Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 37 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
37
Dung lượng
2,2 MB
Nội dung
Tốn 12 (Thầy Lương Đồn Nhân BIÊN SOẠN) Chươn g -1- I TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Định nghĩa Ký hiệu K khoảng, đoạn, nửa khoảng Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) K x1,x2 �K ,x1 x2 � f(x1) f(x2) Đồ thị hàm số y = f(x) đồng biến K có hình dạng lên từ trái sang phải Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) K x1,x2 �K ,x1 x2 � f(x1) f(x2) Đồ thị hàm số y = f(x) nghịch biến K có hình dạng xuống từ trái sang phải Hàm số đồng nghịch biến K gọi chung hàm số đơn điệu K Định lí *Nếu f’(x) > 0, x K hàm số f(x) đồng biến K Bảng biến thiên x a b y' + y *Nếu f’(x) < 0, x K hàm số f(x) nghịch biến K Bảng biến thiên x y' a b – y Chú ý Nếu f’(x) = 0, x K hàm số f(x) không đổi K Nếu f’(x) 0, x K (f’(x) 0, x K ) f’(x) = số hữu hạn điểm hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) K Tốn 12 (Thầy Lương Đồn Nhân BIÊN SOẠN) II TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Bước Bước Tìm TXĐ D hàm số y = f(x) Tính đạo hàm: y’ = f’(x) Tìm điểm xi mà f’(xi) = f’(xi) không xác định Bước Lập bảng biến thiên Sắp xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải, xét dấu đạo hàm khoảng, dựa vào định lí đơn điệu khoảng đồng biến, nghịch biến Ví dụ Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a/ y x2 4x b/ y x3 3x2 c/ y x3 3x2 3x 2020 d/ y x4 3x2 1 e/ y x4 x2 x 3x y x1 x2 i/ y 2 x f/ y 2x x j/ y x g/ y 2 3 x h/ k/ y x2 4x mx đồng biến khoảng xác định x Lưu ý Trường hợp y’ = ax2 bx c (a 0) � a Hàm số đồng biến R � � �0 � Ví dụ Định m để hàm số y � a Hàm số nghịch biến R � � �0 � Ví dụ Định m để hàm số y x3 mx2 m nghịch biến khoảng xác định Ví dụ Có giá trị ngun m để hàm số y (m 1)x3 (m 1)x2 2x 5m nghịch biến khoảng xác định? A B C D mx 4m (m tham số) Số giá trị nguyên m để xm hàm số nghịch biến 2; � là: A B C D Ví dụ Cho hàm số y Tốn 12 (Thầy Lương Đồn Nhân BIÊN SOẠN) III TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 BÀI TẬP 1.1 Từ đến (tr 9, 10 SGK) 1.2 Tìm khoảng tăng, giảm hàm số: 10 a y x3 3x2 8x b y x4 4x2 c y 2x5 5x4 x3 3 x x x d y e y f y 3x x2 x x h y 4x 3x 2020 g y x2 x 1.3 Tìm m để hàm số a y mx3 (m 1)x2 3(m 2)x đồng biến tập xác định x b y nghịch biến khoảng xác định x m mx 8m c y đồng biến 10; � xm 1.4 Cho hàm số y = m 1 x3 (m 1)x2 (5m 6)x Tìm m để: 3 a y’ 0, với x b y’ = có nghiệm phân biệt âm c y’ = có nghiệm phân biệt thỏa: x12 x22 1.5 Chứng minh rằng: � � x2 0; � a cosx 1 b sinx + tanx > 2x, x �� x �0 � 2� - x +6 đồng biến khoảng x +m 1.6 Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y = (10; +�)? A B C Vô số D 3 Tốn 12 (Thầy Lương Đồn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 x +2 đồng biến khoảng x +3m 1.7 Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y = (- �; - 6)? A B C D Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) -2I TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ĐỊNH NGHĨA CỰC TRỊ CỦA HS Nếu có (a;b) chứa x0 f(x) < f(x0), x (a;b) \ {x0} x0 gọi điểm cực đại hàm số Nếu có (a;b) chứa x0 f(x) > f(x0), x (a;b) \ {x0} x0 gọi điểm cực tiểu hàm số * f(x0) gọi giá trị cực đại (cực tiểu) hàm f(x), gọi tắt cực đại (cực tiểu) * Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị * Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị * Nếu x0 điểm cực trị hàm số f(x) ta nói hàm số f(x) đạt cực trị tại x0 Chú ý a/ Giá trị cực đại (cực tiểu) hàm số f giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f TXĐ b/ Một hàm số f đạt cực đại hay cực tiểu nhiều điểm TXĐ cực trị nói chung khác Hàm số f khơng có cực trị tập hợp cho trước c/ Nếu x0 điểm cực trị hàm số f điểm (x0, f(x0)) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f