Ơ le, nhà toán học Thụy Điển 1707-1783 đã giải đáp bài toán này bằng câu trả lời : « Muốn đi qua các cạnh của sơ đồ rồi quay về chỗ cũ mà mỗi cạnh chỉ đi đúng một lượt nghĩa là muốn vẽ đ[r]
(1)Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Phần I: HỆ ĐẾM – CÁC QUI TẮC THỰC HÀNH PHÉP TÍNH I Khái niệm hệ đếm: Trong sinh hoạt hàng ngày XH loài người, khái niệm số gắn liền với việc hình thành các ký hiệu số Từ thời xưa người ta chưa cần các số lớn thì số hình ảnh trở thành phương tiện biểu diễn các số như: Mặt trời, đôi mắt, số ngón tay trên bàn tay… Dần dần các kí hiệu thay đổi khác với hình tượng ban đầu và còn có ý nghĩa qui ước các kí hiệu số )1, 2, 3, 4, ,8, 9) là qui ước kí hiệu số và có t/c quốc tế (Nhưng tên gọi thì tùy theo các dân tộc khác và nó có tính ngôn ngữ học không phụ thuộc phạm trù toán học) Xã hội ngày càng phát triển, cần sử dụng số lớn thì các kí hiệu số qui định dùng không đủ Vậy phải tìm cách biểu diễn các số tự nhiên số ít kí hiệu đã chọn Loài người đã sáng tạo việc đếm theo nhóm các đơn vị theo nguyên tắc sau: “Một số định các đơn vịthành lập đơn vị bậc cao hơn; Số định đó gọi là số phép đếm Phép đếm với số định gọi là hệ thống đếm Hiện ngoài hệ thống đếm số 10, ta còn có các hệ thống đếm: - Hệ số (Dùng máy tính điện tử) - Hệ số 12 (Ứng với 12 lần trăng tròn năm) - Hệ số (Ứng với ngón tay trên bàn tay) - Hệ số 60 (ứng với số đo thời gian) II Hệ đếm theo số: Hệ đếm theo số 10: a Cách đọc: 10 đơn vị bậc này lập thành đơn vị bậc cao (hàng 2) 10 đơn vị hàng lập thành đơn vị hàng … Để giảm bớt cách gọi tên các hàng, người ta qui định ba hàng liên tiếp tạo thành lớp: Lớp đơn vị gồm hàng 1, hàng 2, hàng Lớp nghì gồm hàng 4, hàng 5, hàng => Từ đó muốn đọc số nào đó, ta đọc số đơn vị kèm theo hàng theo thứ tự là bậc cao đến bậc thấp lớp cao và đọc tên lớp và tiếp tục Ví dụ: 234 110 768 Đọc là: Hai trăm ba tư triệu, trăm mười nghị,bảy trăm sáu tám đơn vị b Cách viết: theo hai cách - Cộng và trừ kí hiệu - Theo nguyên tắc giá trị vị trí * Cách biểu diễn: + Ta viết các kí hiệu (1, 2, 3, …… , và 0) theo hàng ngang với nguyên tắc qui ước cùng số viết hai hàng thì giá trị kí hiệu bên trái gấp 10 lần giá trị kí hiệu viết bên phải… GV: Lê Chí Tôn (2) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi + Như biết số hệ đếm, ta có thể biểu diễn bất kì số tự nhiên nào dạng dòng các chữ Dòng này có thể phân tích thành tổng đó số hạng là lũy thừa số nhân với sô thích hợp nhỏ số Ví dụ: Có số có chữ số, chữ số hàng kí hiệu là chữa, hàng là chữ b, hàng là chữ c, hàng là chữ d, hàng là chữ e, hàng là chữ f: N = abcdef = a.100000 + b.10000 + c.1000 + d.100 + e.10 + f 100 = a.105 + b.104 + c.103 + d.102 + e.101 + f Hệ đếm theo số tùy ý: Tương tự hệ thập phân, cần chú ý hệ số k, thì k đơn vị lập thành hàng nào đó thì lập thành đơn vị hàng cao Vì cần chọn k tên riêng đầu tiên và tên các hàng để dùng vào việc đọc số Chọn k – kí hiệu đầu và kí hiệu để viết số Ví dụ: N = abcdef = a.k + b.k + c.k + d.k + e.k1 + f.k Chú ý: Để khỏi lầm lẫn với các số số 10, ta viết thêm chữ số vào phía bên phải số đó 425 số = 425(5) Lũy thừa số phải số chữ số ssó đó trừ Đổi số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác: a Nhận xét: Một số đã cho viết theo hệ số a muốn viết sang hệ số b thì lấy hệ số thập phân làm trung gian Vì ta xét hai trường hợp đổi sau: - Viết số từ hệ số tùy ý sang hệ thập phân - Viết số từ hệ số thập phân sang hệ số khác b Cách đổi: * - Cách đổi thứ nhất: dựa vào cách biểu diễn số thành tổng các lũy thừa Ví dụ: Đổi 11101(2) sang hệ thập phân 11101(2) =1.24 + 1.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20 = 16 + + + = 29 - Cách đổi thứ hai: dựa vào nguyên tắc viết số theo thứ tự vị trí Giữa hai hàng thì đơn vị hàng bên trái gấp k lần đơn vị hàng bên phải Dựa vào nguyên tắc đó, ta đổi các hàng đơn vị và viết theo hệ thập phân Ví dụ: Viết 32075(8) hệ thập phân - 3.8 + = 26 đơn vị hàng - 26.3 + = 208 đơn vị hàng - 208.8 + = 1671 đơn vị hàng - 1671.8 + = 13373 đơn vị hàng Vậy 32075(8) = 13373(10) * Cơ sở lý luận cách đổi này: Giả sử ta có số N viết theo hệ thập phân – Ta cần đổi nó số có số r viết Næç ÷ö = Pn P × × ×P n 0( r) ç10 ÷ ÷ ç dạng: è ø Nghĩa là ta phải tìm các chữ số P i < r cho: N = Pn.rn + Pnn-1 +……….+ P1.r + P0 1.r Thật vậy; ta có thể biểu diễn N sau: GV: Lê Chí Tôn (3) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi N = (Pn.r + Pn-1 r + ……+ P1.r0)r + P0 Vậy P0 là số dư phép chia N co r và thương là: Q0 = Pn.rn-1 + Pn-1.rn-2 + … + P1 Ta lại có: Q0 = (Pn.rn-2 + Pn-1.rn-3 + … + P2).r + P1 Vậy P1 là số dư Q0 cho r và thương là: Q1 = Pn.rn-2 + Pn-1.rn-3 + … + P2 Tiếp tục chia Q1 cho r ta thương Q2 và số dư P2 … Cuối cùng ta có Qn-1 chia cho r số thương Qn = Tóm lại: Nếu chia liên tiếp số N và các thương phận (Q 0, Q1, Q2,….Qn-1) cho r ta n-1 n-2 các chữ số Pi là các chữ cấu tạo nên số N(r) và viết các số đó theo thứ tự: Ví dụ: Viết 138 theo số Pn Pn- Pn- P1 P0 138 18 P0 15 15 46 15 P1 P2 P3 P4 1 138 = 12010 (3) Bài tập ứng dụng: Tính số trang sách biết để đánh số trang sách đó người ta phải dùng 3897 chữ số Giải: - Để đánh số trang có chữ số phải dùng x = chữ số - Để đánh số trang có chữ số phải dùng 90 x = 180 chữ số - Để đánh số trang có chữ số phải dùng 900 x = 270 chữ số Như đã dùng hết + 180 + 2700 = 2889 chữ số Số còn lại phải dùng để đánh trang có chữ số là: 3897 – 2889 = 1008 (chữ số) Mỗi trang có chữ số nên số trang có chữ số cần đánh là: 1008 : = 252 (trang) Số nhỏ có chữ số là số 1000 Vậy cuấn sách đó có: 1000 + 252 – = 1251 (trang) ……………………… Cho số có hai chữ số, chữ số hàng chục là a, chữ số hàng đơn vị là b a Nếu ta xen hai chữ số đó số , thì số lớn số cũ bao nhiêu lần? b Nếu ta xen 2, 3, 4,……, n chữ số thì số tăng bao nhiêu đơn vị so với số cũ Giải: Số đã cho có thể biểu diễn: ab = 10a + b - Sau xen vào hai chữ số đố chữ số ta có: a0b = 100a + b GV: Lê Chí Tôn (4) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hiệu hai số và cũ là: a0b - ab = 100a + b - 10a - b = 90a - Kết này (90a) cho ta kết luận là : việc thay đổi trên không phụ thuộc chữ số đơn vị Nếu tăng thêm 2, 3, 4, …… n chữ số thì kết tăng ……………………………… 900 0.a 144424443 n ch÷ sè Tổng các chữ số số có hai chữ số là 10 Nếu tahy đổi thứ tự các chữ số thì số giảm 36 đơn vị Tìm số đó Giải: Số đã cho có thể viết: ab và a + b = 10 (1) ba Nếu đổi thứ tự chữ số thì số là: Khi đó ta có: ab - ba = 10a + b -10b - a = 36 => 9a - 9b = 36 => a - b = (2) ìï a + b = 10 Tõ (1) vµ (2) ta cã: ïí Þ 2a = 14 Þ a = vµ b = ïïî a - b = Số đã cho là: 73 ……………………………… Tìm số gồm ba chữ số, biết tổng các chữ số là 14, chữ số hàng chục gấp đôi chữ số hàng đơn vị và số đảo ngược lớn số cũ là 198 Giải: Số đã cho có thể viết abc Theo bài thì: a + b + c = 14 (1) b = 2c (2) cba - abc =198 (3) Từ (3) ta có: 100c + 10b + a – 100a – 10b – c = 198 => 99c – 99a = 198 => c- a = => c = a + Thay c = a + và (1) và (2) ta có: Þ c= ïìï a + b + a + = 14 Þ í ïîï b = (a + 2) ïìï 2a + b = 12 Þ 2b = 16 Þ b = í îïï -2a + b = b = = vµ a = 14 - (4 + 8) = 14 - 12 = 2 Số phải tìm là 284 ………………………………… Viết theo hệ số dãy số từ đến 30 Giải: Ta viết: 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33 34 40 41 42 43 44 50 51 52 53 54 60 ………………………………… Đổi số 1463(7) sang số 12 Giải: GV: Lê Chí Tôn (5) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi * Ta đổi 1463(7) sang số 10 1463(7) = 73 + 72 + 71 + = 343 + 196 + 42 + = 584 * Ta đổi 584 sang số 12 584 48 104 12 48 48 12 4 12 Vậy 1463(7) = 408(12) ………………………………… Với số nào thì 167 viết thành 326 ? Giải: Gọi x là số 326 ta có: 167(10) = 326(x) Đổi 326(x) ta : 326(x) = 3.x2 + 2.x + - 23 Giải phương trình bậc hai 3x + 2x + = 167 ta x1 = ; x2 = X = là thỏa mãn Vậy với số thì 326 = 167(10) …………………………………… Trong hệ thống số hãy tính tổng 43 +17 ? Giải : - Muốn tính tổng 43 +17 ta đổi các số hạng số thập phân 43(8) = 4.8 + = 35 17(8) = 1.8 + = 15 => 43 (8) + 17 (8) = 50(10) - Ta đổi tổng tìm sang số 50 6 Vậy 43(8) + 17(8) = 62(8) …………………………………… Trong hệ thống đếm ta có 53 + 76 = 140 Hãy xác định số hệ thống đó ? Giải : Gọi số hệ thống đếm đó là x, ta có : 53(x) + 76(x) -= 140(x) Hay (5x + 3) + (7x + 6) = x2 + 4x + GV: Lê Chí Tôn (6) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi => 12x + = x + 4x => x – 8x = => x(x – 8) = => x(8-x) = 9(-1) => x = Vậy số hệ thống đếm đó là Nghĩa là 53(9)+ 76(9) -= 140(9) ……………………………………… 2 10 Người ta viết liền các số tự nhiên số 1: 123456…… Hỏi chữ số viết hàng 427 là số nào? Giải: Từ số đến số 100 phải dùng (9 x + 90 x 2) = 189 chữ số Mà ta thấy 189 < 427 nên số viết hàng 427 là số có chữ số.Do đó 427 – 189 = 238 chữ số còn lại dùng để viết các số có chữ số và viết (238 : 3) = 79 số có chữ số và còn dư chữ số Số thứ 79 có chữ số là số 100 + 79 – = 178 nên chữ số hàng thứ 427 là chữ số đầu số 179 và số đó là số …………………………………… 11 Người ta viết liên tiếp các số tự nhiên thành dãy 12345…… Hỏi chữ số hàng đơn vị số 1991 đứng hàng thứ bao nhiêu ? Giải: Từ số đến số 1991 có số có chữ số, 90 số có hai chữ số, 900 số có ba chữ số và có 1991 – 1000 + = 992 số có chữ số Số chữ số phải dùng để viết các số từ đến 1991 là : + 2.90 + 900 + 992 = 6857 Vậy : Chữ số hàng đơn vị số 1991 đứng hàng thứ 6857 dãy số trên 12 Viết liên tiếp các số tự nhiên chẵn thành dãy 246810… Hỏi chữ số thứ 2000 là chữ số gì ? Giải: Từ số đến số 1000 (không kể 1000) có số chẵn có chữ số, 45 số chẵn có chữ số, 450 số chẵn có chữ số Do đó, số chữ số phải dùng để viết các số chẵn từ đến 1000 (không kể số 1000) là : + 45 + 3.450 = 1444 Vì 1444 < 2000 nên chữ số thứ 2000 thuộc vào số chẵn có chữ số Số chữ số còn lại để viết các số chẵn có chữ số là : 2000 – 1444 = 556 Vì số 556 = 139 nên với 556 chữ số này, ta có thể viết 139 số chẵn đầu tiên có chữ số Số chẵn thứ 139 có chữ số là : 1000 + 139.2 – = 1276 Vậy chữ số thứ 2000 là chữ số số 1276 ……………………………………… 13 Cho dãy số 4, 7, 10, 13, 16,… a Tìm số thứ 100, số thứ n dãy số đó ? b các số 45723 và 3887 có mặt dãy đó không ? Giải: Ta nhận thấy : 7=4+3 10 = + 13 = 10 + GV: Lê Chí Tôn (7) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 16 = 13 + 3…… vậy, dãy số đã cho, kể từ số thứ hai, số số liền trước đó cộng với a Gọi các số dãy số trên theo thứ tự là a1, a2, a3,… , an-1, an Theo qui luật thành lập dãy số ta có: a2 – a1 =3 a3 – a2 =3 …… An-1 – an-2 =3 An – an-1 =3 Cộng vế n – đẳng thức trên ta được: an – a1 = 3.(n – 1) hay an = a1 + 3(n – 1) Vì a1 = nên ta có: an = + 3(n – 1) hay an = 3n + (n = 1, 2, 3,….) Như số thứ 100 dãy số trên là: a100 = 3.100 + = 301 b Các số thuộc dãy số đã cho có dạng 3n + 45723 = 15241 và 3887 = 1295 + nên hai số này không có mặt dãy số đó ………………….…………………………………………………………………… III CÁC PHÁP TÍNH SỐ NGUYÊN Phép cộng: a Định nghĩa: Phép toán cho biết tổng hai số gọi là phép cộng a + b = S b = thì a + = a b Tính chất: - Giao hoán: a + b = b + a - Kết hợp: a + b + c = (a + b) + c c Hệ quả: - Cộng tổng vào số - Cộng số vào tổng - Cộng tổng vào tổng Phép trừ: a Là phép tính ngược phép cộng- kết phép trừ số a cho số b gọi là hiệu a và b a – b = c (Nếu a = b thì a – b = 0) b Tính chất: - Giao hoán: a+b–c=a–c+b a–b–c=a–c–b - Kết hợp: a + b – c = (a + b) – c a – b + c = (a – b) + c a – b – c = (a – b) – c c Hệ quả: - Trừ tổng vào số: a – (b + c + d) = a-b-c-d - Trừ hiệu vào số: a – (b – c) = a-b+c - Trừ số vào tổng: (a + b) – c = (a – c) + b - Trừ tổng vào tổng: (a + b + c) – (e + f + k) = ××× GV: Lê Chí Tôn (8) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Phép nhân: a Phép nhân a với b là phép cộng b số hạng a a x b = a + a + a + + a (b số hạng) b x a = b + b + b +.…+ b (a số hạng) ax0=0 b Tính chất: - Giao hoán: a.b = b.a - Kết hợp: a.b.c = (a.b).c - Phân phối: + a.(b + c + d) = a.b + a.c + a.d + a.(b – c) = a.b – a.c + (a + b).(x – y) = ax – ay + bx – by c Hệ quả: - Nhân số với tích: k(abcd) = kabcd - Nhân tích với số: (abc)d = (ad)bc =(bd)ac =(cd)ab - Nhân tích với tích: (abc)(de) = abcde Ứng dụng phép nhân: Lũy thừa ĐN: Lũy thừa bậc m số a hay am là tích m thừa số a a1 = a; a0 = am.an = am + n ; am: an = am - n (m > n và m, n > 0) æa ÷ öm a m ç ç ÷= m ç ÷ (abc)m = am Bm Cm ; èb ø b ; (a ) m n = a m n Phép chia: a Phép chíaố a cho số b là tìm số q cho a = bq + r (r < b) * a số bị chia,b số chia, q thương số, r số dư * a ³ b => q ³ ; a < b => q = 0, r = a Đặc biệt: a = =0 b b a = * a = 0; b = Vô định b b a = a * a ¹ 0; b = V« nghiÖm b o => Kh«ng cã phÐp chia cña mét sè kh¸c cho sè * a = 0; b ¹ b Phép chia hết là phép tính ngược phép nhân, kết phép chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b là thương q (a : b = q hay a = bq) c Phép chia còn dư: a = bq + r d Tính chất: * (a + b + c) : d = (a : d) + (b : d) + (c : d) GV: Lê Chí Tôn (9) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi * (a.b) : d = (a : d) b * a.(b : d) = (a.b) : d e Hệ quả: * (a.b.c.d) : e = (a : e).b.c.d * a : (b.c.d) = [(a : b) : c] : d f Tính chất phép chiư còn dư: * a.m = b.q.m + m.r * a : m = b.q : m + r : m * Chia tổng cho số ta lấy số thứ chia cho số đó, sau đó lấy số dư cộng với số thứ hai chia cho số đó số thương là tổng các thương riêng biệt Số dư là số dư phép chia cuối cùng Chú ý: * Để so sánh hai lũy thừa ta thường đưa việc so sánh hai lũy thừa có cùng số mũ hặc có cùng số Với a, b, m, n là các số tự nhiên ta luôn có: Nếu a > b thì an > bn (a ¹ 0) Nếu m > n thì am > an (a > 1) * Khi giải các bài tập tìm chữ số tận cùng số, ta thường sử dụng các nhận xét sau: + Tất các số tận cùng các chữ số 0, 1, 5, cùng nâng lên lũy thừa tự nhiên nào khác tận cùng chính chữ số đó Vì để tìm chữ số tận cùng số, ta thường biến đổi để đưa các số có các chữ số tận cùng nêu trên Lưu ý: 92 = 81, 34 = 81, 24 = 16 + Căn vào nhận xét trên, riêng các số tận cùng ta có qui tắc sau: - Lũy thừa số tận cùng là số tận cùng số mũ chẵn, tận cùng số mũ lẻ Thật vậy, ta có: 42k = (42)k = 16k tận cùng 42k + = 42k = 16k.4 tận cùng - Lũy thừa số tận cùng là số tận cùng số mũ chẵn, tận cùng số mũ lẻ Thật vậy, ta có: 92k = (92)k = 81k tận cùng 92k + = 92k = 81k.9 tận cùng …………………………………… Bài tập áp dụng: Tìm số nguyên N, biết thêm số vào bên phải thì N tăng thêm 594 đơn vị Giải: Thêm số vào bên phải N tức là ta tăng N lên 10 lần Có nghĩa là: 10 N – N = 594 => 9N = 594 => N = 66 GV: Lê Chí Tôn (10) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ……………………………………… 2.Tìm số gồm hai chữ số, biết số lớn gấp tích số các chữ số Giải : Gọi số cần tìm là xy (x, y nguyên dương và nhỏ 10) Khi đó ta có : xy = 2xy Þ 10x + y = 2xy Þ 2xy - 10x - y = Þ 2x(y - 5) - y = Thªm vµo mçi vÕ ta cã: 2x(y - 5) - (y - 5) = => (2x - 1)(y - 5) = ìï 2x - = ìï x = ï ï VËy: ïí => ïí (Kh«ng thÝch hîp) ïï y - = ïï y = 10 ï ï HoÆc îï ìï ïï í ïï ïî 2x - = y-5=1 HoÆc HoÆc îï ìï ï => ïí ïï ïî ìï 2x - = -1 ï ïí ïï y - = -5 ïî ìï 2x - = -5 ï ïí ïï y - = -1 ïî x=3 y=6 => => ìï x ï ïí ïï y ïî ìï x ï ïí ïï y ïî =0 =0 (Kh«ng thÝch hîp) = -2 =4 (Kh«ng thÝch hîp) VËy x = , y = Sè cÇn t×m lµ 36 ……………………………………… Tìm số gồm chữ số, biết đem nhân số với ta số mà ba chữ số cuối cùng bên phải là 548 Giải : Gäi sè