Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.. trọng tâm ∆ABC, SG ABC.[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG Web: http://violet.vn/vanlonghanam ĐỀ 11 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn thi: TOÁN – KHỐI A, A1, B Thời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y x x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C C điểm phân biệt A(2; 2), C B, C cho tích các hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị B và C đạt giá trị nhỏ b Tìm m để đường thẳng d: y = m(2-x) +2 cắt đồ thị Câu 2.(2,0 điểm) Giải các phương trình sau: a b sin x cos x 5sin x (2 2cos x 3) cos x 1 ( x 2+ ) =5 − x √ x 2+ Câu 3.(1,0 điểm) Tính: tan x ∫ 1+ cos2 x dx a 14 Câu 4.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông cân C, AB =3a, SB= √ Gọi G là trọng tâm ∆ABC, SG (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) Câu 5.(1,0 điểm) Cho số thực a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a2 b2 c2 1 a 2b3 b 2c c 2a II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chọn hai phần ( A B) A Theo chương trình chuẩn Cho elip (E): x y2 1 16 và điểm A(-5; -1), B(-1; 1) Xác định tọa độ điểm M Câu 6.a(1,0 điểm) thuộc (E) cho diện tích ∆MBA lớn Câu 7a.(1,0 điểm) Giải phương trình: 2log3(x2 – 4) + 3log3(x + 2)2 - log3(x – 2)2 = Câu 8.a(1,0 điểm) Chứng minh rằng: C2on +C 22 n 32 +C 42 n + +C22 nn 32 n=22 n −1 (22 n +1)¿ (∀ n∈ N ❑) B Theo chương trình nâng cao Câu 6.b(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm C(3; -3) và điểm A thuộc đường thẳng d: 3x + y -2 = Gọi M là trung điểm BC, đường thẳng DM phương trình : x – y –2 = Xác định tọa độ các điểm A, B, D Câu 7.b(1,0 điểm) Giải phương trình: x+1 ¿ −7=0 (6 x+ 1)log ( x +1)+( x − 1) log √ ¿ Câu 8.b(1,0 điểm) Trong khai triển √ 3− √5 ¿ ¿ 124 có bao nhiêu số hạng là số hữu tỷ HẾT (2) CÂU Câu HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI NỘI DUNG Ý a - TXĐ: D = R - Sự biến thiên: + Giới hạn vô cực: + Chiều biến thiên: lim y ; x y' 3x + 6x ; ĐIỂM lim y x x 0 y' x 2 Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ∞; 0) và (2; + ∞), đồng biến trên (0; 2) Hàm số đạt cực tiểu x = 0; yCT = -2; đạt cực đại x = 2; yCĐ = 0,25 0,25 - Bảng biến thiên: x y’ y -∞ - 0 +∞ + 2 -2 Đồ thị : +∞ - 0,25 -∞ Một số điểm thuộc đồ thị hàm số: (1;0), (-1;2), (3; -2) 0,25 b Phương trình hoành độ giao điểm d và (C) : ⇔ x=2 ¿ f (x)=x − x − 2− m=0 ¿(2) -x + 3x - = m(2-x) +2 (1) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ Đường thẳng d cắt đồ thị (C) điểm phân biệt pt (1) có nghiệm phân biệt ⇔ pt (2) có nghiệm phân biệt khác 0,25 (3) ⇔ Δ> f (2)≠ ⇔ ¿ m+ 9>0 − m≠ ⇔ ¿ m> − m≠ ¿{ 0,25 Hoành độ điểm B và C là nghiệm pt(2) Ta có: xB + xC = và xB.xC = -m -2 Tích hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) B và C là: y’(xB) y’(xC) = (3xB2 -6 xB) (3xC2 - 6xC) = 9(m+1) -9 ≥ -9 ¿ −9 ¿ ∀ m∈( ; +∞ ){0 Dấu "=" xẫy ¿ 0,25 0,25 m = -1 Vậy y’(xB) y’(xC) nhỏ -9 đạt m = -1 CÂU Ý Câu a NỘI DUNG ĐIỂM Điều kiện: cos x ≠ − √ Phương trình đã cho tương đương với: 0,25 √ sin2 x − cos x −5 sin x − √ 3cos x+3=0 sin x= ¿ √3 cos x +sin x=2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ √ 3sin x cos x − √ cos x +2 sin x −5 sin x +2=0 ¿ ⇔(2 sin x −1)( √ cos x +sin x −2)=0 ⇔ sin x= ⇔ π x= +k π ¿ 5π x= +k π ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 0,25 0,25 0,25 π Đối chiếu điều kiện => nghiệm phương trình là x= +k π (4) b Phương trình đã cho tương đương với: Đặt x +2 x2 +1=5 − x √ x +4 ⇔ x ( x 2+ 2)=4 − x √ 2(x 2+2) t=x √ 2( x +2)¿ ⇒t 2=x 2( x 2+ 2)¿ ⇒ x 2( x2 +2)= Phương trình trở thành ⇔ t 2+ 2t − 8=0 ¿⇔ t=−4 ¿ t=2 ¿ ¿ ¿ t2 t2 =4 − t ¿ ¿ ¿ t=− ⇒ x √2(x +2)=− ⇔ x <0 x +2 x − 8=0 ⇔ ¿ x< x 2=2 ⇔ x=− √ ¿{ Câu 0,25 0,25 0,25 0,25 t=2⇒ x √ 2( x 2+ 2)=2⇔ x> x +2 x2 −2=0 ⇔ ¿ x >0 x =−1+ √ ⇔ x=√ −1+ √ ¿{ tan x sin x sin x cos x I =∫ dx=∫ dx=∫ dx 2 1+cos x cos x (1+ cos x) cos x (1+cos x) 0,25 Đặt t = cos2x => dt = -2sinx.cosxdx dt 1 ∫( )dt ∫ t (t 1) t t 1 t 1 (ln | t 1| ln | t |) c ln | | c 2 t I 1 cos x ln( )c cox x CÂU Ý Câu a NỘI DUNG S 0,25 0,25 0,25 ĐIỂM (5) I B A GK C 3a a => IG= 2 5a ∆IGB vuông I => GB2 = IG2 + IB2 = 0,25 Gọi I là trung điểm AB => CI= ∆SGB vuông G => SG2 = SB2 - GB2 = a2 => SG = a 1 3a a3 V S ABC= SG S Δ ABC= a a= 3 2 0,25 Kẻ GK//BC (KÎAC) Þ AC ^ (SGK) Þ SK ^ AC ∆GKC vuông cân K Þ GK =GCsin450 = a ∆SGK vuông G Þ SK=√ SG 2+ GK2= √ 2 ∆AIC vuông I Þ AC=√ IA +IC = S∆SAC ¿ SK AC= d ( B;( SAC )) 3a √2 a √2 a √3 3VS ABC a SSAC 3 a 2ab ab =a − ≥ a − =a− b √ a 3 3 a+2 b a+ b +b √ ab ¿ ¿ ≥ a− b(a+a+ 1) ¿ ¿=a − b − ab 9 Câu 0,25 0,25 0,25 Tương tự: b2 c2 ≥b − c − bc ; ¿ ≥ c − a− ca 3 9 9 b+2 c c +2 a 0,25 Do đó 2 a b c + ≥( a+b+ c) − (a+b+ c)− (ab+ bc+ca ) 3 9 a+2 b b+ 2c c +2 a a+b+ c ¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿¿≥ − ¿ 0,25 0,25 (6) CÂU Ý Câu 6a NỘI DUNG Phương trình đường thẳng AB: x -2y + = AB = √ Giả sử M(xo;yo) Î (E) Þ 5xo + 16yo2 = 80 ¿ x − y +3∨ ¿ √5 d (M; AB)=¿ S ΔM AB= AB d (M ; AB)=¿ x0 −2 y −3∨¿ ĐIỂM 0,25 0,25 Ta có: 1 1 2 √ x − y ¿ ≤( + )(5 x +16 y )=36 √5 ¿ ⇒∨x − y 0∨≤ ⇔ −6 ≤ x − y ≤ ¿ ¿ S ΔM AB =9 ⇔ √5 x = y 1 − √5 x − y +3=9 ⇔ ¿ x0 =−8 y x −2 y 0=6 ⇔ ¿ x 0= y 0=− ¿{ Vậy điểm M cần tìm là: Câu 7a 0,25 0,25 M ( 83 ; − 53 ) Điều kiện x > x < -2 Phương trình đã cho tương đương với: log3(x2 – 4)2 + 3log3(x + 2)2 - log3(x – 2)2 = 0,25 4log3(x + 2) = 0,25 log3(x + 2) = (x + 2) = 0,25 0,25 (7) x + 4x + = Câu 8a ⇔ x=− 2+ √ ¿ x=−2 − √ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Đối chiếu với điều kiện Þ nghiệm phương trình là x = -2 - √ Ta có: n −1 2n 2n +C n x (1 + x)2n = C02 n +C 12 n x +C22 n x 2+ .+C 22 nn −1 −1 x n −1 2n 2n +C n x (1 - x)2n = C02 n −C 12 n x +C22 n x − −C 22 nn −1 −1 x 1− x ¿2 n =2 [ C 02 n +C22 n x2 + +C 22 nn x n ] 1+ x ¿2 n +¿ ⇒¿ Cho x = ta được: Þ CÂU Ý Câu A Îd Þ A(t; -3t) 6b Ta có: d(C; DM) = − 2¿2 n 2 2n 2n 2n 2(C 2n +C n + +C n )=4 +¿ 2n 2n +2 C02 n +C 22 n 32 + +C 22 nn 2n = =22 n −1 (22 n +1) NỘI DUNG ⇔ t=3 ¿ t=−1 d(A; DM) Þ | 4t -4 | = | t - | = ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ t = Þ A(3, -7) (loại vì A, C phải khác phía đối DM) t = -1 Þ A(-1, 5) (thỏa mãn) 0,25 0,25 0,25 0,25 ĐIỂM 0,25 0,25 0,25 0,25 (8) ⃗ AD ⊥ ⃗ CD AD=CD Giả sử D(m; m-2) Câu 7b ¿⇒ ¿(m+1)(m− 3)+(m− 7)(m+1)=0 m+1 ¿2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ m=5 ⇒ D(5 ; 3) ¿ ¿ m−3 ¿2 +¿ m −7 ¿2=¿ m+1¿ 2+ ¿ ¿ Gọi I là tâm hình vuông Þ I là trung điểm AC Þ I (1; 1) Do I là trung điểm BD Þ B(-3; -1) Điều kiện x > -1 Phương trình đã cho tương đương với: (6 x+ 1) log ( x +1)+(6 x − 6) log ( x+1)− 7=0 ⇔ log ( x+1)=− ¿ ( x +1)log (x+1)=7 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 1 log ( x +1)=−1 ⇔ x +1= ⇔ x =− 2 (6 x+ 1)log (x +1)=7 ⇔ log 2(x +1)− 0,25 0,25 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 =0 x +1 trên (-1; +∞) x+1 42 1 f ' ( x) 0 x Î ( 1; ) \ ( x 1) ln (6 x 1) 6 1 Hàm số đồng biến trên khoảng (−1 ; − ) và (− ; +∞ ) 6 Xét hàm số f ( x)=log (x+1) − 6 Þ Trên khoảng (−1 ; − ) và (− ; +∞) phương trình f(x) = có nghiệm thì đó là nghiệm Lại có f(1) = ; f(-3/4) = Þ x = và x = -3/4 là nghiệm phương trình f(x) =0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x ; x = ; x = -3/4 0,25 (9) Câu 8b ( 3 Ta có: 124 5) 124 Số hạng thứ ( k + 1) là số hữu tỷ 124 62 k ( 1) k C124 k k .5 0,25 k 0 k 62 Î N k ÎN 4 k Î N 0 k 124 k 4i i Î N 0 i 31 Þ i Î {0; 1; 2…; 31} Vậy có 32 số hạng hữu tỷ 0,25 0,25 0,25 (10)