bt về tập hợp điểm biểu diễn cho số phức

BÀI TẬP VỀ TẬP HỢP ĐIỂM M (x, y) TRÊN MẶT PHẲNG PHỨC Phương pháp: * Thay z = x + yi vào điều kiện của bài toán * Chuyển điều kiện của bài toán từ z sang x và y * Nhận dạng phương trình với x và y (có thể là đường thẳng, đường tròn, …) Ví dụ : Tìm số phức z, nếu 2 0z z+ = . Đặt z = x + yi, khi đó 2 2 2 2 0 ( ) 0z z x yi x y+ = ⇔ + + + = ( )  − + + =  ⇔ − + + + = ⇔  =   2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 0 x y x y x y x y xyi xy ⇔ 2 2 0 0 0 0, 0 0 0 (1 ) 0 0, 1 1 0, 1 0 0 0 (do 1 0) 0, 0 (1 ) 0 0 0 x x x x y y y y y y x y y x y y y x x y x x x x x y  =   =  =        = =  =          − + = − =  = =           = ⇔ ⇔ ⇔        = = − = =           = + >       = =  + = + =          =    Vậy có ba số phức thoả điều kiện là z = 0; z = i; z = − i. 2. Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a) − + =1 2z i ; b) + = −2 z i z . a) Đặt z = x + yi suy ra z − 1 + i = (x − 1) + (y + 1)i. − + =1 2z i 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1) 4.x y x y− + + = ⇔ − + + = Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(1; − 1) bán kính R = 2. b) Gọi A (− 2 ; 0), B(0 ; 1). Khi đó + = −2 z i z ⇔ − − = −( 2)z z i hay là M(z)A = M(z)B. Vậy tập hợp các điểm M(z) là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm tập hợp các số phức z sao cho: a) 1z = b) 2 2 1z z + = c) 1 z z = Giải: a) Với z = x + yi ta có 2 2 1 1x yi x y+ = ⇔ + = ⇒ Tập hợp các số phức là đường tròn tâm O bán kính R = 1 b) Với z = x + yi ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1x yi x yi x y x y+ + − = ⇔ − = ⇔ − = ⇒ Tập hợp các số phức là đường hyperbol với 2 2 1 1 2 2 ,a b   = =  ÷   c) Với z = x + yi ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x yi x yi x yi x yi x y x y x y x y x y x y − + = ⇔ + = + +     ⇔ + = + ⇔ + =  ÷  ÷ + +     Bài 2: (TT) a) 2 1z = b) 2 1z i = c) 3 2z + = d) 2 3 4z i+ = d) 1 2 4z i z+ + = e) 3 2z i = f) 2 1z i + = Gii: d) Vi z = x + yi ta cú ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 4 1 2 4 10 4 11 0 x yi i x yi x y x y x y + + + = + + + + = + + = Bi 3: Biu din hỡnh hc s phc z a) 2 3z = b) 1z i+ < c) 1 2 3z i + > d) 1 2z z + = Bi 4: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn: a. z 3 1+ = b. z i z 2 3i+ = c. z + 2i là số thực d. z - 2 + i là số thuần ảo e. z z 9. = f. z 3i 1 z i = + là số thực Bi 5: Gii cỏc phng trỡnh sau trờn C: 1) 2 3 5 3z i z+ = + 2) 4 5 2 0 2 1 z i i z = + 3) S PHC TRONG CC THI (NGUYN TH THCH Lấ HI CHU) 1. Tỡm s phc nghch o ca s phc 1 1 i z i = + 2. Tỡm modun v argumem ca s phc z = 1+ i 3. Vit kt qu phộp tớnh di dng i s 2 3 2 3 2 4 3 i z i + = 4. Vit di dng lng giỏc s phc 3 3z