ph¶i t×m lµ xyz ®em sè Êy nh©n víi ta thÊy z.7 = => z = đó z.7 = 28 (viết nhớ 2) y.7 =….2 (vì nhớ là 4) => y = Vậy y.7 = 42 (viết nhớ 4) x.7 = (vì nhớ thành 5) => x = (vì 3.7 = 21) Vậy xyz = 364 ………………………………………… Tìm N (nguyên) để chia N cho có số dư thương số Giải : Khi chia số a cho số b ta có : a = bq + r (r > và r < b) => N = 4q + r q = r < 4) hay N = 4q + q = 5q Vì q < nên : N = q = N = 10 q = GV: Lê Chí Tôn (11) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi N = 13 q = …………………………………… Tìm số nguyên N để chia cho 11 có số dư bình phương thương số Giải : Ta thấy N = 11q + q2 (q2 = r ; q2 < 11) Vì q2 < 11 và q nguyên nên ta có q2 £ q2 £ Do đó ta có các trường hợp sau : Q = thì N = 11q + q2 = 11.1 + = 12 Q = thì N = 11q + q2 = 11.2 + 22 = 26 Q = thì N = 11q + q2 = 11.3 + 32 = 42 ……………………………………… a Tìm tổng 100 số tự nhiên đầu tiên ? b Tìm kết dãy tính : 99 – 97 + 95 – 93 + 91 – 89 +… +3 – = ? Giải : a Ta thấy + 100 = 101 + 99 = 101 + 98 = 101 Từ đến 100 có tất 50 cặp vậy, mà cặp có tổng 101 nên : + + …… +98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + ……+(50 + 51) = = 101 50 = 5050 b Ta thấy 99 – 97 + 95 – 93 + 91 – 89 +… +3 – = = (99 – 97) + (95 – 93) + ………… + (3 – 1) Đây chính là tổng cặp hiệu hai số lẻ liền cuả 50 số lẻ đầu tiên, hiệu có kết 2, tất có 25 cặp nên tổng đó : 25.2 = 50 ……………………………………… Tìm số có chữ số biết : chữ số hàng trăm hiệu chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị Chia cho chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị dư Tích số phải tìm với là số mà chữ số tận cùng bên phải là Giải : Gọi số phải tìm là abc theo bài ta có : a=b–c (1) b = 2c + (2) abc = .1 (3) Từ (3) ta thấy c = (vì có 3.7 = 21 (có chữ số tận cùng 1) => b = 2.3 + = Khi đó a = – = Số phải tìm là : 583 ……………………………… Tìm số chia và thương phép chia biết số bị chia là 786542 và số dư liên tiếp là 213, 416, 153 và 386 GV: Lê Chí Tôn (12) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Giải : Đây là phép chia số có chữ số cho số chưa biết mà có số dư Như rõ ràng lần chia thứ phải dùng số có chữ số đầu tiên bên trái để chia (786) sau đó hạ liên tiếp các chữ số 5, và để chia ba lần nên ta có sơ đồ phép chia sau : 786542 xxx 2135 xxxx 4164 xxxx 1532 xxxx 386 ? ?? * Căn sơ đồ lần chia thứ ta thấy : vì số bị chia là số có chữ số và số dư là số có chữ số nên số chia là số có chữ số Số chia là 786 – 213 = 573 * Khi biết số chia là 573 ta dễ dàng tìm thương sau lần chia cuối cùng là : 1372 Cho số gồm hai chữ số Nếu đảo ngược ta số Nếu đem số này chia cho số đã cho ta và dư 13 Tìm số đã cho ? Giải : Theo bài ta có sơ đồ sau : BA xx 13 AB Ta thấy B lớn lần A và tích AB với là số có hai chữ số nên A < (nếu A > thì tích A.B số có chữ số) cho nên có thể là A = A = Nếu A = thì B = ; Như thì không hợp lý vì: B = thì A – (3.B) = – = không hợp lý vì số dư Trường hợp B = 8; tương tự Vậy A = là hợp lý Khi đó ta có : B = (vì 6.3 = 18 để có 21 – 18 = 3) Ta có số phải tìm là 16 …………………………………… 10 Tích x x x …… x 48 x 49 tận cùng bao nhiêu chữ số ? Giải : Đây là tích 49 số tự nhiên đầu tiên, vì tích này có chứa các thừa số : 10, 20, 30, 40, nên cuối cùng có chữ số 0.Mặt khác ta lại thấy tích có các thừa số khác là bội số (có thừa số : 5, 15, 25, 35, 45), mà tích các BS với số chẵn có tận còng 0, có thêm chữ số vào cuối kết tích GV: Lê Chí Tôn (13) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Tóm lại tích đã cho có tận cùng (4 + 5) = chữ số …………………………………… 11 Có hộp ngòi bút đựng số ngòi bút Nếu lấy hộp đó 60 ngòi bút thì tất các hộp số ngòi bút còn lại số ngòi bút đựng hai hộp trước đây Hỏi trước đây hộp đựng bao nhêu ngòi bút ? Giải: Cách 1: 60 60 60 60 60 Nếu hình trên biểu diễn hộp bút thì ta thấy sau số bút lấy (ở hộp 60 ngòi) thì còn lại số bút hai hộp tức 2/5 tổng số bút, tức là số bút bị lấy 3/5 tổng số bút hộp Vì số bút các hộp và số bút lấy hộp cho nên số bút hộp là : (60.5) : = 100 (ngòi) Cách 2: Số ngòi bút lấy hộp là : 60 = 300 (ngòi) Số ngòi bút này số ngòi bút hộp Vậy số ngòi bút hộp là : 300 : = 100 (ngòi) …………………………………… 12 Khi cộng hai số, học sinh đã vô ý đặt số số lệch hàng chữ số (đặt chữ số hàng đơn vị số này chữ số hàng chục số kia) nên đã cộng nhầm thành 5255 Biết tổng đúng là số có chữ số mà số tạo hai chữ số đầu lớn số tạo hai chữ số cuối đơn vị và tổng hai số tạo thành là 35 Tìm hai số mà học sinh đó đã làm phép cộng Giải: Trước hết ta tìm tổng đúng phép cộng Theo đề bài, ta tính số tạo hai chữ số đầu là : (35 + 7) : = 21 Số tạo hai chữ số cuối là : 35 -21 = 14 Vậy tổng đúng là 2114 Khi đặt lệch hàng chữ số và làm phép cộng thì số đặt lệch đã tăng gấp 10 lần nghĩa là tổng lớn tổng đúng lần số bị đặt lệch Do đó số bị đặt lệch là : (5255 – 2114) : = 349 Số là : 2114 – 349 = 1765 Hai số phải tìm là 1765 và 349 ……………………………………… 13 Khi hỏi : «số nào có chữ số mà ta đọc theo thứ tự từ phải sang trái thì tăng lên lần » ? Một học sinh giỏi toán trả lời tức khắc bạn hãy đoán xem bạn trả lời nào ? Giải: GV: Lê Chí Tôn (14) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Bạn trả lời là : « Không có số nào » ta có thể giải thích điều này sau : Gi¶ sö sè ph¶i t×m lµ abcd (a, b, c, d lµ sè tù nhiªn vµ £ a, b, c, d £ , a ¹ 0, d ¹ 0) Theo đầu bài ta phải có : abcd.6 = dcba a chØ cã thÓ b»ng v× nÕu a = trë lªn th× abcd.6 sÏ co mét sè cã ch÷ sè Mặt khác, tích số tự nhiên nào với là số chẵn, tức là a phải chẵn Mâu thuẫn này chứng tỏ không có số nào thỏa mãn đầu bài Kết luận này không đúng với số có chữ số mà đúng với số có số chữ số tùy ý ……………………………………… 14 Chứng tỏ số Giải: Ta có 11 22 { 1442443 lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp n n 11 22 00 + 22 { { { 1442443 = 11 { n n n n n = 11 (100 (3.33 34) 33 34 { 1442443 + 2) = 11 { 1442443 = 33 { 1442443 n n n n-1 n n-1 ………………………………………… 15 So sánh 3111 với 1714 Giải: Ta có : 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1) 14 14 14 56 Mặt khác ta có : 17 16 = (2 ) = (2) 55 56 11 14 Rõ ràng < nên từ (1) và (2) ta suy : 31 < 17 ………………………………………… 16 Tìm chữ số tận cùng các số : a) 61991 , b) 91991 c) 31991 d) 21991 Giải: a Một số tận cùng dù nâng lên lũy thừa tự nhiên khác nào tận cùng Do đó 61991 có chữ số tận cùng là b 91991 = (92)995.9 Một số tận cùng 1, dù nâng lên lũy thừa tự nhiên nào tận cùng nên (92)995 = 81995 tận cùng Do đó : 91991 = (92)995.9 có chữ số tận cùng là c 31991 = (34)497.33 = 81497.27 Suy 31991 có chữ số tận cùng là d 21991 = (24)197.23 = 16197 Suy 21991 có chữ số tận cùng là ………………………………………… 17 Tìm số lớn có ba chữ số mà chia cho 75 có thương và số dư Giải: GV: Lê Chí Tôn (15) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Gọi số phải tìm là N, thương là q ; Theo bài ta có : N = 75q + q = 76q Vì N < 1000 nên q £ 13 Vậy số có ba chữ số phải tìm là N = 76.13 = 988 ………………………………………… 18 Tìm các số x, y, z cho x5.3yz = 7850 Giải: Ta cã 300 £ 3yz < 400 vµ x5 = 7850 : 3yz Nh vËy th×: 7850 : 3yz > 7850 : 400 > 19 (1) 7850 : 3yz £ 7850 : 300 < 27 (2) Từ (1) và (2), ta suy : 20 £ x5 £ 26 VËy x = Ta cã: 3yz = 7850 : 25 =314 Tãm l¹i x = 2, y = 1, z = ……………………………………… 19 Chứng minh : k(k + 1)(k + 2) – (k – 1)k(k + 1) = 3k(k + 1) Trong đó k = 1, 2, 3, …… Từ đó suy công thức tính tổng : S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …… + n(n + 1) Giải: * Áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng và tính chất số trừ hiệu, ta biến đổi vế trái đẳng thức sau : k(k + 1)(k + 2) – (k – 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) – (k – 1)] = k(k + 1)(k + – k + 1) = 3k(k + 1) Vế trái đúng vế phải Đẳng thức đã chứng minh * Sử dụng đẳng thức trên, đặt ak = k(k + 1) ta có : 3a1 = 1.2.3 – 0.1.2 3a2 = 2.3.4 – 1.2.3 …… 3an-1 = (n – 1)n(n + 1) – (n – 2)(n – 1)n 3an = n(n + 1)(n + 2) – (n – 1)n(n + 1) Cộng vế n đẳng thức trên, ta : 3(a1 + a2 + a3 +…… + an) = n(n + 1)(n + 2) tức là : 3[1.2 + 2.3 + 3.4 +….+ n(n + 1)] = n(n + 1)(n + 2) Suy : S= n(n + 1)(n + 2) ……………………………………… 20 Tìm số tự nhiên nhỏ mà tổng các chữ số nó 21 ? GV: Lê Chí Tôn (16) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Giải: Số tự nhiên có tổng các chữ số bàng 21 thì phải có từ chữ số trở lên (vì số co chữ số lớn la 99 có tổng các chữ số là + = 18 < 21) Trong các chữ số có từ chữ số trở lên thì số nhỏ phải là số có chữ số Trong các số có chữ số, số nhỏ phải là số có chữ số hàng trăm nhỏ Nếu chữ số hàng trăm là thì tổng các chữ số hàng chục và hàng đơn vị tương ứng là 21 – = 20 21 – = 19 Cả hai trường hợp này bị loại vì tổng đó lớn có thể là + = 18 Vậy chữ số hàng trăm nhỏ có thể là và chữ số hàng chục hàng đơn vị là để có + + = 21 Số phải tìm là 399 ……………………………………… 21 Tổng số tự nhiên và các chữ số nó 2359 Tìm số tự nhiên đó? Giải: Theo đầu bài ta thấy số đó phải nhỏ 2359 Số đó cùng có chữ số nên tổng các chữ số nó không vượt quá 9.4 = 36 Do đó, số tự nhiên phải tìm lớn hơn: 2359 – 36 = 2323 Vậy số đó có dạng 23ab (a, b lµ c¸c ch÷ sè vµ a ³ 2) 23ab + + + a + b = 2359 2300 + ab + + a + b = 2359 10a + b + a + b + 2305 = 2359 11a + 2b = 2359 - 2305 11a + 2b = 54 (*) Tõ (*) ta suy ra: 11a £ 54 nªn a £ 2b và 54 là các số chẵn, đó a là chữ số chẵn Kết hợp với điều kiÖn nªu trªn ta cã a ch½n vµ £ a £ Víi a = th× 2b = 54 - 22 = 32; b = 16 (v« lý, v× b < 10) Víi a = th× 2b = 54 - 44 = 10; b = Số đó là 2345 Thử lại: 2345 + + + + = 2359 (đúng) VËy sè tù nhiªn ph¶i t×m lµ: 2345 ……………………………………… 22 Tổng số trang loại 1, loại và loại là 1980 trang Số trang loại 2/3 số trang loại Số trang loại số trang loại Tính số trang loại Giải: GV: Lê Chí Tôn (17) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Vì số trang loại 2/3 số trang loại nên số trang loại số trang loại Suy số trang loại số trang loại Do đó, số trang loại số trang (4.8:2) = 16 loại 3; số trang loại số trang (4.9:3) = 12 loại Vậy 1980 chính là số trang (16 + 12 + 5) = 33 loại Số trang loại là : 1980 : 33 = 60 (trang) 60.4 = 80 (trang) Số trang loại là : 80.3 = 120 (trang) Số trang loại là : 23 Trong thi có 20 câu hỏi Mỗi câu trả lời đúng 10 điểm, còn sai thì bị trừ 15 điểm Một học sinh tất 50 điểm Hỏi bạn đó đã trả lời đúng câu ? Giải: Giả sử bạn học sinh đó trả lời đúng 20 câu Như tổng số điểm bạn đạt là 10 20 = 200 (điểm) Nhưng trên thực tế 50 điểm nghĩa là còn thiếu: 200 – 50 = 150 (điểm) Sở dĩ hụt 150 điểm vì số 20 câu có số câu bạn trả lời sai Giữa câu trả lời đúng và câu sai chênh lệch là: 10 + 15 = 25 (điểm) Do đó, số câu trả lời sai là: 150 : 25 = (câu) Số câu bạn trả lời đúng là 20 – = 14 (câu) …………………………………… 24 Một số tiền 53000 đồng gồm 40 tờ giấy bạc loại 5000 đồng, loại 2000 đồng và loại 500 đồng Biết số tờ 500 đồng gấp số tờ 2000 đồng Hỏi loại có bao nhiêu tờ ? Giải: Giả sử tất 40 tờ là loại 5000 đồng thì số tiền là: 5000 40 = 200000 (đồng) Số tiền dôi là: 200000 – 53000 = 147000 (đồng) Để không thừa cần phải thay các tờ 5000 đồng các tờ 2000 đồng và 500 đồng Vì số tờ 500 đồng gấp lần số tờ 2000 đồng nên lần phải thay tờ 2000 đồng và tờ 500 đồng cho tờ 5000 đồng Mỗi lần thay vậy, số tiền giảm : 5000 – (2000 + 500.4) = 21000 (đồng) Số lần thay là : 147000 : 21000 = (lần) Vậy có tờ 2000 đồng và (7.4 =) 28 tờ 500 đồng) ……………………………………… GV: Lê Chí Tôn (18) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 25 Một lớp học có tổ Số người tổ Trong bài kiêmt tra, tất học sinh điểm điểm Tổng số điểm lớp là 336 Tính số học sinh điểm 7, số học sinh điểm Giải: Vì 336 : = 48, 336 : = 42 nên số học sinh là số nguyên khoảng 42 đến 48 Do số học sinh lớp chia hết cho nên lớp có 45 học sinh Nếu tất lớp điểm thì có : 45 = 315 (điểm) Số điểm hụt là : 336 – 315 = 21 điểm Sở dĩ hụt là học sinh lớp bị hụt điểm Vậy có 21 học sinh điểm Số học sinh điểm là : 45 – 21 = 24 (bạn) ………………………………………………………………………………… Phần II: TÍNH CHIA ĐÚNG CỦA CÁC SỐ NGUYÊN SỐ NGUYÊN TỐ - BSCNN - USCLN I Tính chia hết các số nguyên: Định nghĩa: a gọi là chia hết cho b nào đạt ba điều kiện sau: * a = bq (r = 0) * a = kb (k là số nguyên, a là bội b) a b= k (k là số nguyên, b là ước a) * Đặc biệt : Số chia hết cho tất các số Tính chia hết: a Hai số a và a/ chia đúng cho d thì tổng chúng chia hết cho d Chứng minh : ± a/ = d ( q ±q / ) / / Vì a = dq và a = dq nên a Hệ quả: Một tổng đại số chia hết cho số số hạng tổng chia hết cho số đó b Tích nhiều số chia hết cho số thừa số tích chia hết cho số đó Hệ quả: a Md Þ ka Md (Béi sè cña a Md) a Md Þ a m Md GV: Lê Chí Tôn (19) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi c Nếu hai số a và b chia hết cho m, số không chia hết cho m thì a + b và a – b đề không chia hết cho m Nếu tổng hiệu hai số chia hết cho m và hai số chia hết cho m thì số còn lại chia hết cho m Quy ước: Chia hết: “M ” Không chia hết: “M” Điều kiện chia hết: a Chia hết cho và 5: * Nhận xét: Số dư phép chia số nguyên cho và số dư phép chia chữ số cuối cùng bên phải số đó cho và VÝ dô: abc = 100a + 10b + c = BS5 + BS5 + c abc = 100a + 10b + c = BS2 + BS2 + c Nh vËy abc vµ c chia cho hoÆc chia co cã cïng sè d VËy: Muèn abc chia hÕt cho vµ th× c chia hÕt cho vµ * Ta có điều kiện: - Một số chia hết cho chữ số tận cùng chia hết cho2 - Một số chia hết cho và 25 số hợp hai chữ số tận cùng bên phải số đó chia hết cho và 25 - Một số chia hết cho và 125 số hợp ba chữ số tận cùng bên phải số đó chia hết cho và 125 - Một số vừa chia hết cho và thì chia hết cho 10 - Một số vừa chia hết cho và 25 thì chia hết cho 100 - Một số vừa chia hết cho và 125 thì chia hết cho 1000 b Chia hết cho và 9: * Nhận xét: Số dư phép chia số nguyên cho và số dư phép chia tổng các chữ số số đó cho và Thật vậy: 10 = = = Bs9 + = Bs3 + 100 = 99 = = Bs9 + = Bs3 + 10n = 99 + = Bs9 + = Bs3 + Vì số abcd = 1000a + 100b + 10c + d = = a(Bs9 + 1) + b(Bs9 + 1) + c(Bs9 + 1) + d = aBs9 + a + bBs9 + b + cBs9 + c + d = Bs9(a = b = c) + a = b = c = d = Bs9 + (a + b + c + d) * Điều kiện: Một số nguyên chia hết cho và tổng các chữ số nó chia hết cho và * Lưu ý: - Một số chia hết cho và thì chia hết cho 18 - Một số chia hết cho và thì chia hết cho 6, chia hết cho và thì chia hết cho 18 - Một số chia hết cho và thì chia hết cho 15, chia hết cho và thì chia hết cho 45 GV: Lê Chí Tôn (20) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi c Chia hết cho 11: Trong số nguyên N gọi L là tổng các chữ số hàng lẻ (Kể từ phải sang trái) và C là tổng các chữ số hàng chẵn (Kể từ phải qua trái), thì số dư phép chia N co 11 số dư hiệu (L – C) hay (C – L) ch 11 Thật vậy: 102 = 99 + = Bs11 + 104 = 999 + = Bs11 + 102n = Bs11 + Mặt khác: 102n+1 = 102n.10 = Bs11 – Vì ta có số : abcdef = a.105 + b.104 + c.103 + d.102 + e.10 + f = a(Bs11 -1) + b(Bs11 + 1) + c(Bs11 - 1) + d(Bs11 + 1) + e(Bs11 - 1) + f ù é ù = é ëBs11+( f + d + b ) û- ëBs11+ ( a + c + e) û ù = Bs11 + é ë( f + d + b) - ( a + c + e) û * Điều kiện: Một số nguyên chia hết cho 11 hiệu tổng các chữ số hàng lẻ với tổng các chữ số hàng chẵn chia hết cho 11 Lưu ý : - Một số nguyên chia hết cho và 11 thì chia hết cho 22 - Một số nguyên chia hết cho và 11 thì chia hết cho 33 - Một số nguyên chia hết cho và 11 thì chia hết cho 55 - Một số nguyên chia hết cho và 11 thì chia hết cho 99 ……………………………………………………………………… Bài tập áp dụng: Chứng minh (a3 – a) chia hết cho Giải: Ta thấy a – a = a(a2 -1) = a.