CHU DE HINH HOC GIAI TICH TRONG KHONG GIAN 12
CÁC CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN CHỦ ĐỀ 1: CÁC PHÉP TOÁN VỀ TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ ĐIỂM Bài Viết tọa độ vectơ sau đây: #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» a = −2 i + j b = i −8k c = −9 k d = i −4 j +5k #» #» #» Bài Viết dạng x i + y j + z k vectơ sau đây: Å ã Å ã #» #» #» a = 0; √ ; 2 b = (4; −5; 0) c = ; 0; √ 3 #» Bài Cho: #» a = (2; −5; 3) , b = (0; 2; −1) , #» c = (1; 7; 2) Tìm toạ độ vectơ #» u với: #» #» #» b + #» c #» #» #» u = 4a − #» u = 3a − b +5c #» #» #» #» #» #» #» a − b − #» c u = #» #» u = a −4b −2c u = −4 b + #» #» u = a − #» c 3 #» #» b− c Bài Tìm tọa độ vectơ #» x , biết rằng: #» #» #» #» #» #» #» #» a + x = với a = (1; −2; 1) a + x = a với a = (0; −2; 1) #» #» #» #» #» a + x = b với a = (5; 4; −1), b = (2; −5; 3) Bài Cho #» a = (1; −3; 4) #» a) Tìm y z để b = (2; y; z) phương với #» a b) Tìm toạ độ vectơ #» c , biết #» a #» c ngược hướng | #» c | = | #» a | #» Bài Cho ba vectơ #» a = (1; −1; 1) , b = (4; 0; −1) , #» c = (3; 2; −1) Tìm: Ä ä Ä #»ä #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» a.b c a2 b.c a2b + b2 c + c2 a #» Ä ä #» #» #» #» b + #» c2b 3a −2 a.b #» #» #» #» 4a.c + b2 −5c2 #» Bài Tính góc hai vectơ #» a b : #» #» a = (4; 3; 1) , b = (−1; 2; 3) √ √ #» #» a = (2; 1; −2), b = (0; − 2; 2) √ √ #» #» a = (−4; 2; 4), b = (2 2; −2 2; 0) #» #» a = (2; 5; 4) , b = (6; 0; −3) #» #» √ √ √ a = (3; 2; 3), b = ( 3; 3; −1) #» #» a = (3; −2; 1), b = (2; 1; −1) Bài Tìm vectơ #» u , biết rằng: ® ® #» #» #» #» a = (2; −1; 3), b = (1; −3; 2), #» c = (3; 2; −4) a = (2; 3; −1), b = (1; −2; 3), #» c = (2; −1; 1) #» #» #» #» u ⊥ #» a , #» u ⊥ b , #» u #» c = −6 a #» u = −5, #» u b = −11, #» u #» c = 20 ® ® #» #» #» #» a = (2; 3; 1), b = (1; −2; −1), #» c = (−2; 4; 3) a = (5; −3; 2), b = (1; 4; −3), #» c = (−3; 2; 4) #» #» #» #» a #» u = 3, b #» u = 4, #» c #» u =2 a #» u = 16, b #» u = 9, #» c #» u = −4 ® #» #» a = (7; 2; 3), b = (4; 3; −5), #» c = (1; 1; −1) #» #» a #» u = −5, b #» u = −7, #» c ⊥ #» u #» Bài Cho hai vectơ #» a , b Tìm m để: Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang √ √ ® #» ® #» #» #» a = (2; 1; −2), b = (0; − 2; 2) a = (3; −2; 1), b = (2; 1; −1) #» #» #» #» #» #» u = #» a + 3m b #» v = m #» a − b vng góc u = m #» a − b #» v = #» a + 2m b vng góc ® #» #» a = (3; −2; 1), b = (2; 1; −1) #» #» #» u = m #» a − b #» v = #» a + 2m b phương #» Bài 10 Cho hai vectơ #» a , b Tính X, Y biết: #» | #» a | = 4, b = #» X = #» a−b #» #» #» a − b =4 a = (2; −1; −2), b = 6, #» #» Y = #» a+b Ä #»ä #» | #» a | = 4, b = 6, #» a , b = 1200 #» #» X = #» a − b , Y = #» a+b Ä #»ä #» #» a = (2; −1; −2), b = 6, #» a , b = 600 #» #» X = #» a − b , Y = #» a+b ỵ #»ó #» Bài 11 Cho ba vectơ #» a , b , #» c Tìm m, n để #» c = #» a, b : #» #» #» a = (3; −1; −2) , b = (1; 2; m) , c = (5; 1; 7) #» #» #» #» #» a = (6; −2; m) , b = (5; n; −3) , c = (6; 33; 10) #» a = (2; 3; 1) , b = (5; 6; 4) , c = (m; n; 1) #» Bài 12 Xét đồng phẳng ba vectơ #» a , b , #» c trường hợp sau đây; #» #» #» #» #» #» a = (1; −1; 1) , b = (0; 1; 2) , c = (4; 2; 3) a = (4; 3; 4) , b = (2; −1; 2) , c = (1; 2; 1) #» #» #» #» #» #» a = (−3; 1; −2) , b = (1; 1; 1) , c = (−2; 2; 1) a = (4; 2; 5) , b = (3; 1; 3) , c = (2; 0; 1) #» #» #» #» #» #» a = (2; 3; 1), b = (1; −2; 0), c = (3; −2; 4) a = (5; 4; −8), b = (−2; 3; 0), c = (1; 7; −7) #» #» #» #» #» #» a = (2; −4; 3), b = (1; 2; −2), c = (3; −2; 1) a = (2; −4; 3), b = (−1; 3; −2), c = (3; −2; 1) #» c đồng phẳng: Bài 13 Tìm m để vectơ #» a , b , #» #» a) #» a = (1; m; 2) , b = (m + 1; 2; 1) , #» c = (0; m − 2; 2) #» b) #» a = (2m + 1; 1; 2m − 1); b = (m + 1; 2; m + 2), #» c = (2m; m + 1; 2) #» c) #» a = (m + 1; m; m − 2) , b = (m − 1; m + 2; m) , #» c = (1; 2; 2) #» d) #» a = (1; −3; 2) , b = (m + 1; m − 2; − m) , #» c = (0; m − 2; 2) #» #» Bài 14 Cho vectơ #» a , b , #» c , #» u Chứng minh ba vectơ #» a , b , #» c không đồng phẳng Biểu diễn vectơ #» #» #» #» u theo vectơ a , b , c : ® ® #» #» #» #» a = (2; 1; 0) , b = (1; −1; 2) , #» c = (2; 2; −1) a = (1; −7; 9) , b = (3; −6; 1) , #» c = (2; 1; −7) #» #» u = (3; 7; −7) u = (−4; 13; −6) ® #» #» a = (1; 0; 1) , b = (0; −1; 1) , #» c = (1; 1; 0) #» u = (8; 9; −1) ® #» #» a = (1; 0; 2) , b = (2; −3; 0) , #» c = (0; −3; 4) #» u = (−1; −6; 22) ® #» #» #» #» a = (2; −3; 1) , b = (−1; 2; 5) , #» c = (2; −2; 6) a = (2; −1; 1) , b = (1; −3; 2) , #» c = (−3; 2; −2) #» #» u = (3; 1; 2) u = (4; 3; −5) #» #» Bài 15 Chứng tỏ bốn vectơ #» a , b , #» c , d đồng phẳng: #» #» a) #» a = (−2; −6; 1) , b = (4; −3; −2) , #» c = (−4; −2; 2) , d = (−2; −11; 1) #» #» b) #» a = (2; 6; −1) , b = (2; 1; −1) , #» c = (−4; 3; 2) , d = (2; 11; −1) ® Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang CHỦ ĐỀ 2: XÁC ĐỊNH ĐIỂM TRONG KHƠNG GIAN CHỨNG MINH TÍNH CHẤT HÌNH HỌC- DIỆN TÍCH-THỂ TÍCH Bài Cho điểm M Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M: • Trên mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz • Trên trục tọa độ: Ox, Oy, Oz • Qua gốc toạ độ • Qua mp(Oxy) • Qua trục Oy M(1; 2; 3) M(3; −1; 2) M(−1; 1; −3) M(1; 2; −1) M(2; −5; 7) M(22; −15; 7) M(11; −9; 10) M(3; 6; 7) Bài Xét tính thẳng hàng ba điểm sau: A(1; 3; 1), B(0; 1; 2), C(0; 0; 1) A(1; 1; 1), B(−4; 3; 1), C(−9; 5; 1) A(10; 9; 12), B(−20; 3; 4), C(−50; −3; −4) A(−1; 5; −10), B(5; −7; 8), C(2; 2; −7) Bài Cho ba điểm A, B, C • Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành tam giác • Tìm toạ độ trọng tâm G ABC • Xác định điểm D