Bài soạn Đề tham khảo HSG lớp 9

ĐỀØ THI HỌC SINH GIỎI THAM KHẢO NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI : TOÁN 9 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 2 2 2 )3 6 3 3 ) 5 4 a x xy y z b x x + + − + + Câu 2: (3 đ) Chứng tỏ rằng biểu thức 2 2 5 5 9 : 6 3 6 9 x Q x x x − −   = +  ÷ + + +   không phụ thuộc vào biến x (với mọi x ≠ 3) Câu 3: (3 đ) Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết rằng tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 144. Câu 4: (4 đ) Giải các phương trình sau: ( ) ( ) 3 2 ) 2 2 4 0 2 ) 2( 3) 2 2 1 3 a x x x x x x b x x x x − − + = + = − + + − Câu 5: (4 đ) Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại E. Chứng minh rằng: a) Tam giác BDE là tam giác cân b) ACD BDC∆ = ∆ . (BT 18, SGK Đại số 8, tập 1 trang 75). Câu 6: (4 đ) Tính diện tích hình thang ABCD có đường cao bằng 12cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, BD = 15cm. (VD 1 Sách nâng cao trang 84) HẾT ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )3 6 3 3 3( 2 ) 3 2 3 3( )( ) a x xy y z x xy y z x xy y z x y z x y z x y z + + − = + + −   = + + −     = + −   = + + + − ( ) ( ) 2 2 2 ) 5 4 4 4 4 4 + + = + + + = + + + b x x x x x x x x ( 1) 4( 1) ( 1)( 4) = + + + = + + x x x x x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Ta có: 2 2 2 5 5 9 : 6 3 6 9 5( 3) 30 ( 3)( 3) : 6( 3) ( 3) 5 15 3 : 6( 3) 3 5( 3) 3 . 6( 3) 3 x Q x x x x x x x x x x x x x x x x − −   = +  ÷ + + +   − + + − + = + + − + − = + + − − + = + − 5 6 − = không phụ thuộc vào biến x 1,0 1,0 1,0 3 Gọi k là số tự nhiên chẵn thì số tự nhiên chẵn liền trước k là k – 2 và số tự nhiên liền sau k là k + 2. Theo đề bài ta có: k(k + 2) – k(k – 2) = 144 2 2 2 2 144 4 144 36 k k k k k k ⇔ + − + = ⇔ = ⇔ = Vậy ba số tự nhiên liên tiếp phải tìm là 34, 36, 38 1,0 1,0 0,5 0,5 4 3 2 2 2 2 ) 2 2 4 0 ( 2) 2( 2) 0 ( 2)( 2) 0 2 0 2 0 2 2 a x x x x x x x x x x x x − − + = ⇔ − − − = ⇔ − − = − =  ⇔  − =  =  ⇔  = ±  Vậy pương trình có nghiệm là x=2, 2, 2x x= = − . ( ) ( ) 2 ) (1) 2( 3) 2 2 1 3 x x x b x x x x + = − + + − ĐKXĐ: 1, 3x x≠ ≠ ( 1) ( 3) 4 (1) 2( 1)( 3) 2( 1)( 3) x x x x x x x x x + + − ⇔ = + + + + ( 1) ( 3) 4suy ra x x x x x+ + − = 2 2 2 3 4 0 2 6 0 2 ( 3) 0 2 0 0 ( 3 0 3 ( ) x x x x x x x x x x x TM x x ⇔ + + − − = ⇔ − = ⇔ − = = =   ⇔ ⇔   − = =   ĐK) loại Vậy phương trình có nghiệm là x = 0. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 5 a) Vì AB // DC (gt) ⇒ AB // DE và AC // BE (gt) Do hai đường thẳng song song (AB // DE) chắn bởi hai đường thẳng song song (AC // BE) ⇒ AC = BE Mà AC = BD (gt) Suy ra BD = BE Xét tam giác BDE có BD = BE Vậy tam giác BDE cân tại B (đpcm) b) Vì tam giác BDE cân tại B nên ta có : D 1 = E (1) Vì AC // BE (gt) và E và C 1 là hai góc đồng vò Nên C 1 = E (2) Từ (1) và (2) suy ra D 1 = C 1 Xét hai tam giác ACD và BDC có: AC = BD (gt) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 E D C B A D 1 = C 1 (chứng minh trên) DC là cạnh chung. Vậy ∆ = ∆ − −ACD BDC c g c( ) 0,5 0,5 6 E H D C B A Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Gọi BH là đường cao của hình thang. Ta có BE // AC, AC ⊥ BD nên BE ⊥ BD. Áp dụng đònh lí Py-ta-go cho tam giác BDH, ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BH HD BD 12 HD 15 HD 15 12 225 144 81 HD 9 (cm). + = ⇒ + = ⇒ = − = − = ⇒ = Xét tam giác BDE vuông tại B. 2 2 BD DE.DH 15 DE.9 DE 225 : 9 25 (cm). = ⇒ = ⇒ = = Ta có AB = CE nên AB + CD = CE + CD = DE = 25 (cm) Do đó S ABCD = 25.12 : 2 = 150 (cm 2 ). 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 . ĐỀØ THI HỌC SINH GIỎI THAM KHẢO NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI : TOÁN 9 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (2. HD 15 HD 15 12 225 144 81 HD 9 (cm). + = ⇒ + = ⇒ = − = − = ⇒ = Xét tam giác BDE vuông tại B. 2 2 BD DE.DH 15 DE .9 DE 225 : 9 25 (cm). = ⇒ = ⇒ = = Ta có