Vì thế để học sinh có kỹ năng giải các bài toán về chia hết thì trước hết người giáo viên cần có kiến thức cơ bản về “Chia hết” và một số phương pháp hướng dẫn các em.Để giúp bản thân và[r]
(1)Chuyên đề : TOÁN CHIA HẾT PHẦN I :LỜI NÓI ĐẦU: Cùng với phat triển đất nước,sự nghiệp giáo dục không ngừng đổi mới,chất lượng giáo dục ngày càng chú trọng với vai trò là môn học công cụ,bộ môn toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn KHTN khác Để học sinh không nắm kiến thức cách có hệ thống mà còn nâng cao,để từ đó các em có hứng thú,say mê học tập,phát huy hết khả mình;đáp ứng yêu cầu nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập ngày càng đa dạng học sinh,đặc biệt là học sinh khá giỏi thì người giáp viên cần biết chắt lọc kiến thức,phải từ dễ đến khó,từ cụ thể đến trừu tượng giúp học sinh có thể phát triển tốt tư toán học Chủ đề “Toán chia hết”là nội dung quan trọng chương trình toán THCS ,đồng thời nội dung toán chia hết có ứng dụng rộng rãi các môn khoa học khác và thực tiễn sống.Nội dung toán chia hết trải rộng toàn chương trình toán THCS ,từ lớp đến lớp 9.Hơn các kỳ thi HSG,thi chuyển cấp ,thi chuyên Toán đề thi có các bài toán chia hết Thực tê giảng dạy cho thấy nội dung toán chia hết học sinh học chưa nhiều chính khóa ,mà chủ yếu các em phải tự học thêm SBT và sách tham khảo.Vì da số các em còn lúng túng gặp loại toán này,đặc biệt HS khá giỏi thì còn nhiều vấn đề hưa đề cập tới Vì để học sinh có kỹ giải các bài toán chia hết thì trước hết người giáo viên cần có kiến thức “Chia hết” và số phương pháp hướng dẫn các em.Để giúp thân và các đồng nghiệp dạy môn toán có cái nhìn tổng quát nội dung toán chia hết,tạo điều kiện thuận lợi giảng dạy nội dung này cho tất học sinh đại trà,đặc biệt là bồi dưỡng HSG.Do đó chúng tôi định xây dựng chuyên đề này (2) PHẦN II: NỘI DUNG A-LÝ THUYẾT I ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA Cho số nguyên a và b đó b ta luôn tìm hai số nguyên q và r cho: a = bq + r Với r b Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư Khi a chia cho b có thể xẩy b số dư r {0; 1; 2; …; b} Đặc biệt: r = thì a = bq, đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiệu: ab hay b\ a Vậy: a b Có số nguyên q cho a = bq II CÁC TÍNH CHẤT Với a a a Nếu a b và b c a c Với a a Nếu a, b > và a b ; b a a = b Nếu a b và c ac b Nếu a b (a) (b) Với a a (1) Nếu a b và c b a c b Nếu a m và an và(m,n)=1 a mn 10 Nếu a + b c và a c b c 11 Nếu a b và n > an bn 12 Nếu ac b và (a, b) =1 c b 13 Nếu a b, c b và m, n am + cn b 14 Nếu a b và c d ac bd 15 Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! 16.an p(p nguyên tố)=> a p (3) III MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT Gọi N = a n a n a1 a Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 + N a0 a0{0; 2; 4; 6; 8} + N a0 a0{0; 5} + N (hoặc 25) a1 a + N (hoặc 125) (hoặc 25) a a1 a (hoặc 125) Dấu hiệu chia hết cho và + N (hoặc 9) a0+a1+…+an (hoặc 9) Một số dấu hiệu khác + N 11 [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)] 11 4.