cho ABCD hình bình hành • Xác định toạ độ chân E, F đường phân giác góc A BC Tính độ dài đoạn phân giác • Tính số đo góc • Tính diện tích ABC ABC ABC Từ suy độ dài đường cao AH ABC A(1; 2; −3), B(0; 3; 7), C(12; 5; 0) A(0; 13; 21), B(11; −23; 17), C(1; 0; 19) A(3; −4; 7), B(−5; 3; −2), C(1; 2; −3) A(4; 2; 3), B(−2; 1; −1), C(3; 8; 7) A(3; −1; 2), B(1; 2; −1), C(−1; 1; −3) A(4; 1; 4), B(0; 7; −4), C(3; 1; −2) A (1; 0; 0) , B (0; 0; 1) , C (2; 1; 1) A(1; −2; 6), B(2; 5; 1), C(−1; 8; 4) Bài Trên trục Oy(Ox), tìm điểm cách hai điểm: A(3; 1; 0) , B(−2; 4; 1) A(1; −2; 1), B(11; 0; 7) A(4; 1; 4), B(0; 7; −4) A(3; −1; 2), B(1; 2; −1) A(3; −4; 7), B(−5; 3; −2) A(4; 2; 3), B(−2; 1; −1) Bài Trên mặt phẳng Oxy(Oxz, Oyz), tìm điểm cách ba điểm: A(1; 1; 1), B(−1; 1; 0), C(3; 1; −1) A(−3; 2; 4), B(0; 0; 7), C(−5; 3; 3) A(3; −1; 2), B(1; 2; −1), C(−1; 1; −3) A(0; 13; 21), B(11; −23; 17), C(1; 0; 19) A(1; 0; 2), B(−2; 1; 1), C(1; −3; −2) A(1; −2; 6), B(2; 5; 1), C(−1; 8; 4) Bài Cho hai điểm A, B Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz(Oxz, Oxy) điểm M • Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào? • Tìm tọa độ điểm M Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang A (2; −1; 7) , B (4; 5; −2) A(4; 3; −2), B(2; −1; 1) A(10; 9; 12), B(−20; 3; 4) A(3; −1; 2), B(1; 2; −1) A(3; −4; 7), B(−5; 3; −2) A(4; 2; 3), B(−2; 1; −1) Bài Cho bốn điểm A, B, C, D • Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện • Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD • Tính góc tạo cạnh đối diện tứ diện ABCD • Tính thể tích khối tứ diện ABCD • Tính diện tích tam giác BCD, từ suy độ dài đường cao tứ diện vẽ từ A A(2; 5; −3), B(1; 0; 0), C(3; 0; −2), D(−3; −1; 2)2 A (1; 0; 0) , B (0; 1; 0) , C (0; 0; 1) , D (−2; 1; −1) A (1; 1; 0) , B (0; 2; 1) , C (1; 0; 2) , D (1; 1; 1) A (2; 0; 0) , B (0; 4; 0) , C (0; 0; 6) , D (2; 4; 6) A(2; 3; 1), B(4; 1; −2), C(6; 3; 7), D(−5; −4; 8) A(5; 7; −2), B(3; 1; −1), C(9; 4; −4), D(1; 5; 0) A(2; 4; 1), B(−1; 0; 1), C(−1; 4; 2), D(1; −2; 1) A(−3; 2; 4), B(2; 5; −2), C(1; −2; 2), D(4; 2; 3) A(3; 4; 8), B(−1; 2; 1), C(5; 2; 6), D(−7; 4; 3) 10 A(−3; −2; 6), B(−2; 4; 4), C(9; 9; −1), D(0; 0; 1) Bài Cho hình hộp ABCD.A B C D • Tìm toạ độ đỉnh cịn lại • Tính thể tích khối hộp A (1; 0; 1) , B (2; 1; 2) , D (1; −1; 1) , C (4; 5; −5) A(0; 2; 1), B(1; −1; 1), D(0; 0; 0; ), A (−1; 1; 0) A(0; 2; 2), B(0; 1; 2), C(−1; 1; 1), C (1; −2; −1) Bài Cho bốn điểm S(3; 1; −2), A(5; 3; 1), B(2; 3; −4), C(1; 2; 0) a) Chứng minh SA ⊥ (SBC), SB ⊥ (SAC), SC ⊥ (SAB) b) Chứng minh S.ABC hình chóp c) Xác định toạ độ chân đường cao H hình chóp Suy độ dài đường cao SH CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Bài Tìm tâm bán kính mặt cầu sau: x2 + y2 + z2 − 8x + 2y + = x2 + y2 + z2 + 4x + 8y − 2z − = x2 + y2 + z2 − 2x − 4y + 4z = x2 + y2 + z2 − 6x + 4y − 2z − 86 = x2 + y2 + z2 − 12x + 4y − 6z + 24 = x2 + y2 + z2 − 6x − 12y + 12z + 72 = x2 + y2 + z2 − 8x + 4y + 2z − = x2 + y2 + z2 − 3x + 4y = 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x − 3y + 15z − = 10 x2 + y2 + z2 − 6x + 2y − 2z + 10 = Bài Xác định m để phương trình sau xác định mặt cầu, tìm tâm bán kính mặt cầu a) x2 + y2 + z2 − 2(m + 2)x + 4my − 2mz + 5m2 + = Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang b) x2 + y2 + z2 − 2(3 − m)x − 2(m + 1)y − 2mz + 2m2 + = Bài Viết phương trình mặt cầu có tâm I bán kính R: √ I(1; −3; 5), R = I(5; −3; 7), R = I(1; −3; 2), R = I(2; 4; −3), R = Bài Viết phương trình mặt cầu có tâm I qua điểm A: I(2; 4; −1), A(5; 2; 3) I(0; 3; −2), A(0; 0; 0) I(4; −4; −2), A(0; 0; 0) I(4; −1; 2), A(1; −2; −4) I(3; −2; 1), A(2; 1; −3) Bài Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với: A(2; 4; −1), B(5; 2; 3) A(0; 3; −2), B(2; 4; −1) A(3; −2; 1), B(2; 1; −3) A(4; −3; −3), B(2; 1; 5) A(2; −3; 5), B(4; 1; −3) A(6; 2; −5), B(−4; 0; 7) Bài Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với: A (1; 1; 0) , B (0; 2; 1) , C (1; 0; 2) , D (1; 1; 1) A (2; 0; 0) , B (0; 4; 0) , C (0; 0; 6) , D (2; 4; 6) A(2; 3; 1), B(4; 1; −2), C(6; 3; 7), D(−5; −4; 8) A(5; 7; −2), B(3; 1; −1), C(9; 4; −4), D(1; 5; 0) A(6; −2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; −1), D(4; 1; 0) A(0; 1; 0), B(2; 3; 1), C(−2; 2; 2), D(1; −1; 2) Bài Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng (P) cho trước, với: ß ß A(2; 0; 1), B(1; 3; 2), C(3; 2; 0) A(1; 2; 0), B(−1; 1; 3), C(2; 0; −1) (P) ≡ (Oxy) (P) ≡ (Oxz) Bài Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T), với: ß ß I(−5; 1; 1) I(−3; 2; 2) 2 2 (T) : x + y + z − 2x + 4y − 6z + = (T) : x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 8z + = CHỦ ĐỂ 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU Bài Vị trí tương đối hai mặt cầu mặt cầu ® x + y2 + z2 − 8x + 4y − 2z − = x2 + y2 + z2 + 4x − 2y − 4z + = ® x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 10z + = x2 + y2 + z2 − 4x − 6y + 2z − = ® x2 + y2 + z2 − 2x − 6y + 4z + = x2 + y2 + z2 − 6x + 2y − 4z − = ® (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = x2 + y2 + z2 − 6x − 10y − 6z − 21 = ® x2 + y2 + z2 − 8x + 4y − 2z − 15 = x2 + y2 + z2 + 4x − 12y − 2z + 25 = ® x2 + y2 + z2 + 4x − 2y + 2z − = x2 + y2 + z2 − 6x + 4y − 2z − = Bài Biện luận theo m vị trí tương đối hai mặt cầu: ® ® (x − 3)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 81 (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 64 (x − 4)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = (m + 2)2 ® (x + 2)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 25 (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = (m − 1)2 Chủ đề hình học Oxyz (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = (m − 3)2 ® (x + 3)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 16 (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = (m + 3)2 Những nẻo đường phù sa Trang CHỦ ĐỂ 5: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM Bài Cho hai điểm A(1; 2; 1), B(3; 1; −2) Tìm tập hợp điểm M(x; y; z) cho: MA2 + MB2 = 30 MA =2 MB MA2 + MB2 = k2 (k > 0) Bài Cho hai điểm A(2; −3; −1), B(−4; 5; −3) Tìm tập hợp điểm M(x; y; z) cho: √ MA 2 MA + MB = 124 = MB ’ = 90◦ AMB MA = MB MA2 + MB2 = 2(k2 + 1) (k > 0) Bài Tìm tập hợp tâm I mặt cầu sau m thay đổi: a) x2 + y2 + z2 − 4x − 6y + 2(m − 3)z + 19 − 2m = b) x2 + y2 + z2 + 2(m − 2)x + 4y − 2z + 2m + = c) x2 + y2 + z2 + 2x − 4y + 2(m + 1)z + 2m2 + = CHỦ ĐỂ 6: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M có VTPT #» n cho trước: #» #» #» M (3; 1; 1) , n = (−1; 1; 2) M (−2; 7; 0) , n = (3; 0; 1) M (4; −1; −2) , n = (0; 1; 3) #» #» #» M (2; 1; −2) , n = (1; 0; 0) M (3; 4; 5) , n = (1; −3; −7) M (10; 1; 9) , n = (−7; 10; 1) Bài Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB cho trước, với: A(2; 1; 1), B(2; −1; −1) A(1; −1; −4), B(2; 0; 5) ã Å ã ã Å ã Å 1 A A 1; ; ; −1; , B 1; − ; , B −3; ; 2 3 Å A(2; 3; −4), B(4; −1; 0) A(2; −5; 6), B(−1; −3; 2) #» Bài Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M có cặp VTCP #» a , b cho trước, với: #» #» #» #» M(1; 2; −3), a = (2; 1; 2), b = (3; 2; −1) M(1; −2; 3), a = 3; −1; −2), b = (0; 3; 4) #» #» #» #» M(−4; 0; 5), a = (6; −1; 3); b = (3; 2; 1) M(−1; 3; 4), a = (2; 7; 2), b = (3; 2; 4) Bài Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M song song với mặt phẳng β cho trước, với: M (2; 1; 5) , M (−1; 1; 0) , β = Oxy β : x − 2y + z − 10 = M(2; −3; 5), (β) : x + 2y − z + = M (1; −2; 1) , β : 2x − y + = M (3; 6; −5) , β : −x + z − = M(1; 1; 1), (β) : 10x − 10y + 20z − 40 = Bài Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M song song với mặt phẳng toạ độ, với: M (2; 1; 5) M (1; −2; 1) M (−1; 1; 0) M (3; 6; −5) M(2; −3; 5) M(1; 1; 1) M(−1; 1; 0) M(3; 6; −5) Bài Viết phương trình mặt phẳng (α) qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với: Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang A(1; −2; 4), B(3; 2; −1), C(−2; 1; −3) A(0; 0; 0), B(−2; −1; 3), C(4; −2; 1) A(3; −5; 2), B(1; −2; 0), C(0; −3; 7) A(−1; 2; 3), B(2; −4; 3), C(4; 5; 6) A(2; −4; 0), B(5; 1; 7), C(−1; −1; −1) A(3; 0; 0), B(0; −5; 0), C(0; 0; −7) Bài Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm A vng góc với đường thẳng qua hai điểm B, C cho trước, với: A(1; −2; 4), B(3; 2; −1), C(−2; 1; −3) A(0; 0; 0), B(−2; −1; 3), C(4; −2; 1) A(−1; 2; 3), B(2; −4; 3), C(4; 5; 6) A(3; −5; 2), B(1; −2; 0), C(0; −3; 7) A(2; −4; 0), B(5; 1; 7), C(−1; −1; −1) A(3; 0; 0), B(0; −5; 0), C(0; 0; −7) Bài Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B vuông góc với mặt phẳng (β) cho trước, với: ß ß A(−2; −1; 3), B(4; −2; 1) A(3; 1; −1), B(2; −1; 4) β : 2x + 3y − 2z + = β : 2x − y + 3z − = ß ß A(2; −1; 3), B(−4; 7; −9) A(3; −1; −2), B(−3; 1; 2) β : 3x + 4y − 8z − = β : 2x − 2y − 2z + = Bài Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng (β), (γ) cho trước, với: a) M(−1; −2; 5), β : x + 2y − 3z + = 0, (γ) : 2x − 3y + z + = b) M(1; 0; −2), β : 2x + y − z − = 0, (γ) : x − y − z − = c) M(2; −4; 0), β : 2x + 3y − 2z + = 0, (γ) : 3x + 4y − 8z − = d) M(5; 1; 7), β : 3x − 4y + 3z + = 0, (γ) : 3x − 2y + 5z − = Bài 10 Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước, với: a) M (1; 2; −3) , (P) : 2x − 3y + z − = 0, (Q):3x − 2y + 5z − = b) M (2; 1; −1) , (P) : x − y + z − = 0, (Q):3x − y + z − = c) M (3; 4; 1) , (P) : 19x − 6y − 4z + 27 = 0, (Q):42x − 8y + 3z + 11 = d) M (0; 0; 1) , (P) : 5x − 3y + 2z − = 0, (Q) : 2x − y − z − = Bài 11 Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) (P) : y + 2z − = 0, (Q) : x + y − z − = 0, (R) : x + y + z − = b) (P) : x − 4y + 2z − = 0, (Q) : y + 4z − = 0, (R) : 2x − y + 19 = c) (P) : 3x − y + z − = 0, (Q) : x + 4y − = 0, (R) : 2x − z + = Bài 12 Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vng góc với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) (P) : 2x + 3y − = 0, (Q) : 2y − 3z − = 0, (R) : 2x + y − 3z − = b) (P) : y + 2z − = 0, (Q) : x + y − z + = 0, (R) : x + y + z − = c) (P) : x + 2y − z − = 0, (Q) : 2x + y + z + = 0, (R) : x − 2y − 3z + = d) (P) : 3x − y + z − = 0, (Q) : x + 4y − = 0, (R) : 2x − z + = Bài 13 Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời cách điểm M cho trước khoảng k, với: (P) : x − y − = 0, (Q) : 5x − 13y + 2z = 0, M(1; 2; 3), k = Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang CHỦ ĐỀ 7: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG Bài 14 Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng sau: ß ß 2x + 3y − 2z + = 3x − 4y + 3z + = 3x + 4y − 8z − = 3x − 2y + 5z − = ß 2x − 2y − 4z + = 6x − 4y − 6z + = 25 12x − 8y − 12z − = 5x − 5y − 10z + =0 ß 5x + 5y − 5z − = 3x + 3y − 3z + = ß 3x − 2y − 6z − 23 = 3x − 2y − 6z + 33 = Bài 15 Xác định m, n để cặp mặt phẳng sau: • song song ß 3x + my − 2z − = nx + 7y − 6z + = ß 3x − y + mz − = 2x + ny + 2z − = ß x + my − z + = 2x + y + 4nz − = • cắt ß 5x − 2y + mz − 11 = 3x + ny + z − = ß 2x + y + 3z − = mx − 6y − 6z − = ß 2x − ny + 2z − = 3x − y + mz − = ã trựng ò 2x + my + 3z − = nx − 6y − 6z + = ß 3x − 5y + mz − = 2x + y − 3z + = ß 3x − (m − 3)y + 2z − = (m + 2)x − 2y + mz − 10 = Bài 16 Xác định m để cặp mặt phẳng sau vng góc với ß ß ß 2x − 7y + mz + = (2m − 1)x − 