De thi HSG lop 9

Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và AB lần lượt tại E và F.. -Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2011-2012 Môn : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi :18/02/2012 ĐỀ DỰ BỊ (Đề thi có trang) Câu 1:(2,0 điểm ) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c Câu 2:(2,0 điểm ) Rút gọn : A = 62 3  12  18  128 2 2     2011.2013 Câu 3:(2,0 điểm ) Tính P = 1.3 3.5 5.7 Câu 4:(2,0 điểm ) Gọi C là điểm trên nửa đường tròn (O) đường kính AB (C khác A,B).Tia BC cắt tiếp tuyến A (O) M Tiếp tuyến C với (O) cắt AM I Chứng minh IA = IM x x  1 Câu 5:(1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = Câu 6:(1,5điểm) Cho số a,b cho ab 0 Chứng minh : a 2  b   a  b  2010 2011 2012 Câu 7:(1,5điểm) Chứng minh :   chia hết cho 84 Câu 8:(1,5điểm) Cho (O;R) và (O’;r) (R>r) cắt Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB ( A   O; R  , B   O ', r  ) Chứng minh : AB  Rr Câu 9:(1,5điểm) Giải phương trình : x4 - 30x2 + 31x - 30 = Câu 10:(1,5điểm) Cho tam giác ABC vuông A(AB < AC)có trung tuyến AM.Gọi số đo góc ACB là α Số đo góc AMB β Chứng minh rằng: ( sin α + cos α )2 = + sin β Câu 11:(1,5điểm) Cho a, b, c > thoả mãn: a  b  c  abc 1 Tính giá trị biểu thức: B  a(1  b)(1  c)  b(1  c)(1  a)  c(1  a)(1  b)  abc  2012 Câu 12:(1,5điểm) Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và AB E và F AE AI  Chứng minh rằng: BF BI HẾT -Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh : Giám thị 1: .Ký tên Số Báo danh Giám thị 2: .Ký tên SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP TẠO NĂM HỌC 2011-2012 LÂM ĐỒNG Môn : TOÁN Ngày thi :18/02/2012 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ VÀ THANG ĐIỂM Câu 1:(2,0 điểm ) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c Từ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca  2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca  (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 =  (a – b) = (b – c) = (c – a) =  a=b=c Câu 2:(2,0 điểm ) Rút gọn : A = 62 3 A = A= A= A= 62 3  12  18  128  12   62 3 42 62 2 62   1 = 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 62 4 = 1 0,5đ 0,5đ 2 2     2011.2013 Câu 3:(2,0 điểm ): Tính P = 1.3 3.5 5.7 1 3 1 7 = 2012 2013 P = 1− + − + − + P = 1− 2013 1 − 2011 2013 1đ 1đ Câu 4:(2,0 điểm ) Gọi C là điểm trên nửa đường tròn (O) đường kính AB (C khác A,B).Tia BC cắt tiếp tuyến A (O) M Tiếp tuyến C với (O) cắt AM I Chứng minh IA = IM M C Chứng minh OI  AC Chứng minh OI//MB Chứng minh I là trung điểm AM  IA=IM I A O 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ B x x  1 Câu 5:(1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M =  37 1  x    36 M = 0,5đ M 37 36  0,5đ  giá trị nhỏ M là  37 36 x=1/3 0,5đ a Câu 6:(1,5điểm) Cho số a,b cho ab 0 Chứng minh :   a  b  a  b 2 b 2   a  b  (1)   a  b  0 (1) 0,5đ   a  b  [ a  b    a  b  ] 0 0,5đ   a  b  4ab 0 (2) (2) đúng nên (1) đúng , dấu “ =” xảy a = b 0,5đ 2010 2011 2012 Câu 7:(1,5điểm) Chứng minh :   chia hết cho 84 42010  42011  42012 42010    42  0,5đ 0,5đ 0,5đ 2010 = 21 2009 = 84M84 Câu 8:(1,5điểm) ( A   O; R  , B   O ', r  Cho (O;R) và (O’;r) (R>r)cắt Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB ).Chứng minh : AB  Rr Vẽ O’C//AB =>ABO’C là hình chữ nhật => AB = O’C O'C = OO'2 - OC2 A B C O 0,25đ  O 'C  OO '   R  r   AB  OO '   R  r  O' 2 0,5đ OO’< R+r => OO’ < (R+r)  AB   R  r   R  r 2 0,25đ  AB  4Rr  AB  Rr 0,5đ Câu 9:(1,5điểm) Giải phương trình x4 - 30x2 + 31x - 30 = x4 -30x2 + 31x - 30 =  (x2 - x + 1)(x - 5)(x + 6) = (*) Vì x2 - x + = (x - 1/2)2 + 1/4 >  x  0  x 5  x  0   x    (*)  (x - 5)(x + 6) =   0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu 10:(1,5điểm) Cho tam giác ABC vuông A( AB < AC) có trung tuyến AM.Gọi số đo góc ACB là α Số đo góc AMB β Chứng minh rằng: ( sin α + cos α )2 = + sin β Từ A vẽ AH BC A Vì AB < AC nên HB < HC Do đó H nằm B và M β Nên sin 0,5đ AH 2AH = AM = BC ( Vì AM = BC) B H M C Mặt khác: (sin α + cos α ¿ = sin2 α + cos2 α + 2sin α cos α = + 2sin α cos α AH.BC 2AH AB AC  BC BC BC BC Mà 2sin cos =2 =2 Do đó sin β = 2sin α cos α Vì (sin α + cos α ¿ = 1+ sin β α α 0,5đ 0,5đ Câu 11:(1,5điểm) Cho a, b, c > thoả mãn: a  b  c  abc 1 Tính giá trị biểu thức: B  a(1  b)(1  c)  b(1  c)(1  a)  c(1  a)(1  b)  abc  2012 Ta có a  b  c  abc 1  a  abc 1  b  c  0,25đ a(1  b)(1  c)  a(1  b  c  bc)  a(a  abc  bc)  (a  abc) a  abc Tương tự : 0,5đ b(1  c)(1  a) b  abc c(1  a)(1  b) c  abc 0,25đ Khi đó B a  b  c  abc  abc  2012 a  b  c  abc  2012 2013 0,5đ Câu 12:(1,5điểm) Cho tam giác ABC vuông tai A có AB <AC Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Đường AE AI  thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và AB E và F Chứng minh rằng: BF BI Chứng minh AEI đồng dạngIFB 0,5đ AE AI EI    IF BI FB (1) Chứng minh IE=IF (2) 0,5đ AE AI  Từ (1,2) chứng minh BF BI 0,5đ HẾT Ghi chú: Nếu học sinh giải đúng cách khác thì giám khảo biểu điểm điểm tương ứng