Công thức Mũ + Loga . Toán 12

Công thức Mũ + Loga . Toán 12

TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 34 TUYỂN TẬP CÔNG THỨC MŨ + LOGARIT LỚP 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TOÁN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 35 MŨ VÀ LOGARIT CÔNG THỨC Cho n số nguyên dương Với a số thực tùy ý, lũy thừa bậc n a tích n thừa số a a n  a.a a ( n thừa số) n Ta gọi a số, m mũ số Và ý 00 0 n khơng có nghĩa Cơng thức hay dùng :   a 1 an a.a a với n  *  n thừa số  (a m )n  a mn  (a n )m a n a  n;   a b   b    a am  a mn  n a  a m a n  a mn a a   n b b n  a nb n  (ab) n  Với a, b  ; n  * 2n a n  a a   2n ab   a  b , ab    n 2n a m   n a  , a  , n n m n 1 an  a 2n a 2n1  aa a n a  , ab  0, b  b n b  a  a2  a a (m, n  * )  n 1 ab  2n1 a  2n1 b a, b  n 1 a  b  Nếu m nguyên dương, m nguyên   n m , ta có:  2n n  a  m n a m n m a  nm a , a  , n , m nguyên dương n n 1 a a, b  n 1 b p q  n m a p  m a q , a  0, m, n nguyên dương p, q nguyên + Một số tính chất lũy thừa  Nếu a  a  a      ; Nếu  a  a  a       Với  a  b , ta có: a m  bm  m  ; a m  bm  m   Chú ý: + Các tính chất trường hợp số mũ nguyên không nguyên + Khi xét lũy thừa với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác + Khi xét lũy thừa với số mũ khơng ngun số a phải dương LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 36  Phương trình x  b n  Trường hợp n lẻ: Với số thực b , phương trình có nghiệm  Trường hợp n chẵn: + Với b  , phương trình vơ nghiệm + Với b  , phương trình có nghiệm x  + Với b  , phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương n b , giá trị âm  n b HÀM SỐ LŨY THỪA a) Dạng: y  x y  u với u  f  x  đa thức đại số  Tập xác định: + Nếu     Đạo hàm: b) Dạng:  u  ÑK    ÑK  u  + Nếu     ÑK + Nếu    u  y  x   y   x 1 y  u   y   u 1.u y  ax y  au a  với  a   Tập xác định: D   Đạo hàm: Đặc biệt: y  a x   y  a x ln a y  au   y  au ln a u (e x )  e x (eu )  eu u với e 2,71828  Sự biến thiên: y  a x Nếu a  hàm đồng biến Nếu  a  hàm nghịch biến LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 37 c) Khảo sát hàm số lũy thừa  Tập xác định hàm số lũy thừa y  x chứa khoảng  0;   với   Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y  x khoảng y  x ,   y  x ,   Tập xác định:  0;   Tập xác định:  0;   Sự biến thiên Sự biến thiên: y '   x 1  y '   x 1  x  Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: lim x  0, x 0 lim x   , x 0 lim x   lim x  x  Tiệm cận: x  Tiệm cận: Ox tiệm cận ngang Không có Oy tiệm cận đứng Bảng biến thiên x Bảng biến thiên  y x  y  y  y x    Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số lũy thừa y  x qua điểm I 1;1 LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TOÁN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC y  a x ,  a  1 y  a x ,  a  1 Tập xác định: Tập xác định: Sự biến thiên y '  a x ln a  0, x Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: lim a x  0, lim a x  , lim a   x  x  Tiệm cận: Ox tiệm cận ngang Bảng biến thiên Bảng biến thiên    x   a y lim a x  x  x  Tiệm cận: Ox tiệm cận ngang y' Sự biến thiên y '  a x ln a  0, x x Trang 38  a  0, a  1  Khảo sát hàm số mũ y  a , x   y'  1     y a 0 Đồ thị hình sau Đồ thị hình sau So sánh số dựa vào đồ thị  Ta thấy: a x   a  1; b x   b   Ta thấy: c x  c  1; d x  d   So sánh a với b: Đứng cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng a x trước nên a  b  So sánh c với d: Đứng cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng c x trước nên c  d  Vậy  b  a   d  c LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 39 LOGARIT VÀ HÀM SỐ LOGARIT CÔNG THỨC Cho hai số dương a, b với a  Số  thỏa mãn đẳng thức a  b gọi logarit số a b kí hiệu log a b Ta có:   loga b  a  b Khơng có logarit số âm số Bảng tóm tắt cơng thức loarrit thường gặp: Cho số a, b  0, a  m, n  Ta có:  log a b    a  b  lg b  log b  log10 b  ln b  log e b  log a   log a a   loga an  n  log a bn  n log a b  log am bn  b  log a    log a b  log a c c log b  a a  b   log c b  c logb a  a  log am b  log a b m  log a (bc)  log a b  log a c  log a