3my + 2z + = mx + 2y + mz − 12 = x + my + z + = 3x + y − 2z + 15 = mx + (m − 1)y + 4z − = ß ß ß 3x − (m − 3)y + 2z − = 4x − 3y − 3z = 3x − 5y + mz − = x + 3y + 2z + = mx + 2y − 7z − = (m + 2)x − 2y + mz − 10 = CHỦ ĐỀ 8: KHOẢNG CÁCH Bài Cho mặt phẳng (P) điểm M • Tính khoảng cách từ M đến (P) • Tìm toạ độ hình chiếu H M (P) • Tìm toạ độ điểm M đối xứng với M qua (P) (P) : 2x − y + 2z − = 0, M(2; −3; 5) (P) : x + y + 5z − 14 = 0, M(1; −4; −2) (P) : 6x − 2y + 3z + 12 = 0, M(3; 1; −2) (P) : 2x − 4y + 4z + = 0, M(2; −3; 4) (P) : x − y + z − = 0, M(2; 1; −1) (P) : 3x − y + z − = 0, M(1; 2; 4) Bài Tìm khoảng cách hai mặt phẳng: ß ß x − 2y + 3z + = 6x − 2y + z + = 2x − y + 3z + = 6x − 2y + z − = ß ß 4x − y + 8z + = 2x − y + 4z + = 4x − y + 8z + = 3x + 5y − z − = ß 2x − y + 4z + = 3x + 5y − z − = ß 3x + 6y − 3z + = x + 2y − z + = Bài Tìm tập hợp điểm cách mặt phẳng khoảng k cho trước: 6x − 3y + 2z − = 0, k = 3x − 2y − 6z + = 0, k = 6x − 2y + 3z + 12 = 0, k = 2x − 4y + 4z − 14 = 0, k = Bài Tìm tập hợp điểm cách hai mặt phẳng: Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang ß ß x − 2y + 3z + = 2x − y + 3z + = 4x − y + 8z + = 4x − y + 8z + = ß 2x − y + 4z + = 3x + 5y − z − = ß 6x − 2y + z + = 6x − 2y + z − = ß 2x − y + 4z + = 3x + 5y − z − = ß 3x + 6y − 3z + = x + 2y − z + = Bài Tìm tập hợp điểm có tỷ số khoảng cách đến hai mặt phẳng K cho trước: x + 2y − 2z − 10 = 6x − 2y + z + = 6x + 3y − 2z − = 6x − 2y + z − = 2x + 2y − z + = 2x + 4y − 4z + = k = k = k = Bài Tìm điểm M trục Ox(Oy, Oz) cách điểm N mặt phẳng (P): (P) : 2x + 2y + z − = 0, N(1; 2; −2) (P) : x + y + 5z − 14 = 0, N(1; −4; −2) (P) : 6x − 2y + 3z + 12 = 0, N(3; 1; −2) (P) : 2x − 4y + 4z + = 0, N(2; −3; 4) (P) : x − y + z − = 0, N(2; 1; −1) (P) : 3x − y + z − = 0, N(1; 2; 4) Bài Tìm điểm M trục Ox(Oy, Oz) cách hai mặt phẳng: ß ß x + 2y − 2z + = x+y−z+1 = 2x + 2y + z − = x−y+z−5 = ß ß 4x − y + 8z + = 2x − y + 4z + = 4x − y + 8z + = 3x + 5y − z − = ß 2x − y + 4z + = 4x + 2y − z − = ß 3x + 6y − 3z + = x + 2y − z + = Bài Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) qua điểm A song song với mặt phẳng (Q) cho trước Tính khoảng cách (P) (Q): A (1; 2; 3) , (Q) : 2x − 4y − z + = A (3; 1; 2) , (Q) : 6x − 2y + 3z + 12 = Bài Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) cách điểm A khoảng k cho trước: (Q) : x + 2y − 2z + = 0, A(2; −1; 4), k = (Q) : 2x − 4y + 4z + = 0, A(2; −3; 4), k = Bài 10 Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) khoảng k: √ √ (Q) : 3x − y + 2z − = 0, k = 14 (Q) : 4x + 3y − 2z + = 0, k = 29 CHỦ ĐỀ 9: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Bài Tính góc hai mặt phẳng: ß ß x + 2y − 2z + = x+y−z+1 = 2x + 2y + z − = xy+z5 = đ ò 2x y − 2z + = 4x + 4y − 2z + = √ √ 2x + 4z − = 2y + 2z + 12 = ß 2x − y + 4z + = 4x + 2y − z − = ®√ √ √ 3x − 3y + 3z + = 4x + 2y + 4z − = Bài Tìm m để góc hai mặt phẳng sau α cho trước: (2m − 1)x − 3my + 2z + = mx + 2y + mz − 12 = x + my + z + = mx + (m − 1)y + 4z − = α = 450 α = 900 (m + 2)x + 2my − mz + = mx − y + mz + = (2m + 1)x + (m − 1)y + (m − 1)z − = mx + (m − 3)y + 2z − = α = 300 α = 900 Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang CHỦ ĐỀ 10: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Bài Xét vị trí tương đối mặt phẳng (P) mặt cầu (S) ß ß (P) : 2x + 2y + z − = (P) : 2x − 3y + 6z − = (S) : x2 + y2 + z2 − 6x − 2y + 4z + = ß (S) : x2 + y2 + z2 + 2x − 4y − 2z + = ß (P) : x + y − 2z − 11 = (P) : x + 2y + 2z = (S) : x2 + y2 + z2 − 6x + 2y − 2z + 10 = (S) : (x − 1)2 + (y − 3)2 + (z + 2)2 = 16 ß (P) : x − 2y + 2z + = (S) : x2 + y2 + z2 − 6x − 4y − 8z + 13 = ß (P) : z − = (S) : x2 + y2 + z2 − 6x + 2y − 16z + 22 = Bài Biện luận theo m, vị trí tương đối mặt phẳng (P) mặt cầu (S): a) (P) : 2x − 2y − z − = 0; (S) : x2 + y2 + z2 − 2(m − 1)x + 4my + 4z + 8m = b) (P) : 4x − 2y + 4z − = 0; (S) : (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = (m − 1)2 c) (P) : 3x + 2y − 6z + = 0; (S) : (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 = (m + 2)2 d) (P) : 2x − 3y + 6z − 10 = 0; (S) : x2 + y2 + z2 + 4mx − 2(m + 1)y − 2z + +3m2 + 5m − = Bài Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước: I(3; −5; −2), (P) : 2x − y − 3z + = I(1; 4; 7), (P) : 6x + 6y − 7z + 42 = I(1; 1; 2), (P) : x + 2y + 2z + = I(−2; 1; 1), (P) : x + 2y − 2z + = Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước: a) (S) : (x − 3)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = 24 M(−1; 3; 0) b) (S) : x2 + y2 + z2 − 6x − 2y + 4z + = M(4; 3; 0) c) (S) : (x − 1)2 + (y + 3)2 + (z − 2)2 = 49 M(7; −1; 5) d) (S) : x2 + y2 + z2 − 2x − 2y − 2z − 22 = song song với mặt phẳng 3x − 2y + 6z + 14 = e) (S) : x2 + y2 + z2 − 6x + 4y + 2z − 11 = song song với mặt phẳng 4x + 3z − 17 = f) (S) : x2 + y2 + z2 − 2x − 4y + 4z = song song với mặt phẳng x + 2y + 2z + = g) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A với A(6; ˘2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; ˘1), D(4; 1; 0) BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Cho tứ diện ABCD • Viết phương trình mặt tứ diện • Viết phương trình mặt phẳng chứa cạnh song song với cạnh đối diện • Viết phương trình mặt phẳng qua đỉnh song song với mặt đối diện • Viết phương trình mặt phẳng qua cạnh AB vng góc với (BCD) • Viết phương trình mặt phẳng trung trực cạnh tứ diện • Tìm toạ độ điểm A , B , C , D điểm đối xứng với điểm A, B, C, D qua mặt đối diện Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang 10 • Tính khoảng cách từ đỉnh tứ diện đến mặt đối diện • Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm I bán kính R (S) • Viết phương trình tiếp diện (S) đỉnh A, B, C, D tứ diện • Viết phương trình tiếp diện (S) song song với mặt tứ diện A (5; 1; 3) , B (1; 6; 2) , C (5; 0; 4) , D (4; 0; 6) A (1; 1; 0) , B (0; 2; 1) , C (1; 0; 2) , D (1; 1; 1) A (2; 0; 0) , B (0; 4; 0) , C (0; 0; 6) , D (2; 4; 6) A(2; 3; 1), B(4; 1; −2), C(6; 3; 7), D(−5; −4; 8) A(5; 7; −2), B(3; 1; −1), C(9; 4; −4), D(1; 5; 0) A(0; 1; 0), B(2; 3; 1), C(−2; 2; 2), D(1; −1; 2) Bài Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt ba trục toạ độ điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; ˘3)vE(˘2; a) Tìm phương trình tổng quát của(P) (Q) b) Tính độ dài đường cao hình chóp O.ABC c) Tính góc hai mặt phẳng (P), (Q) Bài Cho bốn điểm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3)vD(1; 3; 3) a) Chứng minh ABCD tứ diện b) Chứng minh tứ diện ABCD có cặp cạnh đối đơi vng góc c) Tìm phương trình tổng qt mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD) d) Tính góc cặp mặt phẳng: (ABC)v(ABD), (BCD)v(ACD) CHỦ ĐỂ 11: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M có VTCP #» a cho trước: #» M(1; 2; −3), a = (−1; 3; 5) #» #» M(1; 3; −1), a = (1; 2; −1) #» M(4; 3; −2), a = (−3; 0; 0) M(0; −2; 5), a = (0; 1; 4) M(3; −1; −3), a = (1; −2; 0) M(3; −2; 5), a = (−2; 0; 4) #» #» Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A, B cho trước: A (2; 3; −1) B (1; 2; 4) A (1; −1; 0) B (0; 1; 2) A (3; 1; −5) B (2; 1; −1) A (2; 1; 0) B (0; 1; 2) A (1; 2; −7) B (1; 2; 4) A (−2; 1; 3) B (4; 2; −2) Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng ∆ cho trước: A (3; 2; −4) ∆ ≡ Ox A (2; −5; 3) , ∆ qua M(5; 3; 2), N(2; 1; −2) A(2; −5; 3), ∆ : x = − 3t y = + 4t z = − 2t A(4; −2; 2), ∆ : x+2 y−5 z−2 = = A(1; −3; 2), ∆ : x = + 4t y = − 2t z = 3t − A(5; 2; −3), ∆ : x+3 y−1 z+2 = = Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A vng góc với mặt phẳng (P) cho trước: Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang 11 A (−2; 4; 3) (P) : 2x − 3y + 6z + 19 = A(1; −1; 0), (P) : mặt phẳng tọa độ A (3; 2; 1) , (P) : 2x − 5y + = A(2; −3; 6), (P) : 2x − 3y + 6z + 19 = Bài Viết phương trình tham số đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước: ß ß ß (P) : 2x − 3y + 3z − = (P) : 3x + 3y − 4z + = (P) : 6x + 2y + 2z + = (Q) : x + 2y − z + = (Q) : x + 6y + 2z − = (Q) : 3x − 5y − 2z − = ß ß ß (P) : 2x + y − z + = (P) : x + z − = (P) : 2x + y + z − = (Q) : y − = (Q) : x + y + z − = (Q) : x + z − = Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A vuông góc với hai đường thẳng d1 , d2 cho trước: a) A(1; 0; 5), d1 : x = 1−t y = 2+t z = − 3t x = + 2t y = − 2t , d2 : z = 1+t b) A(2; −1; 1), d1 : x = 1+t y = −2 + t , d2 : z=3 c) A(1; −2; 3), d1 : x = 1−t y = −2 − 2t , d2 : z = − 3t d) A(4; 1; 4), d1 : x = −7 + 3t y = − 2t , d2 : z = + 3t e) A(2; −1; −3), d1 : f) A(3; 1; −4), d1 : x = + 3t y = −2 + t z = 3+t x=1 y = −2 + t z = 3+t x = 1+t y = −9 + 2t z = −12 − t x = + 3t x = 2t y = 1+t , d2 : y = −3 + 4t z = 2−t z = −2 + 2t ® x=t x=t y = − t , d2 : y = − 2t z = −2t z=0 Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A, vng góc cắt đường thẳng (∆) cho trước: ®x = t x = −3 + 2t A(1; 2; −2), ∆ : y = 1−t z = 2t A(2; −1; −3), ∆ : A(1; −2; 3), ∆ : A(−4; −2; 4), d : x = + 3t y = 1+t z = −2 + 2t x = 1−t y = −2 − 2t z = − 3t y = 1−t z = −1 + 4t A(3; 1; −4), ∆ : x=t y = 1−t z = −2t A(2; −1; 1), ∆ : x = 1+t y = −2 + t z=3 Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A cắt hai đường thẳng d1 , d2 cho trước: a) A(1; 0; 5), d1 : b) A(2; −1; 1), d1 : Chủ đề hình học Oxyz x = + 2t y = − 2t , d2 : z = 1+t x = 1−t y = 2+t z = − 3t x = 1+t y = −2 + t , d2 : z=3 x = + 3t y = −2 + t z = 3+t Những nẻo đường phù sa Trang 12 c) A(−4; −5; 3), d1 : x = −1 + 3t y = −3 − 2t , d2 : z = 2−t x = + 2t y = −1 + 3t z = − 5t x = −t y=t z = 2t d) A(2; 1; −1), d1 : x = + 3t y = −2 + 4t , d2 : z = −3 + 5t e) A(2; 3; −1), d1 : x = 2+t y = − 2t , d2 : z = + 3t x = −4 + 3t y = 1+t z = −2 + 3t f) A(3; −2; 5), d1 : x = −3 + 3t y = + 4t , d2 : z = + 2t x = + 2t y = 1−t z = − 3t Bài Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1 , d2 cho trước: (P) : 6x + 2y + 2z + = (P) : y + 2z = x = + 2t x = 1−t x = 2−t y z x−1 d1 : y = − 2t , d2 : y = + t d1 : −1 = = , d2 : y = + 2t z = 1+t z = − 3t z=1 (P) : 2x − 3y + 3z − = (P) : 3x + 3y − 4z + = x = −7 + 3t x = 1+t x = 1−t x=1 y = −2 + t y = − + 2t y = − 2t y = − − 2t , d : d : d : , d : 2 z = 3+t z = − 3t z = −12 − t z = + 3t Bài 10 Viết phương trình tham số đường thẳng song song với đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng d1 1, d2 cho trước: x y−1 z−1 x y−1 z−5 ∆: = = ∆: = = −1 −1 y z−1 x+1 x−1 y+2 z−2 = = d1 : d1 : = = −1 x + y + z y + z + x − d : d2 : = = = = x+1 y+3 z−2 x−1 y+2 z−2 ∆: = = = = ∆: −2 −1 x−1 y+2 z−2 x−2 y+2 z−1 d1 : = = d1 : = = 3 y − z − x − x+4 y+7 z d2 : = = d2 : = = −1 Bài 11 Viết phương trình tham số đường thẳng vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 1, d2 cho trước: d1 : x = − 2t y = + 4t , d2 : z = −2 + 4t d1 : x = + 2t y = + t , d2 : z = 3−t x = + 3t y = 4−t z = − 2t x = 1+t y = 3+t z = + 2t d1 : x = + 2t y = −3 + t , d2 : z = + 3t x = −2 + 3t y = + 2t z = −4 + 4t d1 : x = + 3t y = −3 − t , d2 : z = + 2t x = −1 + 2t y = − 2t z = 2+t Bài 12 Viết phương trình tham số đường thẳng d hình chiếu đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) cho trước: Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang 13 y−3 z−1 x+2 = = ∆: −1 (P) : 2x − y + 2z + = x+1 y−1 z−3 ∆: = = −2 (P) : 2x − 2y + z − = x−2 y+2 z−1 ∆: = = (P) : x + 2y + 