Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO HÀ NỘI ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC NĂM 2011 (Lần 2)
TRƯỜNG THPT TRUNG GIÃ Mơn thi: TỐN (Ngày thi: 27 – 02 - 2011) Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể phát đề)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 ñiểm) Cho hàm số 2
2
x y
x
+ =
− (H)
1 Khảo sát biến thiên vẽñồ thị hàm số (H)
2 Gọi M ñiểm tùy ý (H) Chứng minh tiếp tuyến M ln cắt hai đường tiệm cận (H) tạo thành tam giác có diện tích khơng đổi
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình lượng giác: sin sin cos cos sin sin
x x
x x
x+ x =
2 Giải hệ phương trình: 3
2 3
x y x y
x y x y
+ + − − =
− − − + + =
(
x y, ∈)
ℝ
Câu III (1 điểm) Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn
bởi ñồ thị hàm số y e lnx x
= − , trục hoành ñường thẳng x=1
Câu IV (1 ñiểm) Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD đều cạnh a Gọi O trung ñiểm BD, E ñiểm ñối
xứng với C qua O Biết AE vuông góc với mặt phẳng (ABD) khoảng cách AE BD
a
Tính thể tích tứ diện ABCD tang góc AC mặt phẳng (BCD)
Câu V (1 ñiểm) Cho x, y, z số thực dương có tổng bằng
Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 2(x2 + y2 + z2) – 4xyz – 9x + 2011
PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần (Phần A phần B)
PHẦN A: Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC có A(4; - 2), phương trình đường cao kẻ từ C
ñường trung trực BC x – y + = 0; 3x + 4y – = Tìm tọa độ đỉnh B C Trong khơng gian tọa ñộ Oxyz cho ñường thẳng : 1
2
x+ y− z−
∆ = = mặt phẳng
(P): 2x – y – 2z + = Gọi d ñường thẳng cắt ∆ I vng góc với (P) Viết phương trình tham số đường thẳng d biết khoảng cách từ I ñến (P)
Câu VII.a (1 điểm) Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa ñộ biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
(
2−z)
( )
i+z số ảo PHẦN B: Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2 ñiểm)1 Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC vuông cân A ngoại tiếp (C): x2 + y2 = Tìm tọa
ñộ ñỉnh tam giác biết ñiểm A thuộc tia Ox
2 Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho ñường thẳng d:
2
x− = =y z+
− mặt phẳng
(P): 2x + y + 2z – = Tìm tọa độđiểm M d có khoảng cách ñến trục hoành gấp lần khoảng cách ñến mặt phẳng (P)
Câu VII.b (1 ñiểm) Giải hệ phương trình tập số thực: log 2
(
2 1)
9.2 4.3 36 x
x y x y
y xy
− − =
+ = +
-Hết - Thí sinh khơng ñược sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm
Họ tên thí sinh:………Số báo danh:………
(2)H
ƯỚ
NG D
Ẫ
N CH
Ấ
M THI TH
Ử
ðẠ
I H
Ọ
C MƠN TỐN (4 trang)
Ngày thi: 27 – 02 – 2011