b.logb c  log a c ,  b  1  lg b    10  b  log a  log b   log a b b a  log a c  log b c ,  b  1 log a b  ln b    e  b  log a b   log a b; ln x  log e x  log a b  n log a b m ,  b  1 logb a   a   log a b  log a c   b  c  log a b  log c b ln b    b  1 log c a log b a ln a  log a n b  log a b n  n  ln10n  log10n  ln en  log na x   log a x  ; lg x  log x  log10 x  log a x n  2n log a x  log a2 n x  2n log a x  a   log a b  log a c  b  c  n HÀM SỐ LOGARIT a) Hàm số y  log a x ,  a  * Tập xác định : D  (0; ) ln(1  x) 1 x 0 x  Giới hạn: lim * Tập giá trị: T   Đạo hàm:  log a x  '  x ln a * Tính đơn điệu: Hàm đồng biến a  nghịch biến  a  Tiệm cận đứng: Oy LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Đồ thị: a  Đồ thị  a  b) Hàm số y  log g  x  f  x   g  x   0; g  x   Điều kiện – TXĐ: Hàm số xác định   f  x   f ' x u' Đạo hàm: log g  x  f  x   '  Hoặc  log a u  '  f  x  ln g  x  u ln a n u'  1 Đặc biệt:  ln u  '    ln x  '  e  lim 1    2, 718281  n u x c) So sánh hệ số  Ta thấy: loga x   a  1; logb x   b   Ta thấy: logc x  c  1; logd x  d   So sánh a với b: Đứng cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log b x trước: b  a  So sánh c với d: Đứng cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log d x trước: d  c Vậy  a  b   c  d LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Trang 40 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 41 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT a) Phương trình mũ Dạng 1: bản: a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) Dạng 2: logarit hóa: a f ( x )  b  f ( x)  log a b a f ( x )  b g ( x )  f ( x)  g ( x).log a b (a, b  0, a  1) Dạng 3: m.a f ( x )  n.a f ( x )  p  • Đặt t  a f ( x )  • PT: mt  nt  p  Dạng 4: m.a g ( x )  n.b g ( x )  p.c g ( x )  Nhận dạng: ma f ( x )  n(a.b) f ( x )  p.b f ( x )  a • Chia hai vế PT cho b2 f ( x )  , ta m   b f ( x) a  n  b f ( x)  p  (Xem a)) Chú ý: Ta chia PT cho hàm mũ ba hàm a g ( x ) ; b g ( x ) ; c g ( x )  , kết không thay đổi Dạng 5: m.(a  b ) f ( x )  n(a  b ) f ( x )  p Nhận dạng: (a  b )(a  b )  a  b  1 • Đặt t  (a  b ) f ( x ) , t    (a  b ) f ( x ) t   Dạng 6: Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn: x  x  3x  x   Đặt t  3x 2  t   x2  3 t  x2       x2  1  t Dạng 7: Sử dụng tính đơn điệu: Nhẩm nghiệm pt f  x   g  x  ra: f  x  đơn điệu g  x  hàm f  x  đồng biến g  x  nghịch biến mà f  x0   g  x0   x0 nghiệm + Nếu f  x  đơn điệu f U   f V   U  V A  A  Dạng 8: Đưa dạng đặc biệt: A.B    ; A2  B    B  B  Dạng 9: Phương pháp đối lập:  f ( x)  M  f ( x)  M n f  x   g  x  mà  Thì  : mt   p  mt  pt  n  t  g ( x)  M  g ( x)  M b) Phương trình logarit  g ( x)  Dạng 1: Cơ bản: log a f ( x)  log a g( x)    f ( x)  g ( x) Dạng 2: Mũ hóa: log a f ( x)  b  f ( x)  ab (không cần điều kiện) LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 42 Dạng 3: m loga f ( x)  n loga f ( x)  p  • Đặt t  log a f ( x) • PT: mt  nt  p  Dạng 4: m.log a f ( x)  n.log f ( x ) a  p  • ĐK: f ( x)  0, f ( x)  1 • Đặt t  log a f ( x)   log f ( x ) a t n • PT: mt   p   mt  pt  n  t Dạng 5: Phương trình đơn giản chứa log a f ( x) log b g ( x) • Đặt t  loga f ( x)  f ( x)  at • Thay trở lại phương trình, ta có phương trình đơn giản (chứa logarit hơn) Dạng 6: Sử dụng tính đơn điệu: Nhẩm nghiệm pt f  x   g  x  ra: f  x  đơn điệu g  x  hàm f  x  đồng biến g  x  nghịch biến mà f  x0   g  x0   x0 nghiệm + Nếu f  x  đơn điệu f U   f V   U  V A  A  Dạng 7: Đưa dạng đặc biệt: A.B    ; A2  B    B  B   f ( x)  M  f ( x)  M Dạng 8: Phương pháp đối lập: f  x   g  x  mà  Thì   g ( x)  M  g ( x)  M BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT a) Bất phương trình mũ: Việc biến đổi để giải bất phương trình mũ gần giống giải phương trình mũ Các em cần ý công thức sau: a 1 + a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) +a f ( x) 0 a 1  a g ( x )  f ( x)  g ( x)  a  + Công thức tổng quát: a f  x   a g  x      a  1  f  x   g  x   + a f  x 0  a   b *  * ln b  LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 43 b) Bất phương trình Logarit