Đang tải... (xem toàn văn)
Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 780.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN GIAO THỦY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018-2019MÔN TOÁN LỚP 6 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (6 điểm)
1 Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98 99
2 Cho biểu thức B = 2 2 2 2
1 1 1 1
5 6 7 100
Chứng tỏ rằng: 6 1
< B < 4 1
Bài 2: (2 điểm) Tìm số nguyên x biết:
0 00 1 2 2
2 1 2
x x x
: 518 Bài 3 : ( 6 điểm).
1 Cho abc - deg 7 Chứng minh rằng abcdeg 7.
2 Tìm số nguyên x, y sao cho: Error: Reference source not found Error: Reference source not found = Error: Reference source not found
Bài 4 ( 4 điểm)
Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 780 Tính n ?
Bài 5:( 2 điểm) Tìm các chữ số a, b sao cho:
a – b = 4 và 7 ba5 1 3
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN LỚP 6
Bµi 1: ( 6 ®iÓm)
1 TÝnh tæng A= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98 99 2,5 ®iÓm
3.A= 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 98.99.3 0,75®iÓm
= 1.2.3 + 2.3 (4 - 1) + 3.4.( 5 - 2) + + 98.99.( 100 - 97) 0,75®iÓm = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + + 98.99.100 - 97.98.99
= 1.2.3 -1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5- - 97.98.99 + 98.99.100 = 98.99.100
0,5 ®iÓm
A = 98.99.100: 3 = 970200: 3 =323400
0,5 ®iÓm
2 Cho biểu thức B = 2 2 2 2
1 1 1 1
5 6 7 100
Chứng tỏ rằng: 6 1
< B < 4 1
3,5 ®iÓm
Ta cã 1
52 < 1 4 5
1
62 <
1 5 6
1
72 < 1 6 7
⋮
1
1002 < 1 99 100
⇒ B < 1
4 5 + 1 5 6 +
1
6 7 +…+
1 99 100
B < 1
4−
1 5+
1 5−
1 6+
1 6−
1 7+ +
1 99 −
1 100
B < 1
4−
1 100 <
1
4 (1)
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
Ta cã 1
52 > 1 5 6
1
62 >
(3)1
72 >
1
7 8
⋮
1
1002 >
1 100 101
⇒ B > 1
5 6 + 1 6 7 +
1
7 8 + …+
1 100 101
B > 1
5−
1 6+
1
6−
1 7+
1
7−
1 8+ +
1
100−
1 101
B > 1
5− 1
101 =
96 505 >
96
576 =
1 6
B > 1
6 (2)
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
Tõ (1) vµ (2) ⇒
1
6 < 2 2 2 2
1 1 1 1
5 6 7 100 < 14 0,5 ®iÓm
Bµi 2: ( 2 ®iÓm) T×m số nguyªn x biÕt
2x.2x+1 2x+2=1 00 0⏟
❑ : 5 ❑
18
2x +x+1 +x+ 2 = 10
❑18 : 5 ❑18 1 ®iÓm
2 ❑3 x+3 = 2
❑18 0,5 ®iÓm
3x+3 =18
x = 5 0,5 ®iÓm B i 3 :à ( 6 ®iÓm)
1, Cho abc - deg ⋮ 7 Chøng minh r»ng abc deg ⋮ 7 3 ®iÓm
Ta cã abc deg = 1000 abc + deg 0,5 ®iÓm
= (1001-1) abc + deg = 1001 abc - abc + deg = 1001 abc - (
abc - deg )
1 ®iÓm
V× 1001 abc = 7.143 abc ⇒ 7.143 abc ⋮ 7 (1) 0,5 ®iÓm abc - deg ⋮ 7 ( theo bµi ra) (2) 0,5 ®iÓm
Tõ (1) vµ (2) ⇒ abc deg ⋮ 7 0,5 ®iÓm
2, T×m sè nguyªn n sao cho n ❑2 + 2 ⋮ n + 1 3 ®iÓm
Ta cã n ❑2 + 2 = n ( n+1) + n+ 1 [−(¿)] + 3
1®iÓm
V× n ( n+1) ⋮ (n+1) 0,5 ®iÓm
vµ -(n+1) ⋮ (n+1) 0,5 ®iÓm
§Ó n ❑2 + 2 ⋮ n + 1 th× 3 ⋮ n + 1 hay n+ 1 ¦(3)=
{−1 ;1;− 3 ;3}
0,5 ®iÓm
n {−2 ;0 ;− 4 ;2} 0,5 ®iÓm
B i 4à ( 4 ®iÓm)
Mỗi đờng thẳng cắt n-1 đờng thẳng còn lại tạo nên n-1 giao điểm 0,5 điểm
Có n đờng thẳng nên có n(n-1) giao điểm 0,5 điểm
(4)Nhng mỗi giao điểm đã đợc tính 2 lần nên số giao điểm là n(n −1)
2
0,5 ®iÓm
Vậy với n đờng thẳng trong đó bất cứ hai đờng thẳng nào cũng cắt nhau, không
có ba đờng thẳng nào đồng quy có n(n −1)
2 giao ®iÓm (1)
0,5 ®iÓm
Theo bài ra với n đờng thẳng trong đó bất cứ hai đờng thẳng nào cũng cắt
nhau, không có ba đờng thẳng nào đồng quy Biết rằng số giao điểm của cỏc đ-ờng thẳng đó là 780 (2)
0,5 ®iÓm
Tõ (1) vµ (2) ⇒ n(n −1)
2 = 780
0,5 ®iÓm
n (n-1) = 780.2 = 1560= 39.40 0,5 ®iÓm Mµ n vµ n-1 lµ hai sè tù nhiªn liªn tiÕp ⇒ n= 40 0,5 ®iÓm Bµi 5:( 2 ®iÓm) T×m c¸c ch÷ sè a, b sao cho
a - b = 4 vµ 7 a 5 b 1 ⋮ 3
V× 7 a 5 b 1 ⋮ 3 ⇒ 7+a+5+b+1 ⋮ 3 ⇒ a+b + 13 ⋮ 3 ⇒ a+b +
1 ⋮ 3
0,25®iÓm
Mµ 0<a+b 18 nªn a+b {2;5 ;8 ;11;14 ;17} (1) 0,25®iÓm V× a-b = 4 ch½n nªn a vµ b cïng lÎ hoÆc cïng ch½n ⇒ a+b ch½n (2) 0,25®iÓm
Tõ (1) vµ (2) ⇒ a+b {2; 8;14} 0,25®iÓm
+ NÕu a+b = 2 vµ a-b =4 th× a= 2+4
2 =3 ; b= 2-3=-1 N ( lo¹i)
0,25®iÓm
+ NÕu a+b = 8 vµ a-b =4 th× a= 8+4
2 =6 ; b= 8-6= 2 ( chän)
0,25®iÓm
+ NÕu a+b = 14 vµ a-b =4 th× a= 14+4
2 =9 ; b= 14-9= 5 ( chän)
0,25®iÓm
VËy a = 6 th× b = 2
a = 9 th× b= 5 0,25®iÓm
Ghi chú: Các cách giải khác đúng giáo viên chấm và cho điểm tương ứng với số điểm từng câu, từng phần như trong hướng dẫn trên.