Câu ý Nội dung ðiểm
I
1 ñiểm
1 TXð: R\{2}
(
)
26 '
2
y x
− =
− <
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến khoảng xác định Tính giới hạn:
2
lim 2; lim ; lim
x→±∞y= x→ +y= +∞ x→ −y= −∞
ðồ thị hàm số nhận ñường thẳng x = tiệm cận ñứng, y = tiệm cận ngang
ðồ thị hàm số nhận I(2; 2) tâm ñối xứng
ðồ thị hàm sốñi qua A(- 1; 0), B(0; - 1)
ẳ
ẳ
ẵ
1 ñiểm
2
Gọi
( )
0
2
;
x
M x H
x
+
∈
−
,
phương trình tiếp tuyến M là:
(
)
2(
0)
0
2
6
2
x
y x x
x x
+ −
= − +
− −
Giao tiếp tuyến với tiệm cận ñứng: x =
(
00)
2
2;
x A
x
+
−
Giao tiếp tuyến với tiệm cận ngang: y = B
(
2x0−2; 2)
Giao ñường tiệm cận I
( )
2; Tính0
12
IA x
=
− ; IB=2 x0−2 Do đó:
1
12
AIB
S = IA IB= khơng đổi
¼
¼ ¼
¼ II
1 ñiểm
1 ðiều kiện: sin 3x≠0; sinx≠ ⇔0 sin 3x≠0 Phương trình tương ñương:
sin x+sin sin 3x x=2 sin sin 2x x
1 cos cos cos
cos cos
x x x
x x
− + −
⇔ = −
2
1 cos 4x cos 8x cos 4x cos 4x
⇔ = − ⇔ − =
¼
(3)(
)
cos cos cos
cos cos sin
sin x x x x x x x loai = = = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = l x x k π π π π = + ⇔ = +
(thỏa mãn)
Vậy:
(
)
;(
)
8
l
x= +π π l∈Z x= +π kπ k∈Z nghiệm phương trình Chú ý: Thí sinh khơng kết hợp điều kiện để loại nghiệm trừ 0.25
¼ ¼ 1 điểm 2 ðặt
2 2
2
2 2
2
2
3
3
u x y x y u y u v
x y u v
x y v x u v
v x y
= + + = = + − ⇒ ⇒ ⇒ + + = − + − − = = − − = − −
Khi hệ ban đầu trở thành:
( )
2
3
2 *
u v
v u v
+ =
− − + =
v = – 3u vào phương trình (*) giải tìm u = 1, từđó v = suy x = - 3, y =
Kết luận nghiệm (- 3; 2)
ẳ ẳ ẵ III 1 điểm
Giải phương trình e lnx
x− = ñược nghiệm x = e
Vậy
2
2
Ox
1
ln
ln ln
e e
e e x
V x dx e x dx
x x x
π π
= − = − +
∫
∫
= =(
)
2
e e
π − −
Chú ý: Thí sinh khơng chứng minh phương trình có nghiệm x = e thỡ tr 0.25
ẳ ắ IV 1 ñiểm D O B E C A H
Có:
2
a
CO= , BD ⊥ (ACE)
Chứng minh ñược khoảng cách AE BD AO =
a
Gọi H hình chiếu A lên (BCD) H nằm CE Tam giác AOE vng A có:
2
2
4 16
a a a
AE= OE −OA = − =
2.SAOE = AH.OE = AE AO
8
AE AO a
AH
EO
⇒ = =
Vậy VABCD =
3
1
6 32
a
AH CO BD=
Có: CE = a 3,
a
HE=
8
a CH
(4)V
1 điểm
Có:
(
)
2
2
2 2011
2
y z y z
P x x x
+ +
≥ + − − +
y + z = – x vào ta ñược
( )
3
9 24 2011
P≥ − +x x − x+ = f x
Khảo sát hàm f (0; 3) ta tìm
( )
( )
(0;3) 2000
Min f x = f =
P = 2000 x = 2; y = z =
2 Vậy giá trị nhỏ P 2000
¼
¼ ¼ ¼ VI.a
1 ñiểm
1 AB qua A vng góc với đường cao kẻ từ C có phương trình: x + y – = Gọi B(b; – b) thuộc AB, C(c; c + 2) thuộc ñường cao kẻ từ C
Tọa ñộ trung ñiểm BC ;4
2
b c b c
M + − +
Vì M thuộc trung trực BC nên
(
) (
)
( )
3 b c+ +4 4− + − = ⇔ − + + =b c b 7c 12
(
;)
BC= −c b c b+
VTPT trung trực BC nên 4(c – b) = 3(c +b) hay c = 7b (2) Từ (1) (2) suy c = -