II ĐỊNH LÝ VỀ CỰC TRỊ CỦA HS Định lí Nếu f(x) có đạo hàm x0 đạt cực trị x0 f’(x0) = Quy tắc Nếu f’(x) đổi dấu x qua điểm x hàm số đạt cực trị điểm x0 Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 hàm số đạt cực đại điểm x0 Tốn 12 (Thầy Lương Đồn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 hàm số đạt cực tiểu điểm x0 Quy tắc Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp (a;b) chứa điểm x 0, f’(x0) = 0, hàm số f có đạo hàm cấp khác điểm x0 thì: Nếu f”(x0) < hàm số f(x) đạt cực đại điểm x0 Nếu f”(x0) > hàm số f(x) đạt cực tiểu điểm x0 Chú ý: - Đạo hàm f′ điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0 - Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm - Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số 0, hàm số khơng có đạo hàm III VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ Tìm điểm cực trị hàm số: a/ y x2 4x b/ y x3 x2 2x c/ y x4 2x2 e/ y x4 2020 Chú ý: Hàm số dạng y = axn + b không nên dựa vào y’’ để xét cực trị x x m 1 x 1/ Định m để hàm số có cực đại cực tiểu (y’ đổi dấu lần) 2/ Định m để hàm số đạt cực đại x = 1 (Giải cách) Ví dụ Cho hàm số y IV BÀI TẬP Dạng Tìm điểm cực trị hàm số 2.1 Tìm cực trị hàm số: a y 2x3 9x2 12x c y = x4 2x2 2 e y x3 x2 x 3 2.2 Tìm cực trị hàm số: x2 3x x1 2.3 Tìm cực trị hàm số: a y a y x x2 b y x 1 x2 2.4 Tìm cực trị hàm số: a y x2 x x5 x3 2 d y 2x4 8x2 b y f y x3 2x2 8x b y x 3 x c y x x 2 b y x 3x 2.5 Tìm cực trị hàm số (dùng dấu hiệu 2): a y x sin 2x b y 2x tan x d/ y x Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Dạng Định tham số để hàm số có cực trị thỏa điều kiện cho trước 2.6 Cho hàm số y x3 3(m 1)x2 12m2x m Định m để hàm số có a hai điểm cực đại cực tiểu b đạt cực tiểu x = x2 m2x Định m để hs có điểm cực trị x1 2.8 Cho hàm số y x3 3(m 1)x2 m(m 1)x 2m2 3m Định m để hàm số có a cực trị trái dấu b điểm cực trị x = 2.9 Cho hàm số y (m 2)x3 mx Tìm m để hàm số khơng có cực trị 2.7 Cho hàm số y 2.10 Định m để hàm số y x4 mx có: a cực trị b ba cực trị c ba cực trị tạo thành tam giác vuông 2.11 Đường thẳng qua hai cực trị đồ thị hàm số y x3 3x tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích bao nhiêu? 2.12 Tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số y x4 2x2 đến đường thẳng : x my - Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) -3I TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ ĐỊNH NGHĨA � x D :f(x) M M maxf(x) � � x0 �D :f(x0) M D � � x D :f(x) m m minf(x) � � x0 �D :f(x0) m D � II PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN – PhươngGTNN pháp Lập bảng biến thiên hàm số y = f(x) tập D Phương pháp Tìm GTNN, GTLN hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a;b]: Tìm điểm x1, x2,…,xn khoảng (a;b), f’(x) = f’(x) khơng xác định; Tính f(a), f(x1), f(x2),…, f(xn), f(b); Tìm số lớn M số nhỏ m số Ta có: M maxf(x); m minf(x) III CÁC VÍ DỤ [a;b] [a;b] Ví dụ Tìm GTLN GTNN hàm số sau: a/ y 3 4x x2 b/ y x 5 x x [3;4] d/ y x3 6x2 5trên [1;5] x Ví dụ Cho nhơm hình vng cạnh 12cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x(cm), gập nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn c/ y A x C x B x D x Chú ý - Nếu m f(x) , x (a; b) m �Maxf(x) (a;b) - Nếu m f(x) , x (a; b) m �minf(x) (a;b) - Hàm đa thức có GTLN (GTNN) (a; b) có GTLN (GTNN) [a; b] Ví dụ Số giá trị nguyên m �[2021;2021] để hàm số y mx x 3x m đồng biến (3;0) là: A 2020 2019 B 2021 C 2022 D Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) IV TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 BÀI TẬP Dạng Tìm GTLN – GTNN hs [a; b] 3.1 Tìm GTLN, GTNN hàm số: a y 2x3 9x2 [-1;2] b y 3x4 4x3 24x2 48x [0;2] x5 x3 [-2;1] 3.2 Tìm GTLN, GTNN hàm số: c y a y x2 3x [1;4] x b y 1 2x [4;6] x c y 2x2 x [0;1] 3.3 Tìm GTLN, GTNN hàm số: a y x2 6x x2 b y x x2 d y x 1 