TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC MŨ LOGA TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC
CÔNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT 1) Công thức mũ lũy thừa Số mũ α α = n∈ N* α =0 α = −n ( n ∈ N * ) α= Cơ số a a∈R Lũy thừa a α a α = a n = a.a a (n thừa số ) a≠0 a≠0 aα = a = a α = a −n = a>0 m (m ∈ Z , n ∈ N * ) n m a α = a n = n a m (n a = b ⇔ b n = a) Tính chất: Khi lũy thừa xác định a n lÎ am an = am+ n n a n = a n ch½ n (a.b)n = an b n am an = am − n ab = n a n b n n a an ( )n = b bn a (am )n = (an )m = am.n 10 ap = − m n = ( a) n a n k m n an = 11 n a na = b nb 12 n a = mn a m 13 n a m = a n ( a>0) m p n 14 a − n = am a = nk a m n 15 an a = mn a 2) Công thức logarit * Chú ý: ĐK để lôgarit có nghĩa là: Cơ số lớn khác Biểu thức dấu lôgarit phải lớn x y log a = 0, log a a = log a ( ) = − log a ( ) y x log a x α = α log a x , log a x = log a x log a a m = m a log a b = b log aα x = log a ( x y ) = log a x + log a y x log a ( ) = log a x − log a y , log a ( ) = − log a y y y Công thức đổi số log c b log a b = hay log c a.log a b = log c b log c a ln b lg b log a b = log a b = ln a lg a α log a x , log a β x α = α log a x β lg b = log b = log10 b ( logarit thập phân) 10 ln b = log e b, ( e = 2,718… ) ( logarit tự nhiên hay loga Nêpe) log a b = a 1 hay log a b.log b a = log b a logb c log a =c b 3) Đạo hàm hàm mũ logarit Đạo hàm hàm số sơ cấp (e x )' = e x (a x )' = a x ln a (ln x )' = x (log a x )' = x a ln a ( x α )' = α x α −1 (α ≠ 0, x > 0) (n x )' = n n x n −1 Đạo hàm hàm số hợp (e u )' = u '.e u (a u )' = u '.a u ln a u' (ln u )' = u u' (log a u )' = u ln a α α −1 (u )' = α u u ' u' (n u )' = n n u n −1 Công thức đạo hàm ( u.v ) ' = u ' v + u.v ' u u v − u.v = v2 v ' ' ' ' ' 1 v' 1 = − , = − x2 v v2 x ' ' u' x = , u = x u ( ) ( ) 4) Các dạng PT Bất PT mũ, logarith a) < a ≠ b) a > c) < a < a f ( x) = a g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) f ( x) > hay ( g ( x) > 0) log a f ( x) = log a g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) > g ( x) log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ f ( x) > g ( x) > a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) < g ( x) log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ < f ( x) < g ( x) * So sánh: +) a > : a α > a β ⇔ α > β +) a > : log a b > log a c ⇔ b > c +) < a < : a α > a β ⇔ α < β +) Với < a < b , m ∈ Z : a m < b m ⇔ m > a m > bm ⇔ m < +) Với a < b , n ∈ N lẻ thì: a n < b n +) Với a, b > , n ∈ ℤ* thì: a n = b n ⇔ a = b log a b > ⇔ b > +) < a < : log a b > log a c ⇔ b < c log a b > ⇔ b < +) log a b = log a c ⇔ b = c 5) Hàm số mũ, hàm số logarit Hàm số mũ: y = a x (a>0), đồng biến a > 1, nghịch biến < a < Áp dụng so sánh: +) a > 1: x1 > x2 a x1 > a x2 +) < a < 1: x1 > x2 a x1 < a x2 Hàm số logarit: y = log a x ( < a ≠ 1, x > ), đồng biến a > 1, nghịch biến < a < Áp dụng so sánh: +) a > 1: x1 > x2 log a x1 > log a x1 +) < a < 1: x1 > x2 log a x1 < log a x1 6) Công thức lãi kép Gửi A đồng, lãi xuất r/1 kì hạn Sau n kì hạn thu đồng? T = A(1 + r ) n Gửi A đồng, kì hạn m tháng với lãi xuất r/1 tháng Sau n kì hạn thu đồng? T = A(1 + m.r ) n Vay A đồng, lãi xuất r/ tháng Từ tháng thứ trả đặn vào cuối tháng m đồng Sau n tháng hết nợ Hỏi tháng trả tiền? m = A.r (1 + r ) (1 + r ) n n −1 log B − log A log(1 + r ) Mỗi tháng gửi đặn A đồng vào đầu tháng, với lãi xuất r/ tháng ( lãi kép) Số tiền thu sau n A(1 + r ) n tháng T = + r ) − 1 ( r Gửi A đồng, lãi xuất r/ kì hạn Sau kì hạn(N) có B đồng? N = ... Hàm số mũ, hàm số logarit Hàm số mũ: y = a x (a>0), đồng biến a > 1, nghịch biến < a < Áp dụng so sánh: +) a > 1: x1 > x2 a x1 > a x2 +) < a < 1: x1 > x2 a x1 < a x2 Hàm số logarit: y = log a... v' 1 = − , = − x2 v v2 x ' ' u' x = , u = x u ( ) ( ) 4) Các dạng PT Bất PT mũ, logarith a) < a ≠ b) a > c) < a < a f ( x) = a g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) f ( x) > hay ( g ( x)...3) Đạo hàm hàm mũ logarit Đạo hàm hàm số sơ cấp (e x )' = e x (a x )' = a x ln a (ln x )' = x (log a x )' = x a ln