TUYEN TAP DE THI HSG TOAN 9

Giáo án BDHSG Tốn PHỊNG GD-ĐT NINH HỊA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC: 2009-2010 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức: Bài 2: (4đ) Cho biểu thức Q = − − 29 − 12 = cotg45 x − ( x − 1) + x + ( x − 1)   ×1 − ÷  x −1  x − ( x − 1) a) Tìm điều kiện x để Q có nghĩa b) Rút gọn biểu thức Q y x −1 + x y − xy x − yz y − xz Bài 4: (3,75đ) Chứng minh x − yz = y − xz ( ) ( ) với x ≠ y, yz ≠ 1, xz ≠ 1, x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 1 x + y + z = x + y + z Bài 3: (3,5đ) Tìm giá trị lớn biểu thức M = Bài 5: (3,75đ) Cho tam giác ABC vng cân A, M trung điểm cạnh BC Từ đỉnh M vẽ góc 450 cho cạnh góc cắt AB, AC E, F Chứng minh rằng: S∆MEF < S ∆ABC Bài 6: (2đ) Từ điểm A ngồi đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B C tiếp điểm) Gọi M điểm đường thẳng qua trung điểm AB AC Kẻ tiếp tuyến MK đường tròn (O) Chứng minh MK = MA Giáo án BDHSG Tốn HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Bài Nội dung – u cầu − − 29 − 12 = (2 − 3− −3 = − 6−2 = 5− ( ) −1 ) 2 Q= Q= Q= 0,75đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ Q có nghĩa ⇔ x > x ≠ Q= 1đ 0,5đ =1 = cotg450 2a 2b Điể m x − ( x − 1) + x + ( x − 1)   × − ÷  x −1  x − ( x − 1) ( x − 1) − x −1 + + ( x − 1) + x2 − 4x + ( ) x −1 −1 + ( ( x − 2) ) x −1 + x −1 +1 x − × x −1 0,75đ x−2 × x −1 x −1 −1 + x −1 + x − × x−2 x −1 * Nếu < x < ta có: 1− x −1 + x −1 +1 x − × 2− x x −1 Q= 1− x Q= 0,75đ 0,25đ * Nếu x > ta có: Q= Q= 0,5đ x −1 −1+ x −1 +1 x − × x−2 x −1 0,25đ x −1 0,25đ Giáo án BDHSG Tốn 0,5đ 0,25 0,25đ Với điều kiện x ≥ 1, y ≥ ta có: M= x −1 + x y−4 y Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số khơng âm, 1+ x −1 x = Ta có: x − = 1( x − 1) ≤ 2 x −1 ⇒ ≤ (vì x dương) x 1 4+ y−4 y = Và: y − = ( y − ) ≤ × 2 y−4 ⇒ ≤ (vì y dương) y y−4 1 ≤ + = y 4 ⇔ x = 2, y = Vậy giá trị lớn M Suy ra: M = x −1 + x 0,5đ 0,75đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ x − yz y − xz = x ( − yz ) y ( − xz ) ⇔ ( x − yz ) ( y − xyz ) = ( y − xz ) ( x − xyz ) 0,25đ ⇔ x y − x3 yz − y z + xy z − xy + xy z + x z − x yz = ⇔ ( x y − xy ) − ( x yz − xy z ) + ( x z − y z ) − ( x yz − xy z ) = ⇔ xy ( x − y ) − xyz ( x − y ) + z ( x − y ) − xyz ( x − y ) = ⇔ ( x − y )  xy − xyz ( x + y ) + z ( x + y ) − xyz  = ⇔ xy − xyz ( x + y ) + z ( x + y ) − xyz = (vì x ≠ y ⇒ x − y ≠ ) ⇔ xy + xz + yz = xyz ( x + y ) + xyz 2 xy + xz + yz xyz ( x + y ) + xyz ⇔ = xyz xyz 1 ⇔ + + = x+ y+ z x y z 0,75đ (vì xyz ≠ ) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ B Giáo án BDHSG Tốn M P E A N F K C Q Kẻ MP ⊥ AB P, MQ ⊥ AC Q Kẻ Ex // AC, EC cắt MQ K cắt MF N Do ∠ EMF = 450 nên tia