3x2 6x 3.4 Tìm kích thước hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn nội tiếp đường trịn (O) có bán kính R cho trước c y x 4 x Dạng Tìm GTLN – GTNN hs (a; b) 3.5 Tìm GTLN, GTNN (nếu có) hàm số: a y 4x3 3x4 b y x 2 (x > 0) c y 2x x2 x Dạng Tìm GTLN – GTNN hs lượng giác 3.6 Tìm GTLN, GTNN hàm số: � � � � ; � 0; � a y sin2x x � b y 2cos2 x x � � 2� � 2� 3.7 Tìm GTLN, GTNN hàm số: a y = cos 2x + cos x b y cos2 x 4sinx 3.8 Tìm GTLN, GTNN hàm số: cosx 2sinx a y 3cosx 4sinx b y 2cosx sinx Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) -4I TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐỊNH NGHĨA Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị (C) M(x;y) điểm thay đổi (C) Ta nói (C) có nhánh vơ cực hai x y điểm M(x;y) dần tới � � Khi đó, điểm M(x;y) dần tới � � Đường thẳng d gọi đường tiệm cận (tiệm cận) (C) khoảng cách MH (khoảng cách từ M (C) đến d) dần tới M dần tới � (hoặc �) (Căn vào vị trí đường thẳng mptđ,…) II CÁC LOẠI TIỆM CẬN Tiệm cận đứng f(x) � … đường Nếu xlim �x thẳng d: x = x0 tiệm cận đứng đồ thị (C) Chú ý: x = x0 tiệm cận đứng x nghiệm mẫu (tức làm cho mẫu 0), x0 không nghiệm tử (tử số khác 0) Tiệm cận ngang f(x) y0 … Nếu xlim �� đường thẳng d: y = y tiệm cận ngang đồ thị (C) Đồ thị hàm số ln có khơng q tiệm cận ngang 10 Tốn 12 (Thầy Lương Đồn Nhân BIÊN SOẠN) -2I TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 LÔGARIT KHÁI NIỆM a Định nghĩa: Cho số dương a, b với a Số thỏa đẳng thức a = b gọi lôgarit số a b kí hiệu loga b loga b � a b b Ví dụ: �log2 16 � 24 16 0,01 100 c Tính chất: Cho số dương a, b với a log a1 �log10(0,01) 2 � 102 aloga b b loga a loga(a ) Ví dụ: Tính 9log3 Ghi nhớ b>0 loga b II số 0 0, b1.b2 > với a loga b1b2 loga b1 loga b2 b Ví dụ: Tính log30 450 theo a b, biết a log30 3, b log30 Lôgarit thương a Khái niệm: Cho số dương a, b1, b2 với a 23 Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 �b � loga � � loga b1 loga b2 �b2 � Đặc biệt: Cho a > 0, b > a 1: loga loga b b Chú ý Cho a > 0, b1.b2 > với a �b � loga � � loga b1 loga b2 �b2 � b Ví dụ: Cho log10 a Tính log10 theo a Lơgarit lũy thừa Cho số dương a, b với a Với : loga b .loga b Đặc biệt: Cho a > 0, b > a 1: loga n b Chú ý Cho a > 0, b 0, với a loga b n loga b2 2.loga b Ví dụ: Tính loga a a a (0 < a 1) III ĐỔI CƠ SỐ Cho số dương a, b, c với a 1, c logc b loga b logc a Đặc biệt: Cho a > 0, b > a 1: loga b ; logb a loga b Ví dụ 1: Tính log40 30 theo a b, biết log10 a log10 b �a � � Ví dụ 2: Cho loga b Tính loga2.b � � 3� �b � Ví dụ 3: Tính A 22log4 5log12 Ví dụ 4: So sánh log2 log3 11 IV LÔGARIT THẬP PHÂN – LÔGARIT TỰ NHIÊN Lôgarit thập phân: log10 b l ogb lgb 24 loga b ( �0) Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) V TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 n � 1� 1 � �2,7183 Lôgarit tự nhiên: loge b ln b ; với e lim � � n� BÀI TẬP 2.1 Bài đến (tr 68 SGK) 2.2 Rút gọn: a/ A 36log6 101lg2 3log3 36 c/ 2.3 1 logb a C b.a loga b1 2a b loga b b/ ab 1 loga3 b B (loga b logb a 1)loga a b 1 loga b a/ Biết lg 196 = a; lg 56 = b Tính lg(0,175)4 b/ Biết loga 27 = m Tính log a 2.4 Cho x > 0, y > thỏa x2 + 4y2 = 12xy CMR: lg(x + 2y) – 2lg2 = - (lgx lgy) 25 ... 4 x Dạng Tìm GTLN – GTNN hs (a; b) 3.5 Tìm GTLN, GTNN (nếu có) hàm số: a y 4x3 3x4 b y x 2 (x > 0) c y 2x x2 x Dạng Tìm GTLN – GTNN hs lượng giác 3.6 Tìm GTLN, GTNN hàm số:... TẬP LỚP 12 BÀI TẬP Dạng Tìm GTLN – GTNN hs [a; b] 3.1 Tìm GTLN, GTNN hàm số: a y 2x3 9x2 [-1;2] b y 3x4 4x3 24x2 48x [0;2] x5 x3 [-2;1] 3.2 Tìm GTLN, GTNN hàm số: c y a y x2... LỚP 12 GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ ĐỊNH NGHĨA � x D :f(x) M M maxf(x) � � x0 �D :f(x0) M D � � x D :f(x) m m minf(x) � � x0 �D :f(x0) m D � II PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN – PhươngGTNN pháp