NW359 360 DẠNG 42 tìm số PHỨC THỎA mãn điều KIỆN CHO TRƯỚC GV

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TỐN 42.1: TÌM SỐ PHỨC THỎA NHIỀU ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Số phức biểu thức dạng z = a + bi • i • : đơn vị ảo, Chú ý: z = a + 0i = a z = + bi = bi • = + 0i • • a a + bi , a, b số thực số • : phần thực, gọi số thực b i thỏa mãn i = −1 Kí hiệu : phần ảo (a ∈ ¡ ⊂ £ ) gọi số ảo (hay số ảo) vừa số thực vừa số ảo Biểu diễn hình học số phức M ( a; b ) z ⇔ z = a + bi • biểu diễn cho số phức Hai số phức Cho hai số phức Cộng trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi z ′ = a′ + b′i  a = a′ z = z′ ⇔  b = b′ với a, b, a′, b′ ∈ ¡ a, b, a′, b′ ∈ ¡ z ′ = a′ + b′i với z + z ′ = ( a + a′ ) + ( b + b′ ) i z = a + bi z − z ′ = ( a − a ′ ) + ( b − b′ ) i Nhân hai số phức Cho hai số phức z = a + bi z ′ = a′ + b′i với z.z ′ = ( aa′ − bb′ ) + ( ab′ + a′b ) i a, b, a′, b′ ∈ ¡ k (a + bi ) = ka + kbi (k ∈ ¡ ) Môđun số phức z = a + bi uuuu r z = a + b = OM • • • • • z = a + bi gọi môdul của số phức uuuu r M ( a; b ) z = a + b = zz = OM z với điểm biểu diễn số phức z ≥ 0, ∀z ∈ C , z = ⇔ z = z.z ′ = z z ′ ; z z = z − z′ ≤ z ± z′ ≤ z + z′ z′ z′ ; Số thực TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Số phức liên hợp của số phức • z = a + bi z =z z = z • • z + z = 2a z z = a + b = z 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ z ' = a′ + b′i • z ± z′ = z ± z′ • z z ′ = z z ã z1 z1 z ữ= z  2 2 • Chia hai số phức Cho hai số phức z = a + bi z ′ = a′ + b′i z ( z ≠ 0) z′ Thương của chia cho : Căn bậc hai số phức w = x + yi a, b, a′, b′ ∈ ¡ với z ′ z′ z z ′ z aa′ + bb′ ab′ − a′b = = = + i z zz a + b2 a + b2 z w2 = z z = a + bi bậc hai của số phức chỉ ⇔ w = Số có bậc hai số w – w z≠0 Số có hai bậc hai đối a > 0  ± a Hai bậc hai của số thực ±i − a a 0, (*) Thay b = a+2 a2 − ( a + 2) + ( a + 2) − = (1) vào (2), ta được: ⇔ a − ( a + 4a + ) + 3a + − = ⇔ a = Với Vậy a=0 , ta có: z = −2i b=2 (thỏa (*)) nên z = 2i z = z Câu 19 Có tất số phức thỏa mãn A B z z + = z z 10 C Lời giải: ? D Chọn D Gọi z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) ⇒ z = a − bi z = ⇔ a +b = 2 Theo giả thiết: (1) ( ) z2 + z z z + = ⇔ z z z.z = 2 a + bi ) + ( a − bi ) ( = 2 ⇔ a +b ⇔ 2a − 2b = Mặt khác  a − b = 3, (2) ⇔ 2  a − b = −3, (3) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 15 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ  a =   a = ±2   b =   b = ±1 ⇔   a = ±1  a =    b =  b = ±2  Từ (1) (2) ta có: Vậy có tất số phức thỏa đề Câu 20 Cho hai số phức z= mà A z1 z1 = x + yi z2 z2 z1 = 3, z2 = 4, z1 − z2 = 37 thỏa mãn Hỏi có số phức z ? B C Lời giải: D Chọn B z1 = a + bi, z2 = c + di, ( a, b, c, d ∈ ¡ ) Gọi Theo giả thiết: z1 = ⇔ a + b = (1) 2 z2 = ⇔ c + d = 16 (2) z1 − z2 = 37 ⇔ ( a − c ) + ( b − d ) = 37 ⇔ a + b + c + d − 2ac − 2bd = 37 ⇔ ac + bd = −6 2 z1 a + bi ( a + bi ) ( c − di ) ac + bd ( bc − ad ) = = = + i = −6 + yi = −3 + yi 2 2 z2 c + di c +d c +d c +d 16 Mặt khác x=− Do z z1 3 = = = x + y ⇔ =  − ÷ + y ⇔ y = 27 ⇔ y = ± 3 z2 z2 4  8 64 Hơn Vậy có số phức thỏa đề  Mức độ Câu 3 3 3 z=− + i, z = − − i 8 8 A, B, C Trong mặt phẳng phức, cho điểm điểm biểu diễn của số phức z1 = −1 + i, z2 = + 3i, z z3 ABC A Biết tam giác vng cân có phần thực dương Khi C đó, tọa độ điểm là: A ( ; − 2) B ( ; − 3) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ( C Lời giải ) − 1; D ( 1; − 1) Trang 16 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn D Giả sử Ta có z3 = a + bi với C ( a ; b) a, b ∈ R , a > suy uuur uuur A ( −1;1) , B ( 1; 3) ⇒ AB = ( ; ) , AC = ( a + 1; b − 1) ABC A Tam giác vuông nên uuur uuur AB AC = ⇔ ( a + 1) + ( b − 1) = ⇔ a + b = ⇔ b = −a ABC Tam giác cân nên ( 1) ( 2) Thế vào ta được: ( a + 1) Vì 2 a = + ( − a − 1) = ⇔ a + 2a + = ⇔ a + 2a − = ⇔   a = −3 a>0 nên Vậy điểm Câu ( 1) AC = AB ⇔ AC = AB ⇔ ( a + 1) + ( b − 1) = (2) A C a = ⇒ b = −1 ( 1; − 1) có tọa độ z + i  z z z iz Cho số phức , biết điểm biểu diễn hình học của số phức ; tạo thành 18 z tam giác có diện tích Mơ đun của số phức A B C Lời giải D Chọn C Câu z = a + bi a, b ∈ ¡ iz = − b z + i  z = a + bi − b + = a − b + ( a + b ) i Gọi , nên , uuur uuur A ( a, b ) B ( −b, a ) C ( a − b, a + b ) AB ( −b − a, a − b ) AC ( −b, a ) Ta gọi , , nên , u u u r u u u r 1 S =  AB, AC  = − a − b ⇔ ( a + b ) = 18 ⇔ a + b2 = 2 + = w =1 Cho hai số phức z w khác , thỏa mãn z w z + w Hỏi mệnh đề đúng? A z =2 B z= 3 C Lời giải z = D z = + = Ta xét phương trình z w z + w với điều kiện z + w ≠ + = ⇔ 3w2 + z + 2wz = Ta có z w z + w w  w  ÷ +  ÷+ = z Vì z ≠ nên ta phương trình  z  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 17 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU w  =− + z w  =− − Giải phương trình kết  z Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 11 i 11 i w 3 = z = w = Mà Suy z nên S m∈S m Gọi tập hợp số thực cho với có số phức thỏa mãn z−m =6 A z z−4 10 số ảo Tính tổng của phần tử của tập 16 B C Lời giải S D Chọn D Gọi z = x + iy với x, y ∈ ¡ ta có ( x + iy ) ( x − − iy ) = x ( x − ) + y − 4iy z x + iy = = 2 z − x − + iy ( x − 4) + y ( x − 4) + y2 x ( x − 4) + y = ⇔ ( x − 2) + y = số ảo z − m = ⇔ ( x − m ) + y = 36 Mà Ta hệ phương trình  36 − m x =  ( x − m ) + y = 36 ( − 2m ) x = 36 − m − 2m  ⇔ ⇔    2 2 ( x − ) + y =  y = − ( x − )  y = −  36 − m −   ÷   − 2m   2  36 − m  ⇔ 4− − ÷ = ⇔ = 36 − m −  − 2m  − 2m Ycbt ⇔ m = 10 −2 = 36 − m −2 − 2m m = −2 m = ±6 hoặc 10 − + − = Vậy tổng Câu Có số phức A z z − 3i = thoả mãn B vô số z z- C Lời giải số ảo? D Chọn C Cách Ta có z 4bi = bi ⇔ z = bi ( z − 4) ⇔ z (bi − 1) = 4bi ⇔ z = z−4 bi − TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 18 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 4bi (4b + 3)i + 3b (4b + 3)2 + (3b) − 3i = = = ⇔ b = −1, b = − bi − bi − b +1 | z − 3i |= Khi Vậy có số phức z thỏa mãn yêu cầu toán ( + 2i ) Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 10 − + i z z = z Xét số phức thỏa mãn Mệnh đề đúng? < z < z > 2 A B C Lời giải z < D < z < 2 Chọn D ( + 2i ) 10 10 z + ) + i ( z − 