Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 1: Gọi VT của bất đẳng thức là A và VP của bất đẳng thức là B (Nếu không nói gì thêm qui ước này được dùng cho các bài tập khác).Với các BĐT có dấu ; thì cần tìm điều kiện của [r]
(1)Thanh Mỹ, ngày 15/7/2011 Chuyên đề 1
TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN I Mục tiêu
Sau học xong chuyên đề học sinh có khả năng:
1.Biết vận dụng tính chất chia hÕt cđa sè nguyªn dể chứng minh quan hệ chia hết, tìm số d tìm điều kiện chia hÕt
2 Hiểu bước phân tích tốn, tìm hướng chứng minh Có kĩ vận dụng kiến thức trang bị để giải toán II Các tài liệu hỗ trợ:
- Bài tập nâng cao số chuyên đề toán - Toán nâng cao chuyên đề đại số - Bồi dưỡng toán
- Nâng cao phát triển toán - …
III Nội dung
1 Kiến thức cần nhớ
1 Chøng minh quan hƯ chia hÕt
Gäi A(n) lµ mét biểu thức phụ thuộc vào n (nN n Z)
a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích có thừa số m
+ Nếu m hợp số ta phân tích m thành tích thừa số đôI nguyên tố chứng minh A(n) chia hết cho tất số
+ Trong k số liên tiếp tồn mét sè lµ béi cđa k
b/ Khi chøng minh A(n) chia hÕt cho n ta cã thÓ xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia m cho n
* VÝ dô1:
C/minh r»ng A=n3(n2- 7)2 – 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiên n Giải:
Ta có 5040 = 24 32.5.7
A= n3(n2- 7)2 – 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6] = n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6)
Ta l¹i cã n3-7n – = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) =(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3)
T¬ng tù : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d
Do A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)
Ta thÊy : A lµ tÝch số nguyên liên tiếp mà số nguyên liên tiếp: - Tồn bội số (nªn A )
- Tån bội (nên A ) - Tồn hai bội (nên A )
- Tồn bội có bội (nên A 16)
Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi nguyên tố A 5.7.9.16= 5040
VÝ dơ 2: Chng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a th× : a/ a3 –a chia hÕt cho
b/ a5-a chia hÕt cho Gi¶i:
a/ a3-a = (a-1)a (a+1) tích sè nguyªn liªn tiÕp nªn tÝch chia hÕt cho b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1)
Cách 1:
Ta xết trờng hợp số d chia a cho - NÕu a= k (kZ) th× A 5 (1)
(2)Cách 2:
Phân tích A thành tổng hai sè h¹ng chia hÕt cho : + Mét số hạng tích số nguyên liên tiếp
+ Mét sè h¹ng chøa thõa sè
Ta cã : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1) = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1)
Mµ = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) 5 (tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp )
5a (a2-1) 5 Do a5-a 5
* Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a5-a tích số nguyên liên tiếp chia hết cho
Ta cã:
a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1) = a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a 5
a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5
Mà (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 a5-a 5(Tính chất chia hết hiệu) c/ Khi chứng minh tính chia hết luỹ thừa ta sử dụng đẳng thức: an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) (HĐT 8)
an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - …- abn-2+ bn-1) (HĐT 9) - Sử dụng tam giác Paxcan:
1 1 1
…
Mỗi dòng bắt đầu kết thúc
Mỗi số dòng (kể từ dòng thứ 2) số liền cộng với số bên trái số liền
Do đó: Với a, b Z, n N: an – bn chia hết cho a – b( ab) a2n+1 + b2n+1 chia hết cho a + b( a-b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Bội số a) (a+1)n = Bsa +1
(a-1)2n = Bsa +1 (a-1)2n+1 = Bsa -1
* VD3: CMR víi mäi sè tù nhiªn n, biĨu thøc 16n – chia hÕt cho 17 n là số chẵn
Giải:
+ Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, kN th×:
A = 162k – = (162)k – chia hÕt cho 162 – 1( theo nhị thức Niu Tơn) Mà 162 = 255 17 Vậy A17
- Nếu n lẻ : A = 16n – = 16n + mà n lẻ 16n + 116+1=17 (HĐT 9)
A kh«ng chia hÕt cho 17
+C¸ch 2: A = 16n – = ( 17 – 1)n – = BS17 +(-1)n – (theo công thức Niu Tơn) - Nếu n chẵn A = BS17 + – = BS17 chia hết cho 17
- Nếu n lẻ A = BS17 – – = BS17 – Kh«ng chia hÕt cho 17 VËy biĨu thøc 16n – chia hÕt cho 17 vµ chØ n số chẵn, n N
d/ Ngoi dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết
VD 4: CMR tån t¹i mét béi cđa 2003 cã d¹ng: 2004 2004….2004 Gi¶i: XÐt 2004 sè: a1 = 2004
a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 ……… a2004 = 2004 2004…2004 2004 nhãm 2004
(3)Gọi hai số am an ( n <m 2004) am - an 2003
Ta cã: am - an = 2004 2004……2004 000…00
m-n nhãm 2004 4n
hay am - an = 2004 2004……2004 104n
m-n nhãm 2004 mµ am - an 2003 vµ (104n , 2003) =1
nªn 2004 2004……2004 2003
m-n nhãm 2004 2 T×m sè d
* VD1:T×m sè d chia 2100 a/ cho b/ cho 25 Gi¶i:
a/ L thõa cđa s¸t víi béi cđa lµ 23 = = – 1
Ta cã : 2100 = 299= (23)33 = 2(9 – )33 = 2(BS9 -1) ( theo nhÞ thøc Niu T¬n) = BS9 – = BS9 +
VËy 2100 chia cho d 7
b/ Luỹ thừa gần với bội 25 10 = 1024 =1025 – 1 Ta cã:
2100 =( 210)10 = ( 1025 – )10 = BS 1025 + = BS 25 +1 (theo nhÞ thøc Niu T¬n) VËy 2100 chia cho 25 d 1
* VD2: Tìm chữ số tận 51994 viết hệ thập phân Giải:
- Cách 1: Ta có: 1994 = 4k + 54 = 625
Ta thÊy sè tËn cïng b»ng 0625 nâng lên luỹ thừa nguyên dơng vÉn tËn cïng b»ng 0625
Do đó: 51994 = 54k+2=(54)k 52 = 25 (0625)k = 25 (…0625)= …5625 - Cách 2: Tìm số d chia 51994 ch 10000 = 24.54
Ta thÊy 54k – = (54)k – 1k chia hÕt cho 54 – = (52 + 1) (52 - 1) 16
Ta cã 51994 = 56(51988 – 1) + 56 mµ 56 54 vµ 51988 – 1= (54)497 – chia hÕt cho 16
( 51994)3 56(51988 – 1)chia hÕt cho 10000 cßn 56= 15625
51994 = BS10000 + 15625 51994 chia cho 10000 d 15625 Vậy chữ số tận 51994 5625
3 Tìm điều kiện chia hết
* VD1: Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B: A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n
Gi¶i:
n3 + 2n2- 3n + n2 – n n3 – n2 n + 3 3n2 - 3n +
3n2 – 3n
Ta cã: n3 + 2n2- 3n + = (n2 – n)(n + 3) + 2 n n
Do Giá trị A chia hết cho giá trị B n2 – n Ư(2)
2 chia hÕt cho n(n – 1) 2 chia hÕt cho n
(4)n -1 -2
n – -2 -3
n(n – 1) 2
Lo¹i T/m T/m Lo¹i
VËy víi n = -1, n = giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B
VD 2: Tìm số nguyên n dÓ n5 + chia hÕt cho n3 + 1 Gi¶i:
n5 + n3 + 1n5 + n2 – n2 + n3 + 1
n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) n3 + 1
(n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1)
n – n2 – n + 1
n(n – 1) n2 – n + 1 Hay n2 – n n2 – n + 1
(n2 – n + 1) – n2 – n + 1
1n2 – n + 1 XÐt hai trêng hỵp:
+ n2 – n + = n2 – n = n(n – 1) = n = 0, n = thử lại thấy t/m đề bài + n2 – n + = - n2 – n + = , khơng có giá trị n thoả mãn
VD 3: T×m sè tù nhiªn n cho 2n - chia hÕt cho 7 Gi¶i:
Ta cã l thõa cđa gần với bội 23 = = + 1
- NÕu n = 3k (k N) th× 2n - 1= 23k – = (23)k – = 8 k - 1k8 – = 7 NÕu n = 3k + 1(k N) th× 2n - = 23k+1 – = 8k – 1= 2(8k – 1) + 1 = BS7 +
2n - kh«ng chia hÕt cho 7
- NÕu n = 3k +2(k N) th× 2n - = 23k+2 – 1= 4.23k – = 4( 8k – 1) + = 4.BS7 +
2n - kh«ng chia hÕt cho 7 VËy 2n - 17 n = 3k (k N) 2 Bµi tËp
Bµi 1: Chøng minh r»ng:
a/ n3 + 6n2 + 8n chia hªt ch 48 víi mäi sè n ch½n b/ n4 – 10n2 + chia hÕt cho 384 víi mäi số n lẻ Giải
a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)] = n(n+2)(n + 4)
Víi n ch½n, n = 2k ta cã:
n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k (k + 1)k + 2) 8
b/ n4 – 10n2 + = n4 – n2 – 9n2 + = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9) = (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3)
Víi n lỴ, n = 2k +1, ta cã:
n4 – 10n2 + = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + – 3)( 2k + +3) = 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16
Bµi 2: Chøng minh r»ng
a/ n6 + n4 -2n2 chia hÕt cho 72 víi mäi sè nguyªn n b/ 32n – chia hÕt cho 72 víi số nguyên dơng n Giải:
Ta có: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)] = n2(n2 + 2)(n2 – 1).
Ta l¹i cã: 72 = 8.9 với (8,9) = Xét trờng hợp:
+ Víi n = 2k A = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) 8 + Víi n = 2k +1 A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 8
Tơng tự xét trờng hợp n = 3a, n= 3a để chứng minh A9
VËy A8.9 hay A72
(5)Gi¶i:
Vì a2 số nguyên tố lớn nên a lẻ a2 số phơng lẻ
a2 chia cho d 1
a2 – chia hÕt cho (1)
Mặt khác a số nguyên tố lớn a không chia hết cho
a2 số phơng không chia hết cho 3 a2 chia cho d 1
a2 – chia hÕt cho (2) Mµ (3,8) = (3)
Tõ (1), (2), (3) a2 – chia hÕt cho 24 Bµi 4: Chøng minh r»ng:
Nếu số tự nhiên a không chia hết cho a6 -1 chia hết cho 7 Giải:
Bi toán trờng hợp đặc biệt định lý nhỏ Phộc ma:
- Dạng 1: Nếu p số nguyên tố a số nguyên ap – a chia hÕt cho p
- D¹ng 2: Nếu a số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p ap-1-1 chia hết cho p
ThËt vËy, ta cã a6 -1 = (a3 + 1) (a3 - 1)
- NÕu a = 7k 1 (k N) th× a3 = ( 7k 1)3 = BS7 a3 - 17
- NÕu a = 7k 2 (k N) th× a3 = ( 7k 2)3 = BS7 23 = BS7 8 a3 - 17 - NÕu a = 7k 3 (k N) th× a3 = ( 7k 3)3 = BS7 33 = BS7 27 a3 + 17 Ta lu«n cã a3 + hc a3 – chia hÕt cho VËy a6 – chia hÕt cho 7
Bµi 5: Chøng minh rằng:
Nếu n lập phơng số tự nhiên (n-1)n(n + 1) chia hết cho 504 Gi¶i:
Ta có 504 = 32 7.8 7,8,9 ngun tố đơi một Vì n lập phơng số tự nhiên nên đặt n = a3
CÇn chøng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hÕt cho 504 Ta cã: + NÕu a ch½n a3 chia hÕt cho 8
NÕu a lẻ a3-1và a3 + hai số chẵn liên tiÕp (a3-1) (a3 + 1) chi hÕt cho 8 VËy A8 , 19 9a nN (1)
+ NÕu a7 a37 A7
NÕu a kh«ng chia hÕt cho th× a6 – 17 (a3-1) (a3 + 1) 7(Định lí Phéc ma) Vậy A7 , nN (2)
+ NÕu a3 a39 A9
NÕu a kh«ng chia hÊe cho a = 3k 1 a3 = ( 3k 3)3= BS91
a3 – = BS9+1 – 9 a3 + = BS9- + 9 VËy A9 , nN (3)
Tõ (1), (2), (3) A9 , nN
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức sau số nguyên tố: a/ 12n2 – 5n – 25
b/ 8n2 + 10n +3 c/
3 3 n n
Gi¶i:
a/ Phân tích thành nhân tử: 12n2 5n – 25 = 12n2 +15n – 20n – 25 = 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5)
Do 12n2 – 5n – 25 lµ sè nguyên tố 4n +5 > nên 3n > 0.
Ta lại có: 3n – < 4n +5(vì n 0) nên để 12n2 – 5n – 25 số ngyên tố thừa số nhỏ phải hay 3n – = n =
Khi đó, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 số nguyên t.
Vậy với n = giá trị cđa biĨu thøc 12n2 – 5n – 25 lµ sè nguyªn tè 13 b/ 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3)
(6)c/ A = 3
4 n n
Do A số tự nhiên nên n(n + 3) 4
Hai sè n vµ n + chẵn Vậy n , n + chia hÕt cho - NÕu n = A = 0, không số nguyên tố
- NÕu n = th× A = 7, số nguyên tố
-Nếu n = 4k với kZ, k > th× A = k(4k + 3) tích hai thừa số lớn nên A là hợp số
- Nếu n + = A = 1, không số nguyên tè
- NÕu n + = 4k víi kZ, k > th× A = k(4k - 3) tích hai thừa số lớn nên A hợp số
Vậy với n = th× 3
4 n n
số nguyên tố Bài 7: Đố vui: Năm sinh cđa hai b¹n
Một ngày thập kỷ cuối kỷ XX, nhờ khách đến thăm trờng gặp hai học sinh Ngời khách hỏi:
- Cã lÏ hai em b»ng ti nhau? B¹n Mai tr¶ lêi:
- Khơng, em bạn em tuổi Nhng tổng chữ số năm sinh chúng em số chẵn
- Vậy em sinh năm 1979 1980, không? Ngời khỏch ó suy lun th no?
Giải:
Chữ số tận năm sinh hai bạn phảI trờng hợp ngựoc lại tổng chữ số năm sinh hai bạn 1, số chẵn
Gọi năm sinh Mai 19 9a +9+a+9 = 19 + a Muốn tổng số chẵn a{1; 3; 5; 7; 9} Hiển nhiên Mai sinh năm 1959 1999 Vậy Mai sinh năm 1979, bạn Mai sinh năm 1980
Chuyên đề : TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG N Ti
ế t 10-12:
Một số dấu hiệu chia hết – Ví dụ I.Một số dấu hiệu chia hết
1 Chia hÕt cho 2, 5, 4, 25 vµ 8; 125
a an n1 a a1 02 a02 a0 0; 2; 4;6;8 a an n1 a a1 05 a0 0;5
1
n n
a a a a
( hc 25) a a1 04 ( hc 25)
a an n1 a a1 08 ( hc 125) a a a2 08 ( hc 125) 2. Chia hÕt cho 3; 9
a an n1 a a1 03 (hc 9) a0a1 an3 ( hc 9)
NhËn xÐt: D phÐp chia N cho ( 9) d phép chia tổng chữ số N cho ( hc 9)
3 DÊu hiƯu chia hÕt cho 11 :
Cho A a a a a a a5 A11 a0a2a4 a1a3a5 11
4.DÊu hiÖu chia hÕt cho 101
A a a a a a a5 A101 a a1 a a5 4 a a3 2a a7 6 101 II.Ví dụ
Ví dụ 1: Tìm chữ số x, y để: a) 134 45x y b) 1234xy72
Gi¶i:
(7)ta có số 13554
víi x = th× tõ : 134 9x y ta ph¶i cã 1+3+5+x+4 +59
9 0;
x x x
lúc đóta có số: 135045; 135945.
b) Ta cã 1234xy123400xy72.1713 64 xy72 64xy72 V× 64 64 xy163 nên 64xy 72 144
+ Vi 64xy=72 xy=08, ta có số: 123408 + Với 64xy=14 xy=80, ta có số 123480 Ví dụ Tìm chữ số x, y để N 7 36 1375x y Giải:
Ta cã: 1375 = 11.125
125 125
7 3625 11 12 11
N y y
N x x x x
VËy sè cÇn tìm 713625
Ví dụ 3 a) Hái sè 1991
1991 1991 1991 1991
so
A
có chia hết cho 101 khơng? b) Tìm n để An101
Gi¶i:
a) GhÐp chữ số liên tiếp A1991 có cặp sè lµ 91;19 Ta cã: 1991.91-1991.19 = 1991 72 101 nªn A1991101 b) An101 n.91 n.19 72 101 n n101
TIẾT 13– 14:
II MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ PHÉP CHIA HẾT A.Tãm t¾t lý thuyết
1 Định lý phép chia hết:
a) Định lý
Cho a, b l số nguyên tuỳ ý, b0, có số nguyên q, r cho : a bq r với 0 r b , a só bị chia, b số chia, q thơng số r số d.
Đặc biệt với r = a = b.q Khi ta nói a chia hết cho b hay b ớc a, ký hiệu a b .