Ứng dụng HĐT an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1) an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+… -abn-2+bn-1) *Hệ quả: an-bn( a-b) Với n,a-b an+bn (a+b) Với n lẻ,a+b B-CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT Phương pháp 1: SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT Ví dụ 1: Tìm các chữ số a, b cho a56b 45 Giải Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = để a56b 45 a56b và Xét a56b b {0 ; 5} (4) Nếu b = ta có số a56b a + + + a + 11 a=7 Nếu b = ta có số a56b a + + + a + 16 a=2 Vậy: a = và b = ta có số 7560 a = và b = ta có số 2565 Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số số là không đổi nhân số đó với Chứng minh số đó chia hết cho Giải Gọi số đã cho là a Ta có: a và 5a chia cho cùng có số dư 5a - a 4a mà (4 ; 9) = a (Đpcm) Ví dụ 3: CMR số 111 111 81 sè 81 Giải Ta thấy: 111111111 Có 111 111 81 sè = 111111111(1072 + 1063 + … + 109 + 1) Mà tổng 1072 + 1063 + … + 109 + có tổng các chữ số 1072 + 1063 + … + 109 + Vậy: 111 111 81 sè 81 (Đpcm) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Tìm các chữ số x, y cho a 34x5y và (5) Bài 2: Cho số N = dcba CMR a N (a + 2b) b N 16 (a + 2b + 4c + 8d) 16 với b chẵn HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: x = và y = x =9 và y = Bài 2: a N4 ba 4 10b + a4 8b + (2b + a) 4 a + 2b4 b N16 1000d + 100c + 10b + a16 (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16 a + 2b + 4c + 8d16 với b chẵn Phương pháp 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT * Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có và số chia hết cho n Ví dụ 1: CMR: a Tích số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho b Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải a Trong số nguyên liên tiếp có số chẵn Số chẵn đó chia hết cho Vậy tích số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho b.Tích số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho nên tích số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho Trong sô nguyên liên tiếp bao giơ có số chia hết cho Tích số đó chia hết cho , mà (2; 3) = Vậy tích số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho Ví dụ 2: CMR: Tổng lập phương số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho Giải Gọi số nguyên liên tiếp là: n - , n , n+1 (6) Ta có: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n3 +6n = 3n(n +2) =3n (n-1+3) = 3n(n- 1)(n+1) + 9n Ta thấy (n - 1)n (n + 1) (CM Ví dụ 1) 3(n - 1)n (n + 1) mà 9n A (ĐPCM) Ví dụ 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n 84 với n chẵn, n4 Giải Vì n chẵn, n4 ta đặt n = 2k, k2 Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1) Với k nên k - 2, k - 1, k + 1, k là số tự nhiên liên tiếp nên số đó có số chia hết cho và số chia hết cho (k - 2)(k - 1)(k + 1)k Mà (k - 2) (k - 1)k ; (3,8)=1 (k - 2) (k - 1) (k + 1)k 24 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k 16.24 Vậy n4 - 4n3 - 4n2 +16n 384 với n chẵn, n BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: a n(n + 1) (2n + 1) b n5 - 5n3 + 4n 120 Với n N Bài 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24 Với n Z Bài 3: CMR: Với n lẻ thì a n2 + 4n + b n3 + 3n2 - n - 48 c n12 - n8 - n4 + 512 Bài 4: Với p là số nguyên tố p > CMR : p2 - 24 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: a n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n - 1) + (n + 2)] (7) = n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) b n5 - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n = n(n2 - 1) (n2 - 4) = n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2) 