ME, MF nằm hai tia MP MQ S MPEK = S QAEK ( S ∆FEN < S∆QEK có chiều cao đáy ⇒ S ∆MEN < S ∆MEK = S∆FEN < S ∆QEK EN bé đáy EK) 0,5đ 0,5đ 0,25đ B P I A Q K C M Gọi P,Q trung điểm AB,AC Giao điểm OA PQ 0,5đ 0,5đ S ∆MAQ = S ∆MAC ⇒ S APMQ = S ∆ABC (**) Từ (*) (**) ta có: S∆MEF < S ∆ABC Chứng minh được: S∆MAP = S∆MAB O 0,5đ 0,5đ Suy ra: S ∆MEN + S ∆FEN < S APMQ ⇔ S∆MEF < S APMQ (*) 0,25đ 0,25đ Giáo án BDHSG Tốn I AB AC hai tiếp tuyến nên AB = AC AO tia phân giác ∠ BAC ⇒ ∆ PAQ cân A AO ⊥ PQ Áp dụng Pitago ta có: MK2 = MO2 – R2 ( ∆ MKO vng K) MK2 = (MI2 + OI2) – R2 ( ∆ MOI vng I) MK2 = (MI2 + OI2) – (OP2 – PB2) ( ∆ BOP vng B) MK2 = (MI2 + OI2) – [(OI2 + PI2) – PA2] ( ∆ IOP vng I PA = PB) MK2 = MI2 + OI2 – OI2 + (PA2 – PI2) MK2 = MI2 + AI2 ( ∆ IAP vng I) MK2 = MA2 ( ∆ IAM vng I) ⇒ MK = MA PHỊNG GD&ĐT PHÚ GIÁO TRƯỜNG THCS AN BÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN (Thời gian : 120 phút)  3  x  + + + 1÷ ÷ Bài 1(1,5đ): Cho biểu thức Q =  ÷ ÷  x + x + x − 27  x  a/ Rút gọn Q b/ Tính giá trị Q x = + 2010 Bài 2(1đ): Rút gọn biểu thức M = + − − Bài 3(1đ): Chứng minh với a,b,c ta có a + b + c ≥ ab + bc + ac Bài 4(2đ):a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ A = a2 + b2 b/ Cho x +2y = T ìm giá trị lớn B=xy Bài 5(2đ): Giải phương trình x2 − + x2 − x + = 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Giáo án BDHSG Tốn b/ x − − x + = Bài 6(2,5đ): Cho hình vng cạnh a Đường tròn tâm O, bán kính a cắt OB M D điểm đối xứng O qua C Đường thẳng Dx vng góc với CD D cắt · CM E CA cắt Dx F Đặt α = MDC · a/ Chứng minh AM phân giác FCB Tính độ dài DM, CE theo a α b/ Tính độ dài CM theo a Suy giá trị sin α ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài 1(1,5đ) Nội dung Biểu chấm a.(1đ)   x   + + 1  x x + x + x − 27    ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ A =  + 0.25 Giáo án BDHSG Tốn   x + x +    2   3x  x + x + ( x − )( x + x + 3)     x + x +  ( x − 3) +   =    3x  ( x − )( x + x + 3)   = x− b (0,5 đ) Thay x = +2010 vào A ta có: 1 = = A= x− 3 + 2010 − 2010 =  2(1đ) + 0.25 0.25 0.25 0,5 Rút gọn biểu thức M = + − − M = 4+ − 4− (1+ ) M= M= 0.25 0.25 8+2 8−2 − 2 M= 2 − ( 1− ) 0.25 0.25 1+ 7 −1 − 2 M= 3(1đ) a + b + c ≥ ab + bc + ac 0.25 ⇔ 2a + 2b + 2c ≥ 2ab + 2bc + 2ac 0.25 ⇔ a − 2ab + b + b − 2bc + c + a − 2ac + c ≥ ⇔ ( a − b) + ( b − c) + ( a − c) ≥ 2 4(2đ) 0.5 a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ A = a2 + b2 a+b = 2⇒ b = 2−a A = a2 + ( − a ) A = 2a − 4a + ( A=( A= ) 2a − 2a + 2a − ) ( 2) +2 +2 A≥2 Amin = Giáo án BDHSG Tốn x + 2y = ⇒ x = 8− 2y B = y ( − y ) = 8y − y2 ( = 8−(  b/ = −  2y ) ( − 2 y.2 + 2 2y − 2 ) ) − 8  ≤8 Bmax = 5(2đ) 0.5 a / x2 − + x2 − 6x + = ⇔ ( x − 3) ( ) x +3 + x−3 = 0.25  ( x − 3) = x = ⇔ ⇔  x + + x − =  ptvn 0.25 nghiệm pt x=3 b / x2 − − x2 + = x2 − − ( x2 − 4) = 0.25 t = ⇔ t −t = ⇔ t −t = ⇔  t = x = ±2 0.25 x=± 0.5 6(2.5đ) E 0.5 F A D O O B M C · a/vì M thuộc đường tròn tâm O đuờng kính CD nên CMD = 900 · · Mà CA ⊥ OB (đuờng chéo hình vng ) nên MCA ( góc có = MCB cạnh vng góc) 0.5 Do MC tia phân giác ·ACB · · Ta thấy α = ECF = ·ACM ⇒ α = MDC 0.5 · · ⇒ MCA = MCB Giáo án BDHSG Tốn · ∆DMC vng M có MDC = α CD=2a nên DM cos α = ⇒ DM = DC.cos α DC ∆DEC vng D có DM đường cao nên CE.CM=CD2 (1) Mà CM = CD sin α ⇒ CM = 2a sin α Từ (1) ta có CE = CD 2a = CM sin α b/ gọi I tâm hình vng OABC ta có  2 IM = OM − OI ⇒ IM = a 1 − ÷ ÷   ( ) a2 2a ⇒ CM = IM + IC ⇒ CM = 2− + 4 ( 2 ) 2 ∆MIC vng I = a − ⇒ CM = a − sin α = Phßng GD- §T vÜnh têng Trêng THCS vò di ========== CM 2− = CD 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 §Ị thi kh¶o s¸t häc sinh giái (10 - 2010) M«n: To¸n Thêi gian: 150 (kh«ng kĨ thêi gian giao ®Ị Giáo án BDHSG Tốn -Bµi (1,5 ®iĨm) Rót gän c¸c biĨu thøc sau : a)A = 1+ + 5+ + + 13 b) B = x3 - 3x + 2000 víi x = + 2001 + 3+2 + 2005 + 2005 + 2009 3−2 Bài (2,0 điểm) Giải phương trình sau: a) 3x2 + 4x + 10 = 14 x − b) 4 − x − x − 16 + x + + x + y − y − = − y c) x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - = 0; (với x ; y ngun) Bµi 3: (2,0 ®iĨm) a) Chøng minh r»ng víi hai sè thùc bÊt k× a, b ta lu«n cã:  a+b  ÷ ≥ ab   DÊu ®¼ng thøc x¶y nµo ? b) Cho ba sè thùc a, b, c kh«ng ©m cho a + b + c = Chøng minh: b + c ≥ 16abc DÊu ®¼ng thøc x¶y nµo ? c) Víi gi¸ trÞ nµo cđa gãc nhän α th× biĨu thøc P = sin α + cos6 α cã gi¸ trÞ bÐ nhÊt ? Cho biÕt gi¸ trÞ bÐ nhÊt ®ã Bµi 4: (1,5 ®iĨm) Mét ®oµn häc sinh ®i c¾m tr¹i b»ng « t« NÕu mçi « t« chë 22 ngêi th× cßn thõa mét ngêi NÕu bít ®i mét « t« th× cã thĨ ph©n phèi ®Ịu tÊt c¶ c¸c häc sinh lªn c¸c « t« cßn l¹i Hái cã bao nhiªu häc sinh ®i c¾m tr¹i vµ cã bao nhiªu « t« ? BiÕt r»ng mçi « t« chØ chë kh«ng qu¸ 30 ngêi Bµi ( 3,0 ®iĨm ) 1)Cho h×nh thoi ABCD c¹nh a , gäi R vµ r lÇn lỵt lµ c¸c b¸n kÝnh c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ABD vµ ABC 1 + = 2 R r a R 3r b) Chøng minh : S ABCD = 2 ; ( KÝ hiƯu S ABCD lµ diƯn tÝch tø (R + r ) a) Chøng minh : gi¸c ABCD ) 10 Giáo án BDHSG Tốn ( 10m − 1) 102 m − 10m+1 − 102 m + 16.10m + 64 A+ B+ C + = + + +8= = 9 9  10m +   ÷ (1điểm)   Mà 10m + M3 nên 10m + số ngun (0,25điểm) Vậy A + B + C + số phương (0,25điểm) Bài 3: (4 điểm) a/ Cho abc = ⇒ ab = c 1 1 1 + + + + S= = + a + abc + b + bc + c + ac + a + ab + b + bc + c + ac c (0,5điểm) ( ) = c + ac + + b ( ac + + c ) + + c + ac = b ( + c + ac ) = b c + ac + = ( ) (1.5điểm) c bc + + b