VËy
b) TÝnh chÊt
a) Nếu a b b c a c b) Nếu a b b a a = b
c) NÕu a b , a c (b,c) = a bc d) Nếu ab c (c,b) = a c
2 TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng, mét hiƯu, mét tÝch.
- NÕu ¿ a⋮m b⋮m
}
¿
→ a+b⋮m
(8)- NÕu ¿ a⋮m b⋮m
}
¿
→ a− b⋮m
- NÕu ¿ a⋮m b⋮m
}
¿
→ a b ⋮m
- Nếu am a n m (n số tự nhiên) 3.Một số tính chất khác:
Trong n số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho n Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n!
A a A bvà (a;b) = Aa.b B.Ví dụ:
1. Chứng minh với số nguyên dương n ta có: (n2+n −1)2−1⋮24
Giải:
12 1 1 2 4! 24 A n n n n n n
Bài tập tự luyện:
2. Chứng minh a n3+6n2+8n⋮48 với n chẳn b n4−10n2+9⋮384 với n lẻ
3. Chứng minh : n6
+n4−2n2⋮72 với n nguyên
4. CMR với số nguyên a biểu thức sau: a) a(a – 1) – (a +3)(a + 2) chia hết cho
b) a(a + 2) – (a – 7)(a -5) chia hết cho c) (a2 + a + 1)2 – chia hết cho 24
d) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 (mọi n chẵn)
5. CMR với số tự nhiên n biểu thức: a) n(n + 1)(n +2) chia hết cho
b) 2n ( 2n + 2) chia hết cho
Tiết 15– 16: 3 §ång d thøc I.Lí thuyết đồng dư :
a) Định nghĩa : Cho số nguyên m > Nếu số nguyên a, b cho số d chia cho m ta nói a đồng d với b theo mơđun m
KÝ hiÖu : a b (mod )m b) TÝnh chÊt
a) a b (mod )m a c b c (mod )m
b)a b(mod )m na nb (mod )m
c) a b (mod )m an bn(mod )m d) a b (mod )m ac bc (mod )m
(9) an b a bn (n lẻ)
( )
n
a b B a b II.Ví dụ:
1. Chứng minh:29299200
Giải:
2 + = = 512 112(mod 200) (1) = 112 (mod 200)
112 = 12544 12 (mod 200) 112 12 (mod 200) 12 = 61917364224 24(mod 200)
112 24.112(mod 200) 2688(mod 200) 88(mod 200) 88(mod 200) (2)
Từ (1) (2) + = 200(mod 200) hay 29299200
III,Bài tập tự luyện:
Sử dụng đẳng thức đồng dư
1. (19611962
+19631964+19651966+2)⋮7
2. (241917
+141917)⋮19
3. (29+299)⋮200
4. (13123456789−1)⋮183
5. (19791979−19811981+1982)⋮1980
6. (3+32+33+ +3100)⋮120
7. (22225555+55552222)⋮7
-Tiết 17– 18:
QUY NẠP TOÁN HỌC I.PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
B1: Kiểm tra mệnh đề với n = 1?
B2: Giả sử Mệnh đề với n = k Chứng minh mệnh đề với n = k + 1
II.VÍ DỤ:
1. Chứng minh với số nguyên dương n thì: 7n2 82n1 57
Giải: -Với n = 1:A1 = + = 855 57
- Giả sử Ak 57 nghĩa
2 7n n 57
Ak+1 = + =7 + 64.8 = 7(7 + ) + 57.8
Vì + ( giả thiết qui nạp) 57.8 57 Ak+1 57
Vậy theo nguyên lí qui nạp A = + 57.
*Chú í: Trong trường hợp tổng quát với n số nguyên n n0 Thì ta
kiểm tra mệnh đề n = n0? III.BÀI TẬP:
Chứng minh : Với n số tự nhiên thì:
1. (52n+1
+2n+4+2n+1)⋮23
2. 11 + 12 133
3. (5n+2
(10)4. (22n+1
+33n+1)⋮5
5. (22n+2
+24n+14)⋮18
-Tiêt 19-20
LUYỆN TẬP
1. A=1 ab 2c⋮1025
2. B=abca=(5c+1)2
3. E=ab cho ab2
=(a+b)3
4. A = ab=(a+b)2
HD: ab=(a+b)2 ⇔ (a+b) (a+b −1)=9a ≤92 ⇒ (a + b) (a + b) = 9k ⇒ k =
⇒ a + b = ⇒ 9a = 9.8 = 72 ⇒ a = b =
5. B = abcd=(ab+cd)2
HD: Đặt x=ab ; y=cd ⇒ 99x = (x + y)(x + y - 1) 992 Xét khả :
x=99(1)
¿ x<99(2)
¿ ¿ ¿ ¿
(1) ⇒ B = 9801
(2) ⇒
¿x+y=9k x+y −1=11l
¿ ¿ ¿ x+y=11k
¿ x+y −1=9l
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
⇒
B=2025
¿ B=3025
¿ ¿ ¿ ¿
ĐS: B = 9801;2025;3025
6. C=abcdef = (abc+def)2
7. H=abcd cho aa ⏟a
n
bb b ⏟
n
cc ⏟c n
+1=
(dd .⏟n d
+1
)3
8. Tìm xyy 1+4z=z2
9. Tính giá trị biểu thức:
1/ Cho x +y = 3, tính giá trị A = x2 + 2xy + y2 – 4x – 4y + 3.
2/ Cho x +y = 1.Tính giá trị B = x3 + y3 + 3xy
3/ Cho x – y =1.Tính giá trị C = x3 – y3 – 3xy.
4/ Cho x + y = m x.y = n.Tính giá trị biểu thức sau theo m,n
a) x2 + y2 b) x3 + y3 c) x4 + y4
5/ Cho x + y = m x2 + y2 = n.Tính giá trị biểu thức x3 + y3 theo m n.
6/ a) Cho a +b +c = a2 + b2 + c2 = 2.Tính giá trị bt: a4 + b4 + c4.
(11)Chuyên đề 2
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I ĐỊNH NGHĨA: Số phương số bình phương số nguyên. II TÍNH CHẤT:
1 Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, ; khơng thể có chữ số tận 2, 3, 7,
2 Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn
3 Số phương có hai dạng 4n 4n + Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + (n N)
4 Số phương có hai dạng 3n 3n + Khơng có số phương có dạng 3n + (n N)
5 Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục
Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ Số phương chia hết cho chia hết cho
Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A. DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Chứng minh với số nguyên x, y
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương.
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì
A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z ⇒ x2 + 5xy + 5y2 Z
Vậy A số phương
(12)n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*)
Đặt n2 + 3n = t (t N) (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n N nên n2 + 3n + N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương.
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2) Chứng minh 4S + số phương
Ta có k(k+1)(k+2) = 14 k(k+1)(k+2).4 = 14 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] = 14 k(k+1)(k+2)(k+3) - 14 k(k+1)(k+2)(k-1)
⇒ S = 14 1.2.3.4 - 14 0.1.2.3 + 14 2.3.4.5 - 14 1.2.3.4 +…+ 14 k(k+1)(k+2) (k+3) - 14 k(k+1)(k+2)(k-1) = 14 k(k+1)(k+2)(k+3)
4S + = k(k+1)(k+2)(k+3) +
Theo kết ⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + số ph ương.
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …
Dãy số xây dựng cách thêm số 48 vào số đứng trước Chứng minh tất số dãy số phương.
Ta có 44…488…89 = 44…488 + = 44…4 10n + 11…1 + 1
n chữ số n-1 chữ số n chữ số n chữ số n chữ số n chữ số
= 10
n−1 10
n + 10n−1
9 + = 102n−4 10n+8 10n−8+9
9 =
4 102n
+4 10n+1
9 = (2 10n+1
3 )
Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng chữ số chia hết chia hết cho
n-1 chữ số
⇒ (2 10n+1
3 ) Z hay số có dạng 44…488…89 số phương
Bài 5: Chứng minh số sau số phương: A = 11…1 + 44…4 +
2n chữ số n chữ số 4
B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8
2n chữ số n+1 chữ số n chữ số 6
C = 44…4 + 22…2 + 88…8 +
2
(13)2n chữ số n+1 chữ số n chữ số 8
Kết quả: A = (10n+2
3 ) ; B = ( 10n+8
3 ) ; C = (
2 10n+7
3 )
Bài 6: Chứng minh số sau số phương:
a A = 22499…9100…09
n-2 chữ số n chữ số 0
b B = 11…155…56 n chữ số n-1 chữ số 5
a A = 224.102n + 99…9.10n+2 + 10n+1 + 9
= 224.102n + ( 10n-2 – ) 10n+2 + 10n+1 + 9
= 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + 9
= 225.102n – 90.10n + 9
= ( 15.10n – ) 2
⇒ A số phương
b B = 111…1555…5 + = 11…1.10n + 5.11…1 +
n chữ số n chữ số n chữ số n chữ số
= 10n−1 10
n + 10n−1
9 + =
102n−10n
+5 10n−5+9
9 = 102n+4 10n+4
9 = ( 10n+2
3 ) số phương ( điều phải chứng minh)
Bài 7: Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp một số phương
Gọi số tự nhiên liên tiếp n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ) Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2)
Vì n2 khơng thể tận n2+2 khơng thẻ chia hết cho 5
⇒ 5.( n2+2) khơng số phương hay A khơng số phương
Bài 8: Chứng minh số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 n N n>1 khơng
phải số phương
n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ]
= n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ]
= n2( n+1 )2.( n2–2n+2)
Với n N, n >1 n2-2n+2 = (n - 1)2 + > ( n – )2
n2 – 2n + = n2 – 2(n - 1) < n2
Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + < n2 ⇒ n2 – 2n + khơng phải số phương.
2 2
(14)
Bài 9: Cho số phương có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương đó là số phương
Cách 1: Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ Vì chữ số hàng chục số phương cho 1,3,5,7,9 tổng chúng + + + + = 25 = 52 số phương
Cách 2: Nếu số phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị chữ số tận
cùng a ⇒ a ⋮ 2 ⇒ a2 ⋮
Theo dấu hiệu chia hết cho hai chữ số tận M 16, 36, 56, 76, 96 ⇒ Ta có: + + + + = 25 = 52 số phương.
Bài 10: Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ số chính phương.
a b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N)
⇒ a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + 1
= 4(k2 + k + m2 + m) + = 4t + (Với t N)
Khơng có số phương có dạng 4t + (t N) a2 + b2 khơng thể số
chính phương
Bài 11: Chứng minh p tích n số nguyên tố p-1 p+1 khơng thể số phương
Vì p tích n số nguyên tố nên p ⋮ p không chia hết cho (1) a Giả sử p+1 số phương Đặt p+1 = m2 (m N)
Vì p chẵn nên p+1 lẻ ⇒ m2 lẻ ⇒ m lẻ.
Đặt m = 2k+1 (k N) Ta có m2 = 4k2 + 4k + ⇒ p+1 = 4k2 + 4k + 1 ⇒ p = 4k2 + 4k = 4k(k+1) ⋮ mâu thuẫn với (1)
⇒ p+1 số phương
b p = 2.3.5… số chia hết cho ⇒ p-1 có dạng 3k+2.
Khơng có số phương có dạng 3k+2 ⇒ p-1 khơng số phương Vậy p tích n số nguyên tố p-1 p+1 khơng số phương
Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.7…2007.
Chứng minh số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N 2N+1 khơng có số số chính phương.
a 2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 –
Có 2N ⋮ ⇒ 2N-1 khơng chia hết cho 2N-1 = 3k+2 (k N) ⇒ 2N-1 khơng số phương.
(15)Vì N lẻ ⇒ N khơng chia hết cho 2N ⋮ 2N không chia hết cho 4. 2N chẵn nên 2N không chia cho dư ⇒ 2N không số phương.
c 2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 +
2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho
2N không chia hết 2N+1 không chia cho dư ⇒ 2N+1 khơng số phương.
Bài 13: Cho a = 11…1 ; b = 100…05
2008 chữ số 2007 chữ số 0
Chứng minh √ab+1 số tự nhiên.
Cách 1: Ta có a = 11…1 = 102008−1
9 ; b = 100…05 = 100…0 + = 10
2008 + 5
2008 chữ số 2007 chữ số 2008 chữ số
⇒ ab+1 = (102008−1)(102008+5)
9 + =
102008
¿2+4 102008−5+9
¿ ¿ ¿
= (102008+2
3 )
√ab+1 = √(10 2008
+2
3 ) =
102008 +2
3
Ta thấy 102008 + = 100…02 ⋮ nên 102008+2
3 N hay √ab+1 số tự nhiên. 2007 chữ số
Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – + = 99…9 + = 9a +6
2007 chữ số0 2008 chữ số 0 2008 chữ số
⇒ ab+1 = a(9a +6) + = 9a2 + 6a + = (3a+1)2 ⇒ √ab+1 = 3a+1¿
2 ¿
√¿ = 3a + N
B. DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương: a n2 + 2n + 12 b n ( n+3 )
c 13n + d n2 + n + 1589
Giải
a Vì n2 + 2n + 12là số phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N)
⇒ (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 ⇔ k2 – (n+1)2 = 11 ⇔ (k+n+1)(k-n-1) = 11
Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 chúng số nguyên dương, nên ta viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 ⇔ k+n+1 = 11 ⇔ k = 6
k – n - = n =
b Đặt n(n+3) = a2 (n N) ⇒ n2 + 3n = a2 ⇔ 4n2 + 12n = 4a2 ⇔ (4n2 + 12n + 9) – = 4a2 ⇔ (2n + 3)
❑2 - 4a2 =
⇔ (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9
Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a chúng số nguyên dương, nên ta viết (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1 ⇔ 2n + + 2a = ⇔ n = 1
2n + – 2a = a = 2
(16)c Đặt 13n + = y2 ( y N) ⇒ 13(n – 1) = y2 – 16
⇔ 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)
⇒ (y + 4)(y – 4) ⋮ 13 mà 13 số nguyên tố nên y + ⋮ 13 y – ⋮ 13 ⇒ y = 13k ± (Với k N)
⇒ 13(n – 1) = (13k ± )2 – 16 = 13k.(13k ± 8) ⇒ n = 13k2 ± 8k + 1
Vậy n = 13k2 ± 8k + (Với k N) 13n + số phương.
d Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) ⇒ (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2
⇔ (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355
Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > chúng số lẻ, nên ta viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy n có giá trị sau: 1588; 316; 43; 28
Bài 2: Tìm a để số sau số phương:
a. a2 + a + 43
b. a2 + 81
c. a2 + 31a + 1984
Kết quả: a 2; 42; 13 b 0; 12; 40
c 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728
Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! số phương
Với n = 1! = = 12 số phương
Với n = 1! + 2! = khơng số phương
Với n = 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = = 32 số phương
Với n ≥ ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 5!; 6!; …; n! tận 1! + 2! + 3! + … + n! có tận chữ số nên khơng phải số phương
Vậy có số tự nhiên n thỏa mãn đề n = 1; n =
Bài 4: Tìm n N để số sau số phương:
a. n2 + 2004 ( Kết quả: 500; 164)
b. (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23)
c. n2 + 4n + 97
d. 2n + 15
Bài 5: Có hay khơng số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương
(17)Từ suy m2 – n2 = 2006 ⇔ (m + n)(m - n) = 2006
Như số m n phải có số chẵn (1)
Mặt khác m + n + m – n = 2m ⇒ số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) ⇒ m + n m – n số chẵn
⇒ (m + n)(m - n) ⋮ Nhưng 2006 không chia hết cho 4 ⇒ Điều giả sử sai
Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương.
Bài 6: Biết x N x>2 Tìm x cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1) Đẳng thức cho viết lại sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1)
Do vế trái số phương nên vế phải số phương
Một số phương tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x tận chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1)
Do x chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề ta có x N < x ≤ (2) Từ (1) (2) ⇒ x nhận giá trị 5; 6; 7.
Bằng phép thử ta thấy có x = thỏa mãn đề bài, 762 = 5776
Bài 7: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n+1 3n+1 số phương.
Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84
Số 3n+1 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phương Vậy n = 40
Bài 8: Chứng minh n số tự nhiên cho n+1 2n+1 số phương n bội số 24.
Vì n+1 2n+1 số phương nên đặt n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m N)
Ta có m số lẻ ⇒ m = 2a+1 ⇒ m2 = 4a (a+1) + 1
⇒ n = m2−1 =
4a(a+1)
2 = 2a(a+1)
⇒ n chẵn ⇒ n+1 lẻ ⇒ k lẻ ⇒ Đặt k = 2b+1 (Với b N) ⇒ k2 = 4b(b+1)
+1
⇒ n = 4b(b+1) ⇒ n ⋮ (1) Ta có k2 + m2 = 3n + (mod3)
Mặt khác k2 chia cho dư 1, m2 chia cho dư
Nên để k2 + m2 (mod3) k2 (mod3)
m2 (mod3)
⇒ m2 – k2 ⋮ hay (2n+1) – (n+1) ⋮ ⇒ n ⋮ (2)
Mà (8; 3) = (3)
(18)Từ (1), (2), (3) ⇒ n ⋮ 24.
Bài 9: Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phương
Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N)
2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48)
2p.2q = (a+48)(a-48) Với p, q N ; p+q = n p > q
⇒ a+48 = 2p ⇒ 2p – 2q = 96 ⇔ 2q (2p-q -1) = 25.3
a- 48 = 2q
⇒ q = p-q = ⇒ p = 7 ⇒ n = 5+7 = 12
Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802
C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Cho A số phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta số phương B Hãy tìm số A B.
Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào mỗi chữ số A đơn vị ta có số
B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 với k, m N 32 < k < m < 100
a, b, c, d N ; ≤ a ≤ ; ≤ b, c, d ≤ ⇒ Ta có A = abcd = k2
B = abcd + 1111 = m2
⇒ m2 – k2 = 1111 ⇔ (m-k)(m+k) = 1111 (*)
Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > nên m-k m+k số nguyên dương Và m-k < m+k < 200 nên (*) viết (m-k)(m+k) = 11.101
Do m – k == 11 ⇔ m = 56 ⇔ A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136
Bài 2: Tìm số phương gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm chữ số sau đơn vị.
Đặt abcd = k2 ta có ab – cd = k N, 32 ≤ k < 100
Suy 101cd = k2 – 100 = (k-10)(k+10) ⇒ k +10 ⋮ 101 k-10 ⋮ 101
Mà (k-10; 101) = ⇒ k +10 ⋮ 101
Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110 ⇒ k+10 = 101 ⇒ k = 91 ⇒ abcd = 912 = 8281
Bài 3: Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống nhau.
Gọi số phương phải tìm aabb = n2 với a, b N, ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ 9
(19)Nhận xét thấy aabb ⋮ 11 ⇒ a + b ⋮ 11
Mà ≤ a ≤ ; ≤ b ≤ nên ≤ a+b ≤ 18 ⇒ a+b = 11
Thay a+b = 11 vào (1) n2 = 112(9a+1) 9a+1 số phương
Bằng phép thử với a = 1; 2; …; ta thấy có a = thỏa mãn ⇒ b = 4 Số cần tìm 7744
Bài 4: Tìm số có chữ số vừa số phương vừa lập phương. Gọi số phương abcd Vì abcd vừa số phương vừa lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y N
Vì y3 = x2 nên y số phương
Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999 ⇒ 10 ≤ y ≤ 21 y phương ⇒ y = 16 ⇒ abcd = 4096
Bài 5: Tìm số phương gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, căn bậc hai số có tổng chữ số số phương.
Gọi số phải tìm abcd với a, b, c, d nguyên ≤ a ≤ ; ≤ b,c,d ≤ abcd phương ⇒ d { 0,1,4,5,6,9}
d nguyên tố ⇒ d = 5
Đặt abcd = k2 < 10000 ⇒ 32 ≤ k < 100
k số có hai chữ số mà k2 có tận ⇒ k tận 5
Tổng chữ số k số phương ⇒ k = 45 ⇒ abcd = 2025
Vậy số phải tìm 2025
Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu bình phương số viết số hai chữ số số theo thứ tự ngược lại số phương
Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm ab ( a,b N, ≤ a,b ≤ ) Số viết theo thứ tự ngược lại ba
Ta có ab - ba = ( 10a + b ) 2 – ( 10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 ) ⋮ 11 ⇒ a2 - b2 ⋮ 11
Hay ( a-b )(a+b ) ⋮ 11
Vì < a - b ≤ , ≤ a+b ≤ 18 nên a+b ⋮ 11 ⇒ a + b = 11 Khi ab - ba = 32 112 (a - b)
Để ab - ba số phương a - b phải số phương a-b = a
- b =
Nếu a-b = kết hợp với a+b = 11 ⇒ a = 6, b = 5, ab = 65 Khi 652 – 562 = 1089 = 332
Nếu a - b = kết hợp với a+b = 11 ⇒ a = 7,5 ( loại ) Vậy số phải tìm 65
2
2
(20)Bài 7: Cho số phương có chữ số Nếu thêm vào chữ số ta được số phương Tìm số phương ban đầu
( Kết quả: 1156 )
Bài 8: Tìm số có chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số nó.
Gọi số phải tìm ab với a,b N ≤ a ≤ , ≤ b ≤ Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3
⇔ (10a+b)2 = ( a + b )3
⇒ ab lập phương a+b số phương Đặt ab = t3 ( t N ) , a + b = l 2 ( l N )
Vì 10 ≤ ab ≤ 99 ⇒ ab = 27 ab = 64
Nếu ab = 27 ⇒ a + b = số phương
Nếu ab = 64 ⇒ a + b = 10 khơng số phương ⇒ loại Vậy số cần tìm ab = 27
Bài 9: Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương số có chữ số giống nhau. Gọi số lẻ liên tiếp 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n N)
Ta có A= ( 2n-1 )2 + ( 2n+1)2 + ( 2n+3 )2 = 12n2 + 12n + 11
Theo đề ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111.a với a lẻ ≤ a ≤ 9
⇒ 12n( n + ) = 11(101a – )
⇒ 101a – ⋮ ⇒ 2a – ⋮ 3
Vì ≤ a ≤ nên ≤ 2a-1 ≤ 17 2a-1 lẻ nên 2a – { 3; 9; 15 } ⇒ a { 2; 5; }
Vì a lẻ ⇒ a = ⇒ n = 21 số càn tìm 41; 43; 45
Bài 10: Tìm số có chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phương chữ số số đó.
ab (a + b ) = a3 + b3
⇔ 10a + b = a2 – ab + b2 = ( a + b )2 – 3ab ⇔ 3a( + b ) = ( a + b ) ( a + b – ) a + b a + b – nguyên tố
a + b = 3a a + b – = 3a a + b – = + b a + b = + b ⇒ a = , b = a = , b = 7 Vậy ab = 48 ab = 37
(21)Chuyên đề 3 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử I CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
1 Phương pháp đặt nhân tử chung
– Tìm nhân tử chung đơn, đa thức có mặt tất hạng tử. – Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác.
– Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng).
Ví dụ 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử 28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a)
2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y) xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)
2 Phương pháp dùng đẳng thức
- Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. - Cần ý đến việc vận dụng đẳng thức.
Ví dụ 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử 9x2 – = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)
8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4)
25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
– Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm.
– Áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức. Ví dụ 3 Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2x3 – 3x2 + 2x – = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1)
= ( x2 + 1)( 2x – 3)
x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)
4.Phối hợp nhiều phương pháp
- Chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên. - Đặt nhân tử chung.
- Dùng đẳng thức. - Nhóm nhiều hạng tử.
(22)3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2
3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy =
= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)
= 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
= 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]
= 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – + y + a)
II PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ 1 Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
a) Cách (tách hạng tử bậc bx):
Bước 1: Tìm tích ac, phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách. a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = …
Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci với b = + ci
Bước 3: Tách bx = aix + cix Từ nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp.
Ví dụ 5 Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + thành nhân tử.
Hướng dẫn
- Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12) - Tích hai thừa số có tổng b = tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).
- Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)
Lời giải
3x2 + 8x + = 3x2 + 2x + 6x + = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2)
= (x + 2)(3x +2)
b) Cách (tách hạng tử bậc hai ax2)
- Làm xuất hiệu hai bình phương :
f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + – x)(2x + + x)
= (x + 2)(3x + 2)
- Tách thành số hạng nhóm :
f(x) = 4x2 – x2 + 8x + = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(3x + 2)
f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2)
c) Cách 3 (tách hạng tử tự c)
- Tách thành số hạng nhóm thành hai nhóm:
f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2)
(23)f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)
f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2)
e) Cách (nhẩm nghiệm): Xem phần III.
Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c ta tách sau :
f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)
Ví dụ 6 Phân tích đa thức f(x) = 4x2 - 4x - thành nhân tử.
Hướng dẫn
Ta thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2.2x Từ ta cần thêm bớt 12 = để xuất đẳng
thức
Lời giải
f(x) = (4x2 – 4x + 1) – = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1)
Ví dụ 7 Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 12x – thành nhân tử.
Lời giải
Cách 1 : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1)
= (3x – 1)(3x + 5)
Cách 2 : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5)
2 Đối với đa thức bậc từ trở lên (Xem mục III Phương pháp nhẩm nghiệm) 3.Đối với đa thức nhiều biến
Ví dụ 11 Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 2x2 - 5xy + 2y2 ;
b) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
Hướng dẫn
a) Phân tích đa thức tương tự phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c.
Ta tách hạng tử thứ :
2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x - y)
a) Nhận xét z - x = -(y - z) - (x - y) Vì ta tách hạng tử thứ hai đa thức : x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) =
= (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z)
= (x - y)(y - z)(x - z) Chú ý :
1) Ở câu b) ta tách y- z =- (x-y) -(z -x) (hoặc z-x= -(y -z)-(x -y))
(24)phân tích cách tách trên, ta cịn cách phân tích cách xét giá trị riêng (Xem phần VII).
III PHƯƠNG PHÁP NHẨM NGHIỆM
Trước hết, ta ý đến định lí quan trọng sau :
Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a f(a) = Khi đó, f(x) có nhân tử x – a và f(x) viết dạng f(x) = (x – a).q(x)
Lúc tách số hạng f(x) thành nhóm, nhóm chứa nhân tử x – a Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên đa thức, có, phải ước hệ số tự
Ví dụ 8 Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + thành nhân tử.
Lời giải
Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + = Đa thức
f(x) có nghiệm x = –2, chứa nhân tử x + Từ đó, ta tách sau Cách 1 : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)
= x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 4 : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)
= (x + 2)(x2 – x + 2).
Từ định lí trên, ta có hệ sau :
Hệ Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nghiệm x = Từ f(x) có nhân tử x – 1.
Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 8x – có + (–5) + + (–4) = nên x = nghiệm
của đa thức Đa thức có nhân tử x – Ta phân tích sau : f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1)
= (x – 1)( x – 2)2
Hệ Nếu f(x) có tổng hệ số luỹ thừa bậc chẵn tổng hệ số của các luỹ thừa bậc lẻ f(x) có nghiệm x = –1 Từ f(x) có nhân tử x + 1. Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + có + = –5 + nên x = –1 nghiệm đa
thức Đa thức có nhân tử x + Ta phân tích sau :
f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1)
= (x + 1)( x – 3)2
(25)Ví dụ 9 Phân tích đa thức f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 thành nhân tử.
Hướng dẫn
Các ước 18 ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18
f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± nghiệm f(x)
Dễ thấy không số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18 khơng nghiệm f(x) Chỉ cịn – Kiểm tra ta thấy nghiệm f(x) Do đó, ta tách hạng tử sau :
= (x – 3)(4x2 – x + 6)
Hệ Nếu ( là số nguyên) có nghiệm hữu tỉ , đó p, q Z (p , q)=1, p ước a0, q ước dương an
Ví dụ 10 Phân tích đa thức f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - thành nhân tử.
Hướng dẫn
Các ước –5 ± 1, ± Thử trực tiếp ta thấy số không nghiệm f(x) Như f(x) khơng có nghiệm nghun Xét số , ta thấy nghiệm đa thức, đa thức có nhân tử 3x – Ta phân tích sau :
f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5).
IV PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
1 Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình ph ương
Ví dụ 12 Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử
Lời giải
Cách 1 : x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cách 2 : x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1)
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cách 3 : x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1)
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Ví dụ 13 Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử
Lời giải
Cách 1 : x4 + = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
Cách 2 : x4 + = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4)
= (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
2 Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung
Ví dụ 14 Phân tích đa thức x5 + x - thành nhân tử
(26)Cách 1.
x5 + x - = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1
= x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Cách 2 Thêm bớt x2 :
x5 + x - = x5 + x2 - x2 + x - = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Ví dụ 15 Phân tích đa thức x7 + x + thành nhân tử
Lời giải
x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1)
= x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2 - x + 1)
Lưu ý : Các đa thức dạng x3m + 1 + x3n + 2 + x7 + x2 + 1, x4 + x5 + chứa nhân tử
là x2 + x + 1.
V PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Đặt ẩn phụ để đưa dạng tam thức bậc hai sử dụng phương pháp bản. Ví dụ 16 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Lời giải
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức cho có dạng :
(y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8)
= (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)
Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đưa đa thức bậc x thành đa thức bậc y
Ví dụ 17 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1.
Lời giải
Cách 1 Giả sử x ≠ Ta viết đa thức dạng :
Đặt Do :
(27)= = (x2 + 3x - 1)2.
Dạng phân tích với x =
Cách 2. A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1)
= x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2.
VI PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
Ví dụ 18 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 - 6x3 + 12x2 - 14x - 3
Lời giải
Thử với x= ±1; ±3 không nghiệm đa thức, đa thức nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd
= x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3.
Đồng hệ số ta :
Xét bd= với b, d Ỵ Z, b Ỵ {± 1, ± 3} Với b = d = 1, hệ điều kiện trở thành
2c = -14 - (-6) = -8 Do c = -4, a = -2 Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1).
VII PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG
Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng nhân tử chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định nhân tử cịn lại
Ví dụ 19 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y).
Lời giải
Thay x y P = y2(y – z) + y2( z – y) = Như P chứa thừa số (x – y).
Ta thấy thay x y, thay y z, thay z x p khơng đổi (đa thức P hốn vị vịng quanh) Do P chứa thừa số (x – y) chứa thừa số (y – z), (z – x) Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x)
(28)Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) với x,
y, z nên ta gán cho biến x ,y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta được:
4.1 + 1.(–2) + = k.1.1.(–2) suy k =1
Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)
VIII PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT SỐ ĐA THỨC ĐẶC BIỆT 1 Đưa đa thức : a3 + b3 + c3-3abc
Ví dụ 20 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) a3 + b3 + c3 - 3abc.
b) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3.
Lời giải
a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc
= [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc -ca)
b) Đặt x - y = a, y - z = b, z - x = c a + b + c Theo câu a) ta có : a3 + b3 + c3 - 3abc = Þ a3 + b3 + c3 = 3abc.
Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)
2 Đưa đa thức : (a + b + c)3-a3-b3- c3
Ví dụ 21 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3.
b) 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3.
Lời giải
a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b) + c]3 - a3 - b3 - c3
= (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3
= (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a + b)(a2 - ab + b2)
= (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)]
= 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
b) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c a + b + c = 2(a + b + c) Đa thức cho có dạng : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3
Theo kết câu a) ta có :
(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
(29)= 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y)
II Bài tập:
Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1 16x3y + 0,25yz3 21 (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2
2 x 4 – 4x3 + 4x2 22 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2
3 2ab2 – a2b – b3 23 a 4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2
4 a 3 + a2b – ab2 – b3 24 a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3)
5 x 3 + x2 – 4x - 4 25 a 6 – a4 + 2a3 + 2a2
6 x 3 – x2 – x + 1 26 (a + b)3 – (a – b)3
7 x 4 + x3 + x2 - 1 27 X 3 – 3x2 + 3x – – y3
8 x 2y2 + – x2 – y2 28 X m + 4 + xm + 3 – x - 1
10 x 4 – x2 + 2x - 1 29 (x + y)3 – x3 – y3
11 3a – 3b + a2 – 2ab + b2 30 (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
12 a 2 + 2ab + b2 – 2a – 2b + 1 31 (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3
13 a 2 – b2 – 4a + 4b 32 x3 + y3+ z3 – 3xyz
14 a 3 – b3 – 3a + 3b 33 (x + y)5 – x5 – y5
15 x 3 + 3x2 – 3x - 1 34 (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3
16 x 3 – 3x2 – 3x + 1
17 x 3 – 4x2 + 4x - 1
18 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2
19 (xy + 4)2 – (2x + 2y)2
20 (a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2
Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1 x2 – 6x + 8 23. x3 – 5x2y – 14xy2
2 x2 – 7xy + 10y2 24. x4 – 7x2 + 1
3 a2 – 5a - 14 25. 4x4 – 12x2 + 1
4 2m2 + 10m + 8 26. x2 + 8x + 7
5 4p2 – 36p + 56 27. x2 – 13x + 36
6 x3 – 5x2 – 14x 28. x2 + 3x – 18
(30)8 a4 + a2 – 2 30. 3x2 – 16x + 5
9 x4 + 4x2 + 5 31. 8x2 + 30x + 7
10 x3 – 10x - 12 32. 2x2 – 5x – 12
11 x3 – 7x - 6 33. 6x2 – 7x – 20
12 x2 – 7x + 12 34. x2 – 7x + 10
13 x2 – 5x – 14 35. x2 – 10x + 16
14 x2 – 3x – 1 36. 3x2 – 14x + 11
15 x2 – 7x + 4 37. 5x2 + 8x – 13
16 x2 – 7x + 3 38. x2 + 19x + 60
17 6x3 – 17x2 + 14x – 3 39. x4 + 4x2 - 5
18 4x3 – 25x2 – 53x – 24 40. x3 – 19x + 30
19 x4 – 34x2 + 225 41. x3 + 9x2 + 26x + 24
20 4x4 – 37x2 + 9 42. 4x2 – 17xy + 13y2
21 x4 + 3x3 + x2 – 12x - 20 43. - 7x2 + 5xy + 12y2
22 2x4 + 5x3 + 13x2 + 25x + 15 44. x3 + 4x2 – 31x - 70
Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1 x4 + x2 + 1 17. x5 - x4 - 1
2 x4 – 3x2 + 9 18. x12 – 3x6 + 1
3 x4 + 3x2 + 4 19. x8 - 3x4 + 1
4 2x4 – x2 – 1 20. a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1
5 x4y4 + 4 21. m3 – 6m2 + 11m - 6
6 x4y4 + 64 22. x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
7 x4y4 + 1 23. x3 + 4x2 – 29x + 24
8 32x4 + 1 24. x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1
9 x4 + 4y4 25. x7 + x5 + x4 + x3 + x2 + 1
10 x7 + x2 + 1 26. x5 – x4 – x3 – x2 – x - 2
11 x8 + x + 1 27. x8 + x6 + x4 + x2 + 1
12 x8 + x7 + 1 28. x9 – x7 – x6 – x5 + x4 + x3 + x2 + 1
(31)14 x10 + x5 + 1
15 x5 + x + 1
16 x5 + x4 + 1
Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1 x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2
2 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1
3 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3
4 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2
5 x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2
6 x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – 3
7 x4 – 13x2 + 36
8 x4 + 3x2 – 2x + 3
9 x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1 (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
2 (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3
3 x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
4 (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
5 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8
6 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24
7 15x3 + 29x2 – 8x – 12
8 x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8
9 x3 + 9x2 + 26x + 24
Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1 a(b + c)(b2 – c2) + b(a + c)(a2 – c2) + c(a + b)(a2 – b2)
2 ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2)
4 (x – y)5 + (y – z)5 + (z – x)5
5 (x + y)7 – x7 – y7
6 ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5
8 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc
9 a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b)
(32)Bài tập 7: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1 (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12
2 (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2
3 (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
4 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20
6 x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35
7 (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12
9 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) – 3x2
Chuyên đề : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Tiết 3 :
Các ví dụ phương pháp giải Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a a(x2+1)− x(a2+1) b x −1+xn+3− xn Giải:
a Dùng phương pháp đặt nhân tử chung a(x2+1)− x(a2+1) = ax2+a −a2x − x
¿ax(x −a)−(x − a)=(x − a) (ax−1)
b Dùng phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng đẳng thức
x −1+xn+3− xn ¿xn(x3−1)+(x −1)
¿xn(x −1)(x2+x+1)+(x −1)=(x −1)[xn(x2+x+1)+1] (x −1)(xn+2+xn+1+xn+1)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a x8 + 3x4 + 4.
