) + xy a +bc a +cb b+ca = = c b a a+bc a +c b b+ca +2= +2= +2 Suy ra: c b a a+b+c a+c+b b+c+a = = Suy ra: c b a Suy ra: hoc a + b + c = hoc a = b = c P = -1 hoc P = 36 T: x + y + z = suy ra: x + y + z = 3xyz 35 ) T: 75 A= M N ( ) ( M = 63 x y z 16 xyz x + y + z + x y + y z + z x ( ) ( ) N = x y z + xyz x + y + z + x y + y z + z x =========o0o========= 76 ) ... 4: Cho dóy s 49; 4 489 ; 44 488 9; 444 488 89; Dóy s trờn c xõy dng bng cỏch thờm s 48 vo gia s ng trc nú Chng minh rng tt c cỏc s ca dóy trờn u l s chớnh phng Ta cú 44 488 89 = 44 488 + = 444 10n + ... 20 08 ch s 2007 ch s Chng minh ab + l s t nhiờn 10 20 08 Cỏch 1: Ta cú a = 111 = ; b = 10005 = 1000 + = 1020 08 + 20 08 ch s 2007 ch s 20 08 ch s 10 20 08 + (10 20 08 1)(10 20 08 + 5) (10 20 08 )... chớnh phng Gi s 28 + 211 + 2n = a2 (a N) thỡ 2n = a2 482 = (a+ 48) (a- 48) 2p.2q = (a+ 48) (a- 48) Vi p, q N ; p+q = n v p > q a+ 48 = 2p 2p 2q = 96 2q (2p-q -1) = 25.3 a 48 = 2q q = v p-q =