(a + 1)(a – 1) = (a – 1)a(a + 1) Đây là tích ba số tự nhiên liên tiếp đó có ít là thừa số là bội Nghĩa là: (a3 – a) chia hết cho ………………………………… Chứng minh (2n + 1)2 – chia hết cho Giải: Ta có (2n + 1)2 – = 4n2 + 4n + – = 4n2 + 4n = 4n(n + 1) Đây là tích thừa số đó có thừa số và thừa số còn lại là hai số nguyên liên tiếp, cho nên tích trên vừa chia hết cho vừa chia hết cho Do đó (2n + 1)2 – chia hết cho ………………………………… GV: Lê Chí Tôn (21) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Cho số x chia hết cho Hãy tìm số ? Giải: ( + x + 2) M3 Û ( + x) M3 Mµ x ³ vµ x £ nªn ta sÏ cã: ìï x = Þ ( + 1) = M3 ïï ( + x) M3 Û ïí x = Þ ( + 4) = M3 ïï ïï x = Þ ( + 7) = 12 M3 ïî 3x2 M3 Û VËy c¸c sè cÇn t×m lµ: 312; 342; 372 Tìm số 80x2 , biÕt r»ng chia cho 11 cßn d Giải: 80x2 = Bs11 + => 80x2 + = Bs11 = 80x6 Vậy theo điều kiện chia hết cho 11 ta có: (8 + x) – (0+ 6) = 11k (k nguyên) hay + = 11k hay x = 11k – Vì £ x £ nªn k = th× x = Số phải tìm là: 8092 ……………………………………… 8+x–6=x Tỡm số 742 x, biết số đó chia hết cho và Giải : * 742x M4 nªn 2x M4 vµ 2x cã thÓ lµ: 20; 24; 28 Tøc lµ x = 0; 4; * 742x M3 nªn (7 + + + x) M3 => 13 + x = Bs3 => x = Bs3 -1= Bs3 + = 3k +2 Mµ £ x £ nªn k = => x =2 k = => x = k = => x = So s¸nh c¶ hai ®iÒu kiÖn th× ta thÊy r»ng chØ cã x = lµ thÝch hîp VËy sè ph¶i t×m lµ 7428 ………………………………………… Cho số N gồm chữ số khác không Biết chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục a Chứng minh N chia hết cho 11 b Tính N N chia hết cho và Giải: a Theo đề bài ta biểu diễn số phải tìm sau: abba Khi đó muốn cho abba chia hết é( a ê cho 11 thì ë + b) - ( b + a ) ù ú M11 û GV: Lê Chí Tôn (22) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thật vậy: (a + b) – (b + a) = a + b – b – a = Mà M 11 nên abba M 11 b - N chia hết cho nên chữ số cuối cùng bên phải a = 5, theo điều kiện bài là a khác nên a = số phải tìm có dạng: 5bb5 - N chia hÕt cho nªn ( + b + b + 5) M9 Þ ( 10 + 2b) M9 Û ( + b) M9 Û ( + b) M9 mµ b £ nªn chØ cã tr êng hîp b = VËy sè ph¶i t×m lµ: 5445 ………………………………………… Tìm số tự nhiên n cho: a) n + chia hết cho n – b) 2n + chia hết cho n + c) 2n + chia hết cho – n d) 3n chia hết cho – 2n e) 4n + chia hết cho 2n + Giải: Căn vào tính chất chia hết tổng, hiệu, tich tâ có thể rút phương pháp chung để giải loại toán này dựa vào nhận xét sau đây: * Nếu A MB th× (mA ± nB)MB (m, n Î N ) a) (n + 2) M(n – 1) suy [(n + 2) – (n – 1)] M(n – 1) hay M(n – 1) Do đó (n -1) phải là ước Với n – = ta suy n = Với n – = ta suy n = Vậy với n = n = thì n + chia hết cho n – b) (2n + 7) M(n + 1) => [(2n + 7) – 2(n + 1)] M(n + 1) => M(n + 1) Với n + = thì n = Với n + = thì n = Số n phải tìm là c) (2n + 1) M (6 – n) => [(2n + 1) + 2(6 - n)]M (6 – n) => 13 M(6 – n) Với – n = thì n = Với – n = 13 thì không có sô tự nhiên nào thỏa mãn Vậy với n = thì 2n + chia hết cho – n d) 3n M(5 – 2n) => [2.3n + 3(5 – 2n)] M((5 – 2n) => 15 M (5 – 2n) Với – 2n = thì n = Với – 2n = thì n = Với – 2n = thì n = Với – n = 15 thì không có số tự nhiên n nào thỏa mãn GV: Lê Chí Tôn (23) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Vậy với n lấy các giá trị 0, 1, thì 3n chia hết cho – 2n e) Ta thấy với số tự nhiên n thì 4n + = 2(2n + 1) + là số lẻ và 2n + = 2(n + 3) là số chẵn Một số chẵn không thể là ước số lẻ Vậy không thể có số tự nhiên n nào để 4n + chia hết cho 2n + ………………………………………… Với a, b là các chữ số khác 0, chứng minh: (abab - baba)M9 vµ 101 (a > b) Giải: abab - baba = (1000a + 100b + 10a + b) - (1000b + 100a + 10b + a) = (1000 + 10 - 100 - 1)a - (1000 + 10 - 100 - 1)b = 909a - 909b = 101.(a - b) Vậy: với a > b ta có (abab - baba)M9 vµ 101 ………………………………………… Tìm tất các số có chữ số có dạng : 34x5y mà chia hết cho 36 Giải: Vì 36 = 9.4 nên số 34x5y vừa chia hết cho vừa chia hết cho Để 34x5y M9 ta ph¶i cã (3 + +x + + y) M9 Vì x và y là các chữ số nên có thể x + y = x + y = 15 Mặt khác 34x5y M4 nªn 5y M4, suy y = hoÆc y = Kết hợp với các điều kiện trên, ta có : Nếu y = thì x = – = Nếu y = thì x = – = x = 15 – = Vậy các số phải tìm là : 34452 ; 34056 ; 34956 …………………………………… 10 Cho A = 9999931999 – 555571997 Chứng minh A chia hết cho Giải: Để chứng minh A chia hết cho 5, ta xét chữ số tận cùng A việc xét chữ số tận cùng số hạng Ta có: 31999 = (34)499.33 = 81499.27 Suy số bị trừ có số tận cùng Mặt khác: 71997 =(74)499.7 = 2041499.7 Do đó số trừ có tận cùng bằn Vậy A tận cùng (7 – 7=) 0, nên A chia hết cho 11 Cho số tự nhiên A người ta đổi chỗ các chữ số A để số B gấp ba lần số A Chứng minh số B chia hết cho 27 GV: Lê Chí Tôn (24) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Giải: Theo đầu bài ta có B = 3A (1) , suy B M3, tổng các chữ số B và A (vì người ta đổi chỗ các chữ số) nên ta có A M3 (2) Từ (1) và (2) suy B M9 Nếu thì A M9 (vì các chữ số chúng nhau) (3) Từ (1) và (3) ta suy B M27 …………………………………… 12 Cho B = Giải: 88 .88 144424443 - + n Chøng minh r»ng B chia hÕt cho n ch÷ sè B = 88 - 8n + 9n - { n Ta viết B dạng sau: = 8(11 { - n) + (n - 1) n Vì n chính là tổng các chữ số số Từ đó suy B chia hết cho …………………………………… 11 { nªn 11 { - n chia hÕt cho n n 13 Tìm số tự nhiên viết chữ số 1, hai chữ số 2, ba chữ số 3, … , chữ số cho số này lại lập phương số tự nhiên Giải: Giả sử số tự nhiên N viết chữ số 1, chữ số 2, chữ số 3,… ,9 chữ số 9.Như tổng các chữ số số N bằng: + 2.2 + 3.3 + ….+ 9.9 = 285 Số 285 chia hết cho không chia hết cho Nếu thì N không thể là lập phương số tự nhiên (vì n = a3 M3 thì là số nguyên tố nên a3 ch hết cho 3.3.3.) Vậy không có số tự nhiên nào thỏa mãn điều kiện đầu bài ……………………………………… 14 Có bao nhiêu số có chữ số thỏa mãn hai điều kiện sau: a Chia hết cho b Có ít chữ số Giải: Số các số có chữ số là: 99999 – 10000 + = 90000 (số) Cứ ba số tự nhiên liên tiếp lại có số chia hết cho nên số các số có chữ số chia hết cho là: 90000 : = 30000 (số) Bây giờ, ta tìm các số có chữ số chia hết cho mà không có chữ số nào Có cách chọn chữ số hàng vạn (chọn các số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9) Có cách chọn chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục (chọn các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9) GV: Lê Chí Tôn (25) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Có cách chọn chữ số hàng đơn vị (phụ thuộc vào tổng các chữ số bốn hàng trên để chia hết cho nên là 0, 3, là 1, 4, là 2, 5, Do đó số các số có chữ số chia hết cho mà không có chữ số nào là: 8.9.9.9.3 = 17496 (số) Vậy số các số có chữ số thoả mãn hai điều kiện đầu bài là: 30000 – 17796 = 12504 (số) 15 Chứng minh A = 10n + 18n – chia hết cho 27 Giải: Ta viết số A dạng sau: A = 10n + 18n – = 10n – – 9n + 27 n = 99 9n + 27n n = 9(11 n) + 27n n n lµ tæng c¸c ch÷ sè cña 11 nªn (11 n) n n Từ đó suy A 27 với n tự nhiên …………………………………………………………………………… II SỐ NGUYÊN TỐ Định nghĩa : Số nguyên tố là số có hai ước số là và chính nó Lưu ý : - Hai số gọi là nguyên tố cùng UCLN chúng - Hợp số là số có từ ước số trở lên - Số chính phương là số bình phương các số tự nhiên Định lý và tìm các số nguyên tố : a Định lý : Muốn tìm các số nguyên tố không lớn số N nào đó Ta viết tất các số tự nhiên từ đến N Sau đó bỏ số và các bội số các số nguyên tố không lớn N , trừ chính số đó Những số còn lại là số nguyên tố b Định lý : Muốn phát xem số N cho trước có phải là số nguyên tố không ta làm sau : Lần lượt đem chia N cho các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn và dừng lại thương số nhỏ số chia Nếu các phép chia trên tất các số dư khác không thì N chắn là số nguyên tố Phân tích số thừa số nguyên tố: a Định lý: Mọi số phức hợp phân tích nhiều thừa số nguyên tố GV: Lê Chí Tôn (26) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Phép phân tích này có cách độc b Định lý điều kiện chia hết: Nếu số A chi hết cho số B thì số nguyên tố có B phải có A, số mũ số nguyên tố đó ít phải số mũ cữ số đó B , , , Tæng qu¸t: A = a m bnc p vµ B = a m bn c p ( a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tè vµ nÕu m ³ m,; n ³ n,; p ³ p, th× A MB) Chú ý : * Nếu số chia hết cho hai số nguyên tố cùng thì nó chia hết cho tích hai số đó * Nếu tích ab chia hết cho m, đó b và m là hai số nguyên tố cùng thì a chia hết cho m c Cách làm: Muốn phân tích số N thừa số nguyên tố, ta chia N cho số nguyên tố từ đến (không theo thứ tự), đến nào thương là thì dừng lại Ví dụ: 10200 510 255 85 17 1020 = 22.3.5.17 Cách tìm các ước số số N: a b g * Ta phân tích số đó thừa số nguyên tố: N = a b c )( ) )( * Số các ước số N là tích x = ( * các ước số có giá trị theo công thức: P = (1 + a + a2 + a3 + + a a )(1 + b + b2 + b3 + + b a )(c + ) a + b + g + Bài tập áp dụng: Phân tích các số sau thừa số nguyên tố: 10200; 11274 Giải: 10200 5100 GV: Lê Chí Tôn 11274 5637 (27) 2550 1275 255 51 17 5 17 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 1879 10200 = 23.3.52.17 Tìm xem 72 có bao nhiêu ước số? Liệt kê các ước số đó ? Giải: Áp dụng định lý tìm ước số số ta làm sau: a b + Phân tích 72 thừa số nguyên tố: 72 = 23 32 = + Vậy số ước 72 là: n = (a +1)( b + 1) = (3 + 1) (2 + 1) = 12 ( aa ) + b + b2 + + bb + Giá trị các ước số dó là : P = (1 + a + a2 +….+ Ta có P = (1 + + 22 + 23).(1 + + 32) = (1 n+ + + 8).(1 + + = + + + + + 18 + + 12 + 36 + + 24 + 72 Vậy các ước số là 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 24, 36, 72 và …………………………………… ) Tìm số nhỏ có 15 ước số ? Giải : a b g Gọi số nhỏ đó là N ; Ta thấy N = a b c và số ước số tính công thức: n = ( a + 1) ( b+1) ( g+1) Ở đây số US 15.1 3.5 5.3 (a +1) ( b + 1) Û a = 14 vµ b = Vậy: - N = 15.1 thì n = và số đó là: 14 14 N = = = 16348 (a +1) ( b + 1) Û a = vµ b = - Nếu n = 3.5 thì n = và số đó là : N = 22.34 = 324 - Nếu n = 5.3 thì n = (a +1) ( b + 1) Û a = vµ b = và số đó là : N = 24.32 = 144 So sánh ba số vừa tìm thì số 144 thỏa mãn là nhỏ và bảo đảm có 15 ước số ……………………………………… Cho số N phân tích thừa số nguyên tố có dạng: N = 2x.5y, biết N có 15 ước số Nhưng đem chia cho thì số cjỉ còn ước số Tìm số N ? Giải : Theo bài ta có: N = 2x.5y (1) n = (x + 1)(y + 1) = 15 (2) N th× n, = GV: Lê Chí Tôn (3) (28) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Từ (2) ta có xy + x + y = 14 (4) N 2x 5y 2x 5y = = = 2x-3.5y Mặt khác và n = (x – + 1).(y + 1) = => (x – 2)(y + 1) = => xy + x – 2y – = => xy + x – 2y = Trừ vế (4) và (5) cho ta có : xy + x + y = 14 xy + x - 2y = 3y = (5) y=2 Thay y = vào (5) ta có : 2x + x – = => 3x = 12 => x = Do đó N = 2x.5y = 24.52 = 16.25 = 400 ………………………………………… Hãy chứng tỏ số nguyên nào tạo thành ba chữ số giống chia hết cho 37 Giải : Gäi sè ph¶i t×m lµ xxx ta cã xxx = 100x + 10x + x 111x = 3.37x ®iÒu nµy chøng tá xxx M37 ………………………………………… Cho số N phân tích thừa số nguyên tố có dạng N = x.3y đem chi N cho thì số có 10 ước số Nếu đem chia N cho thì số có ước số Tìm số N ? Giải: Theo bài ta có : N 2x 3y = = 2x - 1.3y Þ n = ( x - + 1) ( y + 1) = 10 Û xy + x = 10 (1) 2 * N 2x 3y = = 2x - 1.3y - Þ n = ( x - + 1) ( y -1 + 1) = Û xy = (2) 2.3 *6 Từ (1) và (2) ta suy x = và y = Vậy N = 22 34 = 4.81 = 324 ………………………………………… Một số có chữ số giống có hai ước số là số nguyên tố Hãy tính số đó và các ước số nguyên tố nó ? Giải: Ta biểu diễn số N đó là aaaa = 1000a + 100a + 10a + a = 1111a = 101.11.1 => a = vµ sè N = 1111 C¸c íc sè cña nã lµ: 11 vµ 101 GV: Lê Chí Tôn (29) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Tìm tất các số nguyên tố p và q cho các số 7p + q và pq + 11 là số nguyên tố Giải: Nếu pq + 11 là số nguyên tố thì nó phải là số lẻ (vì là số nguyên tố lớn 2) Suy ít các số p và q phải chẵn tức là a) Giả sử p = Khi đó 7p – q = 7.2 + q = 14 + q pq + 11 = 2q + 11 Nếu q = thì 14 + q = 14 + = 16 là hợp số Nếu q là số nguyên tố lớn thì nó không chia hết cho Với q = 3k + thì 14 + q = 14 + 3k + = 3(k + 5) là hợp số Với q = 3k + thì 2q + 11 = 2(3k + 2) + = 6(k + 1) là hợp số Vậy p = và q = là đáp số cần tìm b) Giả sử q = Lập luận tương tự phần a), ta có đáp số là : p = , q = Như các số nguyên tố cần tìm là : p = ; q = và p = ; q = Chứng tỏ với số tự nhiên n khác thì số : 11 11 lµ hîp sè n ch÷ sè n ch÷ sè Giải: 11 11 = 11 00 11 n ch÷ sè n ch÷ sè (n + 1) ch sè n ch÷ sè (n + 1) ch sè = 11 (10n + 1) (n + 1) ch sè Số đã cho đ ợc phân tích thành tích hai thừa số lớn VËy nã lµ hîp sè 10 Tìm tổng tất các số có ba chữ số mà số là tích số nguyên tố khác Giải: Ta bắt đầu xét các thừa số nguyên tố nhỏ Vì 2.3.5 = 30 ; 2.3.7 = 42 ; 2.3.11 = 66 nên các thừa số thứ tư có thể là các số nguyên tố sau đây : 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 Đối với tích thứ hai, ta có : 11, 13, 17, 19, 23 Đối với tích thứ có số là Như tổng tất các tích trên : 30.(7 + 11 + 13 + 17 = 19 + 23 + 29 + 31) + 42.(11 + 13 + 17 + 19 + 23) + 66.13 = 8814 Vì 2.3.13.17 > 1000 nên các trường hợp khác mà hai thừa số đầu 2.3 không thoả mãn đầu bài Với hai thừa số đầu là và ta có : 2.5.7.11.