1) = − + i ( ⇔ z z z = Tacó: ⇒ Câu 10 = z ( z + ) + ( z − 1) 2 lấy môđun hai vế 1 3 ⇒ z = ∈  ; ÷ 2 2 z - = ( + i ) z - ( + z ) i z Cho thỏa < z £ A < z £ B Mệnh đề sau đúng? < z £ 10 10 < z £ 50 C D Lời giải Chọn B Û z + 3iz = z + + i z - 4i Giả thiết toán Û ( + 3i ) z = ( z + 4) + ( z - 4) i Þ ( + 3i ) z = ( z + 4) + ( z - 4) i ( Û + 3i z = Û 10 z = 2 z + 4) + ( z - 4) ( z + 4) + ( z - 4) 2 2 Û 10 z = z + 32 Û z = Û z = Câu Cho A z¹ (1 - 3i ) z = thỏa B 10 + + i z z +z Giá trị của biểu thức C Lời giải 25 D Chọn B (1 - 3i ) z = Ta có: 10 + + i Û z TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ( z - 3) + ( - z - 1) i = 10 z Trang 19 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Þ ( z - 3) 2 + ( - z - 1) = Vậy Câu P = |z| +|z| = +1 = Cho số phức z1 , z , z thỏa mãn z −3 z z = z1 + z + z A éz = ê Û ê êz =- Þ z = Û z + z - =0 ë 10.16 z 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ , giá trị của −2 z13 + z 32 + z 33 + z1z z = Đặt bằng: −4 B z1 = z = z3 = C D Lời giải Chọn A z1 = z = z13 + z 32 + z33 + z1z z3 = ⇔ + + z 33 + z = ⇔ z 33 + z + = ⇔ z = −1 (z1 , z , z ) = (1;1; −1) Khi ta có cặp z = z1 + z + z3 = + − = , thỏa mãn z3 = thỏa mãn yêu cầu của tốn Khi ⇒ z − z = − 3.1 = −2 Câu 10 Cho số phức A z+ z thỏa mãn B =1 z −1 z 2019 + Tìm phần thực của số phức C Lời giải z 2019 D −2 Chọn D z+ Giải phương trình Ta thấy z1 = z2 = z12019 + z Do z1 = cos Lại có Nên     z 2019  2019 1 =1 z z1 = ta nghiệm   z1 = z2    z2 = z1 nên + i 2 z1.z2 = z1.z1 = z2 z2 = = z12019 + ( z1 ) 2019 = z12019 + z22019 = z2 2019 + π π + isin 3 z2 = − i 2 z2 2019 π π z2 = cos (− ) + isin(− ) 3 2019π 2019π z12019 = cos + isin = cos 673π + isin673π = −1 3 2019π 2019π = cos (− ) + isin(− ) = cos(−673π ) + isin( −673π ) = −1 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 20 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Suy z12019 + z22019 = −2 Vậy số phức z z+ thỏa mãn z = a + bi ( a , b ∈ ¡ Câu 11 số phức S = 2a − 3b A S = −1 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ B ) =1 z z 2019 + thỏa mãn S = z 2019 = −2 ( + i ) ( z + − i ) − ( − 3i ) ( z + i ) = + 5i C Lời giải: S = −5 D Giá trị của S = Chọn B Ta có Vậy z = a + bi ( a , b ∈ ¡ ) ⇒ z = a − bi ( + i ) ( z + − i ) − ( − 3i ) ( z + i ) = + 5i ⇔ ( + i ) ( a − bi + − i ) − ( − 3i ) ( a + bi + i ) = + 5i ⇔ ( + i ) ( a + − ( b + 1) i ) − ( − 3i ) ( a + ( b + 1) i ) = + 5i ⇔ ( a + 1) − ( b + 1) i + ( a + 1) i − ( b + 1) i − ( 2a + ( b + 1) i − 3ai − ( b + 1) i ) = + 5i ⇔ 2a + − ( 2b + ) i + ( a + 1) i + b + − 2a − ( 2b + ) i + 3ai − 3b − = + 5i −2b = a = ⇔ −2b + ( 4a − 3b − 3) i = + 5i ⇔  ⇔ 4a − 4b − = b = −1 S = 2a − 3b = 2.1 − ( −1) = Suy A, B, C , D Câu 12 Cho bốn điểm mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn số phức + 2i; + + i; + − i; − 2i ABCD Biết tứ giác nội tiếp tâm I Tâm I biểu diễn số phức sau đây? A z = B Chọn C uuu r AB Ta có biểu diễn số phức Mặt khác + 3i = 3i −i nên z = − 3i C Lời giải: z = uuur − i; DB uuu r uuur AB.DB = Tương tự (hay lí đối xứng qua Ox biểu