Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng

Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng CÁC TẬP HỢP ĐIỂM THƯỜNG GẶP TRONG MẶT PHẲNG PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Nguyễn Văn Thiết GV THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế Trong chương trình Toán Giải tích lớp 12 hiện hành có chương IV về số phức. Trong sách giáo khoa có các bài tập tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức. Đây là dạng bài tập khó đối với học sinh. Bài viết này nhằm giúp các em học sinh có thể nhận dạng từng loại tập hợp điểm và từ đó dễ dàng làm quen với dạng toán này, đồng thời có thể giúp các em làm được các bài tập nâng cao để ôn thi tốt nghiệp 12 và ôn thi vào đại học. Trong bài này, để cho gọn, thay vì nói “ điểm M biểu diễn số phức z ” ta nói “ điểm M có tọa vị z ” và ký hiệu là ( ) M z , tương tự thay vì nói “ véctơ u r biểu diễn số phức w ” ta nói “ véctơ u r có tọa vị w ” và ký hiệu là ( ) u w r . I- CÁC TẬP HỢP ĐIỂM THƯỜNG GẶP. 1) Tập hợp điểm là đường tròn hoặc hình tròn: Trong mặt phẳng phức cho điểm A có tọa vị a và số thực dương R. a) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a R− = là đường tròn tâm A, bán kính R. b) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a R− < là hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể đường tròn biên ). c) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a R− > là phần của mặt phẳng nằm bên ngoài hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể đường tròn biên ). Chứng minh: Giả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z. Khi đó tọa vị của véctơ AM uuuur là z a− , suy ra AM AM z a= = − uuuur . a) Ta có z a R− = AM R ⇔ = ⇔ M thuộc đường tròn tâm A bán kính R. b) Ta có z a R− < AM R ⇔ < ⇔ M thuộc hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể đường tròn biên ). c) Từ đó suy ra tập hợp điểm M có tọa vị z thỏa mãn z a R− > là phần của mặt phẳng nằm bên ngoài hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể đường tròn biên ). Ví dụ 1: ( Bài tập 20 trang 214 SGK Giải tích 12 nâng cao ) Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức ( ) 1 3 2i z+ + trong đó 1 2z − ≤ . Lời giải: Đặt ( ) 1 3 2w i z= + + thì 2 1 3 w z i − = + . Do đó theo giả thiết 1 2z − ≤ 2 1 2 1 3 w i − ⇔ − ≤ + ( ) 3 3 2 1 3w i i⇔ − + ≤ + ( ) 3 3 4w i⇔ − + ≤ . Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn có tâm ( ) 3 3E i+ , bán kính 4R = kể cả đường tròn biên. Đó là hình tròn có phương trình ( ) ( ) 2 2 3 3 16x y− + − ≤ . Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 1 Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng 2) Tập hợp điểm là đường thẳng: Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A, B theo thứ tự có tọa vị a, b và k là tham số thực. Nếu 1k ≠ thì tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a k z b − = − là đường thẳng AB, trừ điểm B. Chứng minh: Giả sử M là điểm có tọa vị z thỏa mãn z a k z b − = − . Khi đó véctơ AM uuuur có tọa vị là z a− , véctơ BM uuuur có tọa vị là z b− . Nếu z b≠ và 1k ≠ thì z a k z b − = − ( ) z a k z b⇔ − = − AM kBM⇔ = uuuur uuuur MA kMB⇔ = uuur uuur ⇔ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số 1k ≠ ⇔ M thuộc đường thẳng AB, trừ điểm B ( vì z b≠ ). 