= 770 và 2.5.7.13 = 910 Vì 2.7.11.13 và 3.5.7.11 lớn 1000 nên không còn bốn số nguyên tố nào khác để tích chúng là số có ba chữ số GV: Lê Chí Tôn (30) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Vậy tổng phải tìm là : 8844 + 770 + 910 = 10524 ……………………………………………………………… III ƯỚC SỐ CHUNG LỚN NHẤT – BỘI SỐ CHUNG NHỎ NHẤT Ước số chung lớn nhất: ƯSC: a Khi nhiều số cùng chia đúng cho d, thì ta nói d là ước số chung các số Ví dụ: 18 và 30 có các ước số chung là 1, 2, 3, Lưu ý: là ước chung tất các số b Ước số chung lớn (USCLN): Ước chung lớn nhiều số là số lớn chia hết cho các số Ví dụ: Trong các ước chung 18 và 30 : 1, 2, 3, thì là số lớn nên là USCLN 18 và 30 Kí hiệu: USCLN a và b là d viết là: USCLN(a,b) = d Ước số chung lớn số: (ta khảo sát USCLN a và b với a > b) a Trường hợp chia hết: a Mb hay a = bq - Như rõ ràng US b là US bq tức là a - Ta lại thấy b là US a b là USCLN a và b Định lý 1: Khi a chia hết cho b thì: * Tập hợp các USC a và b là tập hợp các ước số b * USCLN a và b là b b Trường hợp chia không hết: a = bq + r hay a – bq = r Vậy US a và b là US a và bq nên là US a – bq = r Mọi US b và r tất nhiên là US bq và r nên là US bq + r = a Nên ta có định lý 2: Khi a không chia hết cho b thì: * Tập hợp các USC a và b là tập hợp các ước số số dư áp chót r n phép chia liên định luật Ơ Cơ lit * Ước số chung lớn a và b là số dư rn c Chú ý: Thật tính Ơ Cơ lit có nội dung sau: Khi chia hai số a và b ta số dư r, lấy b chia cho r ta số dư r 1, lấy r chia cho r1 số dư r2, lấy r1 chia cho r2 số dư r3, …… Vì số dư nhỏ dần nên đến lúc nào đó số dư lúc đó số dư đứng trước số dư phép chia trên gọi là số dư áp chót rn (trong định luật Ơ Cơ lit) Ví dụ: Tìm USCLN 19521 và 1357 ? * Ta có 19521 : 1357 = 14 dư 253 1357 : 253 = dư 92 253 : 92 = dư 69 92 : 69 = dư 23 69 : 23 = dư USCLN (19521, 1357) = 23 * Khi thực hành ta đặt: GV: Lê Chí Tôn (31) Thương số Phép chia Số dư Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 14 19521 1357 253 92 69 253 92 69 23 USCLN (19521, 1357) = 23 23 d Cách tìm USCLN số: Có cách Cách 1: * Nếu a chia hết cho b thì b là USCLN a và b * Nếu a không chia hết cho b thì USCLN a và b là số dư áp chót phép chia a cho b thuật tính Ơ Cơ lit Cách 2: Phân tích hai số thừa số nguyên tố lấy tích tất các thừa số chung Mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ các số đã cho đ Cách tìm USCLN nhiều số: Có cáh Cách 1: Tìm USCLN cặp số, sau đó tìm USCLN cặp đó a{ bc{ d d1 d2 1444 4244443 d Ví dụ: Cách 2: Tìm USCLN số đầu bao nhiêu tìm USCLN USCLN đó với số thứ ……Cho đến USCLN USCLN lần thứ n – với số cuối cùng Ví dụ: a{ b c d d412443 14 d42244443 1444 d3 e Tính chất USCLN: * T/c 1: Tập hợp các USC nhiều số a, b, c, d …… là tập hợp các ước số USCLN * T/c 2: Khi nhân (hay chia đúng) nhiều số a, b, c, d …… cho cùng số m thì USCLN chúng nhân hay chia cho m * T/c 3: Điều kiện có và đủ để d là USCLN nhiều số a, b, c, d,… Là thương số a b c d ; ; ; d d d d …… nguyên tố cùng Chú ý: Khi chia nhiều số a, b, c, d … cho USCLN chúng thì nhiều số nguyên tố cùng f Ứng dụng vào tính chia hết: * Định lý 1: Nếu số N chia hết cho nhiều số a, b, c, nguyên tố cùng thì N chia hết cho tích a.b.c Ví dụ: N M2 và thì N M6 N M3 và thì N M12 N M3 và thì N M15 GV: Lê Chí Tôn (32) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi * Định lý 2: Nếu số N nguyên tố với nhiều số a, b, c thì N nguyên tố với a.b.c => (a và b nguyên tố cùng thì am và bm nguyên tố cùng ………………………………………………………………………………… Bội số chung nhỏ : a Bội số chung : Bội số chung nhiều số là số chia hết cho các số đó Ví dụ : 48 là BSC 6, 12, 16 b Bội số chung nhỏ (BSCNN) : BSCNN nhiều số là số nhỏ chia hết cho các số đó (Ký hiệu là D) Bội số chung nhỏ số: a Định lý : Khi hai số A và B coc BSCNN là D và USCLN là d thì : Dxd=AxB b Cách tìm BSCNN hai số : ta làm theo cách D= A.B d Nếu d = thì D = A.B Cách 1: Dựa vào định lý trên : Cách 2: Phân tích các số dố thừa số nguyên tố, đem nhân tất các thừa số nguyên tố với nhau, thừa số với số mũ cao Ví dụ : / / / /æ ö A = aa bb.cg ; B = aa bb cg db çça > a / ; b > b / ; g > g/ ÷ ÷ ÷ è ø thì : a b g b/ D = a b c d c Cách tìm BSCNN cảu nhiều số : (Tương tự cách tìm USCLN nhiều số) d Tính chất BSCNN : * Ngoài các t/c tương tự t/c USCLN còn có tính chất sau : Điều kiện có và đủ để D là BSCNN nhiều số A, B, … Là các thương D D ; ; lµ nguyªn tè cïng A B Chú ý : Khi chia BSCNN nhiều số cho các số ấy, thì nhiều số nguyên tố cùng Bài tập áp dụng : Chứng minh hai số nguyên liên tiếp thì nguyên tố cùng Giải: Ta có n và n + là hai số nguyên liên tiếp => USCLN (n, n + 1) = d Ta thấy n Md và (n + 1) Md nên [(n + 1) – n] Md hay Md Û d = Vậy (n, n + 1) = nên n và n + nguyên tố cùng ……………………………………… Chứng minh 2752 và 221 là hai số nguyên tố cùng Giải: GV: Lê Chí Tôn (33) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 2752 và 221 nguyên tố cùng USCLN chúng là d = Vậy ta tìm USCLN 2752 và 221 Theo thuật toán Ơ Cơ lit ta có: 12 2752 221 100 21 16 100 21 16 USCLN (2752, 221) = nên 2752 và 221 nguyên tố cùng Chia 7600 và 629 cho số nguyên N thì các số dư là và Tính N Giải: N > (vì số dư là và 5) 7600 – = 7596 MN 629 – = 624 MN Vậy N là USC 7596 và 624 nên nó là US USCLN 7596 và 624 Ta tìm USCLN 7596 và 624 là 12 Các Ú 7596 và 624 là : 1, 2, 3, 4, 6, 12 Mà N > nên N = hay N = 12 ……………………………………… Tìm hai síi nguyên, biết tổng số chúng là 192 và USCLN là 24 ? Giải : Gọi A và B là là hai số phải tìm, a và b là các thương số chúng với 24 Ta có A = 24a ; b = 24b Hay A + B = 24(a + b) = 192 => (a + b) = 192 : 24 = A B = a, = b) = nªn (a, b) = 24 Mặt khác theo định lý thì : 24 ( Vậy: a = => = a = => b = (không hợp lý) a = => b = a = => b = (không hợp lý) Do đó số phải tìm là: a = 1, b = => A = 24 ; B = 168 a = 3, b = => A = 72 ; B = 120 …………………………………… Cho ba số chẵn liên tiếp, chứng minh tích ba số chia hết cho 48 Giải: Gọi 2n, 2n + 2, 2n + là ba số chẵn liên tiếp Ta có 2.(2n + 2)(2n + 4) = 8n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2) là tích ba số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho và số chia hết cho Suy n(n + 1)(n + 2) M8 Vậy ta có 8n(n + 1)(n + 2) M48 Tìm BSCNN 3080 và 1100 ? Giải : * Ta tìm theo cách : GV: Lê Chí Tôn (34) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 3080 1100 880 880 220 => d = (3080, 1100) = 220 220 3080.1100 =15400 220 Vậy : D = …………………………………… Tìm hai số A và B, biết USCLN và BSCNN 120 Giải : Gọi BSCNN A và B là D, USCNN A và B là d Ta có : A.B = D.d a = A vµ b = B th× a.b = A B = D.d = D = 120 = 20 d d d d d d2 Nếu Như a và b xẩy các trường hợp sau: ïìï a = í ïï b = 10 î ïìï a = ïì a = 20 ; ïí ; í ïï b = 20 ïï b = î î ïìï a = ïì a = ; ïí í ï ï Như vì (a, b) = nên có thể îï b = 20 îï b = ; ïìï a = 10 í ïï b = î ; ïìï a = í ïï b = î * A = ad = 1.6 = A = 20.6 = 120 hoÆc B = bd = 20.6 = 120 B = 1.6 = * A = ad = 4.6 = 24 A = 5.6 = 30 hoÆc B = bd = 5.6 = 30 B = 4.6 = 24 Suy ra: ; ì ïíï a = ïïî b = ………………………………… Tìm số nhỏ 400 mà chia cho 2, 3, 4, 5, dư Khi chia cho thì không còn dư Giải: N – = BSC 2, 3, 4, 5, Như N = BS BSCNN (2,3,4,5,6) = 60 Số đó có thể là : 61, 121, 181, 241, 301, 361 Căn theo điều kiện là N M7 nên ta có N = 301 ……………………………………… Tìm hai số biết tổng chúng là 288 và USCLN chúng là 24 Giải: Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử a £ b ) Ta có a + b = 288 và (a,b) =24 Vì 24 là ƯSCLN a và b nên ta có thể viết a = 24a ,, b = 24 b, đó a, và b, là hai số tự nhiên , , nguyên tố cùng và a £ b Do đó : GV: Lê Chí Tôn (35) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi , 24a + 24b = 288 24(a, + b, ) = 288 a , + b ¢= 288 : 24 = 12 12 có thể là tổng hai cặp số nguyên tố cùng nhau: và 11, và Víi a, = 1, b, = 11 ta cã a = 1.24 = 24, b = 11.24 = 264 Víi a, = 5, b, = ta cã a = 5.24 = 120, b = 7.24 = 168 Hai số phải tìm là : 24 và 264, 120 và 168 ……………………………………… 10 Tìm hai số biết tích chúng là 4320 và BSCNN chúng là 360 Giải: Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử a £ b ), gọi d = (a, b) nên a = a’.d, b = b’.d đó (a’,b’) = Ta đã biết: a.b [a,b] = (a,b) Từ đó ta có a.b = a’.b’.d2 và [a,b] = a’b’d 4320 360 d= = 12 vµ a, b, = = 30 360 12 Theo đầu bài, ta suy ra: Đảo lại, (a’,b’) = và a’.b’ = 30 thì các số a = a ’.12 và b = b’.12 có tích 4320 và có BCNN là 360 Vậy cần tìm hai số a ’ b’ nguyên tố cùng ( a đê bđ) vẾ cọ tÝch bÍng 30 Ta cọ bảng sau: a’ b’ 30 15 10 a 12 24 36 60 b 360 180 120 72 Vậy các cặp số phải tìm là : 12 và 360, 24 và 180, 36 và 120, 60 và 72 ……………………………………… 11 Một số chia cho dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13 Hỏi số đó chia cho 1292 dư bao nhiêu? Giải: Gọi số đã cho là A Theo bài ta có: A = 4q1 + = 17q2 + GV: Lê Chí Tôn (36) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi = 19q3 + 13 (q1, q2, q3 Î N ) Nếu ta thêm vào số đã cho 25 thì ta có: A + 25 = 4q1 + + 25 = 4.(q1 + 7) = 17q2 + + 25) = 17.(q2 + 2) = 19q3 + 13 + 25 = 19.(q3 + 2) Như A + 25 đồng thời chia hết cho 4, 17, 19 Nhưng 4, 17, 19 là ba số đôi nguyên tố cùng nhau, suy A + 25 chia hết cho 4.17.19 = 1292 Vậy A + 25 = 1292.k (k = 1, 2, 3, 4,….) Suy A = 1292k – 25 = 1292 (k – 1) + 1267 = 1292 k’ + 1267 Do 1267 < 1292 nên 1267 là số dư phép chia số đã cho A cho 1292 ……………………………………… 12 Tìm hai số biết hiệu BSCNN và ƯSCLN chúng 18 Giải: Gị hai số phải tìm là a và b, ƯSCLN a và b là d Ta có a = a ’.d; b = b’.d (a’ và b’ là hai số nguyên tố cùng nhau) BCNN a và b là a’b’d Theo đầu bài ta có: a’b’d – d = 18 1+ 18 d (a’b’ – 1)d = 18 => a’b’ = Vì a’b’ là số tự nhiên nên d phải là ước 18 Không tính tổng quát, ta giả sử a b, a , b, Ta cã b¶ng sau: d a’b’ 19 10 18 a’ 19 10 b’ 1 1 1 a 19 20 10 21 24 27 36 b 18 13 Tìm tất các số lớn 10000 nhỏ 15000 mà chia chúng cho 393 chia chúng cho 655 số dư là 210 Giải: Gọi số phải tìm là A Theo đầu bài ta có: 10000 < A < 15000 (1) A = 393q1 + 210 (2) A = 655q2 + 210 (3) (q1, q2 N) Từ (2) và (3) ta suy A – 210 chia hết cho 393 và 655 tức là A – 210 chia hết cho [393,655] = 1965 Do đó A – 210 = 1965 q (q N), nên A = 1965q + 210 Từ (1) suy q có thể 5, 6, Với q = thì A = 1965.5 + 210 = 10035 GV: Lê Chí Tôn (37) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Với q = thì A = 1965.6 + 210 = 12000 Với q = thì A = 1965.7 + 210 = 13965 Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965 ……………………………… 14 Cho các số tự nhiên khác là a, b, c cho: p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b Chứng minh hai các số p, q, r phải Giải: Trong ba số tự nhiên a, b, c phải có ít hai số cùng tính chẵn, lẻ Giả sử hai số đó Vì c b cùng tính chẵn lẻ với b nên p = b c + a chẵn, p lại là số nguyên tố, đó p = 2, suy b = a = Khi đó q = a b + c = + c = c a + = ca + r Nếu hai số cùng tính chẵn lẻ là a và c b và c thì lý luận tương tự, ta suy ba số nguyên tố p, q, r phải có hai số … …………………………………………………………………………… Phần III: PHÂN SỐ I Các khái niệm bản: a lµ ph©n sè víi a lµ tö sè, b lµ mÉu sè (a, b N, b 0) b * Các số tự nhiên có thể coi là phân số có mẫu số a lµ ph©n sè tèi gi¶n nÕu a, b nguyªn tè cïng tøc lµ (a,b) = * b Các phân số chưa tối giản có phân số tối giản nó II Tính chất bản: a a.m a.n = = (m, n 0) b b.m b.n Ta áp dụng t/c này để rút gọn phân số a:n a = b:n b với n có thể là UCLN a và b (rút gọn lần để phân số tối giản) n có thể là các ước a và b (rút gọn nhiều lần) III Các cách so sánh hai phân số: 1) Qui đồng tử hay mẫu số: a Nếu hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số ớn thì phân số đó nhỏ b Nếu hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn thì phân số đó lớn 2) Phân số phần bù đến đơn vị: GV: Lê Chí Tôn (38) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hai phân số nhỏ đơn vị, phân số phần bù đến đơn vị phân số nào lớn thì phân số đó nhỏ (hai phân số phần bù đến đơn vị có tử số nhau) 3) Phân số trung gian thứ 3: Thông thường có hai cách sau: a Chọn phân số trung gian thứ ba có cùng tử số với hai phân số đã cho, cùng mẫu số với phân số còn lại b Chọn phân số trung gian thứ ba thể mối quan hệ tử số và mẫu số hai phân số IV Bài tập áp dụng: 12 13 vµ 47 So sánh hai phân số sau: 49 Giải: 12 12 12 lµm ph©n sè trung gian, ta cã: (1) 47 49 47 Ta chọn phân số 12 13 12 13 (2) nªn tõ (1) vµ (2) ta suy 47 47 49 47 Ta lại có: 15 24 vµ 97 So sánh hai phân số: 59 Giải: Ta thấy 59 gấp gần lần 15; 97 gấp lần 24 15 15 24 24 (1); 97 96 Ta có: 59 60 15 24 59 97 Từ (1) và (2) (2) a (a < b) b Cho phân số Cùng thêm m đơn vị vào tử số và mẫu số thì phân số lớn a hay bé b ? Giải: Cách 1: GV: Lê Chí Tôn a b-a 1 (phần bù đến đơn vị) b Nếu a < b thì: b (39) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi a+m b-a b-1 b-a b-1 b-a 1 víi ta ® îc b+m b b+m Khi đó : b + m b + m So sánh b a a+m Vậy: b b + m Cách 2: Qui đồng mẫu số: MSC là b(b + m) a a(b + m) ab + am b b(b + m) b(b + m) a + m b(a + m) ab + bm b + m b(a + m) b(b + m) ab + am ab + bm So s¸nh víi cã cïng mÉu sè b(b + m) b(b + m) NÕu a < b th× ab + am < ab + bm ab + am ab + bm a a+m VËy: hay < b(b + m) b(b + m) b b+m Cách 3: Nếu a < b thì am < bm => ab + am < ab + bm => a(b + m) < b(a + m) a a+m => b b + m …………………………………… n + 19 lµ ph©n sè tèi gi¶n Tìm tất các số tự nhiên n > để n - Giải: n +19 Vì n là số cần tìm có tử số và mẫu số nên cần biến đổi n - thành tổng các phân số cho n còn tử mẫu số n + 19 n - + 21 n - 21 21 1 n -2 n-2 n-2 n-2 n-2 n + 19 21 lµ ph©n sè tèi gi¶n th× ph¶i lµ ph©n sè tèi gi¶n n-2 Muốn n - hay 21 và n – là nguyên tố cùng nhau, mà 21 chia hết cho và nên (n – 2) không chia hết cho và n + 19 3k + vµ n 7k + (k N) th× tèi gi¶n N -2 Vậy n ………………………………………… Với giá trị nào số tự nhiên a thì: GV: Lê Chí Tôn (40) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 5a - 11 có giá trị lớn nhất, giá trị đó là bao nhiêu? 4a - 13 Giải: a Biết b có giá trị lớn tử số a không đổi, mẫu số b là nhỏ 5a - 11 cho a chØ cã ë mÉu sè 4a 13 Vậy cần biến đổi 5a - 11 4(5a - 11) 20a - 44 5(4a - 13) + 21 21 4a - 13 4(4a - 13) 4(4a - 13) 4(4a - 13) 4(4a - 13) 21 5a - 11 Muốn 4a - 13 có giá trị lớn thì ta cần tìm với giá trị nào a để 4(4a - 13) có giá trị lớn 21 Muèn cã gi¸ trÞ lín nhÊt th× a ph¶i cã gi¸ trÞ nhá nhÊt 4(4a - 13) Giá trị nhỏ a để phép trừ 4a – 13 thực là a = Khi đó 5a - 11 5a - 11 3, đó là giá trị lớn 4a - 13 4a - 13 ……………………………………… 2.4 2.4.8 4.8.16 8.16.32 Tính giá trị phân số: 3.4 2.6.8 4.12.16 8.24.32 Giải: Ta thấy tử và mẫu phân số là tổng bốn số hạng, số hạng là tích ba thừa số Ta có: 2.4 2.4.8 4.8.16 8.16.32 1.2.4 1.2.4.2.2.2 1.2.4.4.4.4 1.2.4.8.8.8 3.4 2.6.8 4.12.16 8.24.32 = 1.3.4 1.3.4.2.2.2 1.3.4.4.4.4 1.3.4.8.8.8 1.2.4(1 23 43 83 ) 3 1.3.4(1 ) = …………………………………… Tìm phân số tối giản biết giá trị nó không thay đổi cộng tử số với và mẫu số với Giải: a a a+6 Suy ra: b b b + Gọi phân số cần tìm là Theo đầu bài ta có: a A(b + 8) = b(a + 6) => ab + 8a = ab + 6b => 8a = 6b => b GV: Lê Chí Tôn (41) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Vậy phân số đã cho là ……………………………………… a a+b tèi gi¶n, h·y gi¶i thÝch còng tèi gi¶n b Cho phân số b Giải: a+b kh«ng tèi gi¶n th× a + b vµ b cã UCLN = d > b Giả sử Suy (a + b) chia hết cho d và b chia hết cho d nên (a + b) – b chia hết cho d đó a chia hết cho d Điều đó có nghĩa a kh«ng tèi gi¶n (®iÒu nµy tr¸i víi ®Çu bµi) b là a và b cùng có UC là d khác 1, tức là phân số a+b lµ ph©n sè tèi gi¶n Vậy b ………………………………………… Chứng minh phân số sau tối giản với n là số tự nhiên lớn 0: Giải: 8n + 6n + 8n + Giả sử a là số tự nhiên lớn 0, phân số 6n + không tối giản thì ƯCLN (8n + 5, 6n +4) = d > Suy (8n + 5) d và (6n + 4) d Do đó [4(6n + 4) – 3(8n + 5)] d, mà [4(6n + 4) – 3(8n + 5)] = d vô lý 8n + lµ ph©n sè tèi gi¶n 6n + Vậy ……………………………………… 4n + 10 Tìm tất các số tự nhiên n lớn 0, để 5n + có thể rút gọn được? Giải: 4n + cã thÓ rót gän ® îc th× 4n + vµ 5n + 5n + có ƯCLN là d > 1, ta (4n +5) d và (5n + 4) d, đó (20n + 25) d (1) và (20n + 16) d (2) NÕu GV: Lê Chí Tôn (42) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Từ (1) và(2) ta d, phân số rút gọn thì tử số và mẫu số chia hết cho Vì (5n + 4) và (4n + 5) chia hết cho nên (n – 1) hay n = 3k + (k 0) ………………………………… n 2n lµ sè tù nhiªn n 11 Tìm tất các số tự nhiên n để: Giải: n 2n n (n - 2) + n n - 3 = n2 n-2 n-2 n-2 n-2 n-2 Muốn n - là số tự nhiên thì n – phải là ước 3, đó n – = n – = Vậy n = n = ……………………………………… 1 1 79 80 12 12 Hãy chứng tỏ rằng: 41 42 43 Giải: 1 đến cã 40 ph©n sè 80 Ta thấy từ 41 Tất các phân số trên có tử số là Ta có thể nhóm các phân số thành nhóm dựa vào kiến thức so sánh các phân số có tử số giống 1 1 79 80 Vậy: 41 42 43 1 1 1 1 59 60 61 62 79 80 = 41 42 (1) 1 1 vµ (2) 41 60 61 80 Vì 1 1 1 1 60 60 80 80 80 80 Ta lại có: 60 60 20 20 1 (3) 60 80 12 12 = 1 1 79 80 12 Từ (1), (2), (3) ta được: 41 42 43 …………………………………… GV: Lê Chí Tôn (43) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 13 Tính giá trị biểu thức: 1 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) S = 1.2.3.4 2.3.4.5 Giải: Biến đổi phân số dạng tổng quát ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 3n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 3+n-n 3n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 1 n +3 n n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 1 1 n(n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3) Áp dụng kết này vào bài tập đã cho ta có: 1 1 1.2.3.4 1.2.3 2.3.4 1 1 2.3.4.5 2.3.4 3.4.5 1 1 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n(n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3) Cộng vế ta được: S= 1 1 1.2.3 (n + 1)(n + 2)(n + 3) a c vµ H·y chøng tá r»ng: d 14 Cho hai phân số b 4 a-b a b 4 c d c d Giải: Tõ a c a b a-b a b a-b ta cã b d c d c - d Vì c d c - d nên phân số nhân với chính thân nó lần ta được: a4 b4 a - b = = c4 d c - d GV: Lê Chí Tôn (1) (44) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 4 4 a b a b = = 4 c + d (2) Mà c d 4 a-b a b 4 c d c d Từ (1) và (2) ta có a b a + b2 a th× b c2 c 15 Hãy chứng tỏ b c Giải: a b a a b b a b2 a b2 suy = b b c c b c b c2 Từ b c a b suy b ac Từ b c a + b2 b2 a + b2 a.c a , thay b a.c vµo ta cã: 2 b c c b c c c Từ ……………………………………………………………………………… Phần IV MỘT SỐ VẤN ĐỀ CÓ TÍNH CHẤT SUY LUẬN LÔGÍC I Nguyên lý phép đếm – Hoán vị - chỉnh hợp: Nguyên lý phép đếm – Hoán vị: a Nguyên lý phép đếm : Ví dụ: Giả sử phải mời người vào ghế có đánh số 1,2,3,4 Hỏi có cách mời ? Giải: + Với chỗ thứ nhất, ta có cách mời người này vào chỗ đó Giả sử A ngồi vào ghế, thì còn cách mời người còn lại vào chỗ còn lại Lúc này ta có 4.3 = 12 cách mời + Giả sử B ngồi vào ghế thứ 2, thì ta còn hai cách mời hai người còn lại vào hai ghế còn lại Lúc này ta có : 12 x = 24 cách mời + Giả sử C ngồi vào ghế thứ 3, thì còn cách để mời người còn lại vào ghế còn lại Vậy có tất : cách mời Một cách tổng quát : « Nếu có biến cố nào đó xảy n cách khác nhau, sau đó có biến cố thứ hai xẩy n2 cách khác nhau, biến cố thứ xẩy n cách khác nhau…… thì biến cố trên có thể xẩy n1.n2.n3…… cách khác » GV: Lê Chí Tôn (45) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Ví dụ: Có tờ giấy màu tím, đỏ, xanh, vàng dùng để cắt cái hoa : huệ, cúc, hồng, thược dược, lay ơn Hỏi có cách chọn màu cho loại hoa trên ? Giải : Theo nguyên lý phép đếm thì có : 5.4.3.2.1 = 120 (cách chọn) b Hoán vị : * Mấy lưu ý : + Giai thừa: Tích n số nguyên dương từ đến n gọi là « Giai thừa n » và kí hiệu là n!.(Có nghĩa là : 1.2.3.4.5 = 5! và 1.2.3.4.5 (n – 1).n = n! ) + Lưu ý: 0! = 1! = n! = (n – 1)!.n + Cách tính số trị biểu thức có giai thừa: 8! 6!.7.8 = = 7.8 = 56 6! 6! n! (n - p)! n! n.(n -1) (n - p + 1).(n - p - 1) .3.2.1 = n.(n - 1).(n - p - 1) (n - p)! (n - p).(n - p - 1) 3.2.1 ViÕt d íi d¹ng tÝch sè biÓu thøc: + Định nghĩa hoán vị: Cho n phần tử phân biệt và n chữ số phân biệt, đánh số từ đến n Mọi xếp n vật vào n chỗ gọi là hoán vị n vật phân biệt (Cho X là tập hợp hữu hạn n phần tử, dãy tất các phần tử X, xếp theo thứ tự định gọi là hoán vị X) Ký hiệu: Hoán vị n phần tử : Pn * Định lý: Hoán vị n phần tử giai thừa n Pn = n ! Chứngminh : Giả sử ta có n vật : a, b, c, , k và n chỗ Ta có bảng sau : n chỗ : 1.2.3.4.5.6.7.8.9 .(n – 1) n a a a a a .(a) (b) n hµng (c) kkkkkkkkk Trong chỗ thứ (số 1) ta có n cách chọn vật xếp vào chỗ này (chẳng hạn ta xếp (c) Ở chỗ thứ ta chọn rong (n – 1) vật để xếp vào chỗ này ta có thêm (n – 1) cách chọn Giả sử chọn (b) Lúc này ta có n.(n – 1) cách chọn GV: Lê Chí Tôn (46) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Giả sử sau tương tự còn chữ cuối cùng n ta còn cách chọn (a) vào chỗ đó Vậy theo nguyên lý phép đếm lúc này ta còn có : n.(n – 1) 2.1 cách chọn Ví dụ : P4 = ! = 4.3.2.1 = 24 P6 = ! = 6.5.4.3.2.1 = 720 c Chỉnh hợp: * Định nghĩa: Cho n phàn tử riêng biệt và P chỗ, đánh số từ tới P (P n), xếp P phần tử riêng biệt trên vào P chỗ gọi là chỉnh hợp n vật chập P không lặp lại ( Hoặc cho X là tập hợp hữu hạn gồm n phần tử Một dãy gồm m phần tử (m n) khác X xếp theo thứ tự định gọi là chỉnh hợp không lặp chập m n phần tử X) Chú ý: + Trong trường hợp P = n thì chỉnh hợp là hoán vị + Công thức chỉnh hợp n chập P là : A Pn là : AP Khi n = P thì : n = n ! * Biểu thức A Pn = A Pn n! n.(n - 1).(n - 2) (n - P + 1) (n - P)! Ví dụ: Có bao nhiêu cách để phân công học sinh học sinh vào tổ học tập ? Giải : Số cách chọn là chỉnh hợp chập A35 5! 5.4.3.2.1 60 (5 3)! 2.1 c Bài tập áp dụng Có điểm, không có điểm nào thẳng hàng Nối tất các điểm đó lại với ta có tất : a Bao nhiêu đoạn thẳng ? b Bao nhiêu tam giác ? Giải: a Cứ xem đoạn thẳng biểu diễn chữ số, ta qui ước điểm đó đánh dấu thứ tự 1, 2, 3, Số đoạn thẳng lúc này xem là việc nối số Tất có 12 đoạn thẳng, các đoạn thẳng kẻ đó đoạn kẻ lần (21, 12) nên kết 4.3 6 còn đoạn thẳng và tính theo công thức : 2.1 b Theo hình vẽ, ta thấy có 24 tam giác: 123 (132, 231, 213, 321, 312) 234 (243, 342, 324, 432, 423) 341 (314, 431, 413, 143, 134) 412 (421, 124, 142, 214, 241) GV: Lê Chí Tôn 4 (47) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Vì ta thấy có cách chọn đỉnh thứ tam giác Nếu có đỉnh thứ tam giác ứng với điểm đã cho thì ta có cách chọn điểm thứ hai và có đỉnh thứ nhất, đỉnh thứ hai thì còn cách chọn đỉnh thứ Như ta có : 4.3.2 = 24 tam giác Nhưng tam giác tính đi, tính lại 3.2.1 = (lần) Nên số tam giác vẽ là : 24 : = (tam giác) Tổ các nhà sinh vật trẻ lớp 6A có học sinh trai và học sinh gái Bạn tổ trưởng có thể sử dụng bao nhiêu cách phân công nhóm các bạn theo giõi thực nghiệm hàng ngày vườn trường gồm người đó trai, gái Giải: 3.2 3 c¸ch chän b¹n vµo tæ thùc nghiÖm * Đối với các bạn trai có: 1.2 4.3 6 c¸ch chän nhãm b¹n g¸i 1.2 * Đối với các bạn nữ có: Vậy số cách bạn tổ trưởng có thể chọn để phân công là : 3.6 = 18 (cách) II Quy nạp toán học : Mấy điểm cần lưu ý : Số các bài toán, số các phép tính là vô hạn Trước vào xét nội dung qui nạp toán học ta xét số công thức và dãy số đặc biệt nhằm mục đích áp dụng giải số bài toán và phép tính tương tự Công thức số số hạng tổng quát: * Thường ta hay gặp dãy số tự nhiên viết theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : 1, 2, 3, 4, 5… (kéo dài vô hạn) Vì người ta thường dùng chữ n để vị trí số đứng vị trí n dãy số trên và viết : 1, 2, 3, 4,… , (n – 1), n (Đặc biệt dãy số tự nhiên, n vừa vị trí, vừa giá trị - n luôn luôn nguyên và dương) * Ta lại chú ý tới dãy số 2, 4, 6, … (là số chẵn chia hết cho 2) Nên công thức dãy số vô hạn các chữ số chẵn này là : 2, 4, 6,….,(2n – 2),2n * Ta lại có dãy số 1, 3, 5, 7, … (mỗi số là số lẻ số chẵn đứng liền sau nó trừ số chẵn đứng liền trước nó cộng thêm tạo nên đó se có công thức : (2n – 1) hay (2n + 1) Và dãy số viết : 1, 3, 5, ….,(2n -1) viết : 1, 3, 5, 7, … ,(2n +1) 1 1 1, , , , ., , (n nguyªn) n-1 n * Ta lại có dãy số : Công thức tổng quát là : n GV: Lê Chí Tôn (48) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi * Dãy số 1, 4, 9, 16, 25,……, n mà số là bình phương số nguyên (số chính phương) có công thức tổng quát là : n2 , , , , * Dãy số cho ta thấy dạng khác : số hạng tử số là số vị trí số đó dãy còn mẫu số luôn tử số cộng với Công thức tổng quát n n vµ viÕt: , , , ., n+1 n+1 1 , , , 1.2 2.3 3.4 * Đây là dãy dạng khác : Dãy này cho ta nhận xét : Mỗi số hạng dãy là phân số có tử số luôn 1, còn mẫu số là tích hai thừa số : - Một thừa số là số thứ tự số đó dãy - Một thừa số thừa số thứ cộng với 1 1 1 và dãy đó là: , , , , 2.3 3.4 n(n + 1) Công thức tổng quát : n(n + 1) Qua các dãy số trên ta nhận thấy : + Các dãy số là vô hạn + Muốn lập dãy số, phải biết số hạng tổng quát (công thức tổng quát nó) Vì muốn phát công thức tổng quát ta phải: - Viết số hạng dãy (thường thường phần này bài luôn cho) - So sánh số hạng với số hạng đứng trước và số hạng đứng sau nó mà phát qui luật chung Phép quy nạp toán học: a Đặt vấn đề : Toán học là khoa học suy diễn đó người ta dùng phép suy diễn để từ số mệnh đề định thừa nhận gọi là tiền đề để suy mệnh đề cách chính xác mà không cần phải kiểm nghiệm thực tiễn Ta đã biết nhiều ngành toán học số mệnh đề thường là ít mệnh đề rút suy luận, suy diễn định lý, hệ quả.v.v thường thật phong phú, đó là sức mạnh phép suy luận, suy diễn Vì có nói đến dạy toán hay học toán thì không thêt không nói đến dạy học suy luận, suy diễn Vai trò suy luận, suy diễn quan trọng nào, việc nghiên cứu toán học thường theo lối kết hợp qui nạp và suy diễn Suy luận qui nạp thường gọi là qui nạp Có hai loại qui nạp : - Qui nạp hoàn toàn - Qui nạp không hoàn toàn b Phép qui nạp toán học: + Ta đã biết phép qui nạp không hoàn toàn cho kết luận không chắn đúng Vậy vấn đề đặt sau : Trong hoàn cảnh có thể khảo sát tất trường hợp xảy thì có cách nào để cóp thể kết luận tổng quát đúng ? GV: Lê Chí Tôn (49) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Vấn đề này nhiều có thể giải phương pháp suy luận đặc biệt gọi là phép chứng minh theo phương pháp qui nạp toán học, ta thường gọi tắt là phép qui nạp toán học + Nội dung phép qui nạp toán học : - Một phán đoán nào đó đã đúng với số tự nhiên n = a - Và từ chỗ giả sử phán đoán đúng với số tự nhiên n = k nào đó tùy ý thì suy phán đoán đúng n = k + ; Thì phán đoán đó đúng với số tự nhiên n a + Ví dụ minh họa: Tính tổng Sn n số lẻ đầu tiên ? (a) Khảo sát số trường hợp cụ thể : S1 = = 12 S2 = + = 22 S3 = + + = 32 Trên sở đó ta có thể đoán nhận kết cho các trường hợp tổng quát và cho phép ta đặt giả thiết Sn = n2 Nhưng đây là giai đoạn mò mẫm, khảo sát nhiều trường hợp niềm tin càng tăng lên Nhưng dù không cho phép ta kết luận đúng đắn chưa chứng minh cho trường hợp tổng quát (b) Chứng minh : - Với n = tổng trên gồm số hạng 1, giả thiết ta đúng n = ( S1 = ) - Ta giả sử giả thết ta đúng n = k, nghĩa là giả sử S k = k2 Ta hãy chứng minh giả thiết đúng với n = k + 1.Nghĩa là Sk+1 = (k+ 1)2 Thật : Ta có Sk+1 = Sk + (2k + 1) Nhưng Sk = k2 => Sk+1 = k2 + 2k + = (k+1)2 (ĐPCM) Vậy : Sn = n2 Lưu ý : Muốn chứng minh vấn đề qui nạp toán học, phải chứng minh hai phần, phần nào chứng minh trước không thể thiếu phần nào Nếu thiếu phần (b) thì rõ ràng không thể kết luận khái quát đúng vì đó là phép qui nạp không hoàn toàn trên sở khái quát số trương hợp Nếu thiếu phần (a) thì thiếu sở qui nạp và định dẫn tới sai lầm Bài tập áp dụng: Lập công thức tổng quát dãy số : 1, 8, 27, 64, 125,… Giải: Ta nhận thấy các số hạng dãy trên-Số hạng thứ chính là số vị trí nó (thứ nhất) Số hạng thứ hai chính là lập phương số thứ tự nó (8 = 23)… Công thức tổng quát : Gọi n là số các số tự nhiên thì công thức dãy là : n3 Ta viết 1, 8, 27, 64, 125, 216,… ,n3 ……………………………………… Tìm công thức tổng quát dãy số : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 21, 34, 55,…… Giải: GV: Lê Chí Tôn (50) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Ta thấy số hạng thứ đúng số thứ tự nó (1) - Số hạng thứ hai số thứ tự nó trừ (2 – 1) - Số hạng thứ ba là không đúng qui luật trên Số hạng thứ ba đúng số hạng thứ cộng với số hạng thứ Đến đây các số hạng lại theo đúng qui luật này 5=3+2 8=5+3 Vậy số hạng thứ n hai số hạng đứng liền trước nó cộng lại : (n – 2) + (n – 1) Nên công thức tổng quát là : an = an-2 + an-1 ….(trong đó an số hạng thứ n, an2 số hạng thứ n – và an-1 số hạng thứ n – Dáy đó là : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,… ,(an-2 + an-1) …………………………………… Tính tổng : a + + + + 11 + …… 1 Sn 1.2 2.3 3.4 b Giải : Muốn tính tổng các dãy số trên ta phải tìm công thức tổng quát dãy a Trong dãy + + + + 11 + …… Ta nhận thấy : = + 2.0 = + 2.1 = + 2.1 = + 2.2 = + 2.2 = + 2.3 = + 2.3 = + 2.4 11= + 2.4 = + 2.5 Như là số hạng dãy là tổng với BS nên công thức tổng quát là : 2n + Và dãy số đó là : 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,… ,(2n + 1) Ta lại thấy + (2n + 1) = + (2n -1) = + (2n – 3) =… = 2n + Tổng này có n số hạng nên có n/2 cặp có kết là 2n + Vậy S n = + + + + 11 + n (2n + 4) = n(n + 2) 13 +…… + (2n + 1) = 1 1 Sn 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) ta thấy : b Trong dãy : 1 1 1 ; 1.2 2.3 Vậy : 1 1 1 1 1 n Sn 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) 2 3 n n+1 n+1 …………………………………… GV: Lê Chí Tôn (51) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Tính tổng 100 số tự nhiên đầu tiên ? Áp dụng cho dãy số có n số hạng Giải: Trong dãy số Sn = = = = =……98 + 99 + 100 ta thấy : 100 + = 101 99 + = 101 Các số hạng cách đầu và cuối có tổng 101, có 100 số nên có 50 cặp, cặp có 100 100 5050 tổng 101 nên ta có Sn = n (n 1) Tổng quát lên ta có tổng n số tự nhiên đầu tiên là: Sn = ………………………………………… 1 , , , 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 Tìm công thức tổng quát dãy số : Giải: Ta nhận thấy số hạng dãy : tử số luôn luôn 1, mẫu số là tích thừa số liên tiếp (các thừa số là các số nguyên liên tiếp, thừa số đầu tiên vị trí nó dãy) Vậy số hạng tổng quát số hạng thứ n là n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 1 1 , , , Dãy số đó viết : 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 , n(n + 1)(n + 2)(n + 3) ……………………………………… Tính tổng Giải: n p2 p2 p2 Sn = p n Tổng Sn là tổng các số hạng dãy số có dạng p Đây là dãy số có m số các số hạng là p2 Tử số là dãy các số tự nhiên (Sau áp dụng phép cộng các phân số cùng mẫu số ) ta có : n n + 1 n(n + 1) n n p2 p p p = p2 p2 2p …………………………………………………………………… III Một số khái niệm vận trù học, lô gíc học : GV: Lê Chí Tôn (52) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Vận trù học là gì: Vận trù học gần gũi với chúng ta - Mỗi buổi sáng thức dậy, bạn nhẩm tính công việc ngày vạch thời gian biểu hợp lý-đó chính là các bạn làm vận trù - Hàng ngày làm việc bạn đã chọn đường ngắn nhất, an toàn - Trong chiến dịch đại phá quân Thanh, Nguyễn Huệ, phương pháp hành quân người nhóm thay cáng đã làm cho quân không kịp hoàn hồn và bỏ chạy mà không hiểu Nguyễn Huệ hành quân thần tốc Ta làm tính : người lính Quang Trung, km, ngày 16 thì quãng đường ngày là 5.16 = 80 (km) Trong đó cáng thì km, thay nghỉ nên 24 đó quãng đường : 4.24 = 96 (km) Như ngày quãng đường tăng thêm 96 – 80 = 16 (km) Tất cái ta suy nghĩ, tìm cách để đạt hiệu suất cao gọi là vận trù, hiệu suất áp dụng vào đời sống phát triển kinh tế hàng ngày Vậy ta có thể định nghĩa : « Vận trù học là việc áp dụng các nguyên tắc, phương pháp và công cụ khoa học để giải các bài toán liên quan đến hoạt động các hệ thống nhằm đạt tới mục tiêu đã đề theo đường tốt » a Bài toán cầu thành phố Ka Li Nin: b b d a a d c c + Thành phố Ka Li Nin nằm trên sông Pê Tê Ghen và hai hòn đảo Các khu vực khác hai thành phố nối liền với cầu (như hình vẽ) Vào chủ nhật, dân chúng thường dạo chơi qua các cầu và thắc mắc : có thể dạo qua các cầu, cầu qua lần thôi có không ? + Vì quan tâm tới việc di chuyển qua các cầu nên ta có thể biểu diễn đồ thành phố Ka Ni Lin hình vẽ phụ bên cạnh (các điểm a, b, c, d thay cho các khu vực khác thành phố, các đường nối hai điểm thay cho các cầu nối hai khu vực đó) GV: Lê Chí Tôn (53) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi + Thắc mắc dân thành phố là có thể khắp các đường trên sơ đồ đường qua lượt Nói cách khác có thể vẽ sơ đồ đó nét vẽ liên tục không ? Ơ le, nhà toán học Thụy Điển (1707-1783) đã giải đáp bài toán này câu trả lời : « Muốn qua các cạnh sơ đồ quay chỗ cũ mà cạnh đúng lượt (nghĩa là muốn vẽ sơ đồ đó nét liên tục) thì sơ đồ phải liên thông (tức là sơ đồ không tách thành các khối liền nhau) và không có điểm bậc lẻ (tức điểm đó giao số cạnh lẻ Ví dụ : Ở hình bên không có điểm bậc lẻ và liên thông nên có thể vẽ nét liên tục + Kết luận này Ơ Le giúp các Người đưa thư, phát báo, tuần đường, chọn hành trình mình đường ngắn + Một vấn đề đặt ra, trên mạng lưới đường điểm bậc lẻ thì làm nào ? Ơ Le đã giải đáp rằng: Phải qua hai lần số đường nào đó và chứng minh trên mạng lưới đường thì số điểm bậc lẻ luôn là số chẵn và đường phải qua hai lần là đường nối liền hai điểm bậc lẻ Vì chọn đường nối liền các cặp bậc lẻ cho tổng độ dài chúng là ngắn và số lần vẽ (số nét) phải số điểm bậc lẻ chia cho * Áp dụng kết luận Ơ Le ta có thể giải đáp rõ ràng nhiều câu đố sau : Qua các hình a, b, c, hãy cho biết phải vẽ bao nhiêu nét hình ? 