b x6 - x4 - 2x3 + 2x2
Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử sử dụng đẳng thức x8 + 3x4 + = (x8 + 4x4 + 4)- x4
= (x4 + 2)2 - (x2)2
= (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2)
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng đẳng thức
x6 - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2)
¿x2[(x4−2x2+1)+(x2−2x+1)] x2[(x2−1)2+(x −1)2]=x2(x −1)2[(x+1)2+1]
x2(x −1)2[x2+2x+2] Ví dụ 3:
Phân tích đa thức thành nhân tử : a 2a2b
+4 ab2− a2c+ac2−4b2c+2 bc2−4 abc b x4+2007x2+2006x+2007
Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử nhóm thích hợp:
(33)2a2b+4 ab2− a2c+ac2−4b2c+2 bc2−4 abc
2a2b
+4 ab2− a2c −2 abc+ac2−4b2c+2 bc2−2 abc=¿2ab(a+2b)−ac(a+2b)+c2(a+2b)−2 bc(a+2b) (a+2b)(2 ab−ac+c2−2 bc)=(a+2b)[a(2b − c)− c(2b −c)]
(a+2b) (2b −c) (a −c)
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng đẳng thức
x4
+2007x2+206x+2007
¿(x4− x)+2007x2+2007x+2007 x(x −1)(x2+x+1)+2007(x2+x+1)
(x2+x+1)(x2− x+2007)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a a3+b3+c3−3 abc b (a+b+c)3− a3−b3− c3
Giải: Sử dụng đẳng thức a3+b3=(a+b)(a2+b2−ab)
¿(a+b)[(a+b)2−3 ab]
¿(a+b)3−3 ab(a+b) Do đó:
a3+b3
+c3−3 abc=¿ ¿[(a+b)3+c3]−3 ab(a+b)−3 abc
¿(a+b+c)[(a+b)2−(a+b)c+c2]−3 ab(a+b+c) (a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)
b (a+b+c)3− a3−b3− c3=[(a+b+c)3− a3]−(b+c)3
¿(b+c)[(a+b+c)2+a(a+b+c)+a2]−(b+c)(b2−bc+c2) (b+c)(3a2+3 ab+3 bc+3 ca)=3(b+c) (a+c)(a+b)
Ví dụ 5: Cho a + b + c =
Chứng minh :a3 + b3 + c3 = 3abc.
Giải: Vì a + b + c = ⇒(a+b)
=− c3⇒a3+b3+3 ab(a+b)=− c3
⇒a3+b3+c3−3 abc=0⇒a3+b3+c3=3 abc
Ví dụ 6: Cho 4a2 + b2 = 5ab, 2a > b > Tính P=ab
4a2− b2 Giải: Biến đổi 4a2 + b2 = 5ab ⇔ 4a2 + b2 - 5ab = 0
⇔ ( 4a - b)(a - b) = ⇔ a = b Do P=ab
4a2− b2= a2 3a2=
1
Ví dụ 7:Cho a,b,c x,y,z khác khác Chứng minh nếu: a
x+ b y+
c z=0;
x a+
y b+
z
c=1 ; x2 a2+
y2 b2+
z2 c2=1 Giải: ax+b
y+ c z=0⇒
ayz+bxz+cxy
xyz =0⇒ayz+bxz+cxy=0 x
a+ y b+
z
c=1⇒( x a+
y b+
z c)
2
x2 a2+
y2 b2+
z2 c2+2
ayz+bxz+cxy
abc =1
⇒x
2
a2+ y2 b2+
z2 c2=1
Tiết -9
(34)1 Phân tích đa thức thành nhân tử : a x2− x −12
b x2
+8x+15 c x2−6x −16
d x3− x2 +x+3
2 Phân tích đa thức thành nhân tử : (x2− x)2−2
(x2− x)−15 .
3 Phân tích đa thức thành nhân tử 1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x - y)a3.
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc 3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz.
4 Tìm x,y thỏa mãn: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14.
5 Cho a +| b + c + d =
Chứng minh a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd).
6 Chứng minh x + y + z = :
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2).
7 Chứng minh với x,y nguyên :
A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
số phương
8 Biết a - b = Tính giá trị biểu thức sau: a2(a+1)−b2(b −1)+ab−3 ab(a − b+1)
9 Cho x,y,z số thỏa mãn đồng thời:
¿ x+y+z=1 x2
+y2+z2=1 x3+y3+z3=1
¿{{
¿
Hãy tính giá trị biếu thức P = (x −1)17+(y −1)9+(z −1)1997
10
a.Tính 12−22+32−42+ +992−1002+1012 b.Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 53.
Tính ab + bc + ca
11 Cho số x,y,z thỏa mãn điều kiện
x + y + z = xy + yz + zx =
Hãy tính giá trị Biếu thức : S = (x-1)2005 + (y - 1)2006 + (z+1)2007
12 Cho số a,b,c thỏa điều kiện : 1a+1 b+
1 c=
1 a+b+c Tính Q = (a25 + b25)(b3 + c3)(c2008 - a2008).
==========o0o==========
HƯỚNG DẪN:
1 Phân tích đa thức thành nhân tử : a x2− x −12
=(x −4) (x+3) b x2+8x+15=(x+3)(x+5) c x2−6x −16
=(x+2)(x −8) d x3− x2+x+3=(x+1)(x2−2x+3)
2 Phân tích đa thức thành nhân tử : (x2− x)2−2(x2− x)−15=(x2− x −5)(x2− x+3)
(35)¿(x − y)(x − a)(y −a)(x+y+a) 2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc
¿(a+b)(b+c) (c+a) 3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz
(x+y)(y+z) (z+x)
4 x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14
⇔(x −1)2+(2y −3)2∨+(z −2)2
5 Từ a + b + c + d = ⇒(a+b)3=−(c+d)3 Biến đổi tiếp ta :a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd)
6 Nếu x + y + z = :
x3+y3+z3=3 xyz⇒
(x3+y3+z3)(x2+y2+z2)=3 xyz(x2+y2+z2)
⇔x5+y5+z5−xyz(xy+yz+zx)=3 xyz(x2+y2+z2)
⇔2(x5
+y5+z5)−2 xyz(xy+yz+zx)=6 xyz(x2+y2+z2);() −2 xyz(xy+yz+zx)=xyz(x2+y2+z2)
Nhưng: (x+y+z)2=0⇒−2 xyz(xy+yz+zx)=x2+y2+z2 (**)
Thay (**) vào (*) ta được:
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2).
7 Với x,y nguyên :
A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
¿(x2+5 xy+5y2)2
8 Biến đổi a2(a+1)−b2(b −1)+ab−3 ab(a − b+1)=(a− b)2(a −b+1)
9 Từ
¿ x+y+z=1 x3+y3+z3=1
¿{
¿
⇒(x+y+z)3− x3− y3− z3=3(x+y)(y+z) (z+x) x+y=0
¿ y+z=0
¿ z+x=0
¿ ¿ ¿ ¿
⇒P=−2
10
a Sử dụng đẳng thức a2 - b2 ; S -=5151
b Sử dụng đẳng thức (a + b + c)2; P = 14
11 Từ giả thiết suy ra: x2 + y2 + z2 = suy : x = y = z = 0;S = 0
12 Từ: 1a+1
b+ c=
1
a+b+c : (a + b)(b + c)(c + a) = Tính Q =
==========o0o==========
Chuyên đề 4:
BẤT ĐẲNG THỨC Vµ GI¸ TRỊ LỚN NHẤT, GI¸ TRỊ Nhá NHẤT A C¸C PHƯƠNG PH¸P CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
(36)Ta biến đổi A ≥ B⇔A1≥ B1≥ .≥ An≥ Bn (đ©y l bà ất đẳng thức đóng)
Hoặc từ bất đẳng thức đng A ≥ B , ta biến đổi An≥ Bn⇔An−1≥ Bn −1≥ ≥ A1≥ B1⇔A ≥ B VÝ dụ 1.1 Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc a, b, c ta lu«n cã:
a) a+b¿
2
2(a2+b2)≥¿ (1) b) a
+b2+c2≥ab+bc+ca (1) Gi
ả i
a) Ta cã: (1) ⇔
a −b¿2≥0
a+b¿2≥0⇔a2+b2−2 ab≥0⇔¿ 2(a2+b2)−¿
(2)
Do bất đẳng thức (2) đóng nªn bất đẳng thức (1) chứng minh
b) Ta cã: (2) ⇔2(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ca)≥0⇔(a2−2 ab+b2)+(b2−2 bc+c2)+(c2−2ca+a2)≥0
c − a¿2≥0
b − c¿2+¿
a −b¿2+¿
⇔¿
(2)
Bất đẳng thức (2) suy điều phải chứng minh Ví dụ 1.2 Chứng minh rằng:
a) 2(a4+b4)≥(a+b)(a3+b3) (1)
b) 3(a4+b4+c4)≥(a+b+c)(a3+b3+c3) (1)
Gi ả i
a) Ta cã: (1) ⇔2a4+2b4−(a4+a3b+ab3+b4)≥0⇔(a4−a3b)+(b4−ab3)≥0
⇔a3(a −b)−b3(a −b)≥0⇔(a −b)(a3− b3)≥0
a −b¿2[(a −b 2)
2 +3b
2 ]≥0 a −b¿2(a2+ab+b2)≥0⇔¿
⇔¿
(2)
Do bất đẳng thức (2) đóng suy điều phải chứng minh
b) Ta cã: (1) ⇔3a4+3b4+3c4−(a4+a3b+a3c+b4+ab3+b3c+ac3+bc3+c4)
⇔(a4+b4− a3b −ab3)+(b4+c4− b3c −bc3)+(c4+a4− a3c −ac3)≥0
c − a¿2(c2+ca+a2)≥0 b− c¿2(b2+bc+c2)+¿ a− b¿2(a2+ab+b2)+¿
⇔¿
(2)
Do bất đẳng thức (2) đóng suy điều phải chứng minh VÝ dụ 1.3 Chøng minh r»ng:
a) ax+by¿
2
(a2+b2)(x2+y2)≥¿ (1) b)
b+d¿2
a+c¿2+¿ ¿
√a2+b2+√c2+d2≥√¿
(1)
Gi ả i
a) Ta cã: (1) ⇔a2
x2+a2y2+b2x2+b2y2≥ a2x2+2abxy+b2y2
ay−bx¿
2 ≥0
(37)Bất đẳng thức (2) lu«n đóng suy điều phải chứng minh b) Ta cã: (1)
b+d¿2 a+c¿2+¿
⇔a2+b2+c2+d2+2√(a2+b2)(c2+d2)≥¿ ⇔√(a2+b2)(c2
+d2)≥ac+bd (2) +) Nếu ac+bd<0 (2)
+) NÕu ac+bd≥0 th× (2) ac+bd¿
⇔(a2+b2)(c2+d2)≥¿ ad−bd¿
2 ≥0 ⇔a2c2
+a2d2+b2c2+b2d2≥ a2c2−2abcd+b2d2⇔¿ (*) Bất đẳng thức (*) lu«n đóng suy điều phải chứng minh
VÝ dụ 1.4 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a
2 b +
b2 c +
c2
a ≥ a+b+c (1) Gi
ả i
Ta cã: (1) ⇔a3
c+b3a+c2b − a2bc− b2ac− c2ab≥0
⇔ab(a2−2 ab+b2)+ac(a2−2 ab+c2)+bc(b2−2 bc+c2)≥0
b −c¿2≥0 a − c¿2+bc¿ a− b¿2+ac¿
⇔ab¿
(*)
Bất đẳng thức (*) lu«n đóng suy điều phải chứng minh
VÝ dụ 1.5 Cho a, b, c > CMR: a2(b+c − a)+b2(c+a− b)+c2(a+b− c)≤3 abc (1) Gi
ả i
Gi¶ sư a , b ≥ c>0
Khi ta có: (1) ⇔3 abc− a2
(b+c − a)− b2(c+a− b)− c2(a+b − c)≥0
⇔3 abc− a(a2−ab−ac+bc)+b(b2−bc−ba+ac)+c(c2−ac−bc+ab)≥0
⇔a(a − b)(a −c)+b(b − c)(b −a)+c(c −a)(c − b)≥0
⇔(a −b)(a2−ac− b2+bc)+c(a −c)(b − c)≥0 a −b¿2(a+b − c)+c(a −c)(b −c)≥0
⇔¿ (*)
Bt ng thc (*) úng (Vì a , b ≥ c>0 ) Suy điều phải chứng minh 2 Phương ph¸p biến đổi đồng nhất.