b c + ac + b/ phương trình 3x + 7y = 167 3x + 7y = 167 ⇔ x = (0,5điểm) đặt 167 − y y +1 = 56 − y − 3 y +1 = t ⇔ y = 3t – Nên x = 58 – 7t (t∈ Z) (0,5điểm) 58 58 – 7t > ⇔ t < Vì x; y ngun dương nên 3t – > ⇔ t > (0,5điểm) Vì t ∈ Z n ên t ∈ { 1; 2;3; 4;5;6;7;8} (0,25điểm) Các nghiệm ngun dương phương trình : (51; 2), (44; 5), (37; 8), (30; 11), (23; 14), (16; 17), (9; 20), (2; 23) (0,25điểm) Bài (5 điểm) hình vẽ (0,5điểm) a/ Chứng minh N, N’ cố định N, B, N’ thẳng hàng Đường thẳng qua M vng góc với d cắt (O) N ˆ = 900 nên AN đường kính đường tròn (O) ⇒ N cố định Vì NMA (0,5điểm) 34 Giáo án BDHSG Tốn Đường thẳng qua M’ vng góc với d cắt (O’) N’ Vì N ' Mˆ ' A = 900 nên AN’ đường kính đường tròn (O’) ⇒ N’ cố định (0,5điểm) ˆ = 900 B thuộc đường tròn đường kính AN nên ABN (0,25điểm) ˆ B thuộc đường tròn đường kính AN’ nên ABN ' = 90 (0,25điểm) ˆ ' = ABN ˆ + ABN ˆ ' = 180 (0,25điểm) ⇒ NBN Vậy N, B, N’ thẳng hàng (0,25điểm) b/ Chứng minh trung điểm I N, N’ tâm đường tròn tiếp xúc với (O) (O’) OI qua trung điểm NA NN’ nên OI đường trung bình ∆ ANN’ ⇒ OI = O’A = R’ (0,5điểm) Gọi r bán kính đường tròn (I) vẽ (I; r) (O; R) tiếp xúc trong, nên OI = R–r Mà OI = R’ (cmt) nên R’ = R – r ⇔ R’ + r = R (0,5điểm) Lại có IO’ qua trung điểm N’N AN’ nên OI đường trung bình ∆ ANN’ ⇒ O’I = OA = R (0,5điểm) mà R’ + r = R nên O’I = R’ + r ⇒ (I; r) tiếp xúc ngồi với (O’; R’) (0,5điểm) Vậy trung điểm I NN’ tâm đường tròn tiếp xúc với đường tròn (O) (O’) (0,5điểm) Bài (4 điểm) hình vẽ (0,5điểm) Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACM BDM Ta có CA = CM; BD = BM ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (0,25điểm) Mà CD = CM + MD nên CD = AC + BD (0,25điểm) Kẻ MH ⊥ AB (H∈ AB) ta có MH ≤ MO = R (0,25điểm) Tứ giác ABDC hình thang vng nên CD ≥ AB = 2R (0,5điểm) Ta có SABDC = ( AC + BD ) AB = CD AB ≥ AB AB = R 2 2 (0,5điểm) MH AB MO AB ≤ = R2 (0,5điểm) 2 Nên SACM + SBDM = SABDC - SMAB ≥ 2R2 –R2 ⇒ SACM + SBDM ≥ R2 (0,5điểm) Dấu “=” xảy ⇔ H ≡ O (0,25điểm) ⇔ M giao điểm đường thẳng vng gòc với AB vẽ từ O nửa đường SMAB= tròn (O)(0,25điểm) Vậy M giao điểm đường thẳng vng gòc với AB vẽ từ O nửa đường tròn (O) Thì SACM + SBDM nhỏ R2 (0,25điểm) ( Học sinh giải cách khác cho tròn điểm) 35 Giáo án BDHSG Tốn y x D M C A H B O M A M' O' O I B N N' Hình Phòng GD Huyện Long Điền Trường THCS Văn Lương hình ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học : 2009 – 2010 Mơn : TỐN : 150 phút Bài ( điểm ) 1) Chứng minh : A = + − 13 + 48 số ngun 6+ 2) Biết a,b số thoả mãn a > b > a.b = Chứng minh : a + b2 ≥2 a −b 3) Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho : 36 Giáo án BDHSG Tốn  abc = n −  cba = ( n − ) với