1 (a) (b) (c) - Ta thấy hình (a) có hai điểm bậc lẻ (1, 8) nên số nét vẽ là 2:2 = Nét đó xuất phát từ và kết thúc - Hình (b) có điểm bậc lẻ nên số nét là : = (nét) Xuất phát từ kết thúc - Hình © có 16 điểm bậc lẻ, nên số nét là 16 : = (nét) b Bài toán pha cắt vật liệu tiết kiệm: * Đặt vấn đề: Người thợ may cát vải để may quần áo thường phải suy nghĩ tính toán nào cho đỡ tốn vải, người công nhân cầm mỏ sắt cắt các sắt lớn thành miếng để sử dụng phải tính toán các hình mẫu trên sắt để cắt có lợi hai người hai lĩnh vực khác chung ý nghĩ là tiết kiệm vật liệu Vận trù học có khả giải hai vấn đề sau : GV: Lê Chí Tôn (54) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi + Có số chi tiết với kích thước đã biết cần cắt thànhnhững chi tiết có kích thước đặt trước, nên cắt nào tốn ít vật liệu + Có số loại vật liệu với kích thước và số liệu đã biết kích thước các chi tiết cần cắt đã biết trước, nên cắt nào để có nhiều chi tiết sản phẩm => Ý nghĩa chung để giải hai vấn đề này là : vạch kiểu cắt có, sau đó loại trừ dần phương pháp cắt không hợp lý * Bài toán : Một tờ giấy hình chữ nhật dài 1,6 m, rộng 0,96 m cát thành miếng nhỏ hình chữ nhật dài cm, rộng 3cm Hãy tìm cách cắt tờ giấy lớn cho vừa lợi công, vừa lợi giấy Giải: + Cắt lợi giấy: Vấn đề đầu tiên ta nghĩ đến là so sánh diện tích giấy lớn và các hình chữ nhật nhỏ Ta thấy : (160.96) : (5.3) = 32 32(lần) Như tờ giấy lớn có thể cắt thành 32.32 tờ giấy nhỏ Nhưng ta chưa có thể kết luận tờ giấy lớn cắt tối đa 32.32 tờ giấy nhỏ, vì cắt chiều dài thành băng cm và chiều rộng cm thì tối đa có 19.53 < 32.32 miếng giấy đạt yêu cầu bài (phần giấy thừa không cắt nữa) Vì ta lại phải xét: - Chiều dài tờ giấy to với chiều dài tờ giấy nhỏ cắt - Chiều rộng tờ giấy to với chiều rộng tờ giấy nhỏ cắt Điều thuận lợi là : 160 : = 96 : = 32 Đến đây ta có thể nói tờ giấy lớn cắt thành 32 miếng nhỏ các đường // với các cạnh (Đối với các đường // định trên chiều dài đường cách cm, trên chiều rộng đường cách cm) + Cắt lợi công (tức là số lần cắt ít nhất): Ta đã biết hình chữ nhật có hai trục đối xứng, đó ta cắt sau : Để nguyên chiều rộng, xếp chiều dài theo đường đối xứng thứ (chính hai cạnh dài) và với nhát kéo ta phần Xếp lần thứ hai ta phần… sau lần cắt ta 32 băng giấy có chiều rộng cm, còn chiều dài là chiều dài tờ giấy lớn Đối với chiều ta làm (nhưng chú ý là 32 băng giấy chồng khít lên coi băng giấy) Như ta có 10 lần cắt c Bài toán phân công lao động : * Đặt vấn đề: Trong hợp tác xã sản xuất nông nghiệp có nhiều công việc khác : làm phân, cày ruông, … và nhiều loại lao động khác Do đó suất lao động kác nhau, phân công không khéo không sử dụng sở trường người và hạn chế suất lao động * Bài toán áp dụng: Một đội SX có 20 Nam và 25 Nữ phải gặt cho xong 80 a lúa Ngoài còn cần cày ải càng nhiều càng tốt Năng suất điều tra sau : (tính theo a/ngày) Hỏi phải điều lao động gặt, cày Như nào để đảm bảo yêu cầu trên ? Gặt Cày Nam Giải: Nữ * Vì Nam khỏe nên phải toàn gặt : 4.20 = 40 (a) Nữ cày : 25.2 = 50 (a) GV: Lê Chí Tôn (55) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi * Những cách phân công trên chưa đạt yêu cầu ta lập tỉ số hai loại việc Nam và Nữ 1,33 N÷ = 1,5 (tỉ lệ suất) gặt và cày Nam Vậy 1,5 > 1,33 nên phân công toàn nữ gặt : 3.25 = 75 (a) Thiếu a ta phân Nam gặt tiếp Còn lại 18 Nam cày : 3.18 = 54 (a) Nhưng vì có 5a lúa phải cắt ta phân công thật hợp lý cho lao động Nam gặt 3 2,25a 5a, còn cày 3a Vậy gặt 80a Cày 54a + 2,25a = 56,25a Lô gíc học: a) Lô gíc học là gì: * Trong đời sống hàng ngày người luôn luôn suy nghĩ và dùng ngôn ngữ để trao đổi tam tư với Ngôn ngữ là phương tiện, công cụ để giao tiếp, để trao đổi ý kiến Muốn cho người hiểu thì kết cấu suy nghĩ phải tuân theo số hình thức và qui tắc định Nếu không tuân theo hình thức, qui tắc đó thì ý nghĩ luôn luôn mâu thuẫn, không có sở, đó người không trao đổi tư tưởng cho Trong đời sôngs hàng ngày, có lúc ta nghe cách phát biểu không hợp lý mà ta thường nói là không hợp lô gíc Ví dụ: - Mọi niên có nghĩa vụ lao động Tôi không phải là niên, tôi không có nghĩa vụ lao động - Mọi loài cá nước Con vật này nước, nó là cá - Một người bán Giáo và người bán Mộc thường rao: «Mộc này không gì đâm thủng Giáo này sắc, đâm gì thủng » Nghe qua các ví dụ trên, ta thấy cách phát biểu là không hợp lô gíc Tại không hợp lô gíc là nội dung nghiên cứu lô gíc học Vậy Lô gíc học là khoa học qui luật và hình thức cấu tạo chính xác suy nghĩ Từ nửa kỷ nay, môn lô gíc học phát triển mạnh mẽ, dẫn tới phát triển môn lô gíc toán Đặc điểm môn này là dùng ký hiệu và công thức toán để diễn đạt thay cho ngôn ngữ thông thường b Phép chứng minh – Một số ví dụ minh họa: * Lô gíc nghiên cứu các hình thức-các quá trình suy nghĩ: Hình thức chủ yếu đó là : Khái niệm – Suy luận – Phán đoán – Chứng minh Sau đây ta nghiên cứu kết cấu chứng minh lô gíc toán * Mọi chứng minh lô gíc gồm phận : + Luận đề : Là mệnh đề cần phải chứng minh Trong chứng minh nó trả lời câu hỏi : « Chứng minh cái gì ? » GV: Lê Chí Tôn (56) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi + Luận : Là phán đoán mà dựa vào đó để chứng mimh Mỗi lượt suy luận thì luận là tiên đề Trong chứng minh nó trả lời câu hỏi: « chứng minh cái gì ? » + Luận chứng : Là qui tắc suy luận lô gíc dùng chứng minh, nó trả lời câu hỏi : « chứng minh nào ? » Ba phận này luôn luôn xác nhận và liên hệ chặt chẽ với Vì: luận đề không xác định thì không rõ ràng, muốn chứng minh gì ? luận không chân thật thì dù suy luận hợp lý không đem lại kết tin cậy Luận chứng không hợp với các qui tắc lô gíc thì không có sức thuyết phục và không coi là chứng minh * Hai phương pháp chứng minh lô gíc: + Chứng minh trực tiếp: Là chứng minh trực tiếp đưa luận dùng qui tắc suy luận lô gíc để rút luận đề Phương pháp chứng minh này thường gặp toán học + Chứng minh gián tiếp: Chứng minh gián tiếp mệnh đề để tìm cách bác bỏ tính chân thực mệnh đề khác để suy tính chân thực mệnh đề Thông thường người ta tìm cách bác bỏ tính chân thực mệnh đề phủ định luận đề và ta thường gọi là phép chứng minh phản chứng * Các bài toán giả phương pháp suy luận lô gíc thường không cần phải tính toán phức tạp mà chủ yếu đòi hỏi suy luận đúng đắn, chạt chẽ và hợp lý * Ví dụ minh họa: + Ví dụ 1: Trong buổi cắm trại, cô giáo cho học sinh nhận biết dấu hiệu đường theo thứ tự hình vẽ : S TOP Có học sinh viết sau: Em A viết : là dừng lại – là nguy hiểm Em B viết : là có cầu – là đường dốc Em C viết : là đường dốc – là có cầu Em D viết : là dừng lại – là chậm Em E viết : là chậm – là nguy hiểm Xem kết cô giáo thấy em này em nhận đúng dấu hiệu đường Bạn hãy cho biết tên dấu hiệu ứng với số trên Và bạn nào đã nói đúng dấu hiệu này ? Giải: + Giả sử ta cho A viết là dừng lại là đúng (mệnh đề 1) thì D viết chậm lại là sai và E viết là nguy hiểm là đúng và B viết là đường dốc là đúng Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu là dừng lại Vậy không phải là dừng lại (mệnh đề 2) Như qua phần này ta đã chứng minh tính không đúng mệnh đề 1, để suy tính chân thực mệnh đề (Hai mệnh đề này phủ định lẫn nhau) GV: Lê Chí Tôn (57) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi + Ta đã chứng minh không phải là dừng lại Vậy nói là nguy hiểm là đúng và D viết là chậm lại là đúng => B viết là đường dốc là đúng, vì là dừng lại Vậy: là dừng lại là đường dốc là nguy hiểm là chậm là có cầu * Để làm ngắn gọn quá trình lý luận trên ta thường dùng bảng liệt kê + Ví dụ 2: Một trường THCS nhận đám ruộng A, B, C, D, E để trồng lúa thí nghiệm Diện tích các đám không Trong thực hành toán, cô giáo bảo: « Mỗi em hãy ước lượng diện tích đám nào trên đám ruộng trên » em trả lời sau: Ái : S B 250 m2, C 400 m2 Bích : S D 450 m2, B 300 m2 Chi : S A 450 m2, E 350 m2 Đạt : S D 350 m2, C 300 m2 Ái : S B 200 m2, E 250 m2 Cô giáo nhận xét: “ Mỗi em đã ước lượng đúng S đám ruộng” Tính xem đám ruộng có S là bao nhiêu? Tên Giải: * Để nhận xét diện tích đám ruộng ta lập bảng sau: Đơn vị A Ái Bích Chi Đạt Hoa B C 250 300 400 D E 450 450 350 300 200 350 250 * Nhìn vào bảng trên ta thấy diện tích đám A, có mình Chi nói nên S A là 450 m Do đó S E 350 m là sai => S E 250 m là đúng Nên S D 350 m2 và S C 200 m2; S B 300 m2 + Ví dụ 3: Ba en nữ sinh Lan, Cúc, Huệ có em mặc áo đỏ, em mặc áo xanh, em mặc áo trắng; Trong câu: “Lan mắc áo đỏ”, “Cúc không mặc áo đỏ”, “Huệ không mặc áo xanh” có câu đúng Hỏi em mặc áo gì? Tên Áo Giải: Đỏ Xanh Trắng Cách 1: Lan X 0 * Lập bảng ta có: Cúc X X (X câu nói, màu không mặc) Huệ X X * Nhìn vào bảng ta có thể lập luận: GV: Lê Chí Tôn (58) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Nếu Lan mặc áo đỏ là đúng; Nên Huệ không mặc áo xanh thì Huệ mặc áo đỏ trắng, mà Lan áo đỏ nên Huệ áo trắng và Cúc áo xanh Như câu “Cúc không mặc áo đỏ là sai” => Cúc mặc áo đỏ và Lan áo xanh thì đúng Vậy: Lan mặc áo xanh, Huệ mặc áo trắng, Cúc mặc áo đỏ Cách 2: Ta có thể giải bài toán trên giản đồ nhánh sau: HuÖ xanh (S) Lan đỏ (đ) Cóc tr¾ng (®) HuÖ tr¾ng (®) Huệ đỏ (đ) Lan tr¾ng (S) Cúc đỏ (S) Cóc xanh (®) HuÖ xanh (S) Nhìn vào giản đồ ta thÊy: Lan: mÆc ¸o xanh HuÖ: mÆc ¸o tr¾ng Cúc: mặc áo đỏ Huệ đỏ (đ) Lan xanh (S) Cóc tr¾ng (®) Cúc đỏ (S) HuÖ tr¾ng (®) + Ví dụ 4: Trong bài kiểm tra toán bạn A, B, C, D các điểm khác từ đến 10 không bạn nào nhớ chính xác điểm người Vì hỏi điểm bạn thì: A trả lời: “ D 7; B 7; C 9” B trả lời: “ A 8; D 10; C 8” D trả lời: “ A 8; C 8; B 8” C trả lời: “ A 7; B 7; D 7” Biết rằng: a) Không bạn nào hai bạn khác nói đúng điểm mình b) Mỗi câu trả lời có điểm đúng Em hãy xác minh điểm bạn? Giải: Điểm Tên A B * Lập bảng ta có: C D * Nhìn vào bảng ta D.B A.D.B Thấy: - C điểm A.C A.B.C - A điỉem C - B điểm 10 D - D điểm 10 GV: Lê Chí Tôn (59) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi + Ví dụ 5: Trong bảng thi đấu loại bóng đá có đội A, B, C, D Người ta đưa ba dự đoán: a Đội A nhì, đội B b Đội B nhì, đội D ba c Đội C nhì, đội D tư Kết dự đoán có ý đúng, ý sai Hãy xác định thứ tự đội ? Giải: Ta lập bảng sau: Dự đoán Thứ a b c B C A B C D D Vì có nhiều dự đoán đề cập đến đội nhì nên ta xét đội nào nhì Giả sử đội A nhì là đúng thì các đội B và C nhì là sai, đó D thứ ba (theo b) và thứ tư (theo c), vô lý Vậy đội A nhì là sai, đó theo A thì đội B Đội B nhì là sai nên theo b thì đội D thứ ba Đội D thứ tư là sai nên theo c thì đội C thứ nhì Còn lại đội A thứ tư + Ví dụ 6: Người ta điều tra lớp học có 40 học sinh thì thấy có 30 học sinh thích Toán, 25 học sinh thích Văn, học sinh không thích toán và văn Hỏi có bao nhiêu học sinh thích hai môn văn và toán? Giải: Biểu thị các kiện đề bài bên hình vẽ Gọi số học sinh thích hai môn Văn và Toán là x thì số học sinh thích Văn mà không thích Toán là 25 – x Ta có: 30 + (25 – x) + = 40 Do đó x = 17 Vậy có 17 học sinh thích hai môn Văn và Toán 40 T(30) V(25) x 25-x …………………………………………………………………………… GV: Lê Chí Tôn (60) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Phần thứ V PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ LOẠI TOÁN ĐIỂN HÌNH I Toán giải đơn vị qui ước: a Nội dung: Là loại toán dùng đại lượng nào đó làm đơn vị qui ước đoạn thẳng, dung tích, khối lượng công việc.v.v đẻ tiện cho việc giải b Ví dụ: Hai vòi nước cùng chảy vào bể sau 10 đầy bể Người ta cho vòi cùng chảy vào bể sau đó khóa vòi lại Một mình vòi chảy thêm 18 đầy bể Hỏi mình vòi chảy bao lâu đầy bể Giải: * Giả sử ta qui ước dung tích bể là đơn vị, hai vòi chảy (bÓ) 1/10 bể Vì hai vòi chảy 10 (bÓ) 5 * Vòi chảy 18 Như vòi chảy :18 (bÓ) 30 1 (bÓ) Trong vòi chảy được: 10 30 15 1: 15 (giê) th× ®Çy bÓ Vậy: Vòi chảy mình 15 30 (giê) th× ®Çy bÓ 30 Vòi chảy mình : Trong ngày hội toán khối học sinh chia làm tốp Nếu lấy 2/5 số học sinh tốp chia cho tốp thì số học sinh tốp lúc này bớt tốp học sinh thì lúc này số học sinh tốp tổng học sinh tốp Hỏi tốp có bao nhiêu học sinh? Giải: * Theo bài tốp có thể chia làm phần ta qui ước đoạn thẳng em ứng với phần tốp Ta có hình sau: * Theo bài ta thấy lúc đầu tèp số học sinh hai tốp và tèp Khi bớt cho tốp phần tèp mình thì lúc này tốp này Hay tốp chiếm 3/5 tốp Sau bớt học sinh thì tốp tổng học sinh tốp kia, ta lại có hìh sau: Căn vào hình vẽ ta thấy: GV: Lê Chí Tôn tèp tèp tèp (61) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi học sinh tốp chiếm 1/5 số học sinh Vậy số học sinh tốp là: 3.5 = 15 (em) Số học sinh tốp là: 3.2 = (em) Khi đó số học sinh tốp là em Một anh đội lên đưopừng đánh Mỹ nhận thấy số tuổi mình 1/5 tổng số tuổi các người thân gia đình Đến nghỉ phép thăm gia đình, anh lại gặp tất các người thân và thấy số tuổi mình bây 1/5 tổng số tuổi các người thân gia đình Hỏi gia đình anh đội có bao nhiêu người? Giải: Ta minh họa bài toán hình vẽ sau: Phần I minh họa tuổi anh đội và tuổi các ng ời thân gia đình I Phần II minh họa tuổi anh đội và tuổi các ng ời thân gia đình II Căn cư vào hình vẽ ta thấy: Trước đây tuổi anh đội 1/5 tổng số tuổi người thân gia đình, anh tăng thêm số tuổi, thì số tuổi anh tăng gấp lần Vì số năm đó người tăng tuổi nên muốn gấp lần số tuổi tăng khoảng thời gian đó gia đình anh bbộ đội phải có người Kể anh đội là Hai xe ô tô cùng khởi hành lúc giờ, xe thứ từ A và đến B lúc giờ, xe thứ hai từ B và đến A lúc 10 Hai xe gặp trên đường lúc máy giờ? Giải: Để tìm thời gian gặp chuyển động ngược chiều, ta lấy quãng đường chia cho tổng vận tốc Ta chưa biết quãng đường nên chưa biết vận tốc xe, có thể biểu thị vận tốc xe theo quãng đường AB mà ta chọ là đơn vị qui ước Xe thứ quãng đường AB trong: – = (giờ) Xe thứ hai quãng đường BA trong: 10 – = (giờ) Trong giờ, xe thứ ½ quãng đường, xe thứ hai 1/3 quãng đường, 1 (qu·ng ® êng) chúng gần thêm: (giê) = giê 12 phót Hai xe gặp sau : Lúc hai xe gặp là 12 phút GV: Lê Chí Tôn (62) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ……………………………………………………………………………… Toán giải phương pháp tính ngược từ cuối a Nội dung: Phương pháp tính ngược từ cuối thường áp dụng giải bài toán số học mà việc giải đại số sx dẫn đến phương trình bậc ẩn số có dạng x + a b = c hay ax b = c (trong đó a, b, c là số nguyên hay phân số) và thường tính ngược từ cuối các hình vẽ minh họa hay dùng phương pháp « đơn vị qui ước » b Ví dụ: Tổng hai số là 444 Lấy số lớn chia cho số nhỏ thương là và số dư là 24 Tìm hai số đó Giải: * Bằng số học: Ta minh họa bài toán hình vẽ bên: Như ta thấy lần số nhỏ Sẽ 444 – 24, đó 24 444 Lần số nhỏ : 444 24 84 Số lớn là : 444 - 84 = 360 * Bằng đại số: Gọi x là số nhỏ (24 < x < 444) , ta có : x + 4x + 24 = 444 5x + 24 = 444 5x = 420 x = 