diễn số phức ), uuur uuur DC AC = D + 3i z = −1 A, B, C , D AD Từ suy đường kính của đường tròn qua I ( 1;0 ) ⇒ z = Vậy TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 21 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 13 Có số phức A z 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ( ) z2 − z z − i = z − z + 2i thỏa mãn B = 16 ? C Lời giải D Chọn B z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) ⇒ z = a − bi Gọi Theo giả thiết, ta có hệ: 2 z − i = z − z + 2i 2 a + bi − i = a + bi − a + bi + 2i    2 ⇔ 2  z − z = 16 a + bi ) − ( a − bi ) = 16 (    ( ) 2 a + bi − i = ( 2b + ) i  a + ( b − 1) =   ⇔ ⇔ 2  ( a + 2abi − b ) − ( a − 2abi − b ) = 16  4abi = 16 4  a + ( b − 1)  = ( b + 1)   ⇔   abi = ( 2b + )  a2 b =     a  a = ⇔  a2 b =  a = 4b     2 a + b − 2b + = b + 2b + ⇔   ab =  a ⇔ 2   ab = −4  a = −4 a b = 16     a2 b =   b =      a = 16 ⇔  a = 2 ⇔ a   b =  b =   3  a = −2   a = −16 Vậy có số phức Câu 14 Số phức z z thỏa đề: z − − 4i = thỏa mãn Gọi P = z +2 − z −i biểu thức M z = −2 + 4i m w = 309 B giá trị lớn nhỏ của Tính mơđun của số phức w = 1258 A z = + 4i w = M + mi w = 230 C Lời giải: w = 314 D Chọn A M ( x; y ) z Gọi điểm biểu diễn số phức TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 22 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ( x − 3) z − − 4i = ⇔ + ( y − ) = ⇔ ( x − 3) + ( y − ) = 2 Với giả thiết Nên M nằm đường trịn ( C) có tâm I ( 3; ) ; bán kính R= P = z + − z − i ⇒ P = ( x + ) + y  −  x + ( y − 1)      2 2 Có ⇔ P = 4x + y + ⇔ 4x + y + − P = Nên 2 d : 4x + y + − P = M nằm đường thẳng ( C) d Suy đường trịn đường thẳng phải có điểm chung 23 − P d ( I;d ) ≤ R ⇔ ≤ ⇔ 23 − P ≤ 10 ⇔ −10 ≤ 23 − P ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33 Như vậy Câu 15 Gọi z− A  M = 33 ⇒ w = 332 + 132 = 1258  m = 13 z = x + yi  ( x, y ∈ R ) 3 − i 2 số phức thỏa mãn hai điều kiện xy đạt giá trị lớn Tính tích 13 16 xy = xy = B C Lời giải: xy = z − + z + = 26 D xy = Chọn D z = x + iy  ( x, y ∈ R ) Đặt 2 z − + z + = 26 ⇔ x + y = 36 Đặt x = 3cos t , y = 3sin t P =  z − Ta có : 3  π − i = 18 − 18sin  t + ÷ ≤ 4 2  Dấu xảy Câu 16 Biết số phức 3π 3  π sin  t + ÷ = −1 ⇒ t = − ⇒z=− − i 2  4 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z+i đạt giá trị lớn Tính mơđun của số phức z + i = 41 A z − − 4i = z z + i = B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA z + − z −i biểu thức z +i = C z + i = 41 D Trang 23 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Lời giải: Chọn D z = x + yi; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) Gọi z − − 4i = ⇔ ( C ) : ( x − 3) + ( y − ) = Ta có: : tâm I ( 3; ) R = 2 2 M = z + − z − i = ( x + ) + y − ( x ) + ( y − 1)  = x + y + ⇔ d : x + y + − M =   Do số phức ( C) d z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên có điểm chung 23 − M ⇔ d ( I;d ) ≤ R ⇔ ≤ ⇔ 23 − M ≤ 10 ⇔ 13 ≤ M ≤ 33 x = 4 x + y − 30 = ⇒ M max = 33 ⇔  ⇔ ⇒ z + i = − 4i ⇒ z + i = 41 2  y = −5 ( x − 3) + ( y − ) = Câu 17 Trong mặt phẳng phức diễn điểm 3+i A M Oxy cho , số phức MA B z ngắn với + 3i z + 2i − = z + i thỏa A ( 1,3 ) Tìm số phức − 3i C Lời giải: D z biểu −2 + 3i Chọn A M ( x, y ) z = x + yi ( x, y ∈ R ) Gọi điểm biểu diễn số phức E ( 1, −2 ) − 2i Gọi điểm biểu diễn số phức F ( 0, −1) −i Gọi điểm biểu diễn số phức z + 2i − = z + i ⇔ ME = MF ⇒ z Ta có : Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trung EF : x − y − = trục MA MA ⊥ EF M ⇔ M ( 3,1) ⇒ z = + i Để ngắn => Đáp án A z − + 2i = z Câu 18 Cho số phức thỏa mãn điều kiện : z phức có mơđun bằng: A Chọn B z = x + yi Gọi B ( x, y ∈ ¡ ) C Lời giải: w = z +1+ i có mơđun lớn Số D ⇒ z − + 2i = ( x − 1) + ( y + ) i TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 24 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU ( x − 1) z − + 2i = ⇔ 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ + ( y + ) = ⇔ ( x − 1) + ( y + ) = 2 Ta có: M ( x; y ) Suy tập hợp điểm kính biểu diễn số phức z ( C) thuộc đường tròn tâm I ( 1; −2 ) bán R= hình vẽ: O ∈ ( C ) N ( −1; −1) ∈ ( C ) Dễ thấy , M ( x; y ) ∈ ( C ) z Theo đề ta có: điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn: w = z + + i = x + yi + + i = ( x + 1) + ( y + 1) i ⇒ z +1+ i = ( x + 1) uuuu r + ( y + 1) = MN z +1+ i ⇔ MN Suy đạt giá trị lớn lớn M , N ∈( C) ( C) MN MN Mà nên lớn đường kính đường trịn ⇔I MN ⇒ M ( 3; −3) ⇒ z = − 3i ⇒ z = 32 + ( −3 ) = 2 trung điểm z Câu 19 Cho số phức thỏa mãn Trong tất số phức z thỏa mãn điều kiện sau tìm bậc hai của số phức z có mơđun nhỏ A B Chọn B z = x + yi ( x, y ∈ ¡ Đặt z +1 = ±i −2 C Lời giải: D z +1 = z+z +3 , ) z+z + ⇔ ( x + 1) + yi = x + Khi ⇔ ( x + 1) + y = ( x + 3) ⇔ y = x + 2 z = x2 + y2 = x2 + 4x + = ( x + 2) +4 ≥2 Ta có Dấu = xảy x = −2 ⇒ y = TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Vậy số phức z = −2 Trang 25 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Vậy bậc hai của số số phức 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ z = −2 ±i (1+ i) z + = 1− i Câu 20 Trong tất số phức z thỏa mãn điều kiện z có mơđun nhỏ A ( + 3) i z2 B z1 , gọi z1 + z2 số phức có mơđun lớn Tìm số phức ( + 3) i 4i C Lời giải: số phức có số phức D 3i Chọn C Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ( 1+ i) z + = 1− i ⇔ i ( x + yi ) + = Ta có : ⇔ ( − y ) + xi = ⇔ x + ( y − ) Đặt x = sin α , y = + cos α ( ) 2  x   y−2 ⇔ ÷ + ÷ =1 =3  3   tìm ( ) z = 2+ i z lớn z nhỏ z = 2− i Vậy z1 + z2 = 4i TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 26 ... ⇒ z = − 3i ⇒ z = 32 + ( −3 ) = 2 trung điểm z Câu 19 Cho số phức thỏa mãn Trong tất số phức z thỏa mãn điều kiện sau tìm bậc hai của số phức z có mơđun nhỏ A B Chọn B z = x + yi ( x, y ∈ ¡... = z1 + z + z3 = + − = , thỏa mãn z3 = thỏa mãn yêu cầu của tốn Khi ⇒ z − z = − 3.1 = −2 Câu 10 Cho số phức A z+ z thỏa mãn B =1 z −1 z 2019 + Tìm phần thực của số phức C Lời giải z 2019...  a = − 15 b=    13   13 Vậy có số phức z thỏa đề: z = −1 + i z=− 15 + i 13 13 z + 3i = z + − i Câu 13 Trong số phức thỏa mãn điều kiện Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất? 2 z=− + i z= −