S GD & T NGH AN TRNG THPT PHAN NG LU KHO ST CHT LNG LP 12 LN I, NM HC 2010 2011 Mụn thi: TON; Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt ủ PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7 ủim) Cõu I (2 ủim) Cho hm s y = m(1 x2)2 Kho sỏt v v ủ th hm s ủó cho m = Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m ủ hm s cú cc tr v ba ủim cc tr ca ủ th hm s ủú to thnh mt tam giỏc cú din tớch bng (ủvdt) Cõu II (2 ủim) x y x + y = Gii h phng trỡnh 2 x + x y y + = Gii phng trỡnh + sin2x cosx sinx - (2cos3x cosx) = cos2x (sinx - 1) ( x + 1)dx + x ln x + x Cõu IV (1 ủim) Cho hỡnh chúp S.ABCD, cú ủỏy ABCD l hỡnh thoi cnh bng cm; SA = SB = SC = 3cm Tam giỏc SBD cú din tớch bng cm2 Tớnh th tớch chúp S.ABCD e Cõu III (1 ủim) Tớnh tớch phõn I = x x + y + x + 16 x + y x + 16 = Tỡm giỏ tr Cõu V (1 ủim) Cho x, y l hai s thc thay ủi tha nh nht ca biu thc P = 336x2 + 2y2 - 2010x + 2011 PHN RIấNG (3 ủim): Thớ sinh ch ủc lm mt hai phn ( A hoc B) A Theo chng trỡnh Chun Cõu VI.A (2 ủim) Trong mt phng to ủ Oxy cho tam giỏc ABC cú din tớch bng 12 + 6 , A(-2; 0), B(4; 0) v ủ di bỏn kớnh ủng trũn ngoi tip tam giỏc ủú bng Tỡm ta ủ ủim C bit tung ủ ca nú l s dng Trong khụng gian vi h to ủ Oxyz cho ủng thng (d ) v (d ) cú phng trỡnh (d1 ) : x y +1 z - = = ; (d2 ): x - y z = = Lp phng trỡnh mt phng cha (d ) v (d ) Cõu VII.A (1 ủim) Gii bt phng trỡnh 2x log 21 x B Theo chng trỡnh Nõng cao Cõu VI.B (2 ủim) Trong mp(Oxy) cho ủim A(1; 0), B(-2; 4), C(-1; 4), D(3; 5) Tỡm to ủ ủim M thuc ủng thng ( ) : x y = cho hai tam giỏc MAB, MCD cú din tớch bng x y z Trong khụng gian vi h trc ta ủ Oxyz, cho ủng thng : = = v ủim M(0 ; - ; 0) 1 Vit phng trỡnh mt phng (P) ủi qua ủim M song song vi ủng thng ủng thi khong cỏch gia ủng thng v mt phng (P) bng x2 2x + Cõu VII.B (1.0 ủim) Cho hm s y = (C) d1: y = x + m, d2: y = x + Tỡm tt c cỏc giỏ tr x ca m ủ (C) ct d1 ti ủim phõn bit A, B ủi xng qua d2 Ht -H v tờn hc sinh .; S bỏo danh S GD & T NGH AN HNG DN CHM V BIU IM KHO ST CHT TRNG THPT PHAN NG LU LNG LP 12, LN I, NM HC 2010-2011 MễN: TON Ni dung im Cõu I 2.0 1.0 22 Khi m = 1, ta cú y = (1 x ) = x 2x +1 x = 0 25 Tp xỏc ủnh ca hm s l: Lim y = + ; Lim y = + y= 4x3 4x; y = x + x x = Hm s ủng bin trờn cỏc khong (-1; 0), (1; + ); Nghch bin trờn cỏc khong ( ; -1), (0; 1) Hm 0.25 s ủt cc ủi ti x = 0, yC = 1; Hm s ủt cc tiu ti x = , yCT = Bng bin thiờn: x f(x) + - -1 + 0 - + + + f (x) 0.25 0 0.25 Ta cú y = m(4x3 4x), ủú vi mi m khỏc hm s luụn cú ủim cc tr Cỏc ủim cc tr ca ủ th hm s ủó cho l A(-1; 0), B(1; 0), C(0; m) Vỡ A, B thuc trc honh v ủi xng qua O; C thuc trc tung nờn dt(ABC) = ẵ AB CO = m T gi thit dt(ABC) = 1, suy m = Cõu II 2 x y x + y = Gii h phng trỡnh 2 x + x y y + = (1) 1.0 (2) y = x +1 (1) (x 1)2 = (y 2)2 y = x + Cỏch gii y = x + 1; PT(2): x + x x + = 2 1.0 0.25 0.25 0.25 0.25 2.0 0.25 ( x ) x 2 +3=0 x =0 y = - x + 3, vỡ ủiu kin x v y nờn ch cn thay x = 1, y = vo h, ta thy khụng l nghim Vy nghim ca h PT ủó cho l x = 0, y = Cỏch gii (1) (x - 1)2 = (y 2)2 Vi ủiu kin x , y thỡ x - 1v y - ủu thuc [-2; 0] Xột hm s f(t) = t2 Hm s ny liờn tc v nghch bin trờn [-2; 0], ủú (1) f(x - 1) = f(y - 2) x -1 = y y = x + 0.25 0.25 0,25 0.25 0.25 y = x + 1; PT(2): x + x x + = 2 ( x ) x 2 +3=0 x =0 Vy nghim ca h PT ủó cho l x = 0, y = (Hc sinh cng cú th bin ủi (1) (x + 1)2 4(x+1) = y2 4y, ri xột hm s f(t) = t2 4t trờn [0; 2]) Gii phng trỡnh + sin2x cosx sinx - (2cos3x cosx) = cos2x (sinx - 1) (1) (s inx + cos x ) (s inx + cos x ) cos x cos x 2cos2 x s inx+ 2cos2x = (s inx + cos x)(s inx + cos x 1) 2cos2 x(s inx + cos x 1) = (s inx + cos x 1)(s inx + cos x 2cos2 x) = x = k s inx + cos x = x = + k 2 (1) 1.0 0.25 0.25 (k ) 0.25 x= +k 12 s inx + cos x 2cos2 x = cos(x- ) = cos2 x (k ) x = + k e ( x + 1)dx Cõu III Tớnh tớch phõn I = x + x ln x + x 1 e e (1 + ) dx e ( x + 1)dx d ( x + ln x + 1) x I = = = x( x + ln x + 1) x + ln x + 1 x + ln x + 1 e+2 e+2 e Vy I = ln = ln( x + ln x + 1) = ln(e + 2) ln = ln 2 0.25 1.0 0.5 0.5 Cõu IV 1.0 Gi H l hỡnh chiu ca S trờn (ABCD) suy H nm trờn BD (Vỡ SA = SB = = SC, BD l trung trc ca AC) Do ủú SH ủng cao ca hỡnh chúp cng l ủng cao ca tam giỏc SBD Gi O l giao ủim ca AC v BD Vỡ SA = SC = DA = DC nờn SO = DO suy tam giỏc SBD l tam giỏc vuụng ti S Vỡ dt(SBD) = v SB = nờn SD = 4; suy BD = 5, SH = 12/5 S D C ABCD l hỡnh thoi cú AD = 3, DO = 5/2 nờn AO = O A 0.5 H B 11 11 suy dt(ABCD) = VS ABCD = SH dt ( ABCD) = 11 Cõu V (Quyn tỏc gi ca bi toỏn thuc v Th.s Phan Vn Cng T trng t Toỏn - Tin Trng THPT Phan ng Lu Ngh An) ( x + 4) + y2 ( x 4) 0.25 0.25 0.25 Vy th tớch chúp S.ABCD bng 11 x + y + x + 16 x + y x + 16 = 0.25 1.0 + y = (*) Trong mt phng ta ủ Oxy, ủt ủim M(x; y), F1(-4; 0), F2(4; 0) thỡ ủiu kin (*) tr thnh: MF1 - MF2 = Suy hp ủim M tha ủiu kin bi toỏn l ủng Hypebol (H): x2 y = (**) 0.25 0.25 Ta cú P = 336x2 + 2y2 - 2010x + 2011 = x2 + y2 + 335(x 3)2 + y2 - 1004 x2 y2 Suy P x2 + y2 - 1004 1004 = 995 x = x = ng thc xy v ch y = Vy MinP = - 995 x = 3, y = y = x2 y =1 0.25 0.25 (T (**) cú th rỳt y theo x, P v bc hai theo x, ri s dng giỏ tr nh nht ca hm s bc hai; nhng cn lu ý tỡm xỏc ủnh ca x) Cõu VI.A Gii I(x0; y0) l tõm ủng trũn ngoi tip ABC, suy PT ủng trũn (C) ngoi tip tam giỏc ABC l: (x x0)2 + (y y0)2 = 25 Vỡ ủim A(-2; 0), B(4; 0) thuc ủng trũn nờn ủng trũn ( C) cú PT l: (x 1)2 + (y 4)2 = 25 , (x 1)2 + (y + 4)2 = 25 2.0 1.0 0.25 (Tỡm tõm ca ủng trũn ngoi tip tam giỏc ABC, cú th v hỡnh ri s dng tam giỏc vuụng, lu