84 Số lớn là : 4x + 24 = 84 + 24 = 360 ……………………………………… Một cửa hàng mậu dịch, tuầm lễ thứ bán nửa số vải cộng thêm ½ Tuần lễ thứ hai bán 1/3 số vải còn lại cộng thêm 1/3 Tuần lễ thứ ba bán ¼ số vải còn lại sau lần cộng thêm ¾ Tuần lễ thứ tư bán 1/5 số vải còn lại cộng thêm 1/5 Tuần bán hết 19 còn lại Hỏi cửa hàng lúc đó có bao nhiêu vải ? Giải: * Ta thấy số vải còn lại sau lần bán thứ tư là 19 Nếu tuần thứ tư không bán thêm 1/5 thì số vải còn lại là 4/5 số vải Nghĩa là (19 +1/5) chính là số vải còn lại sau lần và : (19 + 1/5) : 4/5 = 24 (tấm) * 24 cộng với ¾ chính là ¾ vải còn lại sau tuần tức : (24 + 3/4) : 3/4 = 33 (tấm) * 33 cộng 1/3 chính là số vải còn lại sau lần 1, tức : (33 + 1/3) : 2/3 = 50 (tấm) * 50 cộng ½ chính là 1/2 số vải ban đầu cửa hàng và : GV: Lê Chí Tôn (63) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi (50 + 1/2) : 1/2 = 101 (tấm) …………………………………… Một người bán khoai cho ba người : Người thứ mua ¼ số khoai và 10 kg Người thứ mua 5/11 số khoai còn lại và 10 kg Người thứ ba mua 50 kg khoai còn lại Hỏi số lượng khoai đã bán là bao nhiêu ? Giải: * Số khoai còn lại sau người thứ hai mua là 6/11 số khoai còn lại người thứ mua (kể 10 kg người thứ mua) Số khoai đó là : 50 kg + 10 kg = 60 kg * Số khoai còn lại sau người thứ mua là : 60 : 6/11 = 110 (kg) * Số lượng khoai đã bán là : (110 + 10) : ¾ = 160 (kg) ………………………………… Một người chợ bán cam Lần thứ bán 1/2 số cam cộng thêm 1/2 Lần thứ bán 1/2 số còn lại cộng thêm 1/2 Lần thứ bán 1/2 số còn lại cộng thêm 1/2 qủa Lần thứ bán 1/2 số còn lại cộng thêm 1/2 qủa thì vừa hết Tính số cam người đó đem bán ? Giải: Lần thứ tư bán 1/2 số còn lại cộng 1/2 thì vừa hết nên 1/2 chính là 1/2 số cam còn lại Vậy số cam còn lại sau lần bán thứ ba là Lần thứ ba bán 1/2 số còn lại cộng thên 1/2 thì còn nên chính là 1/2 số cam còn lại Vậy số cam còn lại sau lần bán 1 2 3 thứ hai là (quả) Lần thứ bán 1/2 số còn lại cộng thêm 1/2 thì cón nên chính là 1/2 số còn lại Vậy số cam còn lại sau lần thứ là Lần thứ bán 1/2 số cam cộng 1/2 thì còn nên Vậy số cam lúc đầu có 15 …………………………………… chính là 1/2 số cam Một công trường giao công việc sửa đoạn đường cho các đội sau : đội nhận 150 m và 1/9 phần còn lại, đội nhận 200 m và 1/9 phần còn lại, đội nhận 250 m và 1/9 phần còn lại Cứ chia đội cuối cùng thì vừa hết và phần đất đội Tính số đội tham gia sửa đường và chiều dài toàn quãng đường cần sửa ? Giải: GV: Lê Chí Tôn (64) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Xét hai đội cuối cùng là đội thứ n – và đội thư n Đội thú n – nhận A mét công 1/9 số B B còn lại hay A + Đội thú n là đội cuối cùng nên nhận nốt , hay theo qui luật bài toán, nhận A + 50 m (không còn số còn lại) Vì số mét đường các đội nên: 1 B = A + 50, suy B = 50 A+ B hay 50.5 = 400 (met) Đội thư n nhận Đó là số đất đội nhận số còn lại sau đội nhận 150 m là 400 - 150 = 250 (m) Do đó đoạn đường tổng cộng dài : 250 + 150 = 2400 (m) …………………………………………………………………… Giải toán tìm hai số biết tổng và hiệu nó: a Nội dung: Loại toán biết tổng hai số và hiệu chúng, ta phải tìm hai số Ở các lớp ta đã có phương pháp giải : tìm số lứo trước số nhỏ trước cách cộng hay trừ vế hai đẳng thức đã cho : a + b = c a + b = c hay - a - b = d a - b = d từ đó suy số Nay ta có thêm phương pháp giải đó là phương pháp : Thêm bớt hiệu số vào số nhỏ số lớn để số b Ví dụ minh họa: 1.Trong hai trận tiến công vào sân bay Biên Hòa và Plây Cu, quân giải phóng miền Nam đã giệt gọ 654 tên xâm lược Mỹ Trận Plây Cu giệt trận Biên Hòa 60 tên Tính xem trận quân giải phóng giệt bao nhiêu tên xâm lược Mỹ ? Giải: Cách 1: Nếu thêm 60 tên vào trận Biên Hòa thì số Mỹ bị giệt sân bay và đó số Mỹ bị giệt PlâyCu là : (654 + 60) : = 357 (tên) Số Mỹ bị giệt Biên Hòa là : 357 – 60 = 297 (tên) Cách 2: Bớt 60 tên xâm lược Mỹ trân PlâyCu thì số Mỹ bị giệt trận nhau, đó số Mỹ bị giệt trận Biên Hòa là : (654 – 60) : = 297 (tên) Số Mỹ bị giệt trận PlâyCu là : GV: Lê Chí Tôn (65) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 297 + 60 = 357 (tên) ……………………………………… 1 24 kg Nếu lấy 2kg thúng bỏ vào thúng thì thúng thứ Hai thúng khoai có kg còn thúng thứ là Tính xem lúc đầu thúng có bao nhiêu kg ? Giải: Ta giải bài toán này cách tìm số lớn số biết tổng chúng là vµ hiÖu cña chóng lµ (7 + ) , 3 3 3 5 sau đó đem trừ 24 thúng thứ Thúng thứ có: 24 3 3 37 24 : 15 ( kg ) 5 40 37 13 24 15 8 (kg ) 40 40 Thúng thứ có: ………………………………………………………… Toán giải phương pháp giả thiết tạm: a Nội dung: Loại toán này tương đối khó, nên để giải loại toán này ta phải dùng phương pháp riêng gọi là phương pháp giả thiết tạm Trong phương pháp giả thiết tạm, người ta đưa các giả định để chuyển bài toán các bài toán đã biết cách giải b Ví dụ minh họa: Một đoàn 46 học sinh chèo thuyền qua sông, có hai loại thuyền, loại lớn chở người, loại nhỏ chở người Các em xuống thuyền thì xếp vừa đủ 10 thuyền loại Hỏi loại có Giải: Giả sử 10 thuyền là loại lớn thì đó số người xếp đủ 10 thuyền là 190 = 60 người Như so với tổng số người đã biết thì thừa 60 – 46 = 14 (ngừời) Số người này là thuyền chở thêm người (6 – 4) Vậy số thuyền nhỏ là : GV: Lê Chí Tôn (66) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 14 : = (thuyền) Số thuyền lớn là : 10 – = (thuyền) (Ta có thể giải bài toán này giả sử 10 thuyền đề là loại nhỏ) ……………………………………… Bạn Nam xe đạp từ A đến B với vận tốc 10 km/h, tiếp từ B đến C với vận tốc 15 km/h Biết quãng đường BC ngắn quãng đường AB là km và thời gian trên BC ít thời gian trên AB là 16 phút Tính quãng đường AB Giải: A B C E D Bạn Nam km trên AB hết 60 : 10 = (phút), km trên BC hết 60 : 15 = (phút) Ta giả thiết từ B bạn Nam quãng đường AB thì phải thêm đoạn CE dài km, tức là thêm phút nữa, đó thời gian trên BE ít thời gian trên AB là 16 – = 12 (phút) Chú ý quãng đường AB và BE và thờ gian chênh lệch km với vận tốc Là : – = (phút) Do đó quãng đường AB dài là : 12 : = (km) …………………………………………… Một công việc giao cho thợ bậc làm thời gian, giao cho thợ bậc làm tiếp cho xong Tính xem người làm việc bao lâu biết tổng cộng hai người làm 14 và để hoàn thành công việc đó mình, người thợ bậc cần 15 giờ, người thợ bậc cần 12 Giải: Trong giờ, người thợ bậc làm 1/15 công việc, người thợ bậc làm 1/12 công việc Giả thiết người thợ bậc làm tất 14 thì người đó làm : 14 14 14 (c«ng viÖc), hôt ®i: (c«ng viÖc) 15 15 15 15 Sở dĩ hụt vì người thợ bậc làm thay cho người thợ bậc Mỗi người thợ bậc 1 (c«ng viÖc) làm người thợ bậc là : 12 15 60 1 : 4 (giê) Thời gian người thợ bậc đã làm : 15 60 Thời gian người thợ bậc đã làm : 14 – = 10 (giờ) ………………………………………………………………………… GV: Lê Chí Tôn (67) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Giải toán chuyển động đều: a Nội dung: Loại toán này phức tạp, vì giải cần lưu ý : + Vẽ hình minh họa + Nhớ kỹ số kiến thức vật lý chuyển động : - Quãng đường = vận tốc thời gian (S = v.t) S ) - Vận tốc = quãng đường : thời gian (v = t S - Thời gian = quãng đường : vận tốc (t = v ) - Quãng đường (đi cùng vận tốc) tỉ lệ thuận với thời gian Quãng đường (đi cùng thời gian) tỉ lệ thuận với vận tốc - Vận tốc và thời gian (đi cùng quãng đường) tỉ lệ nghịch với - Vận tốc động tử xuôi dòng = vận tốc thật + vận tốc dòng nước - Vận tốc động tử ngược dòng = vận tốc thật - vận tốc dòng nước b Ví dụ minh họa : * Toán chuyển động đều: Một người từ thị trấn Hồ xá xã Quản Bình Người đó khởi hành lúc sáng và xe đạp với vận tốc 10 km/h Sau đó có người từ Hồ Xá xã đó ngựa với vận tốc 12 km/h Hỏi người thứ đuổi kịp người thứ sau ? và gặp cách Hồ Xá bao nhiêu km ? Giải: Cách 1: cách này dùng thông thường với loại toán chuyển động cùng chiều (đuổi kịp nhau) Sau giờ, người xe đạp 10 km Nghĩa là sau gời ta coi người cùng bắt đầu đi, thì rõ ràng người ngựa thua người xe đạp 10 km Nhưng người ngựa người xe đạp là 12 – 10 = (km) Như muốn thêm 10 km cho kịp, người đó phải 10 : = (giờ) Chỗ gặp cách thị trấn Hồ Xá 5.12 10.6 = 60 (km) Cách 2: Trong cùng thời gian, người ngựa khoảng cách AC, với vận tốc 12 km/h Người xe đạp với vận tốc 10 km/h và quãng đường BC Vì quãng đường tỉ lệ thuận với thời gian nên ta có: A B C C 10 km AC 12 BC 10 Mặt khác AC – BC = 10 => AC = 10.6 = 60 Thời gian người thứ hai đuổi kịp người thứ là: 60 : 12 = (giờ) Cách 3: GV: Lê Chí Tôn (68) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Gọi t1 là thời gian để người xe đạp hết quãng đường AC; t là thời gian để người xe đạp hết quãng đường BC t1 12 MÆt kh¸c t t = t 10 Ta biết thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc, tức là: Đến đây bài toán đưa dạng: Tìm hai số biết tỉ số chúng và hiệu số t1 = 1.6 = (giờ) t2 = (giờ) Quãng đường cần tìm là 5.12 = 60 (km) ………………………………………………… *Toán chuyển động ngược chiều: Một xe đạp từ A đến B lúc sáng với vận tốc 20 km/h Lúc ô tô từ B đến A với vận tốc 35 km/h Hỏi sau thì gặp nhau? Và chỗ gặp cách B bao nhiêu km? Biết A và B cách 240 km Giải: 220 B A 20 A / Cách 1: Sau người xe đạp từ A đến A / cách A 20 km, lúc đó ô tô bắt đầu từ B và cách người xe đạp 240 – 20 = 220 (km) - Mỗi hai động tử 20 + 35 = 55 (km) - Để 220 km phải mất: 220 : 55 = (giờ) - Chỗ gặp cách B: 35 = 140 (km) Cách 2: 220 Từ đến lúc gặp nhau, cùng thời gian người xe đạp quãng đường x với vận tốc 20 km/h Trong lúc đó ô tô quãng đường y với vận tốc 35 km/h Vì x 20 y 35 Mặt khác x + y = 220 nên suy ra: quãng đường tỉ lệ thuận với vận tốc nên ta có: x x + y 7 y y 220 11 220 220.4 y= 7 140 (km) 80 (km) y 11 11 => => x = ………………………………………… GV: Lê Chí Tôn (69) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Một người cán đã liên tục từ làng A đến làng B với vận tốc v = km/h từ làng B đến làng C với vận tốc v = km/h sau thời gian công tác C người cán đó trở A theo đường cũ và định nào thời gian quãng đường CA thời gian quãng đường AC để kịp báo cáo Muốn người cán tính toán phải đến trên đoạn CA với vận tốc v = km/h Thế đến B người cán phải dừng 24 phút để giải công tác và có thể A đúng thời gian qui định, người cán định tăng tốc km/h Háy tính khoảng cách từ A đến B, từ B đến C ? a) Giải: + Gọi thời gian từ B đến C là t 1, thời gian từ C đến B là t (t1 và t2 tỉ lệ nghịch t1 t với và nên ta có: + Đi từ B đến C thời gian lâu từ C đến B 24 phút (vì thời gian từ A B và từ B A là (quãng đường nhau, vận tốc nhau) Chi nên còn chênh lệch thời gian quãng đường CB và BC) => t1 – t2 = 24 t1 t t1 t 24 t 5.24 120(phót) = (giê) 5 + Vậy: => Quãng đường BC bằng: 2.4 = (km) b) Gọi t3 là thời gian từ A B, t4 là thời gian từ B A Ta thấy: t3 t Nhưng từ B tới A lâu từ A tới B 24 phút nên: t t t t 24 24 t 24.5 120 (phót) = (giê) 6 Vậy quãng đường AB là: 6km/h h = 12 (km) ………………………………………… Một ô tô qua cột km ac lúc giờ, qua cột km ca lúc và qua cột km abc lúc Biết ô tô chuyển động thẳng Tính vận tốc ô tô Giải: * Từ đến ô tô ca - ac (km) Từ đến ô tô abc - ca (km) * Vì ô tô chuyển động nên : abc ca ca ac xy => ca ca abc ac (Tæng cña hai sè b»ng nhau, mçi sè cã hai chữ số bé 200) đó abc ac phải bé 200 và a không thể và a không thể lớn vì a > thì abc ac > 200 Vậy a = GV: Lê Chí Tôn (70) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Mặt khác tổng a + a và tổng c + c là các tổng các chữ số thuộc hàng đơn vị hai số nên phải có chữ số tận cùng Mà ta đã có : a + a = 2a = 2.1 = Vậy c + c = 2c có tận cùng Tức là c = (vì < c < 10 nên 2c = 12 => c = 6) Ta có vận tốc ô tô là : 61 – 16 = 45 (km/h) ………………………………………… Mai và Lan nhà cách 1200 m phía nhà bạn mai lúc giờ, Lan sau phút Dọc đường không thấy nhau, người đến nhà bạn quay lại Lần này thì hai bạn gặp Hỏi lúc gặp là ? Biết phút Mai 60m, Lan 90m Giải: Trong phút Mai 60 = 300 (m) Mai và Lan gặp sau Lan thời gian là: (1200 m – 300 m) : (60 m + 90 m) = (phút) Mai và Lan gặp lần lúc (9 phút + phút ) = 11 phút Quãng đường mà Mai và Lan cộng lại lần khoảng cách 1200 m thời gian là : 1200.2 : (60 + 90) = 16 (phút) Thời gian gặp lần là : 9h11 ph + 16 ph = h 27 ph …………………………………… Một xe lửa qua cầu dài 181 m tất 47 s, với vận tốc đó xe lửa lướt qua người đi ngược chiều với xe lửa Tính chiều dài và vận tốc xe lửa ? Biết vận tốc cử người là m/s và xe lửa lướt qua người đó s Giải: Trong 47 s, xe lửa quãng đường là cầu dài 181m và quãng đường chiều dài đoàn tàu (hình bên) Giả sử đầu tàu bắt đầu đến mố cầu B, sau tàu qua khỏi A thì hết thời gian 47 s Chẳng hạn người đó gặp đuôi tàu A Tức là 38 s, xe lửa 181+ 9.1 = 190 (km) => vận tốc xe lửa là: 190 v = 38 = (m/s) = 18 (km/h) Chiều dài xe lửa là : 5.9 + = 54 (m) ………………………………………… Hiện (giả thiết là các kim đồng hồ chạy đúng) Hãy tính xem bao nhiêu phút kim phút đuổi kịp kim ? Giải: Cách 1: GV: Lê Chí Tôn (71) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Gọi S1 và S2 là số vòng mà kim phút và kim đã quay kim phút kịp kim giờ, (vßng) thì : S1 – S2 = Mặt khác khoảng cách tỷ lệ thuận với vận tốc, mà vận tốc kim phút quay gấp 12 lần vận tốc kim nên S1 12 S S S S 12 hay S1 (vßng) S2 12 12 11 4.11 => 4.11 11 Kim phút quay vòng hết 60 phút nên muốn quay 3/11 vòng cần : 16 (phót) 11 11 Vậy sau 16 11 phút thì kim phút đuổi kịp kim 60 Cách 2: Kim phút quay vòng thì kim quay 1/12 vòng Như 60 phút kim phút 11 (vßng) quay nhiều kim - 12 12 Muốn đuổi kịp kim kim phút cần quay 60 16 (phót) 11 11 kim ¼ vòng và thời gian : 12 ……………………………………………………………………………… Giải toán phương pháp lựa chọn: a Nội dung: Trong phương pháp này ta xét trường hợp có thể xảy đối tượng Sau đó chọ xem trường hợp nào đúng với các điều kiện bài toán b Ví dụ: Tìm số có ba chữ số biết bình phương chữ số hàng chục tích hai chữ số và đổi chỗ hai chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho thì số giảm 594 đơn vị Giải: -abc abc XÐt phÐp trõ: cba 594 Gọi số phải tìm là Do a > c nên phép trừ cột đơn vị có nhớ, vì 10 + c – a, tức là a – c = Các số thỏa mãn điều kiện này là : 6b0 , 7b1 , 8b2 , 9b3 vµ b thø tù b»ng 0, 7, 16, 27 Có hai trường hợp thỏa mãn bài toán : GV: Lê Chí Tôn (72) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi * b = 0, số phải tìm là 600 b2 = 16, số phải tìm là 842 ………………………………………… 2 Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng các chữ số nó 12 và đổi chỗ hai chữ số cho thì số lớn số ban đầu là 18 Giải: Gọi số phải tìm là ab Do a + b = 12, a < b nên ta xét các số : 57, 48, 39 có tổng hai chữ số thỏa mãn đề bài Tuy nhiên phải đối chiếu với điều kiện thư hai là ba ab 18 ta có : * 75 – 57 = 18 * 84 – 48 = 36 * 93 – 39 = 54 Như có số 57 là thỏa mãn ………………………………………… Tìm số có ba chữ số biết chữ số hàng chục trung bình cộng hai chữ số và số đó chia hết cho 45 Giải: Gọi số phải tìm là abc Theo bµi th× abc nªn c = hoÆc c = Ta lại có a + b + c mà a + c = 2b nên 3b 9, đó b 3, mà b nên b hoặc * Với b = ta có các số : 630, 135 * Với b = ta có số : 765 * Với b = thì không có số nào thỏa mãn Vậy các số cần tìm là : 630, 135, 765 ………………………………………………………………… Giải toán sử dụng nguyên lý ĐIRICHLÊ: a Nội dung: Nguyên lý này mang tên nhà bác học Đirichlê (1805-1859) : Không thể nhốt thỏ vào cái lồng mà lồng có không quá thỏ Nói cách khác, nhốt thỏ vào cái lồng thì tồn lồng có từ thỏ trở lên b Ví dụ: Một lớp học có 40 học sinh Chứng minh có ít học sinh có tháng sinh giống Giải: Một năm có 12 tháng Ta phân chia 40 học sinh vào 12 tháng Nếu tháng có không quá học sinh sinh thì số học sinh không quá 3.12 = 36 (em) mà 36 < 40 vô lý Vậy tồn tháng có ít học sinh trùng tháng sinh (Trong bài này 40 thỏ ví là 40 HS, 12 lồng ví là 12 tên tháng) …………………………………… GV: Lê Chí Tôn (73) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Chứng minh tồn số tự nhiên k cho 3k tận cùng 001 Giải: Trước hết ta chứng tỏ tồn tạihai lũy thừa có cùng số dư chia cho 1000 Trong phép chia cho 1000, có 1000 số dư là 0, 1, 2,… , 999 Ta xét 1001 số là 3, 32, 33,… , 31001 thì tồn hai số có cùng số dư phép chia cho 1000 Gọi hai số đó là 3m và 3n (1 n < m 1000) Như 3m – 3n chia hết cho 1000, đó 3n.