i= 5. Trong mp phc cho im M biu din s phc z = x + yi. Ta gi ( ) ( ) 1z z i = . Tỡm tp hp im M : a) l s thc b) l s thun o 6. Tỡm cn bc hai ca s phc z = 3 + 4i 7. Trong mp phc tỡm cỏc im biu din cho s phc z tha món: 1 1z i < 8. Vit di dng lng giỏc s phc 1 3z i= 9. Tỡm modun ca s phc z = 4 3i + (1 i) 3 10. Gii phng trỡnh: z 2 + z + 1 = 0 11. Tỡm cỏc im z C sao cho ( ) 3 arg z = 12. Gii phng trỡnh: ( ) 2 3 2 7 17 0z i z i+ + + = 13. Gii phng trỡnh trờn tp s phc Bi 1 : Gii pt trờn tp s phc ( tỡm x ) 1.3x+(2+3i)(1-2i) = (5+4i) 2. ( ) ( ) ( ) 5 7 3 2 5 1 3i x i i + = + 3. ( ) ( ) 5 2 3 4 1 3ix i i = + 4. ( ) ( ) ( ) 3 4 1 2 4i x i i+ = + + 5 2 3 5 4ix x i+ = + . 6. ( ) ( ) 2 3 1 2 1 3i x ix i i + = + + Bi 2 :Gii pt sau trờn tp s phc 1.x 2 + x + 7 = 0 2. 2x 2 + 3x + 4 = 0 3. 3x 2 - 2 x + 7 = 0 4. 2x 4 + 3x 2 - 5 = 05. x 3 - 8 = 0 6. x 3 + 8 = 0 Bi 3 :Gii cỏc pt sau trờn tp s phc 1. 2 6 29 0x x + = 2. 2 1 0x x + + = 3. 2 2 5 0z z + = 4. 2 4 7 0z z + = 5. 2 6 25 0z z + = 6. 2 2 3 5 0x x + = 7. 2 3 10 9 0x x = 8. 2 72 1297 0x x = 9. 2 600 2008 2009 0x x + + = Bi 4 : a/(3-2i)z +(4+5i)=7+3i b/ (1+3i)z-(2+5i)=(2+i)z c/ (2 3 ) 5 2 4 3 z i i i + = d).x + 4 = 0 e) x + 2x 5 = 0 f). x 4 3x 2 4 = 0 g). x 4 9 = 0 Bi 5: Gii pt sau trờn tp s phc: a/ z 2 z + 5 = 0 b/ z 4 1 = 0 c/ z 4 z 2 6 = 0 Bi 6: Gii pt sau trờn tp s phc: a. 2 9 0x + = ; b. 2 4 5 0x x+ + = ; c. 2 2 5 4 0x x + = ; d. 2 2 3 5 0x z + = ; e. 4 2 5 4 0x x+ + = ; f. 3 2 2 10 0x x x + = ; g. 3 1 0x + = ; h. ( ) ( ) 2 2 4 2 5 0x x x + + = . Bi 7: Gii pt sau trờn tp s phc: a. 2 2 0z iz+ + = ; b. ( ) ( ) 2 3 2 1 0z i z i + + + = . Bi 8: Giải các phơng trình sau trên tập số phức a. x 2 + 7 = 0 b. x 2 - 3x + 3 = 0 c. x 2 + 2(1 + i)x + 4 + 2i = 0 d. x 2 - 2(2 - i)x + 18 + 4i = 0 e. ix 2 + 4x + 4 - i = 0 g. x 2 + (2 - 3i)x = 0 Bi 9: Giải các phơng trình sau trên tập số phức a. ( ) ( ) 2 z 3i z 2z 5 0+ + = b. ( ) ( ) 2 2 z 9 z z 1 0+ + = c. 3 2 2z 3z 5z 3i 3 0 + + = Bi 10: Giải phơng trình sau trên tập số phức: a. (z + i)(z 2 - 2z + 2) = 0 b. (z 2 + 2z) - 6(z 2 + 2z) - 16 = 0 c. (z + 5i)(z - 3)(z 2 + z + 3) = 0 d. z 3 - (1 + i)z 2 + (3 + i)z - 3i = 0 Bi 11: Giải phơng trình sau trên tập số phức: a. (z + 2i) 2 + 2(z + 2i) - 3 = 0 b. 2 4z i 4z i 5 6 0 z i z i + + + = ữ Bi 12: Giải phơng trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo a. z 3 - iz 2 - 2iz - 2 = 0 b. z 3 + (i - 3)z 2 + (4 - 4i)z - 4 + 4i = 0 Bi 13: Gii phng trỡnh bc hai s phc sau: a) ( ) 2 2 2 3 3 0iz i z i = b) 2 4 6 0z iz + = c) z 2 + 2z + 1 + 2i = 0 d) ( 1 + 2i) z = 3z i e) 1 2z i z = f) z 2 z + 1 = 0 g) z 2 2iz (1 2i) = 0 h) z 2 (5 14i)z 2(12 + 5i) = 0 i) z 2 80z + 4099 100i = 0 Bi 14. Gii cỏc