120 Bài 2: n4 + 6n3 + 6n + 11n2 = n(n3 + 6n2 + + 11n) = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) 24 Bài 3: a n2 + 4n + = (n + 1) (n + 3) b n3 + 3n2 - n - = n2(n + 3) - (n + 3) = (n2 - 1) (n + 3) = (n + 1) (n - 1) (n + 3) = (2k + 4) (2k + 2).2k( với n = 2k + 1, k N) = 8k(k + 1) (k +2) 48 c n12 - n8 - n4 + = n8 (n4 - 1) - (n4 - 1) = (n4 - 1) (n8 - 1) = (n4 - 1)2 (n4 + 1) = (n2 - 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1) = 16[k(k + 1)]2 (n2 + 1)2 (n4 + 1) (n=2k+1, k N) Vì 16 16 k(k + 1)] =>[k(k + 1)]2 Với n = 2k + n2 + và n4 + là số chẵn (n2 + 1)2 và n4 + n12 - n8 - n4 + (16.4 2) Vậy n12 - n8 - n4 + 512 Bài 4: Có p2 - = (p - 1) (p + 1) vì p là số nguyên tố p > p-1=2k(k=2,3, ) =>p+1=2k+2 ta có: (p - 1) (p + 1)=4k(k+1) Xét 3số tự nhiên liên tiếp p-1,p,p+1,ắt có ssố chia hết cho3.vì p nguyên tố nên p không chia hết cho 3=>p-1 p+1chia hết cho (p - 1) (p + 1) và (p - 1) (p + 1) Vậy p2 - 24 (8) Phương pháp 3: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA Khi chia a cho m thì xảy ra: a= mk a= mk+1 a= mk+2 a= mk+(m-1) (k Z) Ví dụ 1: CMR: Với n N Thì A(n) = n(2n + 7) (7n + 1) chia hết cho Giải Ta thấy thừa số n và 7n + là số chẵn Với n N A(n) Ta chứng minh A(n) Lấy n chia cho ta n = 3k + r (k N) Với r {0; 1; 2} Với r = n = 3k n A(n) Với r = n = 3k + 2n + = 6k + A(n) Với r = n = 3k + 7n + = 21k + 15 A(n) A(n) với n mà (2, 3) = Vậy A(n) với n N Ví dụ 2: CMR: B=2n3+3n2+n Với nZ Giải B=2n3+3n2+n = n (2n2+3n+1) = n (2n2+2n+n+1) = n (n+1)(2n+1) Để B thì B và Vì n(n+1) là tích số nguyên tiếp nên n(n+1) 2=>B Khi B:3 thì n xảy trường hợp: n=3k=>B=3k(3k+1)(6k+1) n=3k+1=>B=(3k+1)(3k+2)(6k+3)=3(3k+1)(3k+2)(2k+1) (1) (9) n=3k+2=>B=(3k+2)(3k+3)(6k+5)=3(3k+2)(k+1)(6k+5) =>B với n (2) Từ (1) , (2) và (2,3)=1 =>B Ví dụ 3: Tìm tất các số tự nhiên n để 2n - Giải Lấy n chia cho ta có n = 3k + r (k N); r {0; 1; 2} Với r = n = 3k ta có 2n - = 23k - = 8k - = (8 - 1)M = 7M Với r =1 n = 3k + ta có: 2n - = 23k +1 - = 2.23k - = 2(23k - 1) + mà 23k - 2n - chia cho dư Với r = n = 3k + ta có : 2n - = 23k + - = 4(23k - 1) + mà 23k - 2n - chia cho dư Vậy 23k - n = 3k (k N) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: An = n(n2 + 1)(n2 + 4) Với n Z Bài 2:CMR: : C= 4n3+9n2-19n-30 Với nZ HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: + Lấy n chia cho n = 5q + r r {0; 1; 2; 3; 4} r = n A(n) r = 1, n2 + A(n) r = 2; n2 + A(n) A(n) Với n Z Bài 2:Biến đổi Cvề dạng C=(n-2)(n+3)(4n+5) Để C thì C và Ta xét các trường hợp số dư C:2 vàC:3 =>C và Với nZ (10) Phương pháp 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ Giả sử chứng minh an k Ta có thể phân tích an chứa thừa số k phân tích thành các thừa số mà các thừa số đó chia hết cho các thừa số k Ví dụ 1: CMR: 36n - 26n 35 Với n N Giải Ta có 36n - 26n = (36)n - (26)n = (36 - 26)M = (33 + 23) (33 - 23)M = 35.19M 35 Vậy 36n - 26n 35 Với n N Ví dụ 2: CMR: Với n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức A = 20n + 16n - 3n - 232 Giải Ta thấy 232 = 17.19 mà (17;19) = ta chứng minh A 17 và A 19 ta có A = (20n - 3n) + (16n - 1) có 20n - 3n = (20 - 3)M 17M 16n - = (16 + 1)M = 17N 17 (n chẵn) A 17 (1) ta có: A = (20n - 1) + (16n - 3n) có 20n - = (20 - 1)p = 19p 19 có 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q 19 (n