Trờng THPT Phan Đăng Lu Tổ: Toán-Tin --------------o0o--------------- Đề thi thử đại học lần 2 Năm học 2006 - 2007 ( Môn: Toán. Thời gian làm bài: 180 phút ) Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số y = 3 1 x 3 + mx + n, ( m, n là tham số ). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên, khi m = -9, n = 2; 2. Tìm m, n để điểm E(-1; -1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho. Câu 2 (2 điểm). 1. Giải hệ phơng trình =+ =+ 41 2 22 yx yxyx 2. Giải bất phơng trình 0422 3 33 loglog xx . Câu 3 (3 điểm). 1. Cho tam giác đều ABC cạnh a ( a > 0 ). Trên đơng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm D. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) bằng 3 6 a . Tính theo a độ dài đoạn AD. 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ để các vuông góc xOy cho đờng thẳng (d 1 ): x + 4y + 6 = 0 và (d 2 ): 3x - y - 8 = 0. Xét tam giác ABC có A(1; 3), trọng tâm G(1; 2), đỉnh B thuộc (d 1 ) và đỉnh C thuộc (d 2 ). Chứng minh rằng à 0 135A > . 3. Trong không gian với hệ trục toạ độ đề các vuông góc Oxyz cho 3 điểm A( 6; 8; 0), B(6; 0; 0), C( 6; 0; 4). Lập phơng trình đờng tròn đi qua 3 điểm A, B, C. Câu 4 (2 điểm). 1. Xác định tham số m để đờng thẳng y = m, tạo với Parabol y = x 2 + 2x một hình phẳng có diện tích bằng 8 2 3 (đvdt). 2. Tìm số tự nhiên n sao cho C 1 2n+1 + C 3 2n+1 + C 5 2n+1 + + C 2n+1 2n+1 = 1024 ( Trong đó C k n là tổ hợp chập k của n phần tử). Câu 5 (1 điểm). Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thoả mãn: 2005 2 2 0 2 Cos C CosA CosB C + + = < Hãy nhận dạng tam giác đó. (L u ý : - HS thi khối B, D không làm câu 4 phần 1; - Đối với khối B, C câu 1: 3 điểm). 1 Hớng dẫn chấm (Môn Toán- Thi thử ĐH lần 2-Trờng THPT Phan Đăng Lu) Nội dung Điểm Câu 1 2 (KB, KD:3) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = -9, n = 2. 1 (KB,KD: 1,5) Khi m = -9, n = 2 ta có y = 3 1 x 3 - 9x + 2 TXĐ: D = Ă ; y = x 2 - 9; y = 0 x = 3 ; y(3) = -16; y(-3) = 20. y = 2x điểm uốn U(0; 2). 0.25 (KB,KD: 0,5) Bảng biến thiên (0.5 điểm) x - -3 0 3 + y + 0 - 0 + y - 0 + Đồ thị HS Lồi U Lỏm y 20 + - -16 y CĐ = 20; y CT = -16. Đồ thị hàm số (0.25 điểm; KB, KD: 0.5 điểm) 2. Tìm m, n ( Trờng THPT Phan Đăng Lu ) 1.0 Ta có y = x 2 + m. Điều kiện cần để đồ thị hàm số nhận điểm E(-1; -1) làm điểm cực đại là ' 1 ( 1) 1 1 3 ( 1) 0 1 0 y m n y m = + = = + = 0.5 (KB,KD 0. 75) Giải đợc m = -1; n = 5 3 0.25 Thử lại: Khi m = -1; n = 5 3 ta có y = x 2 - 1 do đó x - -1 +1 + y + 0 - 0 + Vậy m = -1; n = 5 3 0. 25 (KB,KD 0 5) Câu 2. 2 1. Giải hệ =+ =+ 41 2 22 yx yxyx 1.0 ĐK: 0 0 x y x y + ; Đặt u = x y+ , v = x y ( u 0; v 0) 0.25 Khi đó hệ trở thành 4 4 4 4 2 ( 2) 82 (*) 82 u v v v u v = + + = + = 0.25 Đặt t = v + 1 (ĐK t 1) thì PT (*) trở thành t 4 +6t 2 - 40 = 0 t 2 = 4 t = 2 ( vì ĐK t 1) 0.25 2 Từ đó ta có 1 5 3 4 v x u y = = = = ; thỏa mãn bài toán. Vậy nghiệm của hệ p.trình là 5 4 x y = = 0.25 2. Giải bất phơng trình 0422 3 33 loglog xx (1). 1 ĐK: x > 0; (1) 3 3 1 1 loglog 3 2 2 2 4 0 xx 3 3 3log log 2 2 4 0 x x (2) 0.5 Đặt t = 3 6 log 2 x (ĐK: t > 0), khi đó BPT (2) trở thành t 3 - t 2 - 4 0 (t- 2)(t 2 + t + 2) 0 0.25 0 < t 2 2 log 3 x 2 6 log 3 x 6 0 < x 3 6 . Vậy tập nghiêm của BPT là (0; 729]. 0.25 Câu 3. 3.0 1. 1 Gọi I là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC đều cạnh a nên AI = 3 2 a và BC AI. 0.25 Trong tam giác ADI, kẻ đờng cao AH. Suy ra AH (DBC) (vì BC DA (gt) BC (DAI), nên AH BC). Do đó AH = 3 6 a . 