0 Câu III 1 điểm Tính tích phân Câu IV 1 điểm Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm O của tam giác[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN SỐ 32 Ngày 30 tháng năm 2013 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Gọi d là đường thẳng qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho hai tiếp tuyến (C) M và N vuông góc với Câu II (2điểm) x y( x y ) 4 y ( x 1)( x y 2) y Giải hệ phương trình: (x, y R ) 3 sin x sin x cos x cos x tan x tan x 6 3 Giải phương trình: I x ln( x x 1)dx Câu III (1 điểm) Tính tích phân Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa a2 BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn biểu 1 P 2 a b b 2c c a thức PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh làm hai phần: Phần Phần 2) Phần 1.Câu VI.a (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho parabol (P): y x x và elip (E): x2 y 1 Chứng minh (P) giao (E) điểm phân biệt cùng nằm trên đường tròn Viết phương trình đường tròn qua điểm đó Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình 2 x y z x y z 11 0 và mặt phẳng () có phương trình 2x + 2y – z + 17 = Viết phương trình mặt phẳng () song song với () và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi 6 x x Câu VII.a(1điểm) Tìm hệ số số hạng chứa x2 khai triển nhị thức Niutơn 2Cn0 22 23 2 n 1 n 6560 Cn Cn Cn n 1 n 1 n k , biết n là số nguyên dương thỏa mãn: ( Cn là số tổ hợp chập k n phần tử) Phần Câu VI.b (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1: x + y + = 0, d2: x + 2y - 7= và tam giác ABC có A(2 ; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d1 và điểm C thuộc d2 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – = Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (P) Tìm 2 giá trị nhỏ biểu thức MA MB MC (2) e x y e x y 2( x 1) x y e x y Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình (x, y R ) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ 32 Câu 1: 1, Khảo sát hàm số y x x Tập xác định: R Sự biến thiên: lim y lim ( x 3x 4) , lim y lim (x 3x 4) x x x a) Giới hạn: x b) Bảng biến thiên: y' = 3x - 6x, y' = x = 0, x = Bảng biến thiên: x - + y' + 0 + + y - - Hàm số đồng biến trên (- ; 0) và (2; + ), nghịch biến trên (0; 2) - Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = 4, đạt cực tiểu x = 2, yCT = Đồ thị: Đồ thị giao với trục tung (0; 4), giao với trục hoành (-1; 0),(2; 0) Nhận điểm uốn I(1; 2) làm tâm đối xứng y x -1 O Câu1 : 2,Tìm m để hai tiếp tuyến vuông góc d có phương trình y = m(x – 3) + Hoành độ giao điểm d và (C) là nghiệm phương trình x 3 x 3x m(x 3) (x 3)(x m) 0 x m 0 Theo bài ta có điều kiện m > và y' ( m ).y' ( m ) 18 3 35 (3m m )(3m m ) 9m 36 m 0 m (thỏa mãn) Câu 2: 1, Giải hệ phương trình đại số Ta thấy y = không phải là nghiệm hệ x2 x y 2 y x2 1 x (x y 2) 1 u , v x y y y Hệ phương trình tương đương với Đặt Ta có hệ x 1 1 u v 2 y u v 1 x y 1 uv 1 Suy (3) Giải hệ trên ta nghiệm hpt đã cho là (1; 2), (-2; 5) Câu 2: 2,Giải phương trình lương giác sin x sin x cos x cos x 0 6 3 6 3 Điều kiện: tan x tan x tan x cot x 6 3 6 6 Ta có sin x sin 3x cos x cos 3x Phương trình đã cho tương đương với cos 2x cos 2x cos 4x cos 2x cos 2x cos 4x 2 2 1 2(cos 2x cos 2x cos 4x) cos 2x cos 2x x k (lo¹i) x k x k , (k Z) Vậy phương trình có nghiệm , (k Z) Câu 3:Tính tích phân Đặt u ln(x x 1) dv xdx 2x dx du x x 1 v x / 1 1 x2 2x x 1 2x dx ln(x x 1) dx ln (2 x 1)dx