Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.. Cho tam g[r]
(1)Chủ đề : Vectơ và các phép toán vectơ A Kh¸i niÖm vÐc t¬ Cho ABC Có thể xác định đợc bao nhiêu vectơ khác ⃗0 Cho tø gi¸c ABCD a/ Cã bao nhiªu vect¬ kh¸c ⃗0 → b/ Gäi M, N, P, Q lÇn lît lµ trung ®iÓm AB, BC, CD, DA CMR : → = NP MQ Cho ABC Gäi M, N, P lÇn lît lµ trung ®iÓm AB, BC, CA → a/ Xác định các vectơ cùng phơng với MN → b/ Xác định các vectơ NP → → → Cho hai h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ABEF Dùng c¸c vect¬ EH vµ FG b»ng AD CMR : ADHE, CBFG, DBEG lµ h×nh b×nh hµnh → → Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD Từ C vẽ CI = DA CMR : → → → a/ I lµ trung ®iÓm AB vµ DI = CB → → b/ AI = IB = DC → → Cho ABC Gäi M, N, P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AD Dùng MK = CP vµ → → KL = BN → → a/ CMR : KP = PN → c/ CMR : AL = ⃗0 b/ H×nh tÝnh tø gi¸c AKBN B C¸c phÐp to¸n vÐct¬ → → → → Cho ®iÓm A, B, C, D CMR : AC + BD = AD + BC Cho ®iÓm A, B, C, D, E → CMR : AB → → → + CD + EA → → → = CB + ED → → → → Cho ®iÓm A, B, C, D, E, F CMR : AD + BE + CF = AE + BF + CD → → → → → → Cho ®iÓm A, B, C, D, E, F, G, H CMR : AC + BF + GD + HE = AD + BE + → → GC + HF Gäi O lµ t©m cña h×nh b×nh hµnh ABCD CMR : → → → → a/ DO + AO = AB → → b/ OD + OC = BC → → → → c/ OA + OB + OC + OD = 0⃗ M lµ ®iÓm tïy ý) → → → → d/ MA + MC = MB + MD (víi → → → → Cho tø gi¸c ABCD Gäi O lµ trung ®iÓm AB CMR : OD + OC = AD + BC → 10 Cho ABC Tõ A, B, C dùng vect¬ tïy ý AA ' → CMR : AA ' → + BB ' → + CC ' → = BA ' → , BB ' → + CB ' 11 Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a TÝnh | AB AD | theo a 12 Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, biÕt AB = 3a; AD = 4a → , CC ' → + AC ' (2) a/ TÝnh | AB AD | theo a b/ Dùng 13 Cho ABC vu«ng t¹i A, biÕt AB = 6a, AC = 8a → → → ⃗ | u AB + AC = TÝnh | ? ⃗u ⃗ b/ TÝnh | v | ? → a/ Dùng ⃗v = AB +AC OA, OB, OC , OD có độ dài 14 Cho tø gi¸c ABCD, ⃗ ⃗ ⃗biÕt ⃗ r»ng tån t¹i mét ®iÓm O cho c¸c vÐc t¬ b»ng vµ OA OB OC OD = Chøng minh ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt Cho ABC Gäi M, N, P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AB vµ O lµ ®iÓm tïy ý → → → → a/ CMR : AM + BN + CP = ⃗0 → → → OM + ON + OP → → b/ CMR : OA + OB + OC = → → 15 Cho ABC cã träng t©m G Gäi MBC cho BM = MC → → → → → → → a/ CMR : AB + AC = AM b/ CMR : MA + MB + MC = MG 16 Cho tø gi¸c ABCD Gäi E, F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, CD vµ O lµ trung ®iÓm cña EF → → → → a/ CMR : AD + BC = EF → → → b/ CMR : OA + OB + OC + OD = ⃗0 → → → → → c/ CMR : MA + MB + MC + MD = MO (víi M tïy ý) −→ −→ −→ −→ d/ Xác định vị trí điểm M cho MA + MB + MC + MD nhỏ 17 Cho tø gi¸c ABCD Gäi E, F, G, H lÇn lît lµ trung ®iÓm AB, BC, CD, DA vµ M lµ ®iÓm tïy ý → → → → a/ CMR : AF + BG + CH + DE = ⃗0 → → → → → → → → b/ CMR : MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH → → → → c/ CMR : AB + AC + AD = AG (víi G lµ trung ®iÓm FH) → → → → 18 Cho hai ABC vµ DEF cã träng t©m lÇn lît lµ G vµ H CMR : AD + BE + CF = GH 19 Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã t©m O vµ E lµ trung ®iÓm AD CMR : → → → → a/ OA + OB + OC + OD = 0⃗ → → → → EB + EA + ED = EC → → → → → b/ EA + EB + EC = AB → → c/ → Cho ®iÓm A, B, C, D CMR : AB CD = AC + DB 20 Cho ®iÓm A, B, C, D, E, F CMR : → → → → → → → a/* CD + FA BA ED + BC FE = ⃗0 → → → → EB = MA EA FB → → → → → → b/ AD MB → c/ MA DC FE = CF MB + MC 21 Cho ABC Hãy xác định điểm M cho : → → → a/ MA MB + MC = 0⃗ → → → c/ MB MC + MA = → → → MA MB + BC = ⃗0 → → → b/ MB MC + BC = 0⃗ → → → d/ MA MB MC = ⃗0 ⃗0 22 Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã AB = 3a, AD = 4a → e/ MC + (3) | AB AD | a/ TÝnh → ⃗ → b/ Dùng ⃗u = CA AB TÝnh | u | 23 Cho ABC cạnh a Gọi I là trung điểm BC ⃗ ⃗ | AB AC | a/ TÝnh ⃗ ⃗ | BA BI | b/ TÝnh ⃗ ⃗ TÝnh | AB AC | 24 Cho ABC vu«ng t¹i A BiÕt AB = 6a, AC = 8a Cho ABC Gäi M, N, P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AB vµ O lµ ®iÓm tïy ý → → → a/ CMR : AM + BN + CP = 0⃗ → → ON + OP → → → → b/ CMR : OA + OB + OC = OM + → → Cho ABC cã träng t©m G Gäi M BC cho BM = MC → → → → → → → a/ CMR : AB + AC = AM b/ CMR : MA + MB + MC = MG 25 Cho tø gi¸c ABCD Gäi E, F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, CD vµ O lµ trung ®iÓm cña EF → → → → a/ CMR : AD + BC = EF → → → b/ CMR : OA + OB + OC + OD = ⃗0 → → → → → c/ CMR : MA + MB + MC + MD = MO (víi M tïy ý) 26 Cho tø gi¸c ABCD Gäi E, F, G, H lÇn lît lµ trung ®iÓm AB, BC, CD, DA vµ M lµ ®iÓm tïy ý → → → → a/ CMR : AF + BG + CH + DE = ⃗0 → → → → → → → → b/ CMR : MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH → → → → c/ CMR : AB + AC + AD = AG (víi G lµ trung ®iÓm FH) → → → → 27 Cho hai ABC vµ DEF cã träng t©m lÇn lît lµ G vµ H CMR : AD + BE + CF = GH 28 Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã t©m O vµ E lµ trung ®iÓm AD CMR : → → → → a/ OA + OB + OC + OD = ⃗0 → → → → EB + EA + ED = EC → → → → b/ EA + EB + EC = AB c/ 29 Cho tam gi¸c ABC, Gäi I lµ ®iÓm trªn c¹nh BC cho 2CI = 3BI, gäi J lµ ®iÓm trªn BC kÐo dµi cho 5JB = 2JC a) TÝnh AI , AJ theo AB, AC ⃗ AG AI b) Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC TÝnh theo vµ AJ Cho ABC cã M, D lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, BC vµ N lµ ®iÓm trªn c¹nh AC cho: → = → NC Gäi K lµ trung ®iÓm cña MN → → → 1 a/ CMR : AK = + AB AC → AC AN → b/ CMR : KD = → → AB → → + 30 Cho ABC Trªn hai c¹nh AB, AC lÊy ®iÓm D vµ E cho AD = DB , CE = → EA Gäi M lµ trung ®iÓm DE vµ I lµ trung ®iÓm BC CMR : → a/ AM = → AB + → AC → b/ MI = → AB + (4) → AC → → → 31 Cho ®iÓm A, B, C, D tháa AB + AC = AD CMR : B, C, D th¼ng hµng → → → → → → 32 Cho ABC, lÊy M, N, P cho MB = MC ; NA +3 NC = ⃗0 vµ PA + PB = ⃗0 → → → → a/ TÝnh PM , PN theo AB vµ AC b/ CMR : M, N, P th¼ng hµng 33 Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm 34 Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý Gọi A’, B’, C’ lần lợt là điểm đối xứng M qua các trung ®iÓm K, I, J cña c¸c c¹nh BC, CA, AB a/ Chứng minh ba đờng thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui b/ Chứng minh M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC 35 Cho tam gi¸c ABC T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M tho¶ m·n tng ®tÒu kiÖn sau : ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ c/ ⃗ b/ MA MB MC O a/ MA MB ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ C d/ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ C | ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ C e/ | C Trục - Toạ độ trên trục: Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ lần lợt là 2 và ⃗ a/ Tìm tọa độ AB b/ Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB → → c/ Tìm tọa độ điểm M cho MA + MB = ⃗0 d/ Tìm tọa độ điểm N cho NA + NB = 1 36 Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ lần lợt là a, b, c a/ Tìm tọa độ trung điểm I AB = ⃗0 → → → → b/ Tìm tọa độ điểm M cho MA + MB MC → → c/ Tìm tọa độ điểm N cho NA NB = NC 37 Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ lần lợt là 3 và a/ Tìm tọa độ điểm M cho MA MB = b/ Tìm tọa độ điểm N cho NA + NB = AB 38 Trªn trôc x'Ox cho ®iÓm A(2) ; B(4) ; C(1) ; D(6) a/ CMR : AC + AD = AB b/ Gäi I lµ trung ®iÓm AB CMR : IC ID=IA c/ Gäi J lµ trung ®iÓm CD CMR : AC AD=AB AJ D Toạ độ trên mặt phẳng: Viết tọa độ các vectơ sau : a⃗ = ⃗i ⃗j , ⃗b = ⃗j ; ⃗d = ⃗i ; ⃗e ⃗i + ⃗j ; c⃗ = ⃗i + = 4 ⃗j 39 ViÕt díi d¹ng u⃗ = x ⃗i + y ⃗j , biÕt r»ng : ⃗u = (1; 3) ; ⃗u = (4; 1) ; ⃗u = (0; 1) ; ⃗u = (1, 0) ; ⃗u = (0, 0) 40 Trong mp Oxy cho ⃗a = (1; 3) , ⃗b = (2, 0) Tìm tọa độ và độ dài các vectơ : a/ ⃗u = ⃗a ⃗b ; b/ ⃗v = ⃗a + ⃗b ; c/ ⃗ w = ⃗a ⃗b (5) 41 Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2) → → → a/ Tìm tọa độ các vectơ AB , AC , BC → b/ Tìm tọa độ trung điểm I AB → → c/ Tìm tọa độ điểm M cho : CM = AB AC → → → d/ Tìm tọa độ điểm N cho : AN + BN CN = ⃗0 42 Trong mp Oxy cho ABC cã A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2) a/ CMR : ABC c©n TÝnh chu vi ABC b/ Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD là hình bình hành c/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC 43 Trong mp Oxy cho ABC cã A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1) a/ CMR : ABC vu«ng TÝnh diÖn tÝch ABC b/ Gäi D(3; 1) CMR : ®iÓm B, C, D th¼ng hµng c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành 44 Trong mp Oxy cho ABC cã A(3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4) a/ CMR : A, B, C kh«ng th¼ng hµng b/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC c/ Tìm tọa độ tâm I đờng tròn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đờng