Bài soạn Đề tham khảo HSG lớp 9

ĐỀ THAM KHẢO THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010-2011 MÔN : TOÁN 9 THỜI GIAN : 150 PHÚT Câu 1 (3điểm). Cho a > o, b > o. Chứng minh: 2 ab ab a b ≤ + . Câu 2 (4điểm). Tính tổng sau: axaxax a axax a axax a 4 1 )4)(3()3)(2()2)(( + + ++ + ++ + ++ Câu 3 (5điểm). Giải phương trình. 05 2001 9 2003 7 2005 5 2007 3 2009 1 =− − + − + − + − + − xxxxx Câu 4.(3điểm) Cho biểu thức 2 1 1 1 . 2 2 1 1 a a a M a a a     − + = − −  ÷  ÷  ÷  ÷ + −     với a > 0 và 1a ≠ . a) Rút gọn biểu thức M. b) Tìm giá trị của a để M > 0. Câu 5 (5 điểm). Cho đường ròn tâm (O), bán kính R, A và B là hai điểm trên đường tròn. Trên OA, OB lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho OM = ON, kẻ dây CD qua M và N (M nằm giữa C và N). a) Chứng minh rằng: CM = DN. b) Cho tam giác AOB vuông tại O. Tính OM và ON theo R. Biết CM = MN = ND. ---HẾT--- ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010-2011 MÔN : TOÁN 9 THỜI GIAN : 150 PHÚT Câu 1. Áp dụng bất đẳng thức Cối cho hai số dương ta có: 2 .a b a b≤ + 1.0 điểm ( ) . . 2 . . . a b a b a b a b a b a b ⇒ ≤ + + + 1.0 điểm 2 . ab a b a b ≤ + 1.0 điểm Câu 2. Ta có: axaxaxax a 2 11 )2)(( + − + = ++ 1.0 điểm axaxaxax a 3 1 2 1 )3)(2( + − + = ++ 1.0 điểm axax axaxaxax a 4 1 4 1 4 1 3 1 )4)(3( + = + + − + = ++ 1.0 điểm Cộng các đẳng thức trên vế với vế ta được: axaxaxax a axax a axax a + = + + ++ + ++ + ++ 1 4 1 )4)(3()3)(2()2)(( 1.0 điểm Câu 3. Ta có: 01 2001 9 1 2003 7 1 2005 5 1 2007 3 1 2009 1 05 2001 9 2003 7 2005 5 2007 3 2009 1 =       − − +       − − +       − − +       − − +       − − ⇔ =− − + − + − + − + − xxxxx xxxxx 1.5 điểm 0 2001 2010 2003 2010 2005 2010 2007 2010 2009 2010 = − + − + − + − + − ⇔ xxxxx 1.5 điểm 0 2001 1 2003 1 2005 1 2007 1 2009 1 )2010( =       ++++−⇔ x 1.0 điểm 2010 02010 =⇔ =−⇔ x x Vậy { } 2010 = S 1.0 điểm Câu 4. a) 2 1 1 1 . 2 2 1 1 a a a M a a a     − + = − −  ÷  ÷  ÷  ÷ + −     1.0 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 . 1 . 2 1 1 a a a a a a a − − +   − =  ÷  ÷ + −   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 . 1 2 1 . 4 1 4 4a 2 1 a a a a a a a a a a a a a a − − + − − −   =  ÷ −   − − − = = − = 1.0 điểm b) Do a > 0 và 1a ≠ nên M > 0 khi và chỉ khi 1 0 1 0 1 a a a a − > ⇔ − > ⇔ < 1.0 điểm Câu 5. Học sinh tự vẽ hình. a) Chứng minh CM = DN Kẻ O DI C⊥ thì: IC = ID và IM = IN (do tam giác OMN cân tại O) CM IM DN IN CM DN ⇒ + = + ⇒ = 1.0 điểm b) Đặt 2 2IM x MN IM x= ⇒ = = Ta có: 3IC CM IM MN IM x = + = + = 1.5 điểm Tam giác OIC vuông tại I, ta có: 2 2 2 2 2 2 9 (1) OI OC IC OI R x = − ⇒ = − 1.0 điểm Tam giác MON vuông cân tại O nên OI = IN = x Từ (1) 2 2 2 2 2 9 10 2. 2. 10 5 5 R x R x x OM ON IM OI R x R ⇒ = − ⇔ = ⇒ = = + = = = 1.5 điểm . ĐỀ THAM KHẢO THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010-2011 MÔN : TOÁN 9 THỜI GIAN : 150 PHÚT Câu 1 (3điểm). Cho a >. )4)(3()3)(2()2)(( 1.0 điểm Câu 3. Ta có: 01 2001 9 1 2003 7 1 2005 5 1 2007 3 1 20 09 1 05 2001 9 2003 7 2005 5 2007 3 20 09 1 =       − − +       − −