3z + = ß ∆ : 5x − 4y − 2z − = x + 2z − = (P) : 2x − y + z − = x−3 y−2 z+2 = = −1 (P) : 3x + 4y − 2z + = x y z−1 ∆: = = −2 1 (P) : x + y − z + = y−2 z x−1 ∆: = = −2 −1 (P) : 2x − y − 3z + = ß ∆ : x − y − z − = x + 2z − = (P) : x + 2y − z − = ∆: Bài 13 Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A, vng góc với đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2 cho trước: a) A(0; 1; 1), d1 : x = −1 y=t z = 1+t x−1 y−2 z = = , d2 : 1 x−1 y+1 z b) A(1; 1; 1), d1 : = = , d2 : −1 c) A(−1; 2; −3), d1 : x=2 y = + 2t z = −1 − t y−4 z x−1 y+1 z−3 x+1 = = , d2 : = = −2 −3 −5 Bài 14 Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1); D(1; 1; 1) Viết phương trình tham số đường thẳng sau: a) Chứa cạnh tứ diện tứ diệnABCD b) Đường thẳng qua C vng góc với mp(ABD) c) Đường thẳng qua A qua trọng tâm tam giác BCD Bài 15 Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) hai trung tuyến: (d1 ) : y−6 z−3 x−3 = = , (d2 ) : −2 x−4 y−2 z−2 = = Viết phương trình tham số đường thẳng sau: −4 1 Chứa cạnh tam giác ABC Đường phân giác góc A Bài 16 Cho tam giác ABC có A(3; −1; −1), B(1; 2; −7), C(−5; 14; −3) Viết phương trình tham số đường thẳng sau: Trung tuyến AM Đường cao BH Đường phân giác BK Đường trung trực BC tam giác ABC Bài 17 Cho bốn điểm S(1; 2; −1), A(3; 4; −1), B(1; 4; 1), C(3; 2; 1) a) Chứng minh S.ABC hình chóp b) Viết phương trình tham số đường thẳng chứa cạnh hình chóp c) Viết phương trình đường vng góc chung SA BC Bài 18 Cho bốn điểm S(1; −2; 3), A(2; −2; 3), B(1; −1; 3), C(1; −2; 5) a) Chứng minh S.ABC tứ diện b) Viết phương trình hình chiếu SA, SB mặt phẳng (ABC) Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang 14 CHỦ ĐỀ 12: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐƯỜNG THẲNG-MẶT PHẲNG Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A đường thẳng d A(2; −3; 1), d : x = + 2t y = − 3t z = 3+t A(1; 4; −3), d : x−1 y+2 z−5 = = ß x − y + 2z − = A(−2; 1; 4), d : x + 2y + 2z + = A(4; −2; 3), d : x = 2−t y = −1 + 2t z = − 3t x+3 y+2 z−1 = = ß x + 3y − 2z + = A(3; −2; 4), d : 2x − y + z − = A(2; −1; 5), d : Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai đường thẳng song song d1 , d2 : a) d1 : { x = + 3t; y = + 2t; z = t − ; d2 : x+2 y−1 z+3 = = b) d1 : x−1 y+3 z−2 x+2 y−1 z−4 = = , d2 : = = 4 c) d1 : x−1 y+2 z−3 x+2 y−3 z+1 = = ; d2 : = = −6 −3 −12 d) d1 : x−3 y−1 z+2 x+1 y+5 z−1 = = ; d2 : = = Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai đường thẳng cắt d1 , d2 : a) d1 : { x = 3t; y = − 2t; z = + t ; d2 : { x = + t ; y = 2t ; z = + t ß x+y+z+3 = b) d1 : ; d2 : { x = + t; y = −2 + t; z = − t 2x − y + = ß ß x − 2y − z − = x−z−2 = c) d1 : ; d2 : y + 2z + = 2x + y + z + = ß ß 3x + y − z + = 2x + y + = d) d1 : ; d2 : 2x − y + = x−y+z−1 = Bài Cho hai đường thẳng chéo d1 , d2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 song song với d2 : a) d1 : { x = − 2t; y = + t; z = −2 − 3t ; d2 : { x = 2t ; y = + t ; z = − 2t b) d1 : { x = + 2t; y = − 2t; z = −t; d2 : { x = 2t ; y = − 3t ; z = c) d1 : { x = − 2t; y = + 4t; z = 4t − 2; d2 : { x = + 3t ; y = − t ; z = − 2t d) d1 : x−2 y+1 z x y−1 z+1 = = ; d2 : = = −2 2 e) d1 : x−7 y−3 z−9 x−3 y−1 z−1 = = ; d2 : = = −1 −7 x−2 y−1 z−3 x−3 y+1 z−1 = = ; d2 : = = −2 −2 ß ß x − 2y + 2z − = 2x + y − z + = g) d1 : ; d2 : 2x + y − 2z + = x − y + 2z − = f) d1 : Bài Tìm toạ độ hình chiếu H điểm M đường thẳng d điểm M đối xứng với M qua đường thẳng d Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang 15 M(1; 2; −6), d : x = + 2t y = 1−t z = t−3 M(2; 1; −3), d : x = 2t y = 1−t z = −1 + 2t M(2; 3; 1), d : x = − 4t y = + 2t z = 4t − M(1; 2; −1), d : y+2 z−2 x−1 = = 2 ß x − 2y − z = M(2; 1; −3), d : 2x + y − z − = M(1; 2; −1), d : x = 2−t y = + 2t z = 3t y+2 z−3 x+1 = = −2 ß y+z−4 = M(2; 1; −3), d : 2x − y − z + = M(2; 5; 2), d : Bài Tìm toạ độ hình chiếu H điểm M mặt phẳng (P) điểm M đối xứng với M qua mặt phẳng (P) (P) : 2x − y + 2z − = 0, M(2; −3; 5) (P) : x + y + 5z − 14 = 0, M(1; −4; −2) (P) : 6x − 2y + 3z + 12 = 0, M(3; 1; −2) (P) : 2x − 4y + 4z + = 0, M(2; −3; 4) (P) : x − y + z − = 0, M(2; 1; −1) (P) : 3x − y + z − = 0, M(1; 2; 4) BÀI TẬP TỔNG HỢP x−1 y z+2 Bài Tìm trục Ox điểm M cách đường thẳng∆: = = mặt phẳng (α) : 2 2x − y − 2z = Bài Cho điểm A(1; 0; 0) B(0; 2; 0) Viết phương trình mp(α) qua AB tạo với mp(Oxy) góc 60◦ Bài Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(3; −1; 1) nằm mp(α): x − y + z − = y−2 z x = góc 45◦ hợp với đường thẳng∆ : = 2 Bài Gọi (α) mặt phẳng qua A(2; 0; 1) B(−2; 0; 5) hợp với mp(Oxz) góc 45◦ Tính khoảng cách từ O đến mp(α) x = + 3t x−1 y+2 z−5 Bài Chứng minh đường thẳng ∆1 : = = ∆2 : y = + 2t nằm −3 z = −1 − 3t mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng Bài Cho hai điểm A(1; 2; −1), B(7; −2; 3) đường thẳng d : x+1 y−2 z−2 = = −2 a) Chứng minh đường thẳng d đường thẳng AB thuộc mặt phẳng b) Tìm điểm I thuộc d cho I A + IB nhỏ Bài Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; 2; 3), B(−2; 1; 0), C(−1; 0; 2), D(0; 2; 3) a) Chứng minh ABCD tứ diện Tính thể tích tứ diện # » # » # » # » #» b) Tìm điểm M cho : MA + MB − MC + MD = c) Xác định toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD d) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB, AC, BC e) Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc với trục Oz f) Viết phương trình mặt phẳng qua A B vng góc với mặt phẳng 2x + 3y − z = Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang 16 g) Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc với hai mặt phẳng 2x + 3y − z = 0, x + 2y − 3z = h) Viết phương trình mặt phẳng qua A chắn nửa trục dương Ox, Oy, Oz điểm I, J, K cho thể tích tứ diện OI JK nhỏ i) Viết phương trình mặt phẳng qua A chắn nửa trục dương Ox, Oy, Oz điểm I, J, K cho OI + OJ + OK nhỏ j) Viết phương trình mặt phẳng qua C, song song với trục Oy vng góc với mặt phẳng x + 2y − 3z = k) Viết phương trình mặt phẳng qua A qua giao tuyến hai mặt phẳng: (P) : x + y + z − = 0, (Q) : 3x − y + z − = l) Viết phương trình mặt phẳng qua A chứa đường thẳng : m) Tìm điểm A đối xứng với điểm A qua đường thẳng d: ß x + y − 3z + = cách từ A đến đường thẳng d: 2x − y − 3z + = y−3 z+1 x−1 = = −2 y+1 z−1 x+2 = = tính khoảng n) Tìm trục Oz điểm M cách điểm A mặt phẳng (P) : x + 3y + = o) Viết phương trình đường thẳng qua A, song song với mặt phẳng (P) : x − y − z − = x+1 y−3 z−1 = = vng góc với đường thẳng ∆: y x p) Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc cắt đường thẳng: = = z + q) Tìm điểm P thuộc mặt phẳng (P) : 2x − 3y − z + = cho PA + PB nhỏ y−3 z−1 x = = thuộc mặt 3 phẳng Tìm điểm N thuộc d cho N A + NB nhỏ r) Chứng minh đường thẳngAB đường thẳng d: s) Viết phương trình đường thẳng qua A, vng góc với đường thẳng: ß x+y−z+2 = đường thẳng: 2x − y + z − = x−3 y−1 z = = cắt t) Viết phương trình hình chiếu đường thẳng AB lên mặt phẳng (P) : x + 3y − z = u) Tính góc tạo bỡi đường thẳng AB với mặt phẳng (BCD) v) G trọng tâm ABC, G điểm thuộc mặt phẳng (P) : 2x − 3y + z + = Chứng minh rằng: G A2 + G B2 + G C2 nhỏ G hình chiếu G lên (P) Tìm toạ độ điểm G w) Lập phương trình mặt cầu qua A, B, C có tâm thuộc mp(Oxy) x) Lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 − 6x − 2y + 4z + = B y) Lập phương trình mặt phẳng qua A tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 − 4x + 2y − 6z + = z) Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABCD VẤN ĐỀ 13: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang 17 Bài Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 , d2 cho trước: a) d1 : y+2 z−4 x−1 = = ; d2 : { x = −1 + t; y = −t; z = −2 + 3t −2 b) d1 : { x = + 2t; y = − t; z = − t ; d2 : { x = + 2t ; y = −3 − t ; z = − t c) d1 : { x = + 2t; y = −1 + t; z = ; d2 : { x = 1; y = + t; z = − t d) d1 : x−1 y−2 z−3 x−7 y−6 z−5 = = ; d2 : = = 6 e) d1 : x−1 y+5 z−3 x−6 y+1 z+3 = = ; d2 : = = x−2 y z+1 x−7 y−2 z = = ; d2 : = = −6 −8 −6 12 ß ß x − 2y + 2z − = 2x + y − z + = g) d1 : ; d2 : 2x + y − 2z + = x − y + 2z − = ß 2x − 3y − 3z − = h) d1 : { x = 9t; y = 5t; z = t − 3; d2 : x − 2y + z + = f) d1 : Bài Chứng tỏ cặp đường thẳng sau chéo Viết phương trình đường vng góc chung chúng: a) d1 : { x = − 2t; y = + t; z = −2 − 3t ; d2 : { x = 2t ; y = + t ; z = − 2t b) d1 : { x = + 2t; y = − 2t; z = −t; d2 : { x = 2t ; y = − 3t ; z = c) d1 : { x = − 2t; y = + 4t; z = 4t − 2; d2 : { x = + 3t ; y = − t ; z = − 2t d) d1 : y+1 z x y−1 z+1 x−2 = = ; d2 : = = −2 2 e) d1 : x−7 y−3 z−9 x−3 y−1 z−1 = = ; d2 : = = −1 −7 y−1 z−3 x−3 y+1 z−1 x−2 = = ; d2 : = = −2 −2 ß ß x − 2y + 2z − = 2x + y − z + = g) d1 : ; d2 : 2x + y − 2z + = x − y + 2z − = f) d1 : Bài Tìm giao điểm hai đường thẳng d1 d2 : a) d1 : { x = 3t; y = − 2t; z = + t ; d2 : { x = + t ; y = 2t ; z = + t ß x+y+z+3 = b) d1 : ; d2 : { x = + t; y = −2 + t; z = − t 2x − y + = ß ß x − 2y − z − = x−z−2 = c) d1 : ; d2 : y + 2z + = 2x + y + z + = ß ß 3x + y − z + = 2x + y + = d) d1 : ; d2 : 2x − y + = x−y+z−1 = Bài Tìm m để hai đường thẳng d1 d2 cắt Khi tìm toạ độ giao điểm chúng: a) d1 : { x = + mt; y = t; z = −1 + 2t ; d2 : { x = − t ; y = + 2t ; z = − t b) d1 : { x = − t; y = + 2t; z = m + t ; d2 : { x = + t ; y = + t ; z = − 3t ß ß x + 2y + mz − = 2x + y − z − = c) d1 : ; d2 : 2x + y + z − = x+y−3 = Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang 18 CHỦ ĐỀ 14: VỊ TRỊ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài Xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt phẳng (P) Tìm giao điểm (nếu có) chúng: a) d : { x = 2t; y = − t; z = + t ; (P) : x + y + z − 10 = b) d : { x = 3t − 2; y = − 4t; z = 4t − ; (P) : 4x − 3y − 6z − = c) d : x − 12 y−9 z−1 = = ; (P) : 3x + 5y − z − = d) d : x + 11 y−3 z = = ; (P) : 3x − 3y + 2z − = y−1 z−4 x − 13 = = ; (P) : x + 2y − 4z + = ß 3x + 5y + 7z + 16 = f) d : ; (P) : 5x − z − = 2x − y + z − = ß 2x + 3y + 6z − 10 = g) d : ; (P) : y + 4z + 17 = x+y+z+5 = e) d : Bài Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) Tìm m, n để: • d cắt (P) a) d : • d (P) • d ⊥ (P) • d ≡ (P) x−1 y+2 z+3 = = ; (P) : x + 3y − 2z − = m 2m − x+1 y−3 z−1 = = ; (P) : x + 3y + 2z − = m m−2 ß 3x − 2y + z + = c) d : ; (P) : 2x − y + (m + 3)z − = 4x − 3y + 4z + = b) d : d) d : { x = + 4t; y = − 4t; z = −3 + t ; (P) : (m − 1)x + 2y − 4z + n − = e) d : { x = + 4t; y = − 4t; z = −3 + t ; (P) : (m − 1)x + 2y − 4z + n − = f) d : { x = + 2t; y = − 3t; z = − 2t ; (P) : (m + 2)x + (n + 3)y + 3z − = Bài Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) Tìm m, n để: a) d : { x = m + t; y = − t; z = 3t cắt (P) : 2x − y + z − = điểm có tung độ ß x − 2y − = b) d : cắt (P) : 2x + y + 2z − 2m = điểm có cao độ −1 y + 2z + = ß x + 2y − = c) d : cắt (P) : x + y + z + m = 3x − 2z − = CHỦ ĐỀ 15: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG Bài Xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt cầu (S) Tìm giao điểm (nếu có) chúng: x y−1 z−2 = = ; (S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 4z + = −1 ß 2x + y − z − = b) d : ; (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + z2 = 16 x − 2z − = a) d : Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang 19 ß x − 2y − z − = ; (S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 2y − 14 = x+y+2 = ß x − 2y − z − = ; (S) : x2 + y2 + z2 + 4x − 2y − 10z − = x+y+2 = c) d : d) d : e) d : { x = −2 − t; y = t; z = − t ; (S) : x2 + y2 + z2 − 2x − 4y + 2z − = f) d : { x = − 2t; y = + t; z = + t ; (S) : x2 + y2 + z2 − 2x − 4y + 6z − = g) d : { x = − t; y = − t; z = ; (S) : x2 + y2 + z2 − 2x − 4y + 6z − = Bài Biện luận theo m, vị trí tương đối đường thẳng d mặt cầu (S): ß x − 2y − z + m = a) d : ; (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = x+y+2 = b) d : { x = − t; y = m + t; z = + t ; (S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 4z + = ß x − 2y − = c) d : ; (S) : x2 + y2 + z2 + 2x − 2y + 4z + m = 2x + z − = Bài Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng d: a) I(1; −2; 1); d : { x = + 4t; y = − 2t; z = 4t − b) I(1; 2; −1); d : { x = − t; y = 2; z = 2t c) I(4; 2; −1); d : x−2 y+1 z−1 = = 2 x−1 y z−2 = = −1 ß x − 2y − = e) I(1; 2; −1); d : z−1 = d) I(1; 2; −1); d : Bài Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) bán kính R = Viết phương trình tiếp tuyến d (S), biết: a) d qua A(0; 0; 5) ∈ (S) có VTCP #» a = (1; 2; 2) b) d qua A(0; 0; 5) ∈ (S) vng góc với mặt phẳng: (α) : 3x − 2y + 2z + = Bài Cho tứ diện ABCD Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cạnh tứ diện, với: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3), D(1; 3; 3) A(1; 0; 2), B(2; −1; 1), C(0; 2; 1), D(−1; 3; 0) A(3; 2; 1), B(1; −2; 1), C(−2; 2; −2), D(1; 1; −1) A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8), D(−3; 1; 2) CHỦ ĐỀ 16: KHOẢNG CÁCH Bài Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d: x = − 4t y = + 2t z = 4t − 1 A(2; 3; 1), d : A(1; 0; 0), d : A(1; 2; −6), d : x−2 y−1 z = = A(1; −1; 1), d : Chủ đề hình học Oxyz x+2 y−1 z+1 = = −2 x = + 2t y = 1−t z = t−3 x+2 y−1 z+1 = = −2 ß x + y − 2z − = A(2; 3; −1), d : x + 3y + 2z + = A(2; 3; 1), d : Những nẻo đường phù sa Trang 20 Bài Chứng minh hai đường thẳng d1 , d2 chéo Tính khoảng cách chúng: a) d1 : { x = − 2t; y = + t; z = −2 − 3t ; d2 : { x = 2t ; y = + t ; z = − 2t b) d1 : { x = + 2t; y = − 2t; z = −t; d2 : { x = 2t ; y = − 3t ; z = c) d1 : { x = − 2t; y = + 4t; z = 4t − 2; d2 : { x = + 3t ; y = − t ; z = − 2t d) d1 : x−2 y+1 z x y−1 z+1 = = ; d2 : = = −2 2 e) d1 : x−7 y−3 z−9 x−3 y−1 z−1 = = ; d2 : = = −1 −7 x−2 y−1 z−3 x−3 y+1 z−1 = = ; d2 : = = −2 −2 ß ß x − 2y + 2z − = 2x + y − z + = g) d1 : ; d2 : 2x + y − 2z + = x − y + 2z − = f) d1 : Bài Chứng minh hai đường thẳng d1 , d2 song song với Tính khoảng cách chúng: a) d1 : { x = + 2t, y = + 3t, z = + t ; d2 : { x = + 4t, y = + 6t, z = + 2t b) d1 : y+2 z−3 x+2 y−3 z+1 x−1 = = ; d2 : = = −6 −3 −12 y−1 z+2 x+1 y+5 z−1 x−3 = = ; d1 : = = ß 2x + 2y − z − 10 = y−5 z−9 x+7 = = d) d1 : ; d2 : x − y − z − 22 = −1 c) d1 : Bài Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) Tính khoảng cách chúng: a) d : { x = 3t − 2; y = − 4t; z = 4t − ; (P) : 4x − 3y − 6z − = b) d : { x = − 2t; y = t; z = + 2t ; (P) : x + z + = ß x − y + 2z + = c) d : ; (P) : 2x − 2y + 4z + = 2x + y − z − = ß 3x − 2y + z + = d) d : ; (P) : 2x − y − 2z − = 4x − 3y + 4z + = CHỦ ĐỀ 17: GÓC Bài Tính góc hai đường thẳng: a) d1 : { x = + 2t, y = + t, z = + 4t ; d2 : { x = 2t, y = + 3t, z = + 2t x−1 y+2 z−4 x+2 y−3 z+4 = = ; d2 : = = −1 −2 ß 2x − 3y − 3z − = c) d1 : ; d2 : { x = 9t; y = 5t; z = + t x − 2y + z + = ß 2x − z + = d) d1 : ; d : x = + 3t; y = 1; z = 4t x − 7y + 3z − 17 = { ß x−1 y+2 z+2 x + 2y − z − = e) d1 : = = ; d2 : 2x + 3z − = b) d1 : Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang 21 y−1 z−2 x+3 = = d2 trục toạ độ 1 ß ß x−y+z−4 = 2x − y + 3z − = g) d1 : ; d2 : x+y+z = 2x − y + z + = ß ß x + y − 2z + = 2x − y + 3z − = h) d1 : ;d : 3x + 2y − z + = 4x − y + 3z + = ß ß x−y−z−7 = 7x − 2z − 15 = ; d2 : Chứng minh hai đường thẳng sau vuông Bài d1 : 7y + 5z + 34 = 3x − 4y − 11 = góc với nhau: ¶ √ Bài Tìm m để góc hai đường thẳng sau 60◦ d1 : x = −1 + t; y = −t 2; z = + t ; d2 : ¶ √ x = + t; y = + t 2; z = + mt ; α = 60◦ f) d1 : Bài Tính góc đường thẳng dvà mặt phẳng (P): x−1 y−1 z+3 = = ; (P) : 2x − y − 2z − 10 = −2 ¶ √ √ b) d : x = 1; y = + t 5; z = + t ; (P) : x + z + = ß x + 4y − 2z + = c) d : ; (P) : 3x + y + z + = 3x + 7y − 2z = ß x + 2y − z + = d) d : ; (P) : 3x − 4y + 2z − = 2x − y + 3z + = a) d : Bài Cho tứ diện ABCD có A(3; 2; 6), B(3; −1; 0), C(0; −7; 3), D(−2; 1; −1) a) Chứng minh cặp cạnh đối tứ diện đôi vuông góc với b) Tính góc AD mặt phẳng (ABC) c) Tính góc AB trung tuyến AM tam giác ACD d) Chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) Tính thể tích tứ diện ABCD Bài Cho tứ diện SABC có S(1; 2; 1), A(3; 2; 1), B(1; 3; 1), C(1; −2; 5) a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC), (SAB), (SAC) b) Tính góc tạo SC (ABC) góc tạo SC AB c) Tính khoảng cách từ C đến (SAB) từ B đến (SAC) d) Tính khoảng cách từ C đến AB khoảng cách SA BC Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang 22 ... = (2; 11; −1) ® Chủ đề hình học Oxyz Những nẻo đường phù sa Trang CHỦ ĐỀ 2: XÁC ĐỊNH ĐIỂM TRONG KHƠNG GIAN CHỨNG MINH TÍNH CHẤT HÌNH HỌC- DIỆN TÍCH-THỂ TÍCH Bài Cho điểm M Tìm tọa độ hình chiếu... minh đường thẳng d đường thẳng AB thuộc mặt phẳng b) Tìm điểm I thuộc d cho I A + IB nhỏ Bài Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; 2; 3), B(−2; 1; 0), C(−1; 0; 2), D(0; 2; 3) a) Chứng minh ABCD tứ... b) Viết phương trình tham số đường thẳng chứa cạnh hình chóp c) Viết phương trình đường vng góc chung SA BC Bài 18 Cho bốn điểm S(1; −2; 3), A(2; −2; 3), B(1; −1; 3), C(1; −2; 5) a) Chứng minh