Để chứng minh BĐT: A ≥ B Ta biến đổi biểu thức A − B th nh tà biu thc có giá tr không âm
Ví dụ 2.1 Chứng minh rằng: a) a2
+b2+c2+d2≥ab+ac+ad (1) b) a2+4b2+4c2≥4 ab−4 ac+8 bc (1) Gi
ả i
a) Ta cã: a2+b2+c2+d2−ab−ac−ad=(a
4 −ab+b
)+(a
4 −ac+c
)+(a
4 −ad+d
)+a ¿(a
2−b)
+(a
2− c)
+(a
2−d)
+a ≥0 ⇒a2
(38)b) Ta cã: a2+4b2+4c2−4 ab+4 ac−8 bc=(a2−4 ab+4b2)+4c2+(4 ac−8 bc)
2c¿
2
a −2b¿2+2 (a −2b).2c+¿ ¿¿
a −2b+2c¿2≥0 ¿ ¿ ⇒a2
+4b2+4c2≥4 ab−4 ac+8 bc (®pcm) VÝ dụ 2.2 Chứng minh rằng:
a) a+b¿
3
4(a3+b3)≥¿ víi a , b>0
b)
c+a¿3 b+c¿3+¿ a+b¿3+¿ 8(a3+b3+c3)≥¿
víi a , b , c>0
c) a+b+c¿3≥ a3+b3+c3+24 abc
¿ víi a , b , c ≥0 Gi
ả i
a) Ta cã:
a+b¿2 a −b¿2≥0
4(a2−ab+b2)−¿=3(a+b)¿ a+b¿3=(a− b)¿
4(a3+b3)−¿
(®pcm)
b) Ta cã:
b − c¿2≥0 a − c¿2+3(b+c)¿ a −b¿2+4(a+c)¿ c+a¿3= =3(a+b)¿
b+c¿3−¿ a+b¿3−¿ 8(a3+b3+c3)−¿
c) Ta cã:
b − c¿2≥0 a −b¿2+3a¿ a− c¿2+3c¿
a+b+c¿3− a3−b3− c3−24 abc= =3b¿ ¿
VÝ dụ 2.3 Với a, b, c > Chứng minh rằng: a)
a+ b≥
4
a+b b)
1 a+
1 b+
1 c≥
9
a+b+c c) a b+c+
b c+a+
c a+c≥
3 Gi
ả i a)
a − b¿2 ¿ ¿
a+ b−
4 a+b=
b(a+b)+a(b+c)−4 ab
ab(a+b) =
a2−2 ab+b2
ab(a+b) =¿
b) a+
1
b+
1
c−
9
a+b+c=
bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)
(39)
a −b¿2 ¿ b − c¿2
¿ c −a¿2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ c) a
b+c+ b c+a+
c a+c−
3 2=(
a b+c−
1 2)+(
b c+a−
1 2)+(
c a+b−
1 2) ¿(a − b)+(a − c)
2(b+c) +
(b − a)+(b − c)
2(c+a) +
(c − a)+(c −b)
2(a+b)
¿1
2(a − b)( b+c−
1 c+a)+
1
2(b − c)( a+c−
1 a+b)+
1
2(c − a)( a+b−
1 b+c)
a −b¿2 ¿ b − c¿2
¿ c −a¿2
¿ ¿≥0
¿ ¿ ¿ ¿1 2¿ VÝ dụ 2.4
a) Cho a ;b ≥0 Chøng minh r»ng: a+b ≥2√ab (Bất đẳng thức C« Si) b) Cho a ;b ;c ≥0 Chøng minh r»ng: a+b+c ≥3√3abc (Bất đẳng thức C« Si)
c) Cho a ≥ b ≥ c vµ x ≤ y ≤ z Chøng minh rằng: (a+b+c)(x+y+z)3(ax+by+cz)
(BĐT Trê-B-Sép) Gi
i
a) Ta cã: √a −√b¿2≥0
a+b −2√ab=¿
b) Ta cã:
3
√a −√3c¿2
3
√c −√3 b¿2+¿≥0
3
√a −√3b¿2+¿ ¿
a+b+c −3√3abc=1
2(
3
√a+√3b+√3c)¿
c) Ta cã: (a+b+c)(x+y+z)−3(ax+by+cz)=(y − x)(a − b)+(z − x)(b− c)+(x − z)(c − a)≥0
VÝ dụ 2.5 Cho a, b, c > Chứng minh: a) bc
a + ca
b + ab
c ≥ a+b+c b) bc
a + ca
b + ab
c ≥√3(a
+b2+c2)
(40)a) Ta cã:
a − b¿2 ¿ c − a¿2
¿ b − c¿2
¿ ¿ ¿ ¿ bc a + ca b + ab
c −(a+b+c)= c 2.¿ b) Ta cã: (bc
a + ca b + ab c )
−3(a2+b2+c2)=1
2[(
c(a2−b2)
ab )
2 +(a(b
2 − c2)
bc )
2 +(b(c
2 − a2)
ca )
2 ]≥0 ⇒(bc
a + ca b + ab c )
≥3(a2+b2+c2)⇒ bc a +
ca b +
ab
c ≥√3(a
+b2+c2)
VÝ dụ 2.6 Chứng minh rằng: a)
1+a2+
1 1+b2≥
2
1+ab (nÕu ab>1 ) b)
1 1+a2+
1 1+b2≤
2
1+ab (nÕu
a2+b2≤2 )
c) 1− a2+
1 1− b2≥
2
1−ab (nÕu −1<a ,b<1 ) d)
1+a¿2 ¿ 1+b¿2
¿ ¿ ¿ ¿
(nÕu a , b>0 )
Gi ả i a) Ta cã:
a − b¿2(ab−1)
¿ ¿
1+a2+
1 1+b2−
2 1+ab=(
1 1+a2−
1 1+ab)+(
1 1+b2−
1 1+ab)=¿
b) Ta cã:
a −b¿2(ab−1)
¿ ¿
1+a2+
1 1+b2−
2 1+ab=¿
V×
|ab|≤a
+b2
2 ≤1⇒ ab+1≥0
ab−1≤0 ⇒ ¿{
a −b¿2(ab−1)
¿ ¿ ¿
⇒ (®pcm)
c) Ta cã:
a − b¿2(1− a2b2)
¿ 1−ab¿2
¿
(1− a2)(1− b2)¿ ¿
1 1− a2+
1 1− b2−
2 1−ab=(
1 1− a2−
1 1−ab)+(
1 1−b2−
(41)d) Ta cã:
1+a¿2 ¿ 1+b¿2
¿ ab−1¿2
¿ 1+b¿2(1+ab)
¿ 1+a¿2¿
¿ a −b¿2+¿ ab¿
¿ ¿ ¿
3 Phương ph¸p sử dung tÝnh chất bất đẳng thức
Cơ sở phương ph¸p n y l c¸c tÝnh chà ất bất đẳng thức v mà ột số bất đẳng thức như:
+) NÕu a b b c a c
+) Nếu a b a.b>0 a≤
1 b
+) NÕu ¿ a ≥b ≥0 m≥ n ≥0
¿{
¿
th× a.m≥ b.n
+) a −b¿2≥0 ¿
+) NÕu a , b>0 th×
a+ b≥
4 a+b
VÝ dụ 3.1 Cho a+b>1 Chứng minh: a4+b4>1
8 Gi
ả i
Ta cã:
a+b¿2 ¿ a2
+b2¿2 ¿ ¿ ¿
a −b¿2≥0⇒a2+b2≥¿ ¿
VÝ dụ 3.2 Với a, b, c > Chøng minh r»ng: a) a
3 b +
b3 c +
c3
a ≥ab+bc+ca b) a3 b2+
b3 c2+
c3
a2≥ a+b+c Gi
ả i
a) Ta cã: x2
y ≥ x
+xy− y2 (víi x , y>0 )
⇒a3
b + b3
c + c3
a ≥(a
+ab− b2)+(b2+bc− c2)+(c2+ca− a2)=ab+bc+ca
b) Ta cã: x
3
(42)⇒a3
b2+ b3 c2+
c3
a2≥(3a−2b)+(3b −2c)+(3c −2a)=a+b+c VÝ dụ 3.3 Cho a, b, c > CMR:
a) bc
a + ca
b + ab
c ≥ a+b+c b) a2 b+c+
b2 c+a+
c2 a+b≥
a+b+c
2 Gi
ả i
a) Ta dể dàng chứng minh đợc bc
a + ca
b ≥2c⇒ (®pcm)
b) Ta dể dàng chứng minh đợc a
2 b+c+
b+c
4 ≥ a⇒ (®pcm) VÝ dụ 3.4 Cho x , y , z>0 thoả mÃn điều kiện:
x+ y+
1
z=4 Chøng minh r»ng:
2x+y+z+
1 x+2y+z+
1
x+y+2z≤1
Giải:
Ta có: Với a , b>0 a+
1 b≥
4
a+b Từ suy
16
2x+y+z=
16
(x+y)+(z+x)≤
4 x+y+
4 z+x≤
2 x+
1 y+
1
z (1) 16
x+2y+z=
16
(x+y)+(y+z)≤
4 x+y+
4 y+z≤
1 x+
2 y+
1
z (2) 16
x+y+2z=
16
(y+z)+(z+x)≤
4 y+z+
4 z+x≤
1 x+
1 y+
2
z (3)
Tõ (1), (2) vµ (3) ⇒ 162x
+y+z+
16
x+2y+z+
16
x+y+2z≤
4 x+
4 y+
4
z=16⇒ (®pcm) VÝ dụ 3.5.
a) Cho a, b, c l độ d i ba cà ạnh tam gi¸c Chứng minh r»ng:
a+b − c+
1 b+c −a+
1 c+a −b≥
1 a+ b+ c
b) Cho a, b, c > thỏa m·n: abc=ab+bc+ca . Chứng minh:
a+2b+3c+
1 b+2c+3a+
1 c+2a+3b≤
3 16 Gi
i
áp dụng BĐT
a+ b≥
4
a+b (víi a , b>0¿ Ta cã:
1 a+b − c+
1 b+c −a≥
4 2b=
2
b (1)
b+c − a+
1 c+a −b≥
4 2c=
2
c (2)
c+a −b+
1 a+b − c≥
4 2a=
2
a (3)
Từ (1), (2) (3) (đpcm) b) Tơng tự: ¸p dơng B§T
a+b≤
1 a+
1
b (víi a , b>0¿ Ta cã: 16
a+2b+3c=
16
(c+a)+2(b+c)≤
4 c+a+
4 2(b+c)≤
1 c+
1 a+
1 2b+
1
(43)16
b+2c+3a=
16
(a+b)+2(c+a)≤
4 a+b+
4 2(c+a)≤
1 a+
1 b+
1 2c+
1
2a (2) 16
c+2a+3b=
16
(b+c)+2(a+b)≤
4 b+c+
4 2(a+b)≤
1 b+
1 c+
1 2a+
1
2b (3)
Tõ (1), (2) vµ (3) ⇒ 16( a+2b+3c+
1 b+2c+3a+
1
c+2a+3b)≤3(
1 a+
1 b+
1
c) (*)
Mặt khác: abc=ab+bc+ca1 a+
1 b+
1
c=1 (**)
Từ (*) (**) (đpcm) VÝ dụ 3.5
Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a) a
a+b+ b b+c+
c
c+a<2 b) a b+c+
b c+a+
c a+b≥
a 1+a2+
b 1+b2+
c 1+c2
Gi ả i
a) ¸p dụng BĐT: NÕu 0<x<y , m>0 th× x y<
x+m y+m
Ta cã: a
a+b< c+a a+b+c ;
b b+c<
a+b a+b+c ;
c c+a<
b+c a+b+c
⇒ a
a+b+ b b+c+
c c+a<
2(a+b+c)
a+b+c =2 (®pcm)
b) Ta cã: a2+1≥2a⇒ a a2
+1≤
1 T¬ng tù: b
b2+1≤
1 vµ
c c2+1≤
1
2 Từ suy a 1+a2+
b 1+b2+
c 1+c2≤
3
2 (1) Mặt khác ta lại chứng minh đơc
2≤ a b+c+
b c+a+
c
a+b (BĐT Net Bit) (2)
Từ (1) (2) (đpcm)
4 Phng pháp s dung bt đẳng thức C« - Si *) Víi a1, a2, a3, , an≥0 th× a1+a2+a3+ .+an
n ≥
n
√a1a2a3 an Dấu “=” xảy a1=a2=a3= =an≥0
VÝ dụ 4.1 Cho a, b > thỏa m·n ®iỊu kiƯn: a.b=1 CMR: (a+b+1)(a2+b2)+ a+b≥8
Gi ả i
Áp dụng BĐT “C« - Si” cho hai sè dơng a2
b2
ta có: a2+b2≥2 ab
=2⇒ (a+b+1)(a2+b2)+a4
+b≥2(a+b+1)+
4
a+b=(a+b)+(a+b+
4
a+b)+2 (1)
T¬ng tù: Cđng áp dung BĐT Cô - Si ta có:
a+b ≥2√ab=2 a+b+
a+b≥2√(a+b)
4
(a+b)=4 }
⇒
(a+b)+(a+b+
a+b)+2≥2+4+2=8 (2)
Từ (1) (2) (đpcm)
(44)a)
a+b¿2 ¿ ¿ ¿
b) √ a
b+c+√ b c+a+√
c a+b>2
Gi ả i a) Ta cã:
a+b¿2
ab+ba
b) áp dụng BĐT C« - Si ta cã: √b+c
a =√( b+c
a ).1≤ 2(
b+c a +1)=
a+b+c
2a ⇒√ a b+c≥
2a
a+b+c (1)
Tơng tự ta củng chứng minh đợc: √ b
c+a≥
2b
a+b+c (2) vµ √ c a+b≥
2c
a+b+c (3)
Tõ (1), (2) vµ (3) ⇒ √ a b+c+√
b c+a+√
c a+b≥2
Dấu “=” xảy
¿ a=b+c b=c+a c=a+b
⇔a+b+c=0
¿{ {
(trái với giả thiết) Vy dấu “=” kh«ng xảy
VÝ dụ 4.3 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a) a
2 b2+c2+
b2 c2+a2+
c2 a2+b2≤
a3
+b3+c3
2 abc b)
a2 +b2+
1 b2
+c2+
1 c2
+a2≤
a3+b3+c3
2 abc +3 (víi a
+b2+c2=1 )
Gi ả i
a) Ta cã: a
2 b2
+c2≤ a2 bc=
a3 abc;
b2 c2
+a2≤ b2 ca=
b3 abc;
c2 a2
+b2≤ c2 ab=
c3 abc ⇒ a2
b2+c2+ b2 c2+a2+
c2 a2+b2≤
a3+b3+c3
2 abc (®pcm) b) Ta cã:
a2+b2+
1 b2+c2+
1 c2+a2=(a
2
+b2+c2)( a2+b2+
1 b2+c2+
1 c2+a2)
¿ a b2
+c2+ b2 c2
+a2+ c2 a2
+b2+3≤ a3
+b3+c3
2 abc +3
VÝ dụ 4.4 Cho a, b, c > Chứng minh rằng:
a3+b3+abc+
1 b3+c3+abc+
1 c3+a3+abc≤
1 abc Gi
ả i
Ta cã: a2+b2≥2 ab⇒(a+b)(a
+b2)
2 ≥ab(a+b)⇔a
+b3≥ab(a+b)
⇒abc
a3+b3+abc≤
abc
ab(a+b)+abc= c a+b+c
Tơng tự ta củng chứng minh đợc: abc
b3+c3+abc≤ a
a+b+c vµ
abc
c3+a3+abc≤ b a+b+c
(45)VÝ dụ 4.5 Cho a, b, c > thỏa m·n ®iỊu kiƯn: a2+b2+c2=3 Chứng minh rằng: ab c + bc a + ca
b ≥3 (1) Gi
ả i
Ta cã: (1) ⇔a2b2
c2 + b2c2
a2 + c2a2
b2 +2(a
+b2+c2)≥3(a2+b2+c2)
Mµ: a
2 b2 c2 +
b2c2 a2 +
c2a2 b2 ≥
ab c bc a + bc a ca b + ca b ab c =a
2
+b2+c2
Suy điều phải chứng minh
VÝ dụ 4.6 Cho x, y, z > thỏa m·n xyz = Chứng minh r»ng: a) x
3
(1+y)(1+z)+
y3 (1+z)(1+x)+
z3
(1+x)(1+y)≥
3 b) xy
x5+xy+y5+
yz
y5+yz+z5+
zx
z5+zx+x5≤1
Gi ả i
a) p dng bt ẳng thc Cô - Si ta cã:
x3 (1+y)(1+z)+
1+y
8 + 1+z
8 ≥ 3x
4 ⇒
x3
(1+y)(1+z)≥
3x −
1+y
8 − 1+z
8 (1) Tơng tự ta củng chứng minh đợc: y
3
(1+z)(1+x)≥
3y −
1+z
8 − 1+x
8 (2) Vµ: z
3
(1+x)(1+y)≥
3z −
1+x
8 − 1+y
8 (3) Tõ (1), (2) vµ (3) ⇒ VT x+y+z
2 − 4≥ 33 √xyz − 4=
4 (®pcm) b) Ta cã: x4+y4≥2x2y2⇒(x
4
+y4)(x+y)
2 ≥ x
y2(x+y)⇔x5+y5≥ x2y2(x+y)>0
⇒ xy
x5
+xy+y5≤
xy
xy+x2y2(x+y)=
1
1+xy(x+y)=
xyz
xyz+xy(x+y)= z x+y+z Tơng tự ta củng chứng minh đợc: yz
y5+yz+z5≤ x x+y+z
Vµ zx
z5
+yz+x5≤ y x+y+z
⇒xy
x5+xy+y5+
yz
y5+yz+z5+
zx
z5+zx+x5≤1 (®pcm)
VÝ dụ 7 Cho x, y, z > Chứng minh: x
3 yz+
y3 zx +
z3
xy ≥ x+y+z Gi
ả i
(46)x3
yz+y+z ≥3x y3
zx+z+x ≥3y z3
xy+x+y ≥3z
} }
⇒
(yzx3+
y3
zx+
z3
xy )+2(x+y+z)≥3(x+y+z)⇒
x3 yz+
y3 zx +
z3
xy ≥ x+y+z (®pcm)
5 Phương ph¸p sử dơng bất đẳng thức Bunhiacopski. Víi mäi a, b, c x, y, z R ta lu«n cã:
*) a.x+b.y¿2≤(a2+b2)(x2+y2)
¿ DÊu “=” x¶y x a=
y b
*) a.x+b.y+cz¿2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)
¿ DÊu “=” x¶y
x a= y b= z c Tỉng qu¸t:
Víi a1;a2;a3; ;an vµ x1; x2; x3¿; .; xn∈ ¿
R th×
(a12+a22+a32+ +an2)
a1x1+a2x2+a3x3+ .+anxn¿2 (x12+x22+x32+ +xn2)≥¿ DÊu “=” xảy xa1
1 =x2
a2 =x3
a3
= =xn an VÝ dụ 5.1 Cho a, b > Chứng minh r»ng:
a)
a+ b≥
4
a+b b)
n+m¿2 ¿ ¿ n2
a + m2
b ≥¿ Gi
ả i
a) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta cã: 4=(
√a.√a+ √b.√b)
2 ≤(1
a+
b)(a+b)⇒ a+
1 b≥
4 a+b
b) Ta cã:
m+n¿2⇒
(na2+ m2
b )(a+b)≥( n √a.√a+
m √b√b)
2 =¿
n+m¿2 ¿ ¿ n2
a + m2
b ≥¿
Tæng quát:
*) Với bi>0;i=1, n
a1+a2+a3+ +an ¿
¿ a12
b1+ a22 b2+
a32 b3+ .+
an2 bn≥¿
(1)
*) Víi aibi>0;i=1, n th×
a1+a2+a3+ +an¿ ¿
¿ a1
b1 +a2
b2 +a3
b3
+ .+an bn
≥¿
(2)
(47)(a1
b1 +a2
2
b2 +a3
2
b3
+ +an
bn)
(b1+b2+b3+ +bn)≥( a1 √b1
.√b1+ a2 √b2
.√b2+ + an √bn
.√bn)
a1+a2+a3+ +an¿ ¿ ¿
a1+a2+a3+ +an¿ ¿
¿ ⇒a1
2
b1+ a22 b2+
a32 b3+ +
an2 bn≥¿
§ặt aibi=xi>0 thay v o (1) (2)
VÝ dụ 5.2 Cho a, b, c l c¸c sà ố thực dương Chứng minh r»ng: a) a2
b + b2
c + c2
a ≥ a+b+c b) a2 b+c+
b2 c+a+
c2 a+b≥
a+b+c
2 c) a
3
b2+ b3 c2+
c3 a2≥ a
2
+b2+c2 d) a b+c+
b3 c+a+
c3 a+b≥
a2
+b2+c2
2 Gi
ả i a) Ta cã:
a+b+c¿2 ¿ ¿ a2 b + b2 c + c2
a ≥¿
b) Ta cã:
a+b+c¿2 ¿ ¿
a2 b+c+
b2 c+a+
c2 a+b≥¿
c) Ta cã:
a2
+b2+c2¿2 ¿ ¿ a3
b2+ b3 c2+
c3 a2=
a4 ab+
b4 bc +
c4 ca ≥¿ d) Ta cã: a
3 b+c+
b3 c+a+
c3 a+b=
a4 ab+ca +
b4 ab+bc +
c4 bc+ca ≥
a2+b2+c2
2 VÝ dụ 5.3 Cho a, b, c > Chứng minh: 25b+ac+16b
c+a+ c a+b>8
Gi ả i
Ta cã: VT = 25( a
b+c+1)+16( b
c+a+1)+( c
a+b+1)−42
5+4+1¿2 ¿ ¿ ¿(a+b+c)(25
b+c+
16 c+a+
1
a+b)≥(a+b+c).¿
Dấu “=” xảy b+5c=c+a
4 = a+b
1 ⇒a=0 (v« lÝ) ⇒ suy điều phải chứng minh
VÝ dụ 5.4 Cho x, y, z > Chứng minh: x
2 y2+
y2 z2+
z2 x2≥
x y+ y z+ z x Gi
(48)Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki ta cã:
x2 y2+
y2 z2+
z2 x2≥
1 3(
x y+
y z+
z x)(
x y+
y z+
z x)≥
x y+
y z+
z x
B CáC PH NG PHáP TìM GIá TRỊ L Ớ N NHẤ T, GI¸ TRỊ NHỎ NHẤ T
Cho biểu thức f(x,y…)
*) Ta nãi M l gi¸ trà ị lớn f(x,y…) kÝ hiệu maxf(x,y…) = M, hai điều kiện sau thỏa m·n:
- Với x, y… để f(x,y…) Xác định f(x,y…) M - Tồn x0, y0… cho f(x0,y0…) = M
*) Ta nãi m l gi¸ trà ị nhỏ f(x,y…) kÝ hiệu minf(x,y…) = m, hai điều kiện sau thỏa m·n:
- Với x,y…để f(x,y…) Xác định f(x,y…) m - Tồn x0, y0… cho f(x0,y0…) = m
I) T× M GTLN, GTNN CỦ A A THĐ Ứ C B C HAIẬ 1 Đ a th ứ c b ậ c hai m ộ t bi ế n
VÝ dụ 1.1
a) T×m GTNN A = 3x2 – 4x + 1 b) T×m GTLN B = – 5x2 + 6x – 2 c) T×m GTNN C = (x – 2)2 + (x – 3)2 d) Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c
T×m GTNN P a > T×m GTNN P a > Gi
ả i
a) A = 3(x2−2.x.23+4
9)−
3=3(x − 3)−
1 3≥ −
1
3 Vậy GTNN cđa A lµ −
3 Đạt đợc x=2
3
b) B = −5(x2−65x+
25)−
5=−5(x − 5)
2 −1
5≤ −
5 VËy GTLN B
5 Đạt ®-ỵc x =
5
c) C = x2−4x+4+x2−6x+9=2(x2−5x+25
4 )+
2=2(x − 2)
2 +1
2≥ Vậy GTNN biểu thức C = 12 Đạt đợc x=5
2 d) Ta cã: P = a(x2+b
ax+ b2 4a2)+c −
b2
4a=a(x+ b 2a)
2
+c − b 4a
Nếu a > th× P c − b
4a Vậy GTNN cña P = c − b2
(49)Nếu a < th× P c − b
4a Vậy GTLN cña P = c − b2
4a Đạt đợc x=− b 2a Ví dụ 1.2
a) T×m GTNN M = x2 – 3x + với x 2.
b) T×m GTLN N = x2 – 5x + với −3≤ x ≤8 .
Gi ả i
a) M = (x −1)(x −2)−1≥ −1 Vậy GTNN M = -1 Đạt đợc x = b) N = (x+3)(x −8)+25≤25 Vậy GTLN N = 25 Đạt đợc x = -3, x = 2 Đ a th ứ c b ậ c hai hai bi ế n
a) Đ a th ứ c b ậ c hai hai bi ế n cã đ i ề u ki ệ n
VÝ dụ 2a.1
a) Cho x + y = T×m GTLN P = 3xy –
b) Cho x – 2y = T×m GTNN Q = x2 + 2y2 – x + 3y
Gi ả i
a) x+y=1⇒x=1− y⇒ P = 3(1− y)y −4=−3y2+3y −4=−3(y −1
2)
−13 ≤ −
13 Vậy GTLN P = −134 Đạt đợc x=y=1
2
b) x −2y=2⇒x=2y+2⇒ Q ¿4 y2+8y+4+2y2−2y −2+3y=6y2+9y+2 ¿6(y2+3
2 y+ 16)−
11
8=6(y+ 4)
2 −11
8 ≥− 11
8
Vậy GTNN Q = −118 Đạt đợc ¿ x=1
2 y=−3
4 ¿{
¿
VÝ dụ 2a.2 T×m GTLN của P = xy víi x, y thỏa mÃn điều kiện: a) x+y=6 y 4 b) x+y=S y a>S
2 Giải:
a) P = (6− y)y=8−(y −2)(y −4)≤8 Vậy GTLN P = Đạt đợc x = 2, y = b) Q = (S − y)y=(S − a)a −(y −a)(y+a− S)≤(S − a)a Vậy GTLN Q = (S – a)a
Đạt đợc x = S – a, y = a
b) Đ a th ứ c b ậ c hai hai bi ế n
Cho đa thức: P(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + h (1), với a, b, c 0
Ta thường đưa P(x, y) dạng: P(x, y) = mF2(x, y) + nG2(y) + k (2)
P(x, y) = mH2(x, y) + nG2(x) + k (3)
Trong G(y), H(x) l hai bià ểu thức bậc Èn, H(x, y) l bià ểu thức bậc hai ẩn
(50)4a P (x , y)=4a2x2+4 abxy+4 acy2+4 adx+4 aey+4 ah
¿4a2x2+b2y2+d2+4 abxy+4 adx ++ bdy+(4 ac−b2)+2(2 ae−bd)y+4 ah− d2
2 ae−bd¿2 ¿ ¿
2 ax+by+d¿2+(4 ac− b2)(y+2 ae−bd
4 ac−b2)
+4 ahd2−¿ ¿ ¿
(Tương tự nh©n hai vế (1) với 4c để chuyển (3)) VÝ dụ 3.1
a) T×m GTNN P = x2 + y2 + xy + x + y
b) T×m GTLN Q = –5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y – 1
Gi ả i
a) 4P = 4x2+4y2+4 xy+4x+4y=(4x2+y2+1+4 xy+4x+2y)+3y2+2y −1
2x+y+1¿2+3(y+13)
2 −4
3≥ − ¿ ¿
Vậy GTNN P = −43 Đạt đợc x=y=−1
3 b) – 5Q
3y −6¿2−80 5x − y −7¿2+¿
¿25x2+10 xy+10y2−70x −50y+5=¿
⇒ Q
y −2¿2+16≤16
5x − y −7¿2−9 5¿ ¿−1
5¿
Vậy GTLN Q = 16 Đạt đợc x = 1, y = Ví dụ 3.2
T×m cặp số (x, y) với y nhỏ thỏa m·n ®iỊu kiƯn: x2 + 5y2 + 2y – 4xy – = (*)
Gi ả i Ta cã (*)
y+1¿2≤4⇒(y+3)(y −1)≤0⇒−3≤ y ≤1 y+1¿2=4⇒¿
x −2y¿2+¿ ⇔¿
Vậy GTNN y = –3 Đạt đợc x = – Vậy cặp số (x, y) = (–6; –3)
VÝ dụ 3.3 Cho x, y liªn hệ với hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 7y2 + 10 =
(**)
H·y t×m GTLN, GTNN biÓu thøc: S = x + y + Gi
ả i
Ta cã (**) ⇔4x2
+8 xy+28x+28y+4y2+40=0 2x+2y+7¿2+4 y2=9
⇔¿
(51)
⇔
x+y+5≥0 x+y+2≤0
¿{
(v× x+y+2≤ x+y+5 ) ⇔−4≤ S −1
Vậy GTNN S = –4 Đạt đợc x = –5, y = GTLN S = –1 Đạt đợc x = –2, y =
II PHƯƠ NG PH¸P MIỀ N GIá TR
Ví d Tìm GTLN, GTNN A = x
2
+4√2x+3 x2
+1
Gi ả i
Biu thc A nhn giá tr a phng trình: a = x
2
+4√2x+3
x2+1 cã nghiệm
⇔(a −1)x2−4√2 x+a−3=0 cã nghiÖm (1)
Nếu a = th× phương tr×nh (1) cã nghiệm x = −√2
Nếu a phương trình (1) có nghiệm Δ' ≥0⇔− a2+4a+5≥0⇔−1≤ a ≤5 Vậy GTNN biểu thức A - Đạt đợc x=−√2
Và GTLN biểu thức A Đat đợc x=√2
2 VÝ dụ T×m GTLN, GTNN biểu thức: B = x+2y+1
x2
+y2+7
Gi ả i
Biểu thức B nhận gi¸ trị b phương tr×nh b = x+2y+1
x2
+y2+7 cã nghiệm
⇔bx2− x+by2−2y+7b −1=0 (2) cã nghiÖm
Trong x l Èn, y l tham sà ố v b l tham sà ố cã điều kiện Nếu b = ⇒x+2y+1=0
Nếu b th× PT (2) cã nghiệm x Δ≥0⇔1−4b(by2−2y+7b −1)≥0 (3) Coi (3) l bà ất phương tr×nh ẩn y BPT n y xà ảy với gi¸ trị y
16b2+4b2(−28b2+4b+1)≥0
Vậy GTNN biểu thức B = −145 Đạt đợc x=−7
5 vµ y=− 14
5 GTLN cđa biĨu thøc B =
2 Đạt đợc x=1 y=2
III phƯơng pháp sử dụng Bất đẳng thức.
1 Sư dung B§T Cô - Si.
Ví d 1.1 Tìm GTLN, GTNN cđa biĨu thøc: A = √3x −5+√7−3x víi 53≤ x ≤73 Ta cã: A2 = 3x −5
+7−3x+2√(3x −5)(7−3x)=2+2√(3x −5)(7−3x) ⇒ A2 2 ⇒ A
√2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A √2 Đạt đợc
x=5
(52)(Biểu thức cho dạng tổng hai thức Hai biểu thức lấy cã tổng là hằng số)
VÝ dụ 1.2 Cho x, y > thoả mÃn điều kiện x + y T×m GTNN cđa biĨu thøc: P ¿3x+2y+6
x+
y Gi
ả i
Ta cã: P ¿3
2(x+y)+ 3x
2 + x+
y 2+
8 y≥
3
2 6+2√ 3x
2 x+2√
y
8
y=9+6+4=19
Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 19 Đạt đợc x = y = Ví dụ 1.3 Tìm GTLN biểu thức : M = x√y −2+y√x −3
xy Víi x ≥3; y ≥2 Gi
ả i
Ta cã : M = √x −3
x +
y 2 y
áp dụng BĐT Cô - Si ta cã :
√3(x −3)≤x
2
√2(y −2)≤ y
2
} √x −3
x ≤
√3 √y −2
y ≤√ ⇒}⇒
M √3 +
2
Vậy Giá trị lớn biĨu thøc M lµ √3 +
√2
4 Đạt đợc x = y = Ví dụ 1.4 Cho x, y, z > thoả mãn: 11
+x+
1 1+y+
1
1+z≥2 (1) T×m GTLN cđa biĨu
thøc P = xyz Gi
ả i
Tõ (1) ⇒
1+x≥(1−
1
1+y)+(1−
1 1+z)=
y
1+y+ z
1+z≥2√
yz
(1+y)(1+z) T¬ng tù:
1+y ≥2√
zx
(1+z)(1+x)
Vµ 1+z≥2√
xy
(1+x)(1+y)
Nh©n vế với vế ba BĐT trªn ta cã: P = xyz 18 DÊu “=” x¶y x=y=z=1
2 VËy GTLN cđa biĨu thøc P lµ
8 Đạt đợc x=y=z= Ví dụ 1.5 Cho < x < 1, Tìm GTNN biểu thức: Q = 1− x3 +4
x Gi
(53)Ta cã: P =
2+√3¿2 3x
1− x+
4(1− x)
x +7≥2√ 3x 1− x
4(1− x) x +7=¿ ⇒ GTNN biĨu thøc: Q = 1− x3 +4
x lµ 2+√3¿
¿ Đạt đợc √3−1¿2
3x
1− x=
4(1− x)
x ⇔x=¿ (Đặt P = 13 ax− x+4b(1− x)
x +c råi đồng hệ số suy a = b = 1; c = 7) VÝ dụ 1.6 Cho x, y, z, t > T×m GTNN biểu thức: M = x −tt
+y+ t − y
y+z+ y − z z+x +
z− x x+t
Gi ả i
Áp dụng bất đẳng thức C«-Si ta cã: 1a+1 b≥
4
a+b với a, b >
Ta cã : M = M + – = (x −tt+y+1)+(t − y y+z+1)+(
y − z z+x +1)+(
z − x
x+t +1)−4
= x+y
t+y+ t+z y+z+
y+x z+x+
z+t x+t−4
= (x+y)( t+y+
1
z+x)+(z+t)(
1 y+z+
1 x+t)−4
4(x+y)
x+y+z+t+
4(z+t)
x+y+z+t−4=0
VËy GTNN biểu thức: M = x −tt+y+t − y y+z+
y − z z+x +
z− x
x+t Đạt đợc x = y z = t
2 Sử dụng BĐT Bunhiacopski (BCS)
Ví dụ 2.1 Cho x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = Tìm GTNN biểu thức: A = x4 +
y4 + z4
Gii
áp dụng BĐT Bunhia Copski ta cã:
x2+y2+z2¿2
xy+yz+zx¿2≤(x2+y2+z2)(x2+y2+z2)=¿ 1=¿
x2+y2+z2¿2≤(1+1+1)(x4+y4+z4)
1 P
3 Giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc P lµ
3 đạt đợc x=y=z=√ 3
Ví dụ 2.2 Tìm GTNN P = b 4a
+c − a+
9b c+a −b+
16c
a+b − c a, b, c độ dài ba
cạnh tam giác
Giải
P = b+4c − aa + 9b c+a −b+
16c
a+b − c=4( a b+c −a+
1 2)+9(
b c+a − b+
1 2)+(
c a+b − c+
1 2)−
(54)¿(a+b+c ).(
4 b+c −a+
9 c+a −b+
16
a+b− c)−
29
2+3+4¿2 ¿ ¿−29
2 =
a+b+c
2 81
a+b+c−
29 =26 ¿
(a+b+c
2 ).¿
Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 26 đạt đợc a
7= b 6=
c
Ví dụ 2.3 Tìm giá trị nhỏ Q = 1 a
+b − a+ b 1+c − b+
c 1+a − c
Trong a , b , c>0 vµ a+b+c=1 . Giải
Ta cã: Q
a+b+c¿2 ¿ a+b+c¿2
¿ ¿ ¿ ¿ a
2b+c+ b 2c+a+
c 2a+b≥¿
Vậy giá trị nhỏ biểu thức Q đạt đợc a=b=c=1
3
Ví dụ 2.4
Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN P = a2+b2+c2+
1 ab+
1 bc+
1 ca
Giải
1 ab+
1 bc+
1 ca≥
9
ab+bc+ca ⇒ P
1 a2
+b2+c2+
9 ab+bc+ca
¿(
a2+b2+c2+
4
2(ab+bc+ca))+
7 ab+bc+ca
1+2¿2
¿ a+b+c¿2
¿ a+b+c¿2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 30 đạt đợc a = b = c =
3
Equation Chapter Section
Tiết 21-22
(55)1. Chứnh minh : (Với a , b 0) (BĐT Cô-si) Giải:
( a – b ) = a - 2ab + b a + b 2ab Đẳng thức xảy a = b
2. Chứng minh: (Với a , b 0)
Giải:
( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab + 4ab ( a + b ) 4ab Đẳng thức xảy a = b
3. Chứng minh: (Với a , b 0)
Giải:
2(a + b) – ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b) 2(a + b) ( a+b ) Đẳng thức xảy a = b
4. Chứng minh: (Với a.b > 0)
Giải:
+ = Do ab Hay + Đẳng thức xảy a = b
5. Chứng minh: .(Với a.b < 0)
Giải:
+ = - .Do - -2 Hay + - Đẳng thức xảy a = -b
6. Chứng minh: (Với a , b > 0)
Giải:
+ - = = + Đẳng thức xảy a = b
7. Chứng minh rằng:
Giải:
2(a +b +c) – 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a)
(56)Tiết 23-26
A B A B 0
Cần lưu ý tính chất: A2≥0
Đẳng thức xảy A =
Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với số khác thích hợp
B.Bài tập vận dụng:
Chứng minh bất đẳng thức sau
1. a2 + 4b2 + 4c2 4ab - 4ac + 8bc
2. a2+b2+c2+d2+e2≥ a(b+c+d+e)
3. (x −1)(x −3) (x −4)(x −6)+10≥1
4. a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14
5. 10a2 + 5b2 +12ab + 4a - 6b + 13 0
6. a2 + 9b2 + c2 + 19
2 > 2a + 12b + 4c
7. a2 – 4ab + 5b2 – 2b + 4
8. x2 – xy + y2 0
9. x2 + xy + y2 -3x – 3y + 3 0
10. x2 + xy + y2 -5x - 4y + 0
11. x4 + x3y + xy3 +y4 0
12. x5 + x4y + xy4 +y5 với x + y 0
13. a4 + b4 +c4 a2b2 + b2c2 + c2a2
14. (a2 + b2).(a2 + 1) 4a2b
15. ac +bd bc + ad với ( a b ; c d )
16. a
2 +b2
2 ≥( a+b
2 )
17. a
2
+b2+c2
3 ≥(
a+b+c
3 )
18. ab+b
c+ c a≤
b a+
a c+
c
b (với a b c > 0)
19. a+b ≥12 ab
9+ab ( Với a,b > 0)
20. bca + b
ca+ c ab≥
1 a+
1 b+
1
c (Với a,b,c > 0)
(57)HƯỚNG DẪN:
Bài 1: Gọi VT bất đẳng thức A VP bất đẳng thức B (Nếu khơng nói thêm qui ước dùng cho tập khác).Với BĐT có dấu ; cần tìm điều kiện biến để đẳng thức xảy A – B = (a+2c −2b)2
Bài 2: 4A – 4B = (a −2b)2+(a−2c)2+(a−2d)2+(a−2e)2
Bài 3: A – = (x −1)(x −3) (x −4)(x −6)+9 = (Y+3)2
Bài 4: A – B = (a −1)2+(2b −3)2+3(c −1)2+1
Bài 5: A = ( a – 1)2 + (3a – 2b)2 + (b + 3)2
Bài 6: A–B = ( a – 1)2 +(3b – 2)2 + (c - 2)2 +
2 Bài 7: A – B = (a −2b)2+(b −1)2
Bài 8:
x2 – xy + y2 =
(x − y 2)
2 +3y
2 Bài 9: x2 – xy + y2 -3x – 3y + =
(x −1)2−(x −1) (y −1)+ (y −1)2 Biến đổi tiếp
Bài 10: Tương tự
Bài 11: x4 + x3y + xy3 +y4 = (x2−xy
+y2)(x+y)2
Bài 12: Tương tự 11
Bài 13: Xem ví dụ
Bài 14: A – B = (a2 + b2).(a2 + 1) - 4a2b
Bài 15: A - B = ac + bd - bc - ad với ( a b ; c d ) = (c − d) (a −b)
Bài 16:
A - B = 2(a2+b2)−(a+b)2
4
Bài 17: Xem tập 16
Bài 18: A - B = (a-c)(b-a)(
(Với a b c 0)
Bài 19:
A - B = b(a −3)
+a(b −3)2
9+ab ( Với a,b > 0)
Bài 20:
A - B = (ab−bc)2+(bc−ac)2+(ac−ab)2
abc
(58)Tiết 27-30
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I: DẠNG
- Nếu a > :
2
2 4ac-b
ax + bx +c =
4a
b
P a x
a
Suy
2 4ac-b =
4a MinP
Khi
b
x=-2a
Nếu a < :
2
2 a c+b
ax + bx +c =
4 a
b
P a x
a
Suy
2
4 a c+b ax
4 a
M P
Khi
b x=
2 a Một số ví dụ:
1. Tìm GTNN A = 2x2 + 5x + 7
Giải:A = 2x2 + 5x + =
2 25 25
2( )
4 16 16
x x
=
2 2
5 25 56 25 31
2( ) 2( ) 2( )
4 8
x x x
Suy
31
8
MinA Khi x
2. Tìm GTLN A = -2x2 + 5x + 7
Giải: A = -2x2 + 5x + =
-2 25 25
2( )
4 16 16
x x
=
2 2
5 25 56 25 81
2( ) 2( ) 2( )
4 8
x x x
Suy
81
8
MinA Khi x
3. Tìm GTNN B = 3x + y - 8x + 2xy + 16
Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + MinB = :
4. Tìm GTLN C = -3x - y + 8x - 2xy + 2.
Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + = 10 - 10 GTLNC = 10 khi:
BÀI TẬP:
5. Tìm GTNN A x2 2008 x
6. Tìm GTLN B = + 3x - x2
7. Tìm GTLN D = 2007x25x
8. Tìm GTNN F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1.
9. Tìm GTNN G = x410x325x212
10. Tìm GTNN M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y
11. Tìm GTNN C = (3x −1)2−4|3x −1|+5
12. Tìm GTNN N = (x +1) + ( x - 3)
(59)HƯỚNG DẪN
5. A = x - 5x + 2008 = (x - 2,5)2 + 2001,75
MinA = 2001,75 x = 2,5
6. B = + 3x - x2 = -1,25 - ( x - 1,5)2
7. D = 2007 - x - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5)2
8. F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + = (x +x+1) =
9. G = x - 10x +25x + 12 = x(x - 5) + 12
10. M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1) + (y - 4) -16
11. C = (3x −1)2−4|3x −1|+5
* Nếu x C = (3x - 3) + * Nếu x < C = (3x + 1) +
12. N = (x +1) + ( x - 3) = 2(x- 1) +
K = x + y - xy +x + y = ( x - y) + (x + 1) + (y + 1) -
* Một phương pháp thường dùng sử dụng bất đẳng thức biết để chứng minh bất đẳng thức khác.Tuy nhiên sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski
Các bất đẳng thức khác sử dụng làm thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, liệt kê bất đẳng thức vào
1 a2+b2≥2 ab (a,b>0) (BĐT Cô-si)
2 (a+b)2≥4 ab
3 2(a2
+b2)≥(a+b)2
4 ab+b
a≥2;a , b>0
5 1a+1
b≥
a+b;a ,b>0
6 a2+b2+c2≥ab+bc+ca
7 (ax+by)2≤(a2
+b2) (x2+y2) ( Bu nhi a cop xki)
8 a2
x + b2
y≥ (a+b)2
x+y
9 a2
x + b2
y+ c2
z ≥
(a+b+c)2 x+y+z
Ví dụ 9:Chứng minh abc +bc a +
ca
b ≥ a+b+c (Với a,b,c > 0) Giải:2A - 2B = 2ab
c +2 bc
a +2 ca
b −2a−2b −2c = a(b
c+ c
b−2)+b( a c+
c
a−2)+c( b a+
a b−2) Áp dụng bất đẳng thức ab+b
a≥2;a , b>0 Ta có:2A - 2B a(2−2)+b(2−2)+c(2−2)≥0 Vậy A B.Đẳng thức xảy a = b = c >
Ví dụ 10: Cho số dương x , y thoả mãn x + y = Chứng minh : xy1 +
x2+y2≥8 Giải: xy1 +
x2 +y2=
2 xy+
2
x2
+y2=2(
1 xy+
1
x2
+y2)≥2
4
x2
+2 xy+y2 ¿
(x+y)2=8 Đẳng thức xảy x=y=
1
Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức : a
b2+ b2 c2+
c2 a2≥
a c+
c b+
(60)Giải: a b2+
b2 c2≥2
a b
b c=2
a c ;
b2 c2+
c2 a2≥2
b c
c a=2
b a ;
c2 a2+
a2 b2≥2
c a
a b=2
c b Cộng vế ba bất đẳng thức ta có:
2(a b2+
b2 c2+
c2 a2)≥2(
a c+ c b+ b a)
⇒a2
b2+ b2 c2+
c2 a2≥
a c+ c b+ b a
Đẳng thức xảy a = b = c
Bài tập:
1. Cho a,b,c số dương.Chứng minh (a+b+c)(1 a+
1 b+
1 c)≥9
2. Cho số dương a,b,c biết a.b.c = Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1)
3. Cho số a,b biết a + b = Chứng minh a) a + b b) a + b
4. Cho số dương a,b,c a + b + c = Chứng minh: + +
5. Cho x , y , z 0và x + y + z Chứng minh rằng: + + + +
6. Cho số dương a , b có tổng Chứng minh a +
b + 14
7. Cho số dương a , b có tổng Chứng minh (a + ) + (b + )
8. Chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c>0
1 a+3b+
1 b+3c+
1 c+3a≥
1 a+2b+c+
1 b+2c+a+
1 c+2a+b,
9. Cho a,b,c số dương
Chứng minh : a
bc+ b ac+ c ab≥ a+ b+ c
10. Cho a,b,c số dương Chứng minh : a2
b+c+ b2 a+c+
c2 b+a≥
a+b+c
2
11. Chứng minh: a + b với a + b
12. Chứng minh: ba +c+
b c+a+
c a+b≥
3
2 Với a,b,c >
13. Chứng minh: a4+b4+c4≥abc(a+b+c)
14. Bài 28: Cho x ≥0; y ≥0; z ≥0;
Chứng minh :(x + y).(y + z).(z + x) 8xyz
15. Cho A = n1 +1+
1
n+2+ +
1 2n+1+
1
2n+2+ +
1
3n+1 Chứng minh A>1
HƯỚNG DẪN:
1. A = 3+(a b+
b a)+(
a c+
c a)+(
b c+
c
a)≥3+2+2+2=9
2. Áp dụng (a + 1) 2a
3. a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b) b) Áp dụng câu a
4. Xem
(61)6. A = + = ( + ) + + = ( vì 2ab (a+b) )
B = + = 3( +) +
7. (a + ) + + (b + ) + = + 5(a + ) + 5(b + ) = 5( a + b) + 5( + ) 5( a + b) + = 25
Suy ra: (a + ) + (b + )
8. + ; + ; +
Cộng theo vế BĐT ta Đpcm
9. Ta có: + = ( + )
b
ac + c ab=
1 a(
b c+
c b)≥2
1 a
c
ab+ a bc=
1 b(
c a+
a c)≥2
1 b
Cộng vế bất đẳng thức ta đpcm Đẳng thức xáy a = b = c (Hãy kiểm tra lại)
10. Áp dụng BĐT a2 x +
b2 y+
c2 z ≥
(a+b+c)2 x+y+z
11. a + b ( a + b )
12. ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + +
= (a+b+c) ( + + ) (a+b+c) = Suy ra: ba +c+
b c+a+
c a+b≥
3
13. Áp dụng BĐT ví dụ cho số a4+b4+c4 tiếp tục áp dụng lần nửa cho số a2b2 + b2c2 + c2a2 ta có đpcm.
14. Áp dụng BĐT (x+y)2≥4 xy Nhân thừa số BĐT suy ĐPCM
15. A có 2n + số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT 1a+1 b≥
4
a+b;a ,b>0 Với cặp số hạng thích hợp có đpcm
Chun đề 9: Phơng pháp tam giác đồng dạng
I Kiến thức bản
1 Ta ó biết tam giác đồng dạng suy đợc cặp góc tơng ứng nhau, cặp cạnh tơng ứng tỉ lệ, đặc biệt tỉ số diện tích chúng bình phơng tỉ số đồng dạng 2 Để chứng minh góc hay cặp đoạn thẳng tỉ lệ pp tam giác đồng dạng ta làm theo bớc sau :
Bớc : Xét tam giác có chứa góc hay chứa cặp đoạn thẳng Bớc : Chứng minh tam giác đồng dạng
Bíc : Suy cỈp góc tơng ứng nhau, cặp cạnh tơng ứng tỉ lÖ
3. Để tạo đợc tam giác đồng dạng với tam giác khác, cách vẽ đờng song song với cạnh tam giác ta cịn vẽ thêm đờng phụ nhiều cách khác, chẳng hạn :
- Nèi điẻm có sẵn hình làm xuất tam gi¸c míi
- Từ điểm cho trớc, vẽ đờng thẳng vng góc với đờng thẳng
- Trên tia cho trớc, đặt doạn thẳng đoạn thẳng khác 4. Một vài ứng dụng pp tam giác đồng dạng
a) Dùng pp tam giác đồng dạng để CM điểm thẳng hàng
Ta CM tam giác đồng dạng để suy cặp góc tơng ứng nhau, từ dùng cách cộng góc để dợc góc bẹt dẫn tới điểm thẳng hàng
VÝ dô :
Cho tam gi¸c ABC, c¸c tia phân giác góc B góc C cắt O Trên cạnh AB, AC lần lợt lấy M vµ N cho BM.BC = BO2 ; CN.CB = CO2 CMR điểm M, O, N thẳng hàng.
@ Bg :
BM.BC = BO2
BM BO
BO BC ; BOM vµ BCO cã
B B
;
BM BO
BO BC nªn BOM ~ BCO (c.g.c) O1 C1
A
M N
C B
O
3 2 1 2
(62)Chứng minh tơng tự ta đợc CON ~ CBO (c.g.c) O B2 Ta có
0
1 3 180
O O O C B O
Suy điểm M, O, N thẳng hàng
NhËn xÐt
Điều gợi ý cho ta dùng pp đồng dạng để giải ví dụ ? Đó đề có cho BO trung bình nhân BM BC ; CO trung bình nhân CN CB, từ suy đ ợc cặp đoạn thẳng tỉ lệ dẫn tới tam giác đồng dạng
b) Dùng pp tam giác đồng dạng để CM tích đoạn thẳng tổng tích cặp đoạn thẳng số cho trớc.
Ta CM tam giác đồng dạng để suy cáắccpj cạnh tơng ứng tỉ lệ, dẫn tới tích cặp đoạn thẳng
VÝ dô :
Cho hình bình hành ABCD, góc B nhọn Gọi H K lần lợt hình chiếu B AD CD Chứng minh DA.DH + DC.DK = DB2
@ Bg :
*T×m híng gi¶i :
Các tích DA.DH, DC.DK cha có mối liên quan trực tiếp với nh với DB Vì ta thay tích tích khác chúng, có liên quan với nh liên quan với DB Muốn phải tạo đợc cặp tam giác đồng dạng với điều kiện DB phải cạnh tam giác nh
*Lêi gi¶i:
VÏ AI DB
IDA ~ HDB
DA DI
DBDH DA.DH = DB.DI (1) IBA ~ KDB
BA BI
DBDK
DC BI
DB DK DC.DK = DB.BI (2) Cộng vế BĐT (1) (2) ta đợc :
DA DH + DC DK = DB DI + DB BI = DB(DI + BI) = DB2 (®pcm)
Chú ý : Nếu B = 900 hình bình hành ABCD trở thành hình chữ nhật Lúc áp dubgj định lý Pt-ta-go ta có điều phải chứng minh
c) Dùng pp tam giác đồng dạng để giải toán dựng hình
Đối với số tốn dựng hình dựng hình tam giác, biết yếu tố độ dài, lại biết tỉ số độ dài biết số đo góc ta nghĩ đến pp tam giác đồng dạng Ví dụ :
Dùng tam gi¸c ABC biÕt A = 600 ;
2
AB
BC vµ BC = a.
@ Bg :
1 Phân tích : Giả sử dựng đợc tam giác ABC thoả mãn đề Vẽ đờng thẳng song song với BC, cắt AB, AC lần lợt M N Từ C vẽ đờng thẳng song song với AB cắt MN P Dễ thấy
MP = BC = a AMN ~ ABC
2
AM AB AN AC
Vậy AMN dựng đợc, từ dựng đợc P, C B Cách dựng :
- Dùng AMN cho A = 600 ; AM = ; AN = 3 - Trên tia MN lấy điểm P cho MP = a
- Dùng PC // AB (C thuéc tia AN) - Dùng CB // MN (B thuộc tia AM)
Tam giác ABC tam giác phải dựng (Phần CM biện luận tự làm) II – Bµi tËp
Bµi 1:
Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Gọi M N lần lợt trung điểm AH BH Gọi O giao điểm AN với CM Chứng minh :
a) AN CM
b) AH2 = MC.MO
@ Bg
a) ABH ~ CAH (g-g)
2
AB BH BN
CAAH AM hay
AB BN
CA AM (1)
H
B A
K C
D I
A i
N i M
i
p A i C i B
i
a
i 600
A M O
(63)Ta cã B1A1 (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ABN ~ CAM (c.g.c) A2 C XÐt tam gi¸c CAO cã
0
2 90
CAO C CAO A 900
O
VËy AN CM
b) AOM ~ CHM (g.g)
AM MO CM MH
AM.MH = MC.MO
2
AH AH
= MC.MO hay HA2 = MC.MO. Bài :
Cho tam giác ABC, phân giác AE Chøng minh r»ng AB.AC > AE2.
@ Bg
AEC B (t/c góc ABE)
Trên AC lấy điểm F cho AEF B AF < AC
AEF ~ ABE (g-g)
AE AF
AB AE AB.AF = AE2 AB.AC > AE2. Bµi :
Cho tam giác ABC vng A Gọi M điểm di động AC Từ C vẽ đờng thẳng vng góc với tia BM cắt tia BM H, cắt tia BA O Chứng minh :
a) OA.OB = OC.OH
b) Góc OHA có số đo khơng đổi
c) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi
@ Bg
a) BOH ~ COA (g-g)
OB OH
OC OA OA.OB = OC.OH
b)
OB OH OC OA
OA OH
OC OB (1) OHA vµ OBC cã O chung (2) Tõ (1) vµ (2) OHA ~ OBC (c.g.c)
OHA OBC (không đổi)
c) VÏ MK BC ; BKM ~ BHC (g.g)
BM BK BC BH
BM.BH = BK.BC (3) CKM ~ CAB (g.g)
CM CK CB CA
CM.CA = BC.CK (4) Cộng vế (3) (4) ta đợc BM.BH + CM.CA = BK.BC + BC.CK
= BC(BK + CK) = BC2 (không đổi). Bài :
Cho tam giác ABC cân A, đờng cao AH Trên đoạn thẳng CH HB lần lợt lấy hai điểm M N cho CM = HN Đờng thẳng qua M vng góc với BC cắt AC E Qua N vẽ đờng thẳng d NE Chứng minh M di động đoạn thẳng CH đờng thẳng d luôn qua điểm cố định
@ Bg
DÔ thÊy CH = MN =
1
2BC
HFN ~ MNE (g.g)
HF HN CM MN ME ME
(1) AHC ~ EMC (g.g)
AH CH CH CM EM CM AH EM
(2)
C BNH
O
2 1
A
C E
B
F
C K
B O
A
H M
C M
F N
B
A E
(64)Tõ (1) vµ (2)
HF CH
MN AH Do HF =
2
1
2 2
4 BC BC
MN CH BC
AH AH AH (khơng đổi) Vì H cố định nên F cố định
Bµi :
Cho tam giác ABC, đờng cao AD, BE, CF Gọi M, N, I, K lần lợt hình chiếu D AB, AC, BE, CF Chứng minh điểm M, N, I, K thẳng hàng
@ Bg
V× DM // CF DI // CA nên
BM BD BI
BF BC BE MI // FE (1) V× DN // BE DK // AB nên
CN CD CK
CE CB CF NK // FE (2) AMD ~ ADB
AM AD AD AB
(3)
AND ~ ADC
AN AD AD AC
(4) Chia vế (3) cho (4) ta đợc
AM AC AN AB ACF ~ ABE
AF AC AE AB
AM AF
AN AE MN // FE (5)
Tõ (1) ; (2) ; (5) suy điểm M, I, N, K thẳng hàng Bài :
Lấy cạnh AB, AC BC ABC làm cạnh đáy, dựng tam giác vuông cân ABD, ACE, BCF, hai tam giác đầu dựng phía ngồi ABC tam giác thứ dựng nửa mặt phẳng bờ BC với ABC Chứng minh tứ giác AEFD hình bình hành (hoặc A, E, F, D thẳng hàng)
@ Bg
NÕu BAC 900 ; BAD ~ BCF(2 tam gi¸c vuông cân) BD BA BD BF
BF BC BA BC
MỈt kh¸c DBF ABC ( = 45o + B1) BDF ~ BAC (c.g.c) BDFBAC
Chứng minh tơng tợ cã FEC ~ BAC FEC BAC
Ta có DAE ADF = (90o + BAC ) + (900 - BDF ) = 1800 AE // DF Chứng minh tơng tự ta đợc AD // EF Vậy AEFD hình bình hành
Trêng hỵp nÕu BAC = 900 điểm A, E, F, D thẳng hàng Bài :
Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lợt trung điểm AB, AD Gọi E F lần lợt giao điểm cđa BN víi MC vµ AC Cho biÕt AB = 30 cm, tính diện tích tam giác BEM AFN
@ Bg
ABN = BCM (c.g.c) B1C1 BN CM ABN vu«ng t¹i A, AB = 30; AN = 15 BN2 = 1125
BEM ~ BAN
2 225 1125 BEM BAN S BM S BN
SBAN =
1
2 .30.15 = 225 SBEM = 225.
1
5 = 45 (cm2).
AFN ~ CFB
1
FN AN
FB BC FN =
1 2BF =
(65)do SAFN =
1
3SABN =
3.225 = 75 cm2. Bµi :
Qua điểm O nằm tam giác ABC ta vẽ đờng thẳng song song với cạnh Các đờng thẳng chia tam giác ABC thành hình bình hành tam giác nhỏ Biết diện tích tam giác a2 , b2 , c2
a) TÝnh SABC
b) Chøng minh S a2 + b2 + c2
@ Bg
a) Dễ thấy tam giác ODH, EON, FMO đồng dng vi ABC
Đặt SABC = d2 Ta cã
2
2
a DH a DH
d BC d BC
(1)
2
2
b ON HC b HC
d BC BC d BC
(2)
2
2
c MO BD c BD
d BC BC d BC
(3)
Cộng vế đẳng thức (1) , (2) , (3) ta đợc
1
a b c DH HC BD
d BC
a + b + c = d VËy S = d2 = (a + b + c)2
b) S = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
a2 + b2 + c2 + (a2 + b2) + (b2 + c2) + (c2 + a2) = 3(a2 + b2 + c2) DÊu “=” xÈy a = b = c O trïng víi träng t©m G cđa ABC
Ví dụ 8:
a Rút gọn Biếu thức B=4a
+12a+9
2a2−a −6 Với a −
b Thực phép tính: 0,5a
+a+2
1+0,5a : a3−8
a+2 +
2
a(2−a) (a ± 2.) Giải:
a B=4a
+12a+9
2a2−a −6 ¿
(2a+3)2 (2a+3)(a−2)=
2a+3 a −2
b 0,5a
+a+2
1+0,5a : a3−8
a+2 +
2 a(2−a)=
a2+2a+4 a+2 ⋅
a+2 a3−8+
2 a(2− a)
¿ a
+2a+4 (a−2)(a2+2a+4)−
2 a(a −2)=
a −2 a(a −2)=
1 a Ví dụ 9: Thực phép tính: A=x
2
+y2−xy x2− y2 :
x3+y3
x2+y2−2 xy ( Với x ± y) Giải:
A=x
+y2−xy x2− y2 :
x3 +y3 x2+y2−2 xy=
x2
+y2−xy (x − y) (x+y)⋅
(x − y)2 (x+y)(x2
+y2−xy) x − y
(x+y)2
Ví dụ 10: Cho biểu thức : A= x
+x3+x+1 x4− x3
+2x2− x+1
a Rút gọn biểu thức A
b Chứng minh A không âm với giá trị x
(66)Giải:
A= x
4
+x3+x+1 x4− x3+2x2− x+1=
x4
+x3+x+1 x4− x3+x2+x2− x+1
¿ x
(x+1)+(x+1) x2(x2− x+1)+(x2− x+1)=
(x+1)(x3+1) (x2− x+1)(x2+1) (x+1)2(x2− x+1)
(x2− x+1)(x2+1)
=(x+1)
(x2+1) b A=(x+1)
2
x2+1 ;(x+1)
2≥0; x2
+1>0⇒A ≥0
Ví dụ 11: Tính giá trị biếu thức : a
+a6+a7+a8 a−5+a−6+a−7+a−8 với a = 2007
Giải: B= a
5
+a6+a7+a8 a−5
+a−6+a−7+a−8= a5
+a6+a7+a8
1 a5+
1 a6+
1 a7+
1 a8 a5+a6+a7+a8
a3
+a2+a1+1 a8
=a 8(a5
+a6+a7+a8) a3
+a2+a+1
a13(1+a+a2+a3) a3+a2+a+1 =a
13⇒B
=200713
Ví dụ 12: Tính giá trị biếu thức : x 2−25 x3−10x2+25x:
y −2 y2− y −2
Biết x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - |x −3| .
Giải:
x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - |x −3| ⇔
(x −3y)2+|x −3|=0
⇔
x=3y x=3
⇔ ¿x=3
y=1
¿{
C= x
2 −25 x3−10x2+25x:
y −2 y2− y −2=
(x −5) (x+5) x(x −5)2 ⋅
(y −2)(y+1) y −2 ¿(x+5) (y+1)
x(x −5) =
8 (−2)=−
8
Bài tập:
13 Chứng minh Biếu thức P = (x
2
+a)(1+a)+a2x2 +1 (x2−a)
(1− a)+a2x2+1 không phụ thuộc vào x
14 Cho biểu thức M = x
−2x4+2x3−4x2−3x+6 x2+2x −8
a Tìm tập xác định M
b Tính giá trị x để M =
c Rút gọn M
(67)b −c (a −b) (a − c)+
c −a (b −a)(b − c)+
a −b (c −a)(c −b)=
2 a − b+
2 b − c+
2 c − a
16 Cho biểu thức : B = |x+10|
x4+9x3−9x2+9x −10
a Rút gọn B
b Chứng minh : n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 ⋮ 16 với n Z
a Rút gọn biểu thức : A= 2x+3y
xy+2x −3y −6 −
6−xy xy+2x+3y+6 −
x2 +9
x2−9 với x -3; x
3; y -2
b Cho Biếu thức : A = (22− x+x − 4x x2−4−
2− x 2+x):
x2−3x 2x2− x3
a Tìm điều kiện có nghĩa Rút gọn biểu thức A
b Tìm giá trị x để A >
c Tìm giá trị A trường hợp |x −7|=4
19 a.Thực phép tính: a.A = 1− x1 +
1+x+
2 1+x2+
4 1+x4+
8 1+x8+
16 1+x16 b Rút gọn C =
1 a2−9−
1 a2
+9
1 a2−9+
1 a2
+9
−a2+9 a2
20 Cho a,b,c số đôi Tính S = ab(b− c) (c − a)+bc
(a− b) (c − a)+
ac
(b −c) (a −b)
21 Tính giá trị biểu thức : 32a − ba− b+5b − a
3a+b −3 biết:
10a2−3b2−5 ab=0∧9a2−b2≠0
22 Cho a + b + c = a2+b2
+c2=1
a Nếu xa=y
b= z
c Chứng minh xy + yz + zx = b.Nếu a3 + b3 + c3 = Tính giá trị a,b,c
23 Bài 11: Cho Biếu thức : A=2a −1
3a −1+ 5−a 3a+1
a Tính giá trị A a = -0,5
b Tính giá trị A : 10a2 + 5a = 3.
24 Chứng minh xyz = thì: 1 +x+xy+
1 1+y+yz+
1
1+z+zx=1
25 Chứng minh đẳng thức sau: a
+3 ab a2−9b2+
2a2−5 ab−3b2 ab− a2−9b2 =
a2−an
+bn+ab
3 bn− a2−an+3 ab
26 Thực phép tính: (1−
22)(1− 32)(1−
1
42) (1− 20082)
27 Tính tổng : S(n) = 2 51 +
5 8+ +
1
(3n −1) (3n+2)
28 Rút gọn tính giá trị biểu thức :
A = 2a3−12a2+17a−2
a −2
Biết a nghiệm Phương trình : |a2−3a+1|=1
29 Gọi a,b,c độ dài cạnh tam giác biết rằng: (1+b a)(1+
c b)(1+
(68)30 Chứng minh a,b số dương thỏa điều kiện: a + b = : a
b3−1− b a3−1=
2(b− a) a2b2+3
31 Thực phép tính: A = x
2 −yz
(x+y) (x+z)+
y2−xz
(x+y) (y+z)+
z2−xy
(y+z)(x+z)
32 Rút gọn biểu thức : A = a3+b3+c3−3 abc a+b+c
33 Chứng minh biểu thức sau dương TXĐ: B = (1− x
2)2
1+x2 :[(
1− x3
1− x +x)(
1+x3
1+x − x)]
34 Rút gọn Tính giá trị biếu thức với x + y = 2007 A = x(xx+5)+y(y+5)+2(xy−3)
(x+6)+y(y+6)+2 xy
35 Cho số a,b,c thỏa mãn đẳng thức: a+b − cc =a+c − b
b =
b+c −a
a
Tính giá trị biểu thức P = (a+b)(b+c)(c+a)
abc
36 Cho biểu thức : A=4 xy− z xy+2z2
4 yz− x2 yz+2x2
4 zx− y2
xz+2y2 Chứng minh : x + y + z = A =
HƯỚNG DẪN:
13 P = (x
2
+a)(1+a)+a2x2+1 (x2−a)(1− a)+a2x2+1=
1+a+a2
1− a+a2
14 M = x
−2x4+2x3−4x2−3x+6 x2
+2x −8 ¿(x
3
+3)2(x2−1 ) x+4
15 b −c
(a −b) (a − c)=
1 a − b+
1 c − a =
c − a (b− a) (b − c)=
1 b − c+
1 a −b = (c − aa− b) (c − b)=
b −c+ c − a
16
a.Rút gọn B = |x+10|
x4+9x3−9x2+9x −10=
|x+10| (x −1) (x+10)(x2
+1)
(x −1)(x2 +1)
;(x>−10 lx≠1)
¿ −(x+10)
(x −1) (x+10)(x2+1);(x<−10)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
b n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4
¿[n(n+1)]4
17 A= 2x+3y
xy+2x −3y −6 −
6−xy xy+2x+3y+6 −
x2+9 x2−9 ¿ 2x+3y
xy+2x −3y −6 −
6−xy xy+2x+3y+6 −
x2 +9 x2−9=
0
(69)18
a.A = (22− x+x − 4x x2−4−
2− x 2+x):
x2−3x 2x2− x3=
4x2 x −3
b.A > ⇔ 4x2
x −3>0⇔x>3
c
|x −7|=4⇒ x=11
¿ x=3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
x = 11 ⇒A=121
2
x = ⇒ A không xác định 19
a.A = 1− x1 +
1+x+
2 1+x2+
4 1+x4+
8 1+x8+
16 1+x16=
32 1− x32 b Rút gọn C =
1 a2−9−
1 a2+9
1 a2−9+
1 a2+9
−a
+9
a2 =−1
20 S = ab(b− c) (c − a)+bc
(a− b) (c − a)+
ac
(b −c) (a −b)
¿ab(a − b)+bc(b −c)+ac(c − a)
(a− b) (b − c)(c −a) =
−(a −b)(b − c)(c −a) (a− b) (b − c) (c −a) =−1
21 Từ: 10a2−3b2−5 ab
=0∧9a2−b2≠0⇒5 ab=3b2−10a2 (1) Biến đổi A = 32a − ba− b+5b − a
3a+b −3=
3a2−15 ab−6b2 9a2− b2 (2) Thế (1) vào (2) ; A = -
22 Từ a + b + c = a2+b2+c2=1 suy ra: ab + bc + ca = (1) a Nếu xa= y
b= z c
suy : xa=y b=
z c=
x+y+z
a+b+c=x+y+z
⇒(x+y+z)2=x2+y2+z2 Suy xy + yz + zx = b Áp dụng (a+b+c)3−(a3+b3+c3)=3(a+b) (b+c) (c+a)
Từ a3 + b3 + c3 = Suy ra: 3(a+b)(b+c)(c+a)=0 Từ tính a , b , c.
23 Xem 21
24 Từ xyz = Biến đổi
1 1+x+xy+
1 1+y+yz+
1 1+z+zx
¿ 1+y+yz+
y 1+y+yz+
yz 1+y+yz
25 Chứng minh : a2+3 ab
a2−9b2+
2a2−5 ab−3b2 ab− a2−9b2 =
a2−an+bn+ab
3 bn− a2−an
+3 ab= a+b
3b − a
26 (1−
22)(1− 32)(1−
1
(70)¿1 1997 .1998
3 1999 1998=
1 1998 1999 = 1999 3996 27 5+
1
5 8+ +
1
(3n −1)(3n+2)
¿1 3( 2− 5+ 5− 8+
1 3n −1−
1 3n+2)=
n 2(3n+2)
28 A=2a
3
−12a2+17a −2 a −2 =2a
2
−8a+1 |a2−3a+1|=1⇔
a=0;a=3⇒A=1; A=−5
¿
a=1;a=2⇒A=−5
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
29 (1+b
a)(1+ c b)(1+
a c)=8⇔
(a −b)2
ab +
(b −c)2
bc +
(c −a)2
ca =0
30 Rút gọn
a
b3−1− b a3−1=
2(b− a) a2b2
+3=
(a − b)(a2+b2−1)
ab(b2
+b+1) (a2+a+1)
31 x
2 −yz
(x+y) (x+z)= x x+z−
y x+y =
y2−xz
(x+y) (y+z)= y x+y−
z y+z z2−xy
(x+z) (y+z)= z y+z−
x
x+z Cộng vế A =
32 A = a3+b3+c3−3 abc a+b+c
a3+b3+c3−3 abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)
33 TXĐ: x ≠ ±1 ;B =
1+x2
34 A = x(xx+5)+y(y+5)+2(xy−3)
(x+6)+y(y+6)+2 xy =
(x+y+6)(x+y −1) (x+y+6)(x+y)
35 Từ: a+b − cc =a+c − b
b =
b+c −a
a
Suy ra: a+b − cc +2=a+c − b b +2=
b+c −a a +2 Suy ra: a+bc+c=a+c+b
b =
b+c+a a
Suy ra: a + b + c = a = b = c P = -1 P =
36 Từ: x + y + z = suy ra: x3
+y3+z3=3 xyz A=M
N M=63x2y2z2−16 xyz(x3+y3+z3)+4(x3y3+y3z3+z3x3) N=9x2y2z2+2 xyz(x3+y3+z3)+4(x3y3+y3z3+z3x3)