n số ngun lớn Bài : ( điểm )  x −2 x +   1− x  − ÷ Cho biểu thức : P =  ÷ ÷×  x −1 x + x +1    ( với x ≥ 0; x ≠ ) a) Rút gọn P b) Chứng minh : < x < P > c) Tìm giá trị lớn P Bài : ( điểm ) ˆ = 900 Trên Cho ∆ABC nhọn Trên đường cao AD ( D ∈ BC ) lấy điểm I cho BIC ˆ = 900 Chứng minh : CI = CK đường cao BE ( E ∈ AC ) lấy điểm K cho AKC Bài : ( điểm ) Cho ∆ABC vng A có M trung điểm BC Có đường thẳng di động vng góc với M, cắt đoạn thẳng AB , AC D E Xác định vị trí điểm D E để diện tích ∆DME đđạt giá trị nhỏ ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Bài : ( điểm ) 2) ( điểm ) Viết A = + − (2 + 1) = + − ( 0,5 đ ) 6+ = 2+ 6+ 6+ ( 0,5 đ ) 37 Giáo án BDHSG Tốn ( 8+4 = = 6+ 6+ ) 6+ =1 (1đ) 3) ( điểm ) 2 a − b ) + 2ab ( a − b ) + 2 * Vì a.b = nên a + b = ( = = ( a − b) + a −b a −b a −b a −b 2 (1đ) * Do a > b > nên áp dụng BĐT Cơ Si cho số dương Ta có : ( a − b ) + ≥2 a −b a−b ( a − b) × a + b2 ≥2 a −b Vậy ( 1đ ) 4) ( đđiểm )  abc = 100a + 10b + c = n − Viết  cba = 100c + 10b + a = n − 4n + Từ (1) (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – => 4n – M99 đ) Mặt khác : 100 ≤ n − ≤ 999 ⇔ 101 ≤ n ≤ 1000 ⇔ 11 ≤ n ≤ 31 ⇔ 39 ≤ 4n − ≤ 119 (4) Từ (3) (4) => 4n – = 99 => n = 26 Vậy số cần tìm abc = 675 Bài ( điểm ) a) Rút gọn ( P= )( ) ( x + 2) ×( ( x − 1) ×( x + 1) x − × x +1 − ( = x ×1− x ) ) ( 1− x) x −1 (3) ( 0,75 ( 0,75đđ ) ( 0,5 đ ) 2 ( 1,5 đ ) b) Với < x < < x < hay − x > Do đđó x ( − x ) > (1đ) 1 1  c) Viết P = − x + x = −  x − ÷ + ≤ 2 4  1 Vậy Pmax = ⇔ x − = ⇔ x = 4 Bài ( 5điểm ) ( hình vẽ 0,5 đ ) Viết CI = BD.BC CK = CE.CA Chứng minh BD.BC = CE.CA ( 1,5 đ ) (1 đ ) (1đ ) (1,5 đ ) 38 Giáo án BDHSG Tốn => CI = CK2 => CI = CK Bài : ( điểm ) -Vẽ MH ⊥ AB; MK ⊥ AC ( H ∈ AB, K ∈ AC ) Thì ta có H , K cố định ( đ) (1 đ )  MH ⊥ HD ⇒ MD ≥ MH  MK ⊥ KE ⇒ ME ≥ MK 1 Do SMDE = MD ×ME ≥ MH ×MK 2 Chỉ  ( 1đđ ) Với MH , MK khơng đổi ( M , H , K cố định ) D ≡ H E ≡ K Đẳng thức xảy ⇔  (1đ) Lúc c/m D & E trung điểm AB AC (1,5 đ ) Vậy D , E trung điểm AB , AC SMDE nhỏ ( 0,5đ ) PHÒNG GD- ĐT LONG ĐIỀN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2005-2006 KỲ THI CHỌN HỌC SINH - MÔN THI : TOÁN Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20 -01 -2006 Bài 1: (4,0 đ) 1/ Cho A = 1+2+3+…… + 2004+2005 +2006 a/ Tính A (1,0 đ) b/ Nếu thay tổng hai số hạng ( chọn tổng A)ø hiệu hai số hạng tổng A số lẻ hay số chẵn (1,0 đ) 39 Giáo án BDHSG Tốn 2/ Chứng minh số tự nhiên : A = 1.2.3………2003.2004 (1+ + + + 1 + ) 2003 2004 chia hết cho 2005 (2,0 đ) Đáp án biểu điểm 2006(2006 + 1) = 1003.2007= 2013021 1: a/ ( 1,0 đ) Ta có : A = b/ ( 1,0 đ) Với hai số a, b tính chẵn lẻ tổng hiệu giống Ta có: ⇒ a + b = 2( p + q) ; a – b = 2( p – q):  a = 2p ; b = 2q Chẵn  a = 2p + ; b = 2q + ⇒ a + b = 2(p + q + 1); a – b = 2(p – q): Chẵn ⇒ a + b = 2(p + q) + 1; a – b = 2(p – q) –  a = 2p ; b = 2q + 1 :lẻ ⇒ a + b = 2(p + q) + 1; a – b = 2(p – q) + 1:  a = 2p + ; b = 2q lẻ Như ta thay tổng hiệu chúng tính chẵn lẻ tổng A không đổi A = 2013021 số lẻ nên tổng A số lẻ 2/ ( 2,0 đ) Ta có: 1 1 + ) 2003 2004 1 1 ) +( + ) + ……+ +( + ) = (1+ 2004 2003 1002 1003 1 + + + ) = 2005 ( 2004 2003 1002.1003 C = (1+ + + + = 2005 k ( 1,0 đ) B = 1.2.3………2003.2004 mà 1.2.3………2003.2004 ( 1 + + + )∈N⇒ 2004 2003 1002.1003 B.k∈ N A = B 2005 k M2005 ⇒ ĐPCM ( 1,0 đ) Bài 2: (4,0 đ) 1/ Chứng minh nếu: x2 + y2 = thì: − ≤ x + y ≤ (2,0 đ) 2/ Tính giá trò biểu thức : 1 A = x2 + x4 + x + với x = (2,0 đ) 2+ − 8 Đáp án biểu điểm 1/ Ta có: ( x – y )2 ⇔ x2 + y2 ≥ xy ⇒ 2xy ≤ Do đó: x2 + y2 + xy ≤ + = Vì x2 + y2 = ⇔ ( x + y )2 ≤ ⇔  x + y  ≤ 40 Giáo án BDHSG Tốn ⇔ - ≤ x+y ≤ ⇒ − 8  1 1 2 2+ + 2=  − + + 2÷= ÷ 4   2 x − 2x + ( 0,5 đ) ( 0,5d) ⇒ x4 = 2/ Ta có: x = x2 = 1 − 16 = −x + 2 2+ x + 3) Và x + x + = ( ( 0,5 đ) Thay vào A ta có A = ( 0,5 đ) Bài 3: ( 4,0 đ) 1/ Cho x> 0, y> thỏa mãn x+ y = Tìm giá trò nhỏ biểu thức: A = 3x + 2y + + x y 2/ Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: 5x − y = 3x + − 2y − Đáp án biểu điểm 1/ Ta có: A = 3x + 2y + 3 y + =( 0, 5đ) ( x + y) + x + + + ( 0, 5đ) x y 2 x y ≥ x y 6+ + = 19 2 x y ( 0, 5đ) Dấu “=” xảy x = 2; y = Vậy: Min P = 19 x = 2; y = 2/ 5x − y = 3x + − 2y − ⇔ 3x + − 2y − = ( 0, 5đ) 5x − y + (1) (0,5 đ) Ta có vế trái số vô tỷ Vế phải số hữu tỷ nên để phương trình có nghiệm nguyên hai vế (1)  3x + − 2y − =   5x (1,0 đ)  − y + 1=  Giải hệ phương trình ta nghiệm là(3; 6) ( 0,5 đ) Bài 4: (4,0 đ) Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c nội tiếp đường tròn ( O; R) Đường cao AH a/ Chứng minh: bc = 2R AH b/ Gọi S diện tích tam giác ABC Chứng minh: S Đáp án biểu điểm 41 3 R Giáo án BDHSG Tốn · = 1V ( 0,5 đ) a/( 2,0 đ) Vẽ đường kính AD ta có: ACD · · = ADC AHB ACD có ABH ( Cùng chắn cung AC) AHB ACD (0, đ) ⇒ AH = AB AC ⇒ AB AC = AD AH AD ⇒ bc = 2R AH ⇒ AH = bc ( 0,5 đ) 2R abc BC AH = ( 0,5 đ)p dụng bất đẳng 4R b/ ( 2,0 đ) Ta có SABC = thức CoSi ta có SABC ≤ a+ b+ c ( ) (0, đ) dấu “ = “ xảy a = b = c Khi 4R a tam giác ABC ⇒ R = (0, đ) a3 ⇒ S 4a = a = 3 Vậy: S ≤ R (0, đ) ≤ (R 3)2 = 3 R2 4 Bài 5: (4,0 đ) Cho góc xOy điểm M chuyển động góc cho MH + MK = l ( dộ dài cho trước) với H K hình chiếu M Ox Oy Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác OHMK qua điểm cố đònh (khác điểm O) Đáp án biểu điểm · Gọi Oz tia phân giác xOy vẽ đường thẳng qua M vuông góc với Oz P Ta có OP vừa phân giác vừa đường cao nên OAB cân O ⇒ OA = OB.