(3m – 1) chia hết cho 1000, suy 3m-1 chia hết cho 1000, tức là số 3m – n tận cùng 001 ………………………………… Người ta thả 130 viên xúc xắc vào bàn cờ Quốc Tế có 64 ô vuông Chứng minh tồn ô vuông bàn cờ chứa viên xúc xắc Giải: Giả sử ô chứa không quá viên xúc xắc thì 64 ô chứa không quá 2.64 = 128 (viên) Mà 128 < 130 Nên có ít ô vuông bàn cờ chứa viên xúc xắc ………………………………………… Chứng minh số tự nhiên bất kỳ, tìm hai số có hiệu chia hết cho Giải: Một số chia cho có số dư là 0, 1, 2, 3, Ta lại có số tự nhiên Như tồn hai số có cùng số dư chia cho 5, hiệu chúng chia hết cho ………………………………………… Chứng minh tồn bội số 1989 viết toàn các chữ số và Giải: 11 Xét 1990 số dạng 1, 11, 111,… , 1990 ch÷ sè Chia các số trên cho 1989, số dư có thể là 0, 1, 2, 3, 4,……,1988 Có 1990 số mà có 1989 số dư nên tồn hai số có cùng số dư, hiệu chúng chia hết cho 1989 Hiệu này gồm toàn chữ số và ………………………………………………………………………………… PHẦN VI : HÌNH HỌC Ở sách GK hình học xây dựng không quan sát, thực nghiệm mà còn suy diễn chặt chẽ, chính xác Người ta định nghĩa khái niệm có sau theo các khái niệm có trước Tuy nhiên không thể định nghĩa khái niệm không thể chứng minh tính chất hình học (bao gặp khái niệm đầu tiên không định nghĩa, tính chất đầu tiên không chứng minh) Chẳng hạn : tam giác ABC định nghĩa là hình tạo ba đoạn thẳng AB, BC, CA ba điểm A, B, C không thẳng hàng ; Đoạn thẳng AB thì định nghĩa là hình gồm điểm A, B và tất các điểm nằm A và B.v.v Điểm, đường thẳng … là các hình hình học GV: Lê Chí Tôn (74) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi không định nghĩa, điểm nằm hai điểm khác… là quan hệ hình học không định nghĩa Người ta hiểu chúng qua các tính chất công nhận mà không chứng minh, đó là các tiên đề I Các tiên đề: Tiên đề (Vị trí điểm và đường thẳng): Với đường thẳng bất kỳ, có điểm thuộc đường thẳng và có điểm không thuộc đường thẳng Tiên đề (Sự xác định đường thẳng): Có và đường thẳng qua hai điểm phân biệt Tiên đề (Thứ tự ba điểm trên đường thẳng): Trong ba điểm thẳng hàng, có và điểm nằm hai điểm còn lại Tiên đề (Sự xác định tia): Mỗi điểm O trên đường thẳng chia các điểm còn lại đường thẳng thành phần : - Nếu hai điểm A và B thuộc cùng phần thì điểm O không nằm chúng - Nếu hai điểm A và B thuộc hai phần khác thì điểm O nằm chúng Tiên đề (Sự xác định nửa mặt phẳng): Mỗi đường thẳng a trên mặt phẳng chia các điểm còn lại thuộc mặt phẳng thành hai phần: - Nếu hai điểm A và B cùng thuộc phần thì đường thẳng akhông cắt đoạn thẳng AB - Nếu hai điểm A và B thuộc hai phần khác nhauthì đường thẳng a cắt đoạn thẳng AB Tiên đề (Độ dài đoạn thẳng): Mỗi đoạn thẳng có độ dài xác định lớn Tiên đề (Cộng độ dài đoạn thẳng): Nếu điểm M nằm hai điểm A và B thì AM + MB = AB Tiên đề (Sự xác định điểm trên tia): Với số m >0 nào, xác định trên tia Ox và điểm M cho OM = m Tiên đề (Số đo góc): Mỗi góc có số đo xác định lớn Số đo (độ) góc bẹt 180 Tiên đề 10 (Cộng số đo góc): Nếu tia Oy nằm hai tia Ox và Oz thì xOy + yOz = xOz Tiên đề 11 (Sự xác định tia trên nửa mặt phẳng): Với số m nào cho < m 1800, xác định trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox và tia Oy cho xOy m II Ví dụ minh họa: Vẽ điểm phân biệt A, B, C, D, E, cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, ba điểm B, C, D thẳng hàng, ba điểm B, C, E không thẳng hàng a Căn vào kiến thức nào mà ta có thể làm ? GV: Lê Chí Tôn (75) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi b Giải thích vì bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường thẳng ? c Vẽ các đường thẳng, đường thằng qua ít điểm điểm nói trên Có bao nhiêu đường thẳng hình vẽ ? (các đường thẳng trùng kể đường thẳng) Giải: a Xét hai điểm B và C Theo tiên đề (sự xác định đường thẳng), có và đường thẳng BC Theo tiên đề (vị trí điểm và đường thẳng), tồn điểm A thuộc đường thẳng BC, tồn điểm D thuộc đường thẳng BC, tồn điểm E thuộc đường thẳng BC E b Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường thẳng BC c Có đường thẳng, đó là các đường thẳng AD, EA, EB, EC, ED ( Đường thẳng AD đại diện cho các đường thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD) …………………………………………… A B C D Cho điểm A, B, C, D, E Vẽ các đường thẳng qua cặp điểm Có thể có bao nhiêu đường thẳng hình vẽ? (các đường thẳng trùng kể là đường thẳng) Giải: a Nếu điểm thẳng hàng thì có đường thẳng b Nếu có điểm thẳng hàng thì có đường thẳng (Ví dụ 1) c Nếu có ba điểm thẳng hàng thì có đường thẳng (hình a) H×nh a H×nh b d Nếu không có ba điểm nào thẳng hàng thì ta có lập luận sau: Chọn điểm, nối điểm đó với điểm còn lại, ta đường thẳng Làm với điểm ta đường thẳng Nhưng đường thẳng đã tính lần, đó tất có 4.5 10 (® êng th¼ng) (hình b) ……………………………………… GV: Lê Chí Tôn (76) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Cho 10 điểm, đó không có điểm nào thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi tất có bao nhiêu đường thẳng Nếu thay 10 điểm n điểm thì số đường thẳng là bao nhiêu? Giải: Chọn điểm, nối điểm đó với điểm còn lại ta đường thẳng Làm với 10 điểm, ta 10.9 đường thẳng, đường thẳng tính lần, đó 10.9 45 (® êng th¼ng) có tất n.(n - 1) (® êng th¼ng) Vậy thay 10 điểm n điểm thì ta có ……………………………………… Điểm C nằm hai điểm A và B, điểm D nằm hai điểm A và C Bằng lập luận, hãy chứng tỏ điểm C nằm hai điểm D và B Giải: Ta chứng tỏ các tia CD và CB là đối Thật vậy: C nằm A và B nên các tia CA và CB đối (1) D nằm A và C nên các tia CA và CD trùng (2) Từ (1) và (2) suy các tia CB và CD D C B A đối Vậy C nằm D và B ……………………………………… Điểm C nằm hai điểm A và B, điểm M nằm hai điểm A và C, điểm N nằm hai điểm C và B a Tia CM trùng với tia nào? Tại sao? b Tia CN trùng với tia nào? Tại sao? c Dùng lập luận để chứng tỏ hai tia CM và CN đối Giải: a Tia CM trùng tia CA vì M nằm A và C b Tia CN trùng với tia CB vì N nằm C và B c Các tia CM, CA trùng nhau, các tia CN, CB trùng Mà các tia CA, CB đối (vì C nằm A và B) Suy các tia CM, CN đối Cho đường thẳng a và hai điểm A, B thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ a và không thuộc a a Giải thích vì đường thẳng a không cắt đoạn thẳng AB? b Vẽ điểm C không thuộc a cho đường thẳng a cắt đoạn thẳng AC Giải thích vì đường thẳng a cắt đoạn thẳng BC? GV: Lê Chí Tôn (77) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Giải: a Đường thẳng a không cắt đoạn thẳng AB vì hai điểm A, B thuộc cùng nửa A mặt phẳng bờ a và không thuộc a a b Đường thẳng a cắt đoạn thẳng AC (A và C không thuộc a) nên A và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ a, mà A và B C thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ a, nên B và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ a (B và C không thuộc a) Do đó đường thẳng a cắt đoạn thẳng BC ……………………………………… B Cho điểm C nằm hai điểm A và B, điểm O nằm ngoài đường thẳng AB Trong các tia OA, OB, OC, tia nào nằm hai tia còn lại, tia nào không nằm hai tia còn lại? Giải thích sao? Giải: O Tia Oy cắt đoạn thẳng AB (A, B không trùng O) điểm C nằm A và B Do đó tia Oy nằm hai tia Ox và Oz A C Tia Ox không cắt đoạn thẳng B BC nên tia Ox không nằm hai y x z tia Oy, Oz Tương t ự, tia Oz không nằm hai tia Ox, Oy ……………………………………… Cho tia Oc nằm hai tia Oa, Ob không đối nhau, tia Om nằm hai tia Oa và Oc, tia On nằm hai tia Oc và Ob Chứng tỏ tia Oc nằm hai tia Om và On Giải: c Lấy các điểm A và B không n m trùng O cho A thuộc tia Oa , B thuộc tia Ob Tia Oc nằm hai B N tia Oa, Ob nên cắt đoạn thẳng AB điểm C nằm A và B Cũng C vậy, tia Om cắt đoạn AC điểm M M nằm A và C, tia On cắt a đoạn CB N nằm C và B A Tia Oc cắt đoạn MN tạ C nằm O M và N nên tia Oc nằm hai tia Om và On GV: Lê Chí Tôn (78) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ………………………………………… Cho hai tia Oa, Ob không đối Lấy các điểm A và B không trùng O cho A thuộc tia Oa, B thuộc tia Ob Gọi C là điểm nằm A và B Gọi M là điểm không trùng O thuộc tia đối tia OC a Tia OM có cắt đoạn AB không? Vì sao? b Tia OB có cắt đoạn AM không? Vì sao? c Tia OA có cắt đoạn BM không? Vì sao? d Trong ba tia OA, OB, OM có tia nào nằm hai tia còn lại không? Giải: a Tia OM không cắt đoạn AB Vì đường thẳng OM cắt đoạn AB C C không thuộc tia OM b Tia OB không cắt đoạn AM B Vì tia OB và đoạn thẳng AM thuộc nửa mặt phẳng đối bờ MC Các C điểm chúng thuộc bờ chung là O A và M lại không trùng Do đó tia a OB không cắt đoạn thẳng AM O M c Giải thích tương tự ta có tia OA không cắt đoạn BM d Từ các câu a, b, c ta suy ba tia OA, OB, OM không có tia nào nằm hai tia còn lại 10 Cho tam giác ABC Đường thẳng a không qua các đỉnh tam giác và cắt cạnh BC tam giác Chứng tỏ đường a cắt và hai cạnh AB, AC Giải: A B a a C B A C Đường thẳng a chia mặt phẳng hai nửa mặt phẳng: nửa mặt phẳng chứa B, nửa mặt phẳng chứa C Điểm A không nằm trên a thuộc hai nửa mặt phẳng trên Nếu A thuộc nửa mặt phẳng chứa B thì đường thẳng a không cắt đoạn thẳng AB (vì A và B thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ a), cắt đoạn thẳng AC (vì A và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối có bờ a) Tương tự ta có: Nếu A thuộc nửa mặt phẳng chứa C thì đường thẳng a không cắt cạnh AC, mà cắt cạnh AB GV: Lê Chí Tôn (79) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Vậy đường thẳng a cắt và hai cạnh AB, AC Ta có định lý (định lý Páp – nhà toán học cổ Hi Lạp kỷ III): Nếu đường thẳng không qua các đỉnh tam giác và cắt cạnh tam giác thì nó cắt và hai cạnh còn lại 11 Cho tam giác ABC, điểm D nằm A và C, điểm E nằm A và B Chứng tỏ rằng: a Tia BD cắt đoạn thẳng CE b Các đoạn thẳng BD và CE cắt Giải: a Tia BD cắt đoạn AC D nằm A và C nên tia BD nằm hai tia BA, BC A Do đó tia BD cắt đoạn thẳng CE D b Từ câu a suy đưởng thẳng BD E cắt đoạn thẳng CE Gọi giao điểm chúng là M, M là giao điểm hai đường thẳng BD và CE (1) Lập B C luận tương tự, đường thẳng CE cắt đoạn thẳng BD Gọi giao điểm chúng là N, N là giao điểm hai đường thẳng CE và BD (2) BD và CE là hai đường thẳng phân biệt nên từ (1) và (2) suy M trùng với N Ta có M thuộc hai đoạn thẳng CE và BD, hai đoạn thẳng này lại không cùng thuộc đường thẳng, đó chúng cắt 12 Trên đường thẳng a lấy các điểm A, B, C cho AB = cm, BC = 1cm Tính độ dài AC Giải: Điểm C không xác định trên đường thẳng a Do đó ta phải xét hai trường hợp: a C thuộc tia đối tia BA.(H.1) A B C H.1 a Khi đó B nằm A và C nên: AC = AB + BC = + = (cm) B A C H.2 a b C thuộc tia BA (hình 2) Khi đó C nằm B và A (vì BC < BA), đó : AB = AC + CB => = AC + => AC = – = (cm) ……………………………………… 13 Cho ba điểm A, B, C trên mặt phẳng Biết AB = cm, AC = cm, BC = cm Chứng tỏ rằng: a A không nằm B và C b B không nằm A và C GV: Lê Chí Tôn (80) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi c C không nằm A và B d Ba điểm A, B, C không thẳng hàng Giải: a Giả sử A nằm B và C, ta có BA + AC = BC, tức là + = 4, điều này vô lý Vậy A không nằm B và C b Giả sử B nằm A và C, ta có AB + BC = AC, tức là + = 3, điều này vô lý Vậy B không nằm A và C c Giả sử C nằm A và B, ta có AC + CB = AB, tức là + = 2, điều này vô lý Vậy C không nằm A và B d Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng thì phải có điểm nằm hai điểm còn lại, trái với các kết trên Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng …………………………………… 14 Điểm B nằm hai điểm A và C cho AC = cm, BC = cm a Tính AB b Trên tia đối tia BA, lấy điểm D cho BD = cm Giải thích vì các tia BD, BC trùng c Chứng tỏ AB = CD Giải: a B nằm A và C nên: A B C D AB + BC = AC => AB + = => AB = (cm) b B nằm A và C nên các tia BA, BC đối Theo đề bài các tia BA, BD đối nhau, các tia BD, BC trùng c C và D thuộc cùng tia gốc B và BC < BD nên C nằm B và D, đó BC + CD = BD => + CD = => CD = (cm) Vậy AB = CD 15 Cho góc xOy khác góc bẹt Giải thích vì xOy 180 Giải: Vẽ tia Oz là tia đối tia Ox (hình vẽ) y Thì tia Oz không trùng tia Oy Các góc xOy và yOz kề bù nên xOy yOz 180 0 Vì yOz nªn xOy 180 z O x 16 Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox, vẽ các tia Oy, Oz không thuộc bờ nửa mặt phẳng Gọi Ox’ là tia đối tia Ox Lấy A, B, C là các điểm không trùng O theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oz, Ox’ a Giải thích vì đường thẳng Oy cắt và hai cạnh BA, BC cư tam giác ABC ? GV: Lê Chí Tôn (81) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi b Giải thích vì Oy cắt và hai đoạn thẳng BA, BC? c Cho biết xOy xOz , giải thích vì tia Oy không thể cắt đoạn thẳng BC, vì tia Oy nằm hai tia Ox và Oz? Giải: a Đường thẳng Oy không qua z B các đỉnh tam giác ABC và cắt cạnh AC nêncắt và hai cạnh BA, BC (Định lý Páp) x' b Tia đối tia Oy không thể cắt C A x các đoạn thẳng BA, BC, mà đường thẳng Oy cắt và hai đoạn thẳng c Giả sử tia Oy cắt cạnh BC thì tia Oy nằm hai tia Ox’ và Oz nên x Oy yOz x Oz Do đó x Oy x Oz, suy 1800 x Oy 1800 - x Oz, tøc lµ xOy xOz, tr ái với đề bài Tia Oy cắt hai đoạn thẳng BA, BC (câu b) mà tia Oy không cắt đoạn thẳng BC nên tia Oy căt đoạn thẳng BA, suy tia Oy nằm hai tia Õ và Oz 17 Cho hai góc kề xOy, xOz mà xOy xOz 180 a Gọi Oy’ là tia đối tia Oy Chứng tỏ các tia Oy’ và Oz trùng b Hai tia Oy và Oz có vị trí nào nhau? Giải: ’ a Các tia Oz, Oy thuộc cùng y nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox (1) Các góc xOy, xOy’ kề bù nên: O x 1800 xOy, xOy xOz 1800 xOy mà z (theo đề bài) y' Suy xOy xOz (2) Chứng tỏ Oy’ và Oz trùng b.Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox, ta có các tia Oz và Oy ’ mà =xOz xOy nên các tia Oz và Oy’ trùng Vậy Oy và Oz là hai tia đối 18 Cho tam giác ABC có  = 80 Điểm D nằm B và C cho BAD 20 Trên nửa mặt phẳng chứa B có bờ AC, vẽ tia Ax cho CAx 25 , tia này cắt CB E GV: Lê Chí Tôn A (82) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi a Chứng tỏ E nằm D và C b Tính DAE ? Giải: a D nằm B và C nên tia AD nằm hai tia AB, AC nên: BAD DAC BAC 0 => 20 DAC 80 DAC 60 Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ AC, ta có các tia AE, AD mà CAE CAD nªn tia AE n»m gi÷a hai tia AC, AD Do đó E nằm D và C 0 b DAE 60 25 35 19 Trên tia Ax lấy các đểm B và C cho AB = cm, AC = cm a O là điểm nằm ngoài đường thẳng AB Biết AOC 400 , COB 500 TÝnh AOB ? b Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = cm Tính EB ? Giải: a C, B thuộc tia Ax mà AC < AB A nên C nằm A và B, đó: AOB AOC COB 400 500 900 b C nằm A và B nên các tia E B C A AC, AB trùng nhau, mà các tia AC, AE đối nhau, nên các tia AB, AE đối Vậy A nằm E và B Do đó: EB = EA + AB = + = 12 (cm) GV: Lê Chí Tôn x (83)