3) Tập hợp điểm là đường trung trực hoặc nửa mặt phẳng: Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A và B lần lượt có tọa vị a và b. a) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn 1 z a z b − = − là đường trung trực của đoạn thẳng AB. b) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn 1 z a z b − < − là nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB ( không kể đường trung trực ). c) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn 1 z a z b − > − là nửa mặt phẳng không chứa điểm A có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB ( không kể đường trung trực ). Chứng minh: Giả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z. Khi đó tọa vị của véctơ AM uuuur là z a− , tọa vị của véctơ BM uuuur là z b− , suy ra AM AM z a= = − uuuur và BM BM z b= = − uuuur . a) Ta có 1 z a z b − = − z a z b⇔ − = − AM BM ⇔ = ⇔ M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB. b) Ta có 1 z a z b − < − z a z b⇔ − < − AM BM⇔ < (1) Ta chứng minh tập hợp các điểm M thỏa mãn (1) là nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB. + Thật vậy, giả sử điểm M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Khi đó hiển nhiên đoạn thẳng MB cắt đường trung trực tại điểm N nằm giữa M và B. Từ bất dẳng thức trong tam giác AMN ta có AM MN NA MN NB MB < + = + = ( vì N thuộc đường trung trực nên NA NB= ). Vậy (1) được thỏa mãn . + Ngược lại, giả sử điểm M thỏa mãn AM BM< (1). - Nếu M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB thì AM BM= ( mâu thuẩn với (1)). - Nếu M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm B có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Khi đó theo phần thuận ta có BM AM< ( cũng mâu thuẩn với (1)). Vậy M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB. c) Chứng minh tương tự cho trường hợp 1 z a z b − > − . Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 2 Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng Ví dụ 2: ( Bài tập 9 trang 190 SGK Giải tích 12 nâng cao ) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: a) 1z i− = b) 1 z i z i − = + c) 3 4z z i= − + . Lời giải: a) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn 1z i− = là đường tròn tâm ( ) E i bán kính 1R = , tức là đường tròn có phương trình ( ) 2 2 1 1x y+ − = . b) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn 1 z i z i − = + là đường trung trực của đoạn thẳng AB, với ( ) A i và ( ) B i− . Đường trung trực này đi qua trung điểm ( ) 0O của đoạn thẳng AB và nhận véctơ ( ) 2AB i− uuur làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là ( ) 2 0 0y− − = 0y⇔ = . c) Vì z z= nên 3 4 3 4 3 4z i z i z i− + = − + = − − , suy ra 3 4z z i= − + 3 4z z i⇔ = − − 3 4 1 z i z − − ⇔ = Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn 3 4 1 z i z − − = là đường trung trực của đoạn thẳng OA, với ( ) 0O và ( ) 3 4A i+ . Đường trung trực này đi qua trung điểm 3 2 2 K i   +  ÷   của đoạn thẳng OA và nhận véctơ ( ) 3 4OA i+ uuur làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là: ( ) 3 3 4 2 0 2 x y   − + − =  ÷   25 3 4 0 2 x y⇔ + − = . 4) Tập hợp điểm là đường tròn đường kính AB: Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A, B theo thứ tự có tọa vị a, b và λ là tham số thực. Nếu 0 λ ≠ thì tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a i z b λ − = − là đường tròn đường kính AB, trừ hai điểm A và B. Đường tròn này có tâm 2 a b E +    ÷   là trung điểm của đoạn thẳng AB và có bán kính là 1 2 R a b= − . Chứng minh: Giả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z thỏa mãn z a i z b λ − = − , với z b≠ . Khi đó ta có 1 a bi z i λ λ − = − . Suy ra z a≠ ( vì 0 λ ≠ ). Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AB thì E có tọa vị là 2 a b e + = . Do đó tọa vị của véctơ EM uuuur là 1 2 a bi a b z e i λ λ − + − = − − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 a bi i a b i λ λ λ − − − + = − ( ) ( ) 2 1 a b a b i i λ λ − − − = − ( ) ( ) ( ) 1 2 1 a b i i λ λ − − = − 2 a b− = . Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 3 Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng Suy ra 1 2 z e a b− = − ⇔ M thuộc đường tròn tâm 2 a b E +    ÷   bán kính 1 2 R a b= − , trừ hai điểm A và B ( vì z a≠ và z b≠ ). 5) Tập hợp điểm là đường tròn Appollonius: Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A, B lần lượt có tọa vị a, b và k là số thực dương khác 1. Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a k z b − = − là đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k. Đường tròn này có tâm 2 2 1 a k b E k   −  ÷ −   và bán kính 2 1 k a b R k − = − . Chứng minh: Giả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z thỏa mãn z a k z b − = − . Gọi P và Q lần lượt là điểm chia ngoài và điểm chia trong đoạn thẳng AB theo tỷ số k. Khi đó ta có .PA k PB= uuur uuur và .QA k QB= − uuur uuur . Suy ra tọa vị của các điểm P, Q lần lượt là: , 1 1 a kb a kb p q k k − + = = − + . Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng PQ thì tọa vị của E là: ( ) 2 2 1 2 1 a k b e p q k − = + = − . Suy ra tọa vị của véctơ EM uuuur là: 2 2 1 a k b z e z k − − = − − ( ) 2 2 1 z a k z b k − − − = − (4) Từ giả thiết z a k z b − = − , suy ra 2 2 z a k z b − = − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 z a z a k z b z b − − ⇒ = − − (5) Thế (5) vào (4) ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 z a z a z e z a z b k z b z b   − − − = − − −   − − −     ( ) ( ) ( ) 2 1 1 z a z a z a k z b   − − = − −   − −     ( ) ( ) 2 1 1 z a z a k z b   − − = −   − −     ( ) ( ) ( ) 2 1 z b z a z a k z b   − − − − =   − −     ( ) ( ) 2 . 1 a b z a k z b − − = − − ( ) ( ) ( ) 2 . 1 a b z a k z b − − = − − Suy ra z e− ( ) ( ) 2 . 1 a b z a k z b − − = − − 2 . 1 a b z a z b k − − = − − 2 2 . . 1 1 a b k a b k k k − − = = − − Vậy M thuộc đường tròn tâm 2 2 1 a k b E k   −  ÷ −   , bán kính 2 . 1 k a b R k − = − . Đường tròn này gọi là đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k. Chú ý: Đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng AB cho trước theo tỷ số k cho trước là tập hợp các điểm M thỏa mãn MA k MB = , với k là số thực dương khác 1. Ví dụ 3: ( Bài tập 4.10 trang 178 SBT Giải tích 12 nâng cao ) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 4 Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng z k z i = − ( k là số thực dương cho trước ). Lời giải: Gọi O, A lần lượt là các điểm trong mặt phẳng phức có tọa vị là 0, i . Khi đó ta có: + Nếu 1k = thì tập hợp các điểm có tọa vị z thỏa mãn 1 z z i = − là đường trung trực của đoạn thẳng OA. Phương trình đường trung trực này là 1 0 2 y − = . + Nếu 1k ≠ thì tập hợp các điểm có tọa vị z thỏa mãn z k z i = − là đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng OA theo tỷ số 1k ≠ .Đường tròn này có tâm E có tọa vị là 2 2 0 1 k i e k − = − 2 2 1 k i k = − và có bán kính 2 2 0 1 1 k i k R k k − = = − − . Suy ra phương trình đường tròn Appollonius là ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 k k x y k k   + − =  ÷ −   − II. ỨNG DỤNG 1.Giải hệ phương trình trong tập hợp số phức: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau với ẩn là số phức z và λ là tham số thực khác 0. 4 2 (1) 2 2 1 (2) 2 z i i z z z i λ − −  =  +   −  =  +  Lời giải: + Gọi A, B theo thứ tự là các điểm trong mặt phẳng phức có tọa vị là 4 2i+ , 2− . Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn đường kính AB, trừ hai điểm A và B. Đường tròn này có tâm E biểu diễn số phức 1 i + và bán kính 1 6 2 2 R i= + 3 10i= + = nên có phương trình là ( ) ( ) 2 2 1 1 10x y− + − = (1’) + Gọi C, D theo thứ tự là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức 2, 2i− . Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (2) là đường trung trực của đoạn thẳng CD. Đường trung trực này đi qua trung điểm ( ) 1H i− của đoạn thẳng CD và nhận ( ) 2 2CD i− − uuur làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là ( ) ( ) 2 1 2 1 0x y− − − + = 0x y⇔ + = (2’). Suy ra giao điểm của đường tròn và đường trung trực là nghiệm của hệ đã cho. Đó là các điểm ( ) ;x y thỏa mãn (1’) và (2’), tức là nghiệm của hệ phương trình sau ( ) ( ) 2 2 0 1 1 10 x y x y + =    − + − =   ( ) ( ) 2 2 1 1 10 y x x x = −   ⇔  − + − − =   2 y x x = −  ⇔  = ±  2 2 x y =  ⇔  = −  hoặc 2 2 x y = −   =  Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là 2 2z i = − và 2 2z i = − + . Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 5 Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau với z là ẩn số 1 4 3 (3) 3 2 2 (4) 3 2 z i z i z i  − − =    + + =   + −  Lời giải: + Gọi E là điểm trong mặt phẳng phức có tọa vị là 1 4i + . Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (3) là đường tròn tâm E, bán kính 3R = . Phương trình đường tròn này là: ( ) ( ) 2 2 1 4 9x y− + − = (3’) + Gọi A, B theo thứ tự là các điểm có tọa vị là 3 3 2 , 2 i i− − − + . Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (4) là đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng AB theo tỷ số 2k = . Đường tròn Appollonius có tâm F là điểm có tọa vị 2 2 1 a k b f k − = − 3 3 2 4 2 1 4 i i   − − − − +  ÷   = − 1 2i = − + và có bán kính 2 1 k a b R k − = − 3 2 3 2 2 1 4 i i− − + − = − 1 2 5i= − − = . Phương trình đường tròn Appollonius là ( ) ( ) 2 2 1 2 5x y+ + − = (4’) Suy ra nghiệm của hệ đã cho là giao điểm của hai đường tròn (3’) và (4’), tức là các điểm ( ) ;x y thỏa mãn hệ phương trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 4 9 1 2 5 x y x y  − + − =   + + − =   2 2 2 2 2 8 8 0 2 4 0 x y x y x y x y  + − − + =  ⇔  + + − =   2 2 2 0 2 4 0 x y x y x y + − =  ⇔  + + − =  ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 2 0 y x x x x x = −   ⇔  + − + − − =   2 2 2 0 y x x x = −  ⇔  + − =  1 1 x y =  ⇔  =  hoặc 2 4 x y = −   =  . Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là 1z i = + và 2 4z i = − + . 2. Giải hệ bất phương trình trong tập hợp số phức. Ví dụ 3: Giải hệ bất phương trình sau với ẩn là số phức z : 3 2 (5) 2 9 2 5 (6) z i z i  − − ≤   − − ≥   Lời giải: Gọi ( ) ,z x yi x y= + ∈¡ là tọa vị của điểm M bất kỳ trong mặt phẳng phức. + Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (5) là hình tròn tâm Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 6 Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng ( ) 3A i+ , bán kính 2R = ( kể cả biên ). + Ta có 9 5 (6) 2 2 z i⇔ − − ≥ Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (6) là phần của mặt phẳng nằm bên ngoài hình tròn tâm 9 2 B i   +  ÷   , bán kính 5 2 R = ( kể cả biên ). Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là giao của hai tập hợp trên. Đó là “ hình trăng lưỡi liềm ” không bị bôi đen trong hình vẽ. Ví dụ 4: Giải hệ bất phương trình sau với ẩn là số phức z : 3 2 1 (7) 1 1 2 2 (8) z i z z i  + − ≥  +   − − ≤  Lời giải: Gọi ( ) ,z x yi x y= + ∈¡ là tọa vị của điểm M bất kỳ trong mặt phẳng phức. + Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (7) là nửa mặt phẳng không chứa điểm A có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB ( kể cả đường trung trực ), với ( ) 3 2A i− + và ( ) 1B − . + Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (8) là hình tròn tâm ( ) 1 2E i+ , bán kính 2R = ( kể cả biên ). Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là giao của hai tập hợp trên. Đó là phần hình tròn kể cả biên không bị bôi đen trong hình vẽ. Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 7 . Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng CÁC TẬP HỢP ĐIỂM THƯỜNG GẶP TRONG MẶT PHẲNG PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Nguyễn Văn Thiết GV THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế Trong. 2 Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng Ví dụ 2: ( Bài tập 9 trang 190 SGK Giải tích 12 nâng cao ) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức. 01697163373 1 Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng 2) Tập hợp điểm là đường thẳng: Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A, B theo thứ tự có tọa vị a, b và k là tham