0.25 Trong tam giác vuông ADI (vuông tại A), ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 6 . 6 AI AH AD a AI AD AH AD AI AH a + = = = = Vậy AD = a 6 . 0.5 2. 1 B d 1 : x + 4y + 6 = 0 B(- 4t 1 - 6; t 1 ); C d 2 : 3x - y - 8 = 0 C(t 2 ; 3t 2 - 8). Do đó G 2 1 2 1 4 5 3 5 ; 3 3 t t t t + ữ . 0.25 Mặt khác G(1; 2) suy ra 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 4 5 1 4 8 1 3 ( 2; 1), (4; 4). 3 5 3 11 4 2 3 t t t t t B C t t t t t = = = + + = = = 0.25 Do đó . 13 ( 3; 4), (3;1) 5. 10 . AB AC AB AC CosA AB AC = = uuur uuur uuur uuur uuur uuur 0.25 Ta có CosA = 13 5. 10 < 1 2 = Cos 135 0 suy ra à 0 135A > . 0.25 3. ( Trờng THPT Phan Đăng Lu ) 1 Ta có (0; 8;0) 8 (0;1;0), (0; 8; 4) 4 (0; 2;1) , (1;0;0)AB u AC v n u v = = = = uuur r uuur r r r r là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). Do đó (ABC): x = 6. ( Học sinh có thể suy ra ngay từ các hoành độ của A, B, C đều bằng 6). 0.25 Vì O, A, B, C không đồng phẳng nên tồn tại mặt cầu đi qua O, A, B, C. Giả sử phơng trình mặt cầu đó là x 2 + y 2 + z 2 + 2mx + 2ny + 2pz + q = 0. Suy ra 12 16 100 0 12 36 0 12 8 52 0 0 m n q m q m p q q + + + = + + = + + + = = Giải hệ ta đợc m = -3, n = -4, p = -2, q = 0. Do đó một PT mặt cầu đi qua A, B, C là x 2 + y 2 + z 2 - 6x - 8y - 4z = 0 (Học sinh có thể chọn mặt cầu đi qua A, B, C và một điểm nào đó khác O) 0.5 3 A D B C I H Từ đó suy ra phơng trình đờng tròn đi qua 3 điểm A, B, C là 2 2 2 x + y + z - 6x - 8y - 4z = 0 x = 6 0.25 Câu 4. 2 1. 1 Điều kiện tồn tại hình phẳng là: PT x 2 + 2x - m = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt m > -1. 0.25 Giả sử x 1 , x 2 (x 1 < x 2 ) là 2 nghiệm của (1) suy ra x 1 + x 2 = -2, x 1 .x 2 = -m và x 2 - x 1 = 2 ' =2 1 m+ . Khi đó diện tích hình phẳng đó là S = 2 2 1 1 2 3 2 3 3 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 x x x x m x x dx mx x x m x x x x x x = = = 1 3 (x 2 - x 1 )(3m - (x 2 2 + x 1 x 2 + x 1 2 ) - 3(x 2 + x 1 )) = 1 3 .2 1 m+ (2m + 2) = 4 3 (m+1) 3/2 . 0.5 Theo giả thiết S = 8 2 3 4 3 (m+1) 3/2 = 8 2 3 m = 1, thỏa mãn điều kiện. Vậy m = 1. 0.25 2. 1 Ta có (1 + x) 2n+1 = C 0 2n+1 + C 1 2n+1 x + C 2 2n+1 x 2 + . + C 2n+1 2n+1 x 2n+1 , với x R. 0.25 Do đó C 0 2n+1 + C 1 2n+1 + C 2 2n+1 + C 3 2n+1 + . + C 2n 2n+1 + C 2n+1 2n+1 = 2 2n+1 và C 0 2n+1 - C 1 2n+1 + C 2 2n+1 - C 3 2n+1 + . + C 2n 2n+1 - C 2n+1 2n+1 = 0 suy ra 2(C 1 2n+1 + C 3 2n+1 + C 5 2n+1 + + C 2n+1 2n+1 ) = 2 2n+1 . 0.5 Do đó C 1 2n+1 + C 3 2n+1 + C 5 2n+1 + + C 2n+1 2n+1 = 2 2n . Mặt khác C 1 2n+1 + C 3 2n+1 + C 5 2n+1 + + C 2n+1 2n+1 = 1024 = 2 10 suy ra n = 5. Vậy n = 5. 0.25 Câu 5. ( Trờng THPT Phan Đăng Lu ) 1 Vì 0 2 C < nên 0 1CosC < suy ra Cos 2005 C Cos C, dấu bằng khi và chỉ khi C = 2 . 0.25 Do đó 2005 2 Cos C CosA CosB+ + 2 CosC CosA CosB+ + . Ta có 2 CosC CosA CosB+ + = 1 2 ( 2( )CosA CosB CosC+ + ) = 1 2 ( 2 2 2 1 2 2 2 2 A B A B C Cos Cos Sin + + ) = 2 2 2 2 2 1 ( 2 2 2 1 ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 A B A B A B A B A B Cos Cos Cos Cos Cos A B A B A B Cos Cos Cos + + + + + + + ữ = + 0.5 4 Suy ra 2005 2 2 0 2 Cos C CosA CosB C π + + = < ≤ 2 2 2 1 2 4 2 2 2 C C A B Cos A B A B A B Cos Cos π π π = = − ⇔ = ⇔ = = + − = VËy tam gi¸c vu«ng c©n t¹i C. 0.25 ------------HÕt------------ 5 . ý : - HS thi khối B, D không làm câu 4 phần 1; - Đối với khối B, C câu 1: 3 điểm). 1 Hớng dẫn chấm (Môn Toán- Thi thử ĐH lần 2-Trờng THPT Phan Đăng Lu). Trờng THPT Phan Đăng Lu Tổ: Toán-Tin --------------o0o--------------- Đề thi thử đại học lần 2 Năm học 2006 - 2007 (