chẵn) A 19 (2) Từ (1) và (2) A 232 Ví dụ 3: CMR: nn - n2 + n - (n - 1)2 Với n >1 Giải Với n = nn - n2 + n - = và (n - 1)2 = (2 - 1)2 = nn - n2 + n - 1 (n - 1)2 với n > đặt A = nn - n2 + n - ta có A = (nn - n2) + (n - 1) (11) = n2(nn-2 - 1) + (n - 1) = n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + … + 1) + (n - 1) = (n - 1) (nn-1 + nn-2 + … + n2 )+(n-1) = (n - 1) (nn-1 + nn-2 + … + n2+1 ) = (n - 1) [(nn-1 - 1) + … +( n2 - 1) + (n - 1)] = (n - 1)2M (n - 1)2 Vậy A (n - 1)2 (ĐPCM) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: a 32n +1 + 2n +2 (n N) b mn(m4 - n4) 30 ( m,n N, m >n) Bài 2: CMR: A(n) = 3n + 63 72 với n chẵn n N, n HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: a Ta có : C= 32n +1 + 2n +2 = 3.32n + 4.2n = 3.9n + 4.2n = 3.9n-2n 3+ 2n.7 = 3(9n-2n)+2n.7 Vì 9n-2n 7=>3.( 9n-2n) và 2n.7 Vậy C b mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1) = mn(m-1)(m+1)(m2-4+5)-mn(n-1)(n+1)(n2-4+5) = mn(m-1)(m+1)(m-2)(m+2)-5mn(m-1)(m+1)-mn(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)5mn(n-1)(n+1) Ta có m(m-1)(m+1)(m-2)(m+2) 30=> mn(m-1)(m+1)(m-2)(m+2) 30 m(m-1)(m+1) =>5mn(m-1)(m+1) 30 Tương tự : n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) 30=> mn(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) 30 và 5mn(n-1)(n+1) 30 Vậy mn(m4 - n4) 30 Bài 2: Có 72 = 9.8 mà (8, 9) = và n = 2k (k N) có 3n + 63 = 32k + 63=9k+63 (12) 3n + 63 = (9k - 1) + 64 Ta có 9k-1 và 64 A(n) Vậy A(n) 72 Phương pháp 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG Giả sử chứng minh A(n) k ta biến đổi A(n) dạng tổng nhiều hạng tử và chứng minh hạng tử chia hết cho k Ví dụ 1: CMR: n3 + 11n với n z Giải Ta có n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n = n(n + 1) (n - 1) + 12n Vì n, n - 1; n + là số nguyên liên tiếp n(n + 1) (n - 1) và 12n Vậy n3 + 11n Ví dụ 2: Cho a, b z ,CMR: a3b - ab3 Giải a3b-ab3 = a3b-ab-ab3+ab = ab(a2-1) - ab(b2-1) =ab(a-1)(a+1) – ab (b-1) (b-1) Vì a(a-1)(a+1) là tích SNLT nên nó chia hết cho 3=>a(a-1)(a+1) =>ab(a-1)(a+1) Tương tự ab (b-1) (b+1) Vậy a3b - ab3 Ví dụ 3: Tìm n N cho P = (n + 5)(n + 6) 6n Giải Ta có P = (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30 = 12n + n2 - n + 30 (13) Vì 12n 6n nên để P 6n n2 - n + 30 6n n(n-1)+30 6n <=>n(n-1) 6n và 30 6n n(n-1) 3n (1) và 30 n (2) Từ (1) n = 3k n = 3k + (k N) Từ (2) n {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Vậy từ (1); (2) n {1; 3; 6; 10; 15; 30} Thay các giá trị n vào P ta có n {1; 3; 10; 30} là thoả mãn Vậy n {1; 3; 10; 30} thì P = (n + 5)(n + 6) 6n BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: 13 + 33 + 53 + 73 23 Bài 2: CMR:a 36n2 + 60n + 24 24 với n z b.a3b –ab3 với a z Bài 3: CMR: a 5n+2 + 26.5n + 2n+1 59 b 2n + 14 Bài 4:Có hay không n∈N để D=212n+1+172n+1+15⋮19 Bài5: Tìm n N cho E=32n+3+24n+1 25 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: 13 + 33 + 53 + 73 = (13 + 73) + (33 + 53) = 8M + 8N 23 Bài 2: 36n2 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24 Ta thấy n và 3n + không đồng thời cùng chẵn cùng lẻ n(3n + 5) ĐPCM Bài 3: a 5n+2 + 26.5n + 2n+1 = 5n(25 + 26) + 2n+1 (14) = 5n(59 - 8) + 8.64 n = 5n.59 + 8.59.M 59 b 2n + 14 = 2n - + 15 = (81n - 1) + 15 = 80M + 15 Bài 4: D=212n+1 – 22n+1+172n+1+22n+1+15 =(212n+1-22n+1)+(172n+1+22n+1)+15 Vì =(212n+1-22n+1) ⋮ 19 và(172n+1+22n+1) ⋮19 nên 212n+1-22n+1)+(172n+1+22n+1)⋮19 Mà 15⁄⋮19 =>D⁄⋮19 Vậy không có n N để D) ⋮19 Bài 5: E=9n.27+16n.2=9n.27+27.16n-25.16n= 27.