dx 2 x x 1 20 x x 1 x x 1 1 1 3 ln x x ln(x x 1) I ln I 0 2 4 4 dx I 2 x x tan t, t , 2 2 * Tính I1: Đặt I /3 /3 (1 tan t )dt 3 I1 t / tan t /6 3 I ln 12 Suy Vậy Câu 4: Gọi M là trung điểm BC, gọi H là hình chiếu vuông góc M lên AA’, Khi đó (P) (BCH) Do góc A ' AM nhọn nên H nằm AA’ Thiết diện lăng trụ cắt (P) là tam giác AM a a , AO AM 3 BCH Do tam giác ABC cạnh a nên a2 a2 a S BCH HM.BC HM 8 Theo bài AH AM HM C’ A’ B’ H 3a 3a 3a 16 A' O HM Do hai tam giác A’AO và MAH đồng dạng nên AO AH AO.HM a a a A' O AH 3a suy A C O B 1aa a V A' O.S ABC A' O.AM.BC a 23 12 Thể tích khối lăng trụ: Câu : Tìm giá trị lớn M (4) 1 1 2 Ta có a2+b2 2ab, b2 + 2b a 2b a b b 2 ab b 1 1 1 , 2 Tương tự b 2c bc c c 2a ca a 1 1 ab b P ab b bc c ca a ab b b ab ab b 1 a = b = c = Vậy P đạt giá trị lớn a = b = c = Câu 6a: 1,Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của(E) và (P) Hoành độ giao điểm (E) và (P) là nghiệm phương trình x2 (x x) 1 x 36x 37x 0 (*) P Xét f (x) 9 x 36x 37 x , f(x) liên tục trên R có f(-1)f(0) < 0, f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < suy (*) có nghiệm phân biệt, đó (E) y x x x y 1 cắt (P) điểm phân biệt Toạ độ các giao điểm (E) và (P) thỏa mãn hệ 8x 16x 8y x 9y 16x 8y 0 x 9y 9 (**) 4 161 I ; 9 , bán kính R = (**) là phương trình đường tròn có tâm Do đó giao điểm (E) và (P) cùng nằm trên đường tròn có phương trình (**) Câu 6a: 2,Viết phương trình mặt phẳng () Do () // () nên () có phương trình 2x + 2y – z + D = (D 17) Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R = Đường tròn có chu vi 6 nên có bán kính r = 2 2 Khoảng cách từ I tới () là h = R r 4 2.1 2( 2) D D 4 D 12 2 2 ( 1) D 17 (lo¹i) Do đó Vậy () có phương trình 2x + 2y – z - = 2 Câu 7a : Tìm hệ số x Ta có I (1 x) n dx C 0n C 1n x C 2n x C nn x n dx 0 1 22 23 2 n 1 n C 0n x C 1n x C 2n x C nn x n 1 C C C Cn n n n n 1 suy I n 1 (1) n 1 1 I (1 x) n 1 n 1 n 1 Mặt khác (2) 2C 0n 22 23 2 n 1 n n 1 C n C n Cn n 1 n 1 Từ (1) và (2) ta có n 1 6560 n 1 6561 n 7 n 1 Theo bài thì n 7 x C 7k x Ta có khai triển x k 7 k k C 7k x 2 x 14 k (5) 14 3k 21 2 k 2 C7 4 Số hạng chứa x2 ứng với k thỏa mãn Vậy hệ số cần tìm là Câu b:1, Viết phương trình đường tròn Do B d1 nên B = (m; - m – 5), C d2 nên C = (7 – 2n; n) 2 m n 3.2 m n m m n m n n 1 Do G là trọng tâm tam giác ABC nên Suy B = (-1; -4), C= (5; 1) Giả sử đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x y 2ax 2by c 0 Do A, B, C (C) nên ta có hệ 4 4a b c 0 1 16 2a 8b c 0 25 10a 2b c 0 Vậy (C) có phương trình a 83 / 54 b 17 / 18 c 338 / 27 x2 y2 83 17 338 x y 0 27 27 7 ; ;3 Câu 6b :2, Tìm giá trị nhỏ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy G = 3 2 2 Ta có F MA MB MC MG GA MG GB MG GC 3MG GA GB GC MG(GA GB GC) 3MG GA GB GC F nhỏ MG2 nhỏ M là hình chiếu G lên (P) 7/3 8/3 3 19 56 32 104 64 MG d(G, ( P )) GA GB GC 1 1 3 9 19 64 553 3. Vậy F nhỏ 3 M là hình chiếu G lên (P) Câu 7b: Giải hệ phương trình mũ e x y e x y 2(x 1) e x y x y x y x y e x y e x y e v u e v u (1) u u v e v e e v u ( ) Đặt u = x + y , v = x - y ta có hệ - Nếu u > v thì (2) có vế trái dương, vế phải âm nên (2) vô nghiệm - Tương tự u < v thì (2) vô nghiệm, nên (2) u v Thế vào (1) ta có eu = u+1 (3) Xét f(u) = eu - u- , f'(u) = eu - Bảng biến thiên: u - + f'(u) + f(u) u Theo bảng biến thiên ta có f(u) = x y 0 x 0 v 0 x y 0 y 0 Do đó (3) có nghiệm u = Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (0; 0) (6)