ý hai trng hp) Vỡ A(-2; 0), B(4; 0) v dt(ABC) = 12 + 6 nờn ủng cao CH = + Hai ủim A, B nm trờn trc honh v C cú tung ủ l s dng nờn C nm trờn ủng thng y = + 2 2 ( x 1) + ( y ) = 25 ( x 1) + ( y + ) = 25 Do ủú ta ủ ủim C l nghim ca h (1) v (2) y = + y = + Gii h (1), (2) ta cú ủim C(0; + ), C(2; + ) ng thng (d1) ủi qua ủim M(1; -1; 2) cú vộc t ch phng l u1 (2;3;1) ; ng thng (d2) ủi qua ủim N(4; 1; 3) cú vộc t ch phng l u2 (6;9;3) Suy (d1)//(d2), ủú tn ti mp cha (d1), (d2) gi l (P) Vộc t phỏp tuyn ca mp(P) l nP = u1 , MN = (1;1; ) PT mp(P) l x + y 5z +10 = Cõu VII.A Gii bt phng trỡnh log (1) log 12 2x 40 x 2x x 2x log 21 (1) x 2x log x (2) 2x (3) log x x 16 x 2x 16 Gii (2): (2) x x 10 x 32 x 17 x x 2x 4 Gii (3): (3) x 4x 17 9x x 4 16 Vy bt phng trỡnh cú nghim ; ; 17 Cõu VI.B 0.25 0.25 0.25 1.0 0.25 0.5 0.25 1.0 0.25 0.25 0.25 0.25 2.0 1.0 Phng trỡnh ủng thng AB: x + y = v AB = 0.25 Phng trỡnh ủng thng CD: x y + 17 = v CD = 17 13t 19 11t 37 ; d ( M , CD) = 17 t = S MAB = S MCD d ( M , AB ) AB = d ( M , CD).CD 13t 19 = 11t 37 t = Vy cú ủim cn tỡm l: M (9; 32), M ( ; 2) Gi s n( a; b; c) l mt vect phỏp tuyn ca mt phng (P) suy mp(P): ax + by + cz + 2b = im M thuc nờn to ủ dng: M = (t ;3t 5) Suy d ( M , AB) = (K a2 + b2 + c2 > 0) ng thng ủi qua ủim A(1; 3; 0) v cú mt vect ch phng u = (1;1; 4) n.u = a + b + 4c = (1) b = a 4c / /( P) / /( P) | a + 5b | 2 =4 d (; ( P)) = d ( A; ( P)) = 15a 9b + 16c 10ab = (2) 2 a b c + + Th (1) vo (2) ta cú a - 2ac 8c = (a 4c)(a + 2c) = Ta thy nu c = thỡ a =b = 0, khụngTM Do ủú chn c = suy a = 4, b = -8 hoc a = -2, b = -2 Vy phng trỡnh mt phng (P) l: 4x - 8y + z - 16 = 0, 2x + 2y - z + = Cõu VII.B Hoành độ giao điểm (C) d1 nghiệm phơng trình : 0.25 0.25 0.25 1.0 0.25 0.25 0.25 0.25 1.0 x2 2x + = x + m x 2x2 -(3+m)x +2+m=0 ( x1) (1) d1 cắt (C) hai điểm phân biệt p trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0.5 m + + m m2-2m-7>0 (*) m 2m > Khi đó(C) cắt (d1)tại A(x1; -x1+m); B(x2; -x2+m) ( Với x1, x2 hai nghiệm (1) ) Vì d1 d2 nên A, B đối xứng qua d2 trung điểm P AB thuộc d2 Ta có P( x1 + x2 x1 + x2 m + 3m 3m m + ) P d2 ; + m ) P( ; = + m = (TM (*)) 2 4 4 Vậy m =9 giá trị cần tìm 0.5 ...S GD & T NGH AN HNG DN CHM V BIU IM KHO ST CHT TRNG THPT PHAN NG LU LNG LP 12, LN I, NM HC 2010- 2011 MễN: TON Ni dung im Cõu I 2.0 1.0 22 Khi m = 1, ta cú y = (1 x ) = x... = VS ABCD = SH dt ( ABCD) = 11 Cõu V (Quyn tỏc gi ca bi toỏn thuc v Th.s Phan Vn Cng T trng t Toỏn - Tin Trng THPT Phan ng Lu Ngh An) ( x + 4) + y2 ( x 4) 0.25 0.25 0.25 Vy th tớch chúp... ủim M tha ủiu kin bi toỏn l ủng Hypebol (H): x2 y = (**) 0.25 0.25 Ta cú P = 336x2 + 2y2 - 2010x + 2011 = x2 + y2 + 335(x 3)2 + y2 - 1004 x2 y2 Suy P x2 + y2 - 1004 1004 = 995 x