(9n+16n ) -25.16n Nếu n lẻ thì 9n+16n⋮ 25=>E⋮25 Nếu n chẵn thì 9n tận cùng là 1,16n tận cùng là =>27(9n+16n) tận cùng là nên nó không chia hết cho 25=>E không chia hét cho 25 Vậy để E⋮ 25 thì n lẻ 6/ Phương pháp 6: DÙNG QUY NẠP TOÁN HỌC Giả sử CM A(n) P với n a (1) Bước 1: Ta CM (1) đúng với n = a tức là CM A(n) P Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k tức là CM A(k) P với k a Ta CM (1) đúng với n = k + tức là phải CM A(k+1) P Bước 3: Kết luận A(n) P với n a Ví dụ 1: Chứng minh A(n) = 16n - 15n - 225 với n N* Giải Với n = A(n) = 225 225 n = đúng Giả sử n = k nghĩa là A(k) = 16k - 15k - 225 Ta phải CM A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 225 Thật vậy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - (15) = 16.16k - 15k - 16 = (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15 = 16k - 15k - + 15.15m = A(k) + 225 mà A(k) 225 (giả thiết quy nạp) 225m 225 Vậy A(n) 225 Ví dụ 2: CMR: với n Z+ ta có M=7n+3n-1 Giải Với n = M=7+3-1 =9 Giả sử với n = k ta có M=7k+3k-1 ta phải chứng minh với n=k+1 thì M(k+1) Thật vậy: M(k+1)=7k+1+3(k+1)-1=7.7k+3k+2=7.7k+21k-18k-7+9=7(7k+3k-1)-18+9 =7(7k+3k-1)-9(2k-1) Vì 7k+3k-1 9(theo GT quy nạp)=> 7(7k+3k-1) và 9(2k-1) =>M(k+1) 9 Vậy M 9: với n Z+ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: 33n+3 - 26n - 27 29 với n Bài 2: CMR: a)42n+2 - 15 b)5n +2.3n-1+1 ⋮8 với n Z+ c)8.16n -8 ⋮ 120 với n Z+ PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Để CM A(n) p (hoặc A(n) ⁄ p ) + Giả sử: A(n) ⁄ p (hoặc A(n) p ) + CM trên giả sử là sai (vô lý) + Kết luận: A(n) p (hoặc A(n) ⁄ p ) Ví dụ 1: CMR n2 + 3n + ⁄ 121 với n N Giả sử tồn n N cho n2 + 3n + 121 (16) 4n2 + 12n + 20 121 (vì (n, 121) = 1) (2n + 3)2 + 11 121 (1) (2n + 3)2 11 Vì 11 là số nguyên tố 2n + 11 (2n + 3)2 121 (2) Từ (1) và (2) 11 121 vô lý Vậy n2 + 3n + ⁄ 121 Ví dụ 2: Có tồn n N cho n2 + n + 49 không? Giả sử tồn n N để n2 + n + 49 4n2 + 4n + 49 (2n + 1)2 + 49 (1) (2n + 1)2 Vì là số nguyên tố 2n + (2n + 1)2 49 (2) Từ (1); (2) 49 vô lý Vậy không tồn n N cho n2 + n + 49 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: n2 + n + ⁄ với n N* Bài 2: CMR: 4n2 - 4n + 18 ⁄ 289 với n N HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: Giả sử tồn n2 + n + với n (n + 2)(n - 1) + 9(1) (n + 2)(n - 1) + n 3 vì là số nguyên tố n 13 Nếu n+2⋮3 thì n-1= n+2 -3 ⋮3 Nếu n-1⋮3 thì n+2=n-1+3 ⋮ (n + 2)(n - 1) (2) Từ (1) và (2) vô lý Bài 2: Giả sử n N để 4n2 - 4n + 18 289 (2n - 1)2 + 17 172 (17) (2n - 1)2 17 17 là số nguyên tố (2n - 1) 17 (2n - 1)2 289 17 289 vô lý Phần III: KẾT LUẬN CHUNG Trên đây là chuyên đề: “TOÁN CHIA HẾT”, chuyên đề này chúng tôi đưa số phương pháp bản, thường dùng để giải bài toán chia hết Các bài tập đưa chuyên đề dừng mức ví dụ minh hoạ, chưa phải là hệ thống bài tập vận dụng đầy đủ các kiến thức đưa Mặc dù đã cố gắng nhiều thời gian không dài, tài liệu tham khảo còn ít ỏi nên chuyên đề này chắn không tránh khỏi sai sót và hạn chế định Rất mong nhận đóng góp, bổ sung ý kiến và giúp đỡ các thầy giáo, cô giáo để chuyên đề hoàn thiện giúp cho công tác giảng dạy đạt hiệu cao Xin chân thành cảm ơn! Người thực Tổ cốt cán (18)