tròn đó 45 Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3) H·y t×m trªn trôc hoµnh c¸c ®iÓm M cho ABM vu«ng t¹i M 46 Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5) a/ H·y t×m trªn trôc hoµnh ®iÓm C cho ABC c©n t¹i C b/ TÝnh diÖn tÝch ABC c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành 47 Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0) a/ CMR : A, B, C kh«ng th¼ng hµng b/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC c/ CMR : ABC vu«ng c©n d/ TÝnh diÖn tÝch ABC Cho ABC víi trung tuyÕn AM Gäi I lµ trung ®iÓm AM → → → → a/ CMR : IA + IB + IC = ⃗0 b/ Víi ®iÓm O bÊt kú CMR : OA → → + OB → + OC = OI 48 Cho h×nh b×nh hµnh ABCD t©m O Gäi I lµ trung ®iÓm BC vµ G lµ träng t©m ABC → → → → → → → a/ CMR : AI = AO + AB b/ CMR : DG = DA + DB + DC → → → → 49 Cho ABC LÊy trªn c¹nh BC ®iÓm N cho BC = BN TÝnh AN theo AB vµ → AC 50 Cho h×nh b×nh hµnh ABCD t©m O Gäi I vµ J lµ trung ®iÓm cña BC, CD → → → → → → a/ CMR : AI = ( AD + AB ) b/ CMR : OA + OI + OJ = 0⃗ → → → c/ T×m ®iÓm M tháa : MA MB + MC = 0⃗ 51 Cho ABC vµ ®iÓm M tïy ý → → → → → → a/ Hãy xác định các điểm D, E, F cho MD = MC + AB , ME = MA + BC → → → vµ MF = MB + CA CMR c¸c ®iÓm D, E, F kh«ng phô thuéc ®iÓm M → → → → → → b/ CMR : MA + MB + MC = MD + ME + MF 52 Cho ABC T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M tháa ®iÒu kiÖn : → → → → → a/ MA = MB b/ MA + MB + MC = ⃗0 → c/ MA + (6) → → → MB = MA MB → → → → d/ MA + MB = MA + MB → → → → e/ MA + MB = MA + MC → → → 53 Cho ABC có trọng tâm G Gọi D và E là các điểm xác định AD = AB , AE = → AC → → → → → a/ TÝnh AG , DE , DG theo AB vµ AC b/ CMR : D, E, G th¼ng hµng → → 54 Cho ABC Gọi D là điểm xác định AD = → → → a/ TÝnh AM theo AB vµ AC vµ M lµ trung ®iÓm ®o¹n BD AC b/ AM c¾t BC t¹i I TÝnh IB IC vµ AM AI 55 Trªn mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2) a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách điểm A và B b/ TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch OAB c/ Tìm tọa độ tâm OAB d/ §êng th¼ng AB c¾t Ox vµ Oy lÇn lît t¹i M vµ N C¸c ®iÓm M vµ N chia ®o¹n th¼ng AB theo c¸c tØ sè nµo ? e/ Phân giác góc AOB cắt AB E Tìm tọa độ điểm E f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành Bài 1: Cho điểm A, B, C, D Chứng minh : ⃗ ❑ 1) AB DC BD CA ⃗ ❑ ⃗ ❑ ⃗ ❑ 2) AB − CD=AC − BD Bài 2: Cho hình bình hành ABCD , tâm O và M là điểm tùy ý Chứng minh : 1) 2) ⃗ ❑ ⃗ ❑ ⃗ ❑ ⃗ ❑ ⃗ ❑ ⃗ ❑ ⃗ ❑ 3) AB CD BC DA AB + AC + AD =2 AC ⃗ ❑ ⃗ ❑ ⃗ ❑ ⃗ ❑ ⃗ ❑ ⃗ ❑ 4) MA +MB +MC +MD=4 MO MA + MC=MB + MD Bài 3: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AD, BC ; O là trung điểm MN Chứng minh: 1) AB CD AC DB 2) MN AB DC AD BC 2) OA OB OC OD 4) IA IB IC ID 4 IO với I Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi I , J , M , N là trung điểm AC , BD , AD và BC Chứng minh : 1) 2) ⃗ ❑ ⃗ ❑ ⃗ ❑ ⃗ ❑ ⃗ ❑ ⃗ ❑ AB + DC=2MN ⃗ ❑ ⃗ ❑ 3) AB + CD=2IJ ⃗ ❑ ⃗ ❑ ⃗ ❑ ⃗ ❑ 4) IM +IN =IJ MN +IJ =AB Bài 5: Cho tứ giác ABCD và M, N, P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA Gọi O là ⃗ ❑ ⃗ ❑ giao điểm MP và NQ Chứng minh rằng: OM ON OP OQ Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC và CA Chứng minh : ⃗ ⃗ ❑ ❑ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ⃗❑ 1) AM + BN = AC 3) AM + BN + AP + BM=MC ⃗ ❑ 2) AM BN CP 0 4) CM + AP =CN Bài 7: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh rằng: 1) GA GB GC 2) 3OG OA OB OC với điểm O Bài 8: Cho lục giác ABCDEF M, N, P, Q, R, S trung điểm AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm (7) Bài 9: Cho tam giác ABC, AM là đường trung tuyến và I là trung điểm AM Chứng minh: 1) IA IB IC 0 ⃗ ❑ ⃗ ❑ ⃗ ❑ ⃗ ❑ 2) Với điểm O bất kỳ, chứng minh : OA +OB + OC=4 OI Bài 10: Cho tam giác ABC, bên ngoài tam giác, vẽ các hình bình hành ABIF, BCPQ, CARS Chứng minh rằng: RF IQ PS Bài 11: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng B qua G 1) Chứng minh rằng: AH AC AB CH ( AB AC ) 3 1) 2) MH AC AB 6 2) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: Bài 12: Cho tam giác ABC Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng với A qua C Chứng minh với điểm O bất kì ta có: OA OB OC OA ' OB ' OC ' Baøi 13: Cho tam giaùc ABC Xaùc ñònh ñieåm M thoûa maõn ñieàu kieän: 1) MA MB MC 2) MA MB 3) MA MB MC Baøi 14: Cho hai vectô a (2; 1) , b 3 i j vaø c (7; 2) 1) Tìm toạ độ vectơ u 2 a b c 2) Tìm toạ độ vectơ x cho x a b c 3) Tìm các số k, l để c k a l b Baøi 15: Cho ba ñieåm A(1; 4), B(-2; 1) vaø OC 3 i j 1) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng 2) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn thẳng BC, điểm B chia đoạn thẳng AC và điểm C chia đoạn thẳng AB Baøi 16: Cho ba ñieåm A(0; -4), B(-5; 6) vaø C(3; 2) 1) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng 2) Tính chu vi tam giaùc ABC 3) Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC 4) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Baøi 17: Cho tam giaùc ABC coù A(-2; 8), B(-6; 1) vaø C(0; 4) 1) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông 2) Tính dieän tích tam giaùc ABC Baøi 18: Cho hai ñieåm A(-3; 2) vaø B(4; 3) 1) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua B 2) Tìm toạ độ điểm M trên trục Ox cho tam giác MAB vuông M 3) Tìm toạ độ điểm N trên trục Oy và cách hai điểm A, B Baøi 19: Cho ba ñieåm A(2; 5), B(1; 1) vaø C(3; 3) 1) Tìm toạ độ điểm D cho AD 3 AB AC 2) Tìm toạ độ điểm E cho ABCE là hình bình hành Tìm toạ độ tâm hình bình hành đó Bài 20: Cho tam giác ABC với A(-4; 5), B(1; 2) và C(3; 4) 1) Tìm toạ độ điểm M là trung điểm cạnh BC (8) 2) Tính độ dài trung tuyến AM 3) Tìm toạ độ trọng tâm G tamgiác ABC 4) Gọi K là đỉnh thứ tư hình bình hành BGCK Chứng tỏ A, M, K thẳng hàng (9)