Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng tổng diện tích hai hình trăng khuyết giới hạn bởi ba nửa đường tròn bằng diện tích tam giác ABC.. Gọi M, N, P là ba điểm lần lượt lấy trên các cạnh BC, CD và DA sao cho t[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) Ngày thi: 16/12/2012 ( Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1: ( điểm) Cho biểu thức P = 2x x 2x x x x : x x 1 x x 1 x a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P biết x 7 c) Tìm giá lớn a để P > a Câu 2: ( điểm) Cho các số a, b, c, x, y, z thoả mãn điều kiện: x by cz , y ax cz , z ax by , 1 2 x y z 0 Chứng minh a b c Câu 3: ( điểm) Cho n số nguyên dương (không thiết khác nhau) đó có số 68 Trung bình cộng n số đó 56 Khi bỏ số 68 đó thì trung bình cộng n-1 số còn lại 55 a) Tìm n; b) Số lớn n số đã cho có thể bao nhiêu? Câu 4: ( điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp nửa đường tròn đường kính BC Vẽ phía ngoài tam giác các nửa đường tròn đường kính AB và AC Chứng minh tổng diện tích hai hình trăng khuyết giới hạn ba nửa đường tròn diện tích tam giác ABC (diện tích hình tròn có bán kinh là r tính công thức S = r ) Câu 5: ( điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh là a Gọi M, N, P là ba điểm lấy trên các cạnh BC, CD và DA cho tam giác MNP là tam giác a) Chứng minh: CN2 – AP2 = DP.BM b) Xác định vị trí M, N, P cho tam giác MNP có diện tích bé ( Hết) (2) HƯỚNG DẪN THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 02 trang) Câu a) *Điều kiện P có nghĩa x 1; x 2x x 2x x x x : 1 x x x 1 x x P= x ( x 1)(2 x 1) x (2 x 1)( x 1) (1 x ) x (1 x )(1 x ) (1 x )(1 x x) = : x (2 x 1) x (2 x 1) (1 x ) x (1 x (1 x x) = : x1 1 x x x x (2 x 1) (1 x ) x (1 x )(1 x x) = : x1 (1 x )(1 x x) (2 x 1) = (1 x ) x 1 b) = xx x * Tính giá trị P biết x 7 Ta có x 7 = (2 3) x 2 , đó: 1 c) P= 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,75 điểm 0,75 điểm xx x =3 P= * Tìm giá lớn a để P > a 1 điểm xx x 2 x x = x điểm x 1 P 1 Đẳng thức xảy và P = x = x x 1 , không thoả mãn điều kiện P>1 Do đó giá trị lớn a để P > a là a =1 Câu điểm điểm Cộng vế với vế các đẳng thức ta được: x y z 2(ax by cz ) Do x y z 0 nên ax by cz 0 điểm Cộng vế các đẳng thức cho ax, by, cz ta được: điểm (a 1) x ax by cz;(b 1) y ax by cz;(c 1) z ax by cz 1 x y z Suy ra: a b c ax by cz ax by cz ax by cz = điểm (3) điểm x yz 2 = ax by cz Câu a) b) điểm điểm 56n 68 55 n 13 Ta có n Tổng 13 số đã cho : 56.13 = 728 Trong 13 số đó có số 68, tổng 12 số còn lại bằng: 728-68 = 660 Số lớn 12 số còn lại đạt 11 số 1, đó số lớn bằng: 660 -11 = 649 điểm điểm điểm Câu 4 điểm 0,5 điểm Đặt BC = 2a; CA = 2b; AB = 2c Diện tích tam giác ABC là S1= 2b 2c = 2bc Diện tích nửa hình tròn đường kính AB, AC, BC là: 2 c b a S2 = ; S3 = ; S4 = Tổng diện tích hai hình trăng khuyết là: S = S1 + S2 + S3 – S4 1 2 (c b ) a a a S = 2bc + = 2bc + - = 2bc= S1 (đpcm) 0,5 điểm 1,5 điểm 0,5 điểm điểm Câu a) Ta có MN2 = MC2 + CN2 = (a - BM)2 + CN2 Lại có: MP2 = AB2 + (BM – AP2 ) = a2 + (BM – AP2 )2 (a - BM)2 + CN2 = a2 + (BM – AP2 ) BM2 – 2aBM + CN2 = BM2 – 2BM.AP + AP2 CN2 – AP2 = 2a BM – 2BM.AP = 2BM( a – AP) = BM DP Vậy CN – AP2 = 2BM DP b) điểm điểm MP Ta có: SMNP = , đó SMNP nhỏ MP ngắn MP = a MP// AB Khi đó: PND = MCN ND = NC a N là trung điểm CD còn CM = DP = D điểm C N P A M (4) B (Hết) (5)