4; b =
− Vậy 9; ; 1;
4 4
B− C−
¼
¼ ¼ ¼
1 ñiểm
2 Lấy I(- + 2t; + 3t; + t) ∈ ∆
Có: d(I; (P)) = 2
(
)
2(
)
3 13t t t t
t
t
− + − − − + + =
⇔ = ⇔ + = ⇔ = −
Với t = I(9; 16; 7) suy d:
9 16
x t
y t
z t
= +
= −
= −
Với t = - 13 I(- 27; - 38; - 11) suy d:
27 38 11
x t
y t
z t
= − +
= − −
= − −
½
¼
¼
VII.a
1 điểm
Gọi số phức cần tìm z = x + yi, với x, y số thực M(x; y) biểu diễn cho số phức z Có:
(
2−z)
( )
i+z =(
2− −x yi i)(
+ −x yi) (
= −2 x x)
+y(
1− +y) (
2−x)(
1− −y)
xy iDo
(
2−z)
( )
i+z số ảo nên(
)
(
)
(
)
22 1
2
x x y y x y
− + − = ⇔ − + − =
Vậy M nằm đường trịn tâm 1;1
I
bán kính
5
R=
½
½
VI.b 1 ñiểm
1 - Tọa ñộ A giao tia Ox đường trịn tâm O bán kính Giải tìm ñược A(2; 0)
- Hai tiếp tuyến kẻ từ A đến đường trịn có pt: x + y – = x – y – = - Vì tam giác ABC vng cân nên cạnh BC tiếp xúc với đường trịn trung ñiểm M BC, ñiểm M giao tia đối tia Ox với đường trịn Giải tìm M(- ; 0) - Phương trình cạnh BC x = -
- Giao BC với tiếp tuyến B C Giải tìm tọa ñộ ñiểm B C (- 2; 2+ 2) (− 2; 2− − 2)
¼ ¼
(5)1 điểm
d(M; Ox) = OM ∧i
=
(
2 3t+)
2+t2d(M; (P)) = 4
3
t t t t
+ + − − − = +
Có: d(M; Ox) = d(M; (P)) hay 9(10t2 + 12t + 4) = 2(t2 + 8t + 16) Giải ñược ( 1; 1;1)
1 10 41
( ; ; )
22 11 22 22
t M
t M
= − − −
⇒
= − − −
½
½ VII.b
1 điểm
- Từ phương trình giải x = y = vào phương trình có trường hợp:
- Với x = giải tìm y = ½
- Với y = giải vơ nghiệm Kết luận: (2; ½) l nghim ca h
ẵ ẳ ẳ
Chú ý: Các cách giải khác ñúng ñạt ñiểm tối ña
(6)Giải phương trình sau tập số phức: z3−2 1
( )
+i z2+3iz+ − =1 i3
2 3
x y x y
x y x y
+ + − − =
− − − + + =
(nghiệm (-3; 2))
3 Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho ñường thẳng d:
2
x− = =y z+
− mặt phẳng
(P): 2x + y + z – = cắt I Gọi d’ ñường thẳng nằm mặt phẳng (P), vng góc với d Tìm tọa ñộ ñiểm I viết phương trình ñường thẳng d’ biết khoảng cách từ I ñến d’ 30 I(3; 1; - 5); d’:
1
2 2
0 10
x u x v
y u hay y v
z z
= + = +
= − = −
= = −
3 Tìm m ñểñường thẳng y = mx – cắt (H) ñiểm A, B (xA < xB) thỏa mãn OB= 73.OA ð/s: m
= (A(0;-1), B(3; 8))
Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác ñều, AD = AB = BC = a, CD = 2a Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách AD SC a
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức:
5
x x
P
x x
− − + =
− + + + (giỏi vĩnh phúc 2010)
3
4 đáp số 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang cân AB = a, CD = 2a, AD = BC = 10
a
Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết góc SB mặt phẳng (ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng BD SC
3
3
2 3
x y x y
x y x y
+ + − − =
− − − + + =