( 0,5 đ) Vẽ AD ⊥ OB ta có SOAB= AD OB ( 1) Mặt khác : SABC = SOAM + SOBM 1 = OA MH + OB MK ( 0,5 đ) 2 Mà OA = OB ⇒ SABC = OB.( MH + MK ) (2) ⇒ AD = MH + MK = l ( 0,5 đ) OAB cố đònh Đường tròn ngoại tiếp tứ giác OHMK có đường kính OM Điểm P Nhìn OM góc vuông nên P thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác OHMK ⇒ P điểm cố đònh ( 0,5 đ) 42 Giáo án BDHSG Tốn Phßng gi¸o dơc vµ ®µo t¹o yªn ®Þnh ®Ị thi chÝnh thøc kú thi chän häc sinh giái líp THCS n¨m häc 2008 - 2009 M«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 (kh«ng kĨ thêi gian giao ®Ị) Câu 1: (4,0 điểm) 2x + − x- x - 5x+ x- a) T×m ®iỊu kiƯn x ®Ĩ P cã nghÜa vµ rót gän biĨu thøc P b) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ P nguyªn Câu 2: (5,0 điểm) 3x + Trªn mỈt ph¼ng täa ®é cho c¸c ®êng th¼ng (d): y = vµ Cho biĨu thøc : P = 43 Giáo án BDHSG Tốn (d') : y = - 3x c¾t t¹i C vµ lÇn lỵt c¾t trơc Ox t¹i A, B a) T×m täa ®é cđa c¸c ®iĨm A, B, C b) T×m diƯn tÝch vµ chu vi cđa tam gi¸c ABC biÕt ®¬n vÞ ®o ®é dµi trªn c¸c trơc lµ cm Câu 3: (4,0 điểm) a, Cho sè d¬ng a,b,c tho¶ m·n a + b + c = Chøng minh bÊt ®¼ng thøc: 1 1 + − < a b c abc b, T×m nghiƯm nguyªn cđa ph¬ng tr×nh: x − 25 = y ( y + 6) Câu 4: (5,0 điểm) Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB; Tõ A vµ B ta vÏ hai d©y cung AC vµ BD c¾t t¹i N Hai tiÕp tun Cx, Dy cđa ®êng trßn c¾t t¹i M Gäi P lµ giao ®iĨm cđa hai ®êng th¼ng AD vµ BC a, Chøng minh PN vu«ng gãc víi AB b, Chøng minh P,M,N th¼ng hµng C©u 5: (2,0 ®iĨm) Chøng minh r»ng: 2000 < HÕt -• Häc sinh kh«ng ®ỵc sư dơng tµi liƯu g× • C¸n bé coi thi kh«ng giải thÝch g× thªm Phßng gi¸o dơc vµ ®µo t¹o yªn ®Þnh kú thi chän häc sinh giái líp THCS n¨m häc 2008 - 2009 §¸p ¸n vµ híng dÉn chÊm M«n: To¸n Híng dÉn chÊm nµy cã trang C ý ©u Néi dung c¬ b¶n 44 §iĨm Giáo án BDHSG Tốn x ≠ ; x ≠ §iỊu kiƯn :  x - 5x+ ≠ ⇔ x ≠ vµ x ≠ 2x + − x- x - 5x+ x- 2x(x- 3)+ − (x - 2) 2x2 - 7x+ = = a (x - 2)(x- 3) (x - 2)(x− 3) ) (2x- 3)(x- ) 2x- = = (x - 2)(x− 3) x−3 2x- VËy : P = víi x ≠ , x ≠ x−3 2x- (2x- 6)+ 3 Ta cã P = = =2 + x−3 x−3 x−3 nªn P nguyªn ⇔ nguyªn ⇔ x - lµ íc cđa x−3 x - = x = b x - = x = ) ⇔ ⇔  x - = - x =   x - = - x = ( lo¹i ) VËy c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m lµ x = ; x = ; x = 0,5 P = C© u ý Néi dung c¬ b¶n 45 0,5 1,0 0,5 0,5 1,0 §iĨm Giáo án BDHSG Tốn • C lµ giao ®iĨm cđa d vµ d/ nªn täa ®é cđa C tháa m·n hƯ :  2y= 3x+  2y= 3x+ x = ⇔ ⇔ VËy C(1 ; 3)   2y= - 3x  4y= 12 y = a) • Ph¬ng tr×nh trơc Ox lµ y = nªn täa ®é A tháa m·n hƯ :  2y= 3x+ x = - ⇔ VËy A(- 1; 0)   y= y = täa ®é B tháa m·n hƯ :  2y= - 3x x = ⇔  VËy B(3 ; 0)   y= y = • Gäi H lµ h×nh chiÕu cđa C trªn trơc Ox th× CH lµ ®êng cao cđa tam gi¸c CAB vµ CH = b cm ( tung ®é cđa ®iĨm ) C) ; c¹nh ®¸y AB = AO + OB = + = (cm) 1,0 0,5 0,5 y y= 3x+3 C ⇒ dt(∆ABC) = -1 A O H x B y= 9-3x = 4.3 = (cm2) AB.CH • HA = HO + OA = + = (cm) ⇒ HB = AB - AH = (cm) ⇒ HA = HB = 2(cm) ⇒ tam gi¸c CAB c©n t¹i C (CH võa lµ ®êng cao võa lµ trung tun) ; tam gi¸c vu«ng HCA cã : CA = AH + HC2 = 2 + 32 = 13 (cm) ⇒ chu vi ∆ABC lµ : AB + BC + CA = + 13 (cm) C© u 1,5 1,5 Ta cã a ( a + b − c) ≥0 ⇒ a + b + c − 2( ac + bc − ab) ≥ 1 ⇒ ac + bc − ab ≤ (a + b + c ) = × < 2 ac + bc − ab ⇒ < (do a, b, c > 0) abc abc 1 1 ⇒ + − < a b c abc 0.5 0.5 0.5 0.5 Tõ x − 25 = y ( y + 6) Ta cã : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 46 Giáo án BDHSG Tốn b §Ĩ ý ph¬ng tr×nh chØ chøa Èn sè x víi sè mò b»ng , ®ã ta cã thĨ h¹n chÕ gi¶i víi x lµ sè tù nhiªn Khi ®ã: y+3+x ≥ y+3-x Ta cã ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) lµ sè ch½n Suy sè ( y+3+x ) vµ (y+3-x) cïng tÝnh ch½n lỴ Ta l¹i cã tÝch cđa chóng lµ sè ch½n , vËy sè sè ( y+3+x ) vµ (y+3-x) lµ sè ch½n 0.5 0.5 Ta chØ cã c¸ch ph©n tÝch - 16 tÝch cđa sè ch½n sau ®©y - 16 = (-2) = (-4) = (-8) ®ã thõa sè ®Çu b»ng gi¸ trÞ (y+3+x) Khi y+3+x= , y+3-x = -2 ta cã x= , y= Khi y+3+x= , y+3-x = -4 ta cã x= , y= -3 Khi y+3+x= , y+3-x = -8 ta cã x= , y= -6 0.5 V× thÕ ph¬ng tr×nh ®· cho cã c¸c nghiƯm ( x,y) = ( ( ±5, ) ; ( ±5, −6 ) ; ( ±4, −3) 0.5 C© u4 a b Trong tam gi¸c PAB ta cã AC vµ BD lµ c¸c ®êng cao nªn N lµ trùc t©m tam gi¸c Do ®ã PN lµ ®êng cao cßn l¹i nªn vu«ng gãc víi c¹nh AB Gäi I lµ trung ®iĨm cđa PN th× IC lµ trung tun cđa tam gi¸c vu«ng PAC nªn IPC c©n t¹i I Do ®ã : ∠IPC = ∠ICP Tam gi¸c OAC c©n t¹i O nªn : ∠CAO = ∠ACO 47 0,5 Giáo án BDHSG Tốn MỈt kh¸c ∠CAO = ∠IPC (do cã c¸c c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) nªn ∠ACO = ∠ICP 0,5 Ta cã AC ⊥ PC nªn OC ⊥ IC Do ®ã IC lµ tiÕp tun t¹i C cđa ®êng trßn 0.5 0.5 T¬ng tù , ID lµ tiÕp tun t¹i D cđa ®êng trßn 0.5 Chøng tá I trïng víi M nªn P,M,A th¼ng hµng 0.5 C© u5 2000 < 1999.2001 = 1998 2000 − < 1998.2000 = 1997 1999 − 1,0 < 1997.1999 < < 2.4 < 1,0 Hết 48 ... 10b + a = n 4n + T (1) v (2) ta cú 99 ( a c ) = 4n => 4n M 99 ) Mt khỏc : 100 n 99 9 101 n 1000 11 n 31 39 4n 1 19 (4) T (3) v (4) => 4n = 99 => n = 26 Vy s cn tỡm abc = 675 Bi... K THI CHN HC SINH GII NM HC 20 09- 2010 CHNH MễN THI : TON Thi gian : 150 phỳt ( Khụng k thi gian giao ) Ngy thi: 16/01/2010 Bi 1(4) a) Tớnh tng: 2 2 + + + + 15 35 63 399 a c... mi bi im) a) 2 2 + + + + 15 35 63 399 2 2 = + + + + 3.5 5.7 7 .9 19. 21 P= 16 (0,5 im) (0,75 im) (0,5 im) (0,25 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 1 1 1 1 = + + + + 5 7 19 21 1 = 21 = b) 1 = a + b + c +