z a R c Từ đó suy ra tập hợp điểm M có tọa vị z thỏa mãn là phần của mặt phẳng nằm bên ngoài hình tròn tâm A, bán kính R không kể đường tròn biên.. Do đó theo giả thiết.[r]
(1)CÁC TẬP HỢP ĐIỂM THƯỜNG GẶP TRONG MẶT PHẲNG PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Nguyễn Văn Thiết GV THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế Trong chương trình Toán Giải tích lớp 12 hành có chương IV số phức Trong sách giáo khoa có các bài tập tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức Đây là dạng bài tập khó học sinh Bài viết này nhằm giúp các em học sinh có thể nhận dạng loại tập hợp điểm và từ đó dễ dàng làm quen với dạng toán này, đồng thời có thể giúp các em làm các bài tập nâng cao để ôn thi tốt nghiệp 12 và ôn thi vào đại học Trong bài này, gọn, thay vì nói “ điểm M biểu diễn số phức z ” ta nói “ điểm M M z có tọa vị z ” và ký hiệu là , tương tự thay vì nói “ véctơ u biểu diễn số phức w ” ta nói “ u w u véctơ có tọa vị w ” và ký hiệu là I- CÁC TẬP HỢP ĐIỂM THƯỜNG GẶP 1) Tập hợp điểm là đường tròn hình tròn: Trong mặt phẳng phức cho điểm A có tọa vị a và số thực dương R z a R a) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn là đường tròn tâm A, bán kính R z a R b) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn là hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể đường tròn biên ) z a R c) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn là phần mặt phẳng nằm bên ngoài hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể đường tròn biên ) Chứng minh: AM là z a , suy Giả sử M là điểm có tọa vị z Khi đó tọa vị véctơ AM AM z a z a R AM R a) Ta có M thuộc đường tròn tâm A bán kính R z a R AM R b) Ta có M thuộc hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể đường tròn biên ) z a R c) Từ đó suy tập hợp điểm M có tọa vị z thỏa mãn là phần mặt phẳng nằm bên ngoài hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể đường tròn biên ) Ví dụ 1: ( Bài tập 20 trang 214 SGK Giải tích 12 nâng cao ) 1 i z Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z 2 đó Lời giải: w z w 1 i z 1 i Đặt thì Do đó theo giả thiết z 2 w i 4 w 2 w i 2 i 1 i Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn có tâm kể đường tròn biên Đó là hình tròn có phương trình x 3 E 3i y , bán kính R 4 16 (2) 2) Tập hợp điểm là đường thẳng: Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A, B theo thứ tự có tọa vị a, b và k là tham số thực z a k k z b Nếu thì tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn là đường thẳng AB, trừ điểm B Chứng minh: z a k z b Khi đó véctơ AM có tọa vị là z a , Giả sử M là điểm có tọa vị z thỏa mãn véctơ BM có tọa vị là z b z a k z a k z b z b k AM k BM MA k MB z b Nếu và thì Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k 1 M thuộc đường thẳng AB, trừ điểm B ( vì z b ) 3) Tập hợp điểm là đường trung trực nửa mặt phẳng: Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A và B có tọa vị a và b z a 1 a) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z b là đường trung trực đoạn thẳng AB z a 1 b) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z b là nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường trung trực đoạn thẳng AB ( không kể đường trung trực ) z a 1 z b c) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn là nửa mặt phẳng không chứa điểm A có bờ là đường trung trực đoạn thẳng AB ( không kể đường trung trực ) Chứng minh: AM là z a , tọa vị Giả sử M là điểm có tọa vị z Khi đó tọa vị véctơ AM AM z a BM BM z b véctơ BM là z b , suy và z a 1 z a z b AM BM z b a) Ta có M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB z a 1 z a z b AM BM b) Ta có z b (1) Ta chứng minh tập hợp các điểm M thỏa mãn (1) là nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường trung trực đoạn thẳng AB + Thật vậy, giả sử điểm M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường trung trực đoạn thẳng AB Khi đó hiển nhiên đoạn thẳng MB cắt đường trung trực điểm N nằm M và B Từ bất dẳng thức tam giác AMN ta có AM MN NA MN NB MB ( vì N thuộc đường trung trực nên NA NB ) Vậy (1) thỏa mãn + Ngược lại, giả sử điểm M thỏa mãn AM BM (1) - Nếu M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB thì AM BM ( mâu thuẩn với (1)) - Nếu M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm B có bờ là đường trung trực đoạn thẳng AB Khi đó theo phần thuận ta có BM AM ( mâu thuẩn với (1)) Vậy M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường trung trực đoạn thẳng AB (3) z a 1 z b c) Chứng minh tương tự cho trường hợp Ví dụ 2: ( Bài tập trang 190 SGK Giải tích 12 nâng cao ) Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z i 1 z i 1 z z 4i z i a) b) c) Lời giải: z i 1 E i a) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn là đường tròn tâm bán kính R 1 , x y 1 1 tức là đường tròn có phương trình z i 1 z i b) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn là đường trung trực đoạn thẳng AB, A i B i O Đường trung trực này qua trung điểm đoạn thẳng AB và nhận và y 0 y 0 AB 2i véctơ làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là z 4i z 4i z 4i z z c) Vì nên , z 4i 1 z z 4i z z 4i z suy với z 4i 1 z Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn là đường trung trực đoạn thẳng 3 K 2i O A 4i 2 đoạn OA, với và Đường trung trực này qua trung điểm OA 4i thẳng OA và nhận véctơ làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là: 3 x y 0 x y 25 0 2 4) Tập hợp điểm là đường tròn đường kính AB: Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A, B theo thứ tự có tọa vị a, b và là tham số thực z a i Nếu 0 thì tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z b là đường tròn đường kính AB, a b E trừ hai điểm A và B Đường tròn này có tâm là trung điểm đoạn thẳng AB và R a b có bán kính là Chứng minh: z a a bi i z i Giả sử M là điểm có tọa vị z thỏa mãn z b , với z b Khi đó ta có (4) e a b Suy z a ( vì 0 ) Gọi E là trung điểm đoạn thẳng AB thì E có tọa vị là a bi a b a bi i a b z e i i Do đó tọa vị véctơ EM là a b a b i a b i a b i i a b 1 E z e a b R a b M thuộc đường tròn tâm bán kính 2 Suy , trừ hai điểm A và B ( vì z a và z b ) 5) Tập hợp điểm là đường tròn Appollonius: Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A, B có tọa vị a, b và k là số thực dương khác z a k z b Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn là đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng k a b a k 2b R E 1 k2 1 k2 AB theo tỷ số k Đường tròn này có tâm và bán kính Chứng minh: z a k z b Giả sử M là điểm có tọa vị z thỏa mãn Gọi P và Q lần và điểm chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k lượt là điểm chia ngoài Khi đó ta có PA k PB và QA k QB a kb a kb , q 1 k 1 k Suy tọa vị các điểm P, Q là: a k 2b e p q 1 k2 Gọi E là trung điểm đoạn thẳng PQ thì tọa vị E là: z a k z b a k 2b z e z 1 k2 1 k Suy tọa vị véctơ EM là: (4) z a z a k z a z a k k z b z b Từ giả thiết z b , suy z b (5) Thế (5) vào (4) ta z a z a z b z a z a z a z e z a k z b z b z b k p z a z a z b z a a b z a z a a b 1 1 k z b z b z b k k z b a b z a a b z a a b k a b k 1 k z b k z b k 1 k2 z e z a 1 k2 Suy k a b a k 2b R E 1 k 1 k Vậy M thuộc đường tròn tâm , bán kính (5) Đường tròn này gọi là đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k Chú ý: Đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng AB cho trước theo tỷ số k cho trước là tập MA k MB hợp các điểm M thỏa mãn , với k là số thực dương khác Ví dụ 3: ( Bài tập 4.10 trang 178 SBT Giải tích 12 nâng cao ) Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn z k z i ( k là số thực dương cho trước ) Lời giải: Gọi O, A là các điểm mặt phẳng phức có tọa vị là 0, i Khi đó ta có: z 1 + Nếu k 1 thì tập hợp các điểm có tọa vị z thỏa mãn z i là đường trung trực đoạn 0 thẳng OA Phương trình đường trung trực này là z k z i k + Nếu thì tập hợp các điểm có tọa vị z thỏa mãn là đường tròn Appollonius k 2i k2 e i 1 k2 k 1 chia đoạn thẳng OA theo tỷ số k 1 Đường tròn này có tâm E có tọa vị là y R và có bán kính k 0 i 1 k2 k 1 k2 Suy phương trình đường tròn Appollonius là k2 k2 x y k 1 1 k II ỨNG DỤNG 1.Giải hệ phương trình tập hợp số phức: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau với ẩn là số phức z và là tham số thực khác z 2i z i (1) z 1 (2) z 2i Lời giải: + Gọi A, B theo thứ tự là các điểm mặt phẳng phức có tọa vị là 2i , Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn đường kính AB, trừ hai điểm A và B Đường tròn này có tâm E biểu diễn số phức i và bán kính R 2i i 10 nên có phương trình là x 1 2 y 1 10 (1’) + Gọi C, D theo thứ tự là các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số phức 2, 2i Khi đó tập (6) hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (2) là đường trung trực đoạn thẳng CD Đường H 1 i CD 2i trung trực này qua trung điểm đoạn thẳng CD và nhận làm véctơ x 1 y 1 0 x y 0 pháp tuyến nên có phương trình là (2’) Suy giao điểm đường tròn và đường trung trực là nghiệm hệ đã cho Đó là các điểm x; y thỏa mãn (1’) và (2’), tức là nghiệm hệ phương trình sau x y 0 y x y x x 2 x 2 2 x 1 y 1 10 x 1 x 1 10 x 2 y y 2 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là z 2 2i và z 2i Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau với z là ẩn số z 4i 3 (3) z 2i 2 (4) z i Lời giải: + Gọi E là điểm mặt phẳng phức có tọa vị là 4i Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (3) là đường tròn tâm E, bán kính R 3 2 x 1 y 9 Phương trình đường tròn này là: (3’) + Gọi A, B theo thứ tự là các điểm có tọa vị 2i, i Khi đó tập hợp điểm M biểu là diễn số phức z thỏa mãn (4) là đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k 2 Đường tròn Appollonius có tâm F là điểm có tọa 2i i a k b f 2i 1 k 1 vị i i k a b R 1 k2 1 và có bán kính 2i Phương trình đường tròn Appollonius là 2 x 1 y 5 (4’) Suy nghiệm hệ đã cho là giao điểm hai x; y đường tròn (3’) và (4’), tức là các điểm thỏa mãn hệ phương trình sau: x 1 y 9 x y x y 0 x y 0 2 2 x 1 y 5 x y x y 0 x y x y 0 (7) y 2 x y 2 x x 1 x x x x 0 y 1 x x 0 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là z 1 i và z 4i x y 4 Giải hệ bất phương trình tập hợp số phức z i 2 (5) z 2i 5 (6) Ví dụ 3: Giải hệ bất phương trình sau với ẩn là số phức z : Lời giải: z x yi x, y Gọi là tọa vị điểm M mặt phẳng phức + Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (5) là hình tròn tâm A i , bán kính R 2 ( kể biên ) (6) z i 2 + Ta có Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (6) là phần mặt phẳng nằm bên ngoài 9 B i R hình tròn tâm , bán kính ( kể biên ) Vậy nghiệm hệ bất phương trình đã cho là giao hai tập hợp trên Đó là “ hình trăng lưỡi liềm ” không bị bôi đen hình vẽ Ví dụ 4: Giải hệ bất phương trình sau với ẩn là số phức z : z 2i 1 (7) z 1 z 2i 2 (8) Lời giải: z x yi x, y Gọi là tọa vị điểm M mặt phẳng phức + Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (7) là nửa mặt phẳng không chứa điểm A có bờ là đường trung trực đoạn thẳng AB A 2i ( kể đường trung trực ), với và B 1 + Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa E 2i mãn (8) là hình tròn tâm , bán kính R 2 ( kể biên ) Vậy nghiệm hệ bất phương trình đã cho là giao hai tập hợp trên Đó là phần hình tròn kể biên không bị bôi đen hình vẽ (8)