Bước 1: Tìm điều kiện xác định Bước 2: Giải bất phương trình đưa bất phương trình Chú ý: a 1  log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  0a1  log a f ( x)  log a g ( x)   f ( x)  g ( x)  a    f ( x)  g ( x)  Tổng quát: log a f ( x)  log a g ( x)    0  a    0  f ( x)  g ( x) 0  a    f  x  Hoặc giải sau: log a f ( x)  log a g ( x)   g  x   a  1  f  x   g  x       BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG Lãi đơn: số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi số tiền gốc sinh ra, tức tiền lãi kì hạn trước khơng tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi khơng đến gửi tiền Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r % /kì hạn số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n  * ) là: Sn  A  nAr  A 1  nr  Chú ý: tính tốn toán lãi suất toán liên quan, ta nhớ r % r 100 Lãi kép: tiền lãi kì hạn trước người gửi khơng rút tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r % /kì hạn số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n  * ) là: S n  A 1  r  n LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC S n  A 1  r  n Trang 44   r %  n Sn   A    Sn  A n  1 r        Sn   n  log 1 r   A     Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi số tiền vào thời gian cố định Cơng thức tính: Đầu tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r % /tháng số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n tháng ( n  * ) ( nhận tiền cuối tháng, ngân hàng tính lãi) S n     n  log 1 r  Sn r  1      A 1  r    A n Sn  1  r   1 1  r      r  Sn r  A n  1  r  1  r   1  Gửi ngân hàng rút tiền gửi hàng tháng: Cơng thức tính: Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r % /tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút số tiền X đồng Tính số tiền lại sau n tháng bao nhiêu? Sn  A 1  r  n 1  r  X n 1 r r n  X   A 1  r   Sn    1  r n  Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r % /tháng Sau tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách tháng, hoàn nợ số tiền X đồng trả hết tiền nợ sau n tháng Cơng thức tính: Cách tính số tiền cịn lại sau n tháng giống hồn tồn cơng thức tính gửi ngân hàng rút tiền hàng tháng nên ta có: Sn  A 1  r  n 1  r  X n 1 r LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Để sau n tháng trả hết nợ Sn  nên A 1  r  n 1  r  X n 1 r Trang 45 0 A 1  r  r n X 1  r  n 1 Bài toán tăng lương: Một người lãnh lương khởi điểm A đồng/tháng Cứ sau n tháng lương người tăng thêm r % /tháng Hỏi sau kn tháng người lĩnh tiền? Cơng thức tính: Tổng số tiền nhận sau kn tháng Skn 1  r   Ak k 1 r Bài toán tăng trưởng dân số: Cơng thức tính tăng trưởng dân số X m  X n 1  r  mn ,  m, n   , m  n Trong đó: r % tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m X m dân số năm m , X n dân số năm n Từ ta có cơng thức tính tỉ lệ tăng dân số r %  m n Xm 1 Xn Lãi kép liên tục:  Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r % /năm số tiền nhận vốn lẫn lãi sau n năm n  là: S n  A 1  r  Giả sử ta chia năm thành m kì hạn để tính lãi lãi suất kì hạn n r  số tiền thu sau n năm là: Sn  A 1    m *  r % m m n Khi tăng số kì hạn năm lên vơ cực, tức m   , gọi hình thức lãi kép tiên tục người ta chứng minh số tiền nhận gốc lẫn lãi là: S  Aen.r ( công thức tăng trưởng mũ) LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 .. . 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 097 5.7 0 5.1 22 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 39 LOGARIT VÀ HÀM SỐ LOGARIT CÔNG THỨC Cho hai số dương a, b với a  Số  thỏa mãn đẳng thức a  b gọi logarit .. . không nguyên + Khi xét lũy thừa với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác + Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên số a phải dương LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 097 5.7 0 5.1 22 TUYỂN .. . TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT a) Bất phương trình mũ: Việc biến đổi để giải bất phương trình mũ gần giống giải phương trình mũ Các em cần ý công thức sau: a 1 + a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) +a