phng trỡnh sau trờn tp hp s phc: a) 2 3 7 8z i i + = + b) ( ) ( ) 1 3 4 3 7 5i z i i + + = c) ( ) 1 3 2 4i z i z+ + = d) ( ) 1 2 5 6 2 3 z i i i + = + Bi 15. Gii cỏc phng trỡnh sau trờn tp hp s phc: a) 2 2 5 0z z+ + = b) 2 4 20 0z z + = c) 2 3 5 0z z + = d) 2 4 9 0z + = Bi 16. Gii cỏc phng trỡnh sau trờn tp hp s phc: a) 3 8 0z = b) 3 2 4 6 3 0z z z+ + + = c) 4 3 2 6 8 16 0z z z z + = d) 4 2 12 0z z = S phc trong cỏc i hc Cõu VII.a (1 im) Tỡm s phc z tho món : z (2 i) 10 v z.z 25 + = = Cõu VII.a. t z = x + yi vi x, y R thỡ z 2 i = x 2 + (y 1)i z (2 + i)= 10 v z.z 25= ⇔ 2 2 2 2 (x 2) (y 1) 10 x y 25  − + − =  + =  ⇔ { 2 2 4x 2y 20 x y 25 + = + = ⇔ { 2 y 10 2x x 8x 15 0 = − − + = ⇔ { x 3 y 4 = = hay { x 5 y 0 = = Vậy z = 3 + 4i hay z = 5 Câu VII.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z – (3 – 4i)= 2. Câu VII.a. Gọi z = x + yi. Ta có z – (3 – 4i) = x – 3 + (y + 4)i Vậy z – (3 – 4i) = 2 ⇔ 2 2 (x 3) (y 4) 2− + + = ⇔ (x – 3) 2 + (y + 4) 2 = 4 Do đđó tập hợp biểu diễn các số phức z trong mp Oxy là đường tròn tâm I (3; -4) và bán kính R = 2. Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0. tính giá trị của biểu thức A = |z 1 | 3 + |z 2 | 3 . Câu VII. a Phương trình: z 2 + 2z + 10 = 0 Ta có: '∆ = (-1) 2 – 10 = -9 = (3i) 2 nên phương trình có hai nghiệm là: z 1 = -1 – 3i và z 2 = -1 + 3i Suy ra 2 2 2 1 2 2 2 2 z = (-1) + (-3) = 10 z = (-1) + (3) = 10      Vậy A = 2 1 z + 2 2 z 10 10 20= + = Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số phức z thoả mãn (1 + i) 2 (2 − i)z = 8 + i + (1 + 2i)z. Tìm phần thực và phần ảo của z. Câu VII. a. ( ) ( ) 2 1 2 8 (1 2 )i i z i i z+ - = + + + ( ) ( ) 2 2 (1 2 ) 8i i z i z iÛ - - + = + 4 2 1 2 8z i i i é ù Û + - - = + ê ú ë û ( ) ( ) 8 1 2 8 8 15 2 10 15 2 3 1 2 5 5 5 i i i i i z i i + - + - + - Û = = = = = - + Phần thực của z là 2. Phần ảo của z là – 3. Câu VII.b (1,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức : 4z 3 7i z 2i z i − − = − − Câu VII.b. 4z 3 7i z 2i z i − − = − − ⇔ 4z – 3 – 7i = z 2 – 3iz – 2 ⇔ z 2 – (4 + 3i)z + 1 + 7i = 0 ∆ = (4 + 3i) 2 – 4(1 + 7i) = 3 – 4i = (2 – i) 2 Vậy 4 3i 2 i z 3 i 2 + + − = = + hay z = 4 3i 2 i 1 2i 2 + − + = + . . ba số phức thoả điều kiện là z = 0; z = i; z = − i. 2. Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những điểm. = Bi 4: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn: a. z 3 1+ = b. z i z 2 3i+ = c. z + 2i là số thực d. z - 2 + i là số thuần ảo e. z z 9. = f. z 3i 1 z i = + là số thực Bi. −( 2)z z i hay là M(z)A = M(z)B. Vậy tập hợp các điểm M(z) là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm tập hợp các số phức z sao cho: a) 1z = b) 2 2 1z z + = c) 1 z z = Giải: