Áp dụng chứng minh: Trong một hình thang có 2 cạnh bên không song song, giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm của 2 đường chéo và trung điểm của 2 đáy cùng nằm trên [r]
(1)Baøi Cho hình thang ABCD (AB // CD) Một đường thẳng song song với đáy, cắt cạnh bên AB CB AB CB = = Chứng minh: = = AD M và cắt cạnh BC N Biết AD CD AD CD Baøi Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Gọi trung điểm các đường chéo AC, BD theo thứ tự là N và M Chứng minh: CD − AB a MN // AB b MN= Cho ABC Từ D trên cạnh AB, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC E AB CB = = a Chứng minh: AD CD b Trên tia đối tia CA, lấy điểm F cho CF = DB Gọi M là giao điểm DF và DM AC = BC Chứng minh: MF AB Baøi Baøi Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng qua A cắt BD I, BC J và CD K IB IB a So saùnh vaø b Chứng minh: IA2 = IJ IK ID ID DC BJ = c Chứng minh: DK BC Baøi Cho hình thang ABCD (AB // CD) có các đường chéo cắt O a Chứng minh: OA OD = OB OC b Kẻ đường thẳng qua O cắt AB M, CD N Biết MA m = Tính MB n ND NC Áp dụng để chứng minh định lý: “ Trong hình thang, đường thẳng qua giao điểm đường chéo và trung điểm đáy thì qua trung điểm đáy kia” c Qua O, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC P và Q Chứng minh: O là trung điểm đường thẳng PQ Baøi Cho tứ giác ABCD Qua E AD kẻ đường thẳng song song với DC cắt AC G Qua G kẻ đường thẳng song song với CB cắt AB H Chứng minh: a HE // BD b AE BH = AH DE Baøi Cho ABC Điểm D thuộc cạnh BC Qua D kẻ các đường thẳng song song với AC, AB cắt AB, AC E và F AE AF + =1 a Chứng minh: b Xác định điểm D trên BC để EF // BC AB AC DB = , chứng minh: EF song song với trung tuyến BM c Neáu DC Cho tứ giác ABCD Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, F, G, H 1 cho: AE = 2EB, BF = FC, CG = 2CD, DH = HA Chứng minh: EFGH là 2 hình bình haønh Cho hình thang ABCD (AB // CD) M laø trung ñieåm cuûa CD Goïi I laø giao ñieåm cuûa AM vaø BD, K laø giao ñieåm cuûa BM vaø AC a Chứng minh: IK // AB b Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự E và F Chứng minh: EI = IK = KF Baøi Baøi Bài 10 Cho hình bình hành ABCD Qua A vẽ tia Ax cắt BD I, BC J và cắt tia DC K (2) Chứng minh: IA2 = IJ IK và KD BJ không đổi Bài 11 Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ CD Từ D vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC M, AB N Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB F Qua N kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC P Chứng minh: MP // AB và đường thẳng MP, CF và DB đồng qui Bài 12 Cho ABC (AC > AB) Lấy các điểm D, E tùy ý thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC cho BD = CE Gọi K là giao điểm các đường thẳng DE và BC Chứng minh: tỉ số KD khoâng phuï thuoäc vaøo caùch choïn caùc ñieåm D vaø E KE Bài 13 Cho ABC, trung tuyến AM Gọi I là điểm trên cạnh BC Đường thẳng qua I và song song với AC cắt AB K, đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC D và E Chứng minh: DE = BK Bài 14 Cho ABC cân A có BC = 8cm, tia phân giác góc B cắt đường cao AH K Biết AK = Tính độ dài AB AH DA Baøi 15 Cho ABC vuoâng taïi A, C = 300, keû phaân giaùc BD Tính DC Baøi 16 Cho ABC caân taïi A, phaân giaùc BD Bieát BC = 10cm, AB = 15cm a Tính AD, DC b Phân giác ngoài B cắt AC E Tính EC Bài 17 Cho ABC cân, có BA = BC = a, AC = b Đườmg phân giác góc A cắt BC M, đường phaân giaùc goùc C caét BA taïi N a Chứng minh: MN // AC b Tính MN theo a, b Bài 18 Cho ABC, đường phân giác góc  cắt BC D Biết AB = 4,5cm, AC = 7,2cm, BD = 3,5cm Tính CD Bài 19 Cho MNP, đường phân giác góc P cắt MN Q Biết PM = 6,2cm, PN = 8,7cm, MN = 12,5cm Tính QN Baøi 20 Cho ABC, p/giaùc goùc A caét BC taïi E Bieát AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm Tính EB, EC DB EC FA ⋅ ⋅ =1 Bài 21 Cho ABC có các đường phân giác AD, BE và CF Chứng minh: DC EA FB Bài 22 Cho ABC, trung tuyến AM Đường phân giác AMÂB cắt AB D, đường phân giác AMÂC cắt AC E a Chứng minh: DE // BC b Gọi I là giao điểm AM và DE Chứng minh: DI = IE Bài 23 Cho ABC có AB = 12cm, AC = 20cm, BC = 28cm Đường phân giác góc A cắt BC D Qua D keû DE // AB (E AC) a Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE b Cho bieát dieän tích ABC laø S, tính dieän tích ABD, ADE vaø DCE Bài 24 Cho ABC vuông A có AB = 21cm, AC = 28cm Đường phân giác góc A cắt BC D Qua D keû DE // AB (E AC) a Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE b Tính dieän tích ABD vaø ACD Baøi 25 Cho ABC caân taïi A, phaân giaùc goùc B caét AC taïi D vaø cho bieát AB = 15cm, BC = 10cm a Tính AD, DC b Đường vuông góc với BD B cắt đường thẳng AC kéo dài E Tính EC (3) Bài 26 Cho ABC có  = 900, AB = 12cm, AC = 16cm Đường phân giác góc A cắt BC D a Tính BC, BD, CD b Vẽ đường cao AH, tính AH, HD và AD Bài 27 Cho ABC vuông A, AB = a, AC = b, (a < b), trung tuyến AM, đường phân giác AD (M vaø D thuoäc BC) a Tính độ dài các đoạn thẳng BC, BD, DC, AM và DM theo a, b b Hãy tính các đoạn thẳng trên đây chính xác đến chữ số thập phân thứ hai biết a = 4,15cm vaø b = 7m,25cm Bài 28 Cho ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường phân giác S Δ ABD m = Chứng minh: S Δ ACD n Bài 29 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự E và F Chứng minh: AE BF AE BF DE CF = = = a b c ED FC AD BC DA CB Bài 30 Cho hình bình hành ABCD Vẽ đường thẳng cắt AB E, AD F, AC G AB AD AC + = Chứng minh: AE AF AG Bài 31 a Cho ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác AD Tính diện tích ADM, bieát AB = m, AC = n (n > m) vaø dieän tích cuûa ABC laø S b Cho n = 7cm, m = 3cm, hoûi dieän tích ADM chieám bao nhieâu phaàn traêm dieän tích ABC Bài 32 Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD, D = 60 Phân giác D cắt AC I, chia AC theo tæ soá vaø caét AB taïi M Bieát MA – MB = 6cm Tính AB, CD 11 Bài 33 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Hai đường chéo AC và BD cắt O Đường thẳng a qua O và song song với đáy hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự taïi E vaø F Chứng minh: OE = OF Bài 34 Cho ABC, I là trung điểm BC Đường phân giác góc AIÂB cắt AB M và phân giác góc AIÂC cắt cạnh AC N a Chứng minh: MN // BC b ABC phải thỏa điều kiện gì để MN = AI ? c Với điều kiện nào thì tứ giác AMIN là hình vuông ? AM AN = Bài 35 Cho ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy điểm M và N cho: AB AC Gọi I là trung điểm BC, AI cắt MN K Chứng minh: K là trung điểm MN Áp dụng chứng minh: Trong hình thang có cạnh bên không song song, giao điểm các đường thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm đường chéo và trung điểm đáy cùng nằm trên đường thẳng Baøi 36 Cho hình bình haønh ABCD Treân caïnh AB laáy moät ñieåm M vaø treân caïnh CD laáy moät điểm N cho DN = BM Chứng minh: MN, DB, AC đồng qui AM AN = = Baøi 37 Cho ABC, laáy M AB, N AC cho: vaø MB NC a Hai đường thẳng MN và BC có song song với không ? Vì ? b Cho biết chu vi và diện tích ABC P và S Tính chu vi và diện tích AMN (4) Bài 38 Tỉ số các cạnh bé hai tam giác đồng dạng là đó, biết hiệu hai chu vi chúng 42dm Baøi 39 Cho ABC, ñieåm D thuoäc caïnh BC cho: Tính chu vi cuûa hai tam giaùc DB = Keû DE // AC, DF // AB DC (EAB,FAC) a Nêu tất các cặp tam giác đồng dạng Đối với cặp, hãy viết các góc và các tỉ số tương ứng b Tính chu vi BED, bieát raèng hieäu chu vi cuûa hai DFC vaø BED laø 30cm Bài 40 Cho ABC có AB = 16,2cm; BC = 24,3cm; AC = 32,7cm Tính độ dài các cạnh A’B’C’, biết A’B’C’ đồng dạng với ABC và: a A’B’ lớn AB là 10,8cm b A’B’ beù hôn AB laø 5,4cm Bài 41 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có CD = 2AB Gọi E là trung điểm DC Chứng minh tam gíac ADE, ABE và BEC đồng dạng với Baøi 42 Cho ABC vaø A’B’C’ Bieát AB = 6cm, BC = 12cm, CA = 9cm, A’B’ = 4cm, B’C’ = 8cm, C’A’= 6cm a ABC và A’B’C’ có đồng dạng với không ? b Tính tæ soá chu vi cuûa hai Bài 43 Hai tam giác mà các cạnh có độ dài sau có đồng dạng không ? a 4cm, 5cm, 6cm vaø 8cm, 10cm, 12cm b 3cm, 4cm, 6cm vaø 9cm, 15cm, 18cm c 1dm, 2dm, 2dm vaø 1dm, 1dm, 0,5dm Baøi 44 Cho ABC (A = 900) coù AB = 6cm, AC = 8cm vaø A’B’C’ (AÂ’ = 900) coù A’B’ = 9cm, B’C’ =15cm Hỏi hai tam giác vuông đó có đồng dạng hay không ? Vì ? Bài 45 Cho ABC có G là trọng tâm Gọi P, Q, R là trung điểm GA, GB, GC Chứng minh: PQR và ABC đồng dạng Bài 46 Cho ABC có H là trực tâm Gọi K, M, N là trung điểm HA, HB, HC Chứng minh: KMN và ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng k = Bài 47 Cho ABC, điểm O nằm Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm OA, OB, OC a Chứng minh: DEF và ABC đồng dạng b Tính chu vi cuûa DEF, bieát raèng chu vi cuûa ABC baèng 543cm Bài 48 Cho ABC có độ dài các cạnh là AB = 3cm, BC = 7cm, CA = 5cm A’B’C’đồng dạng với ABC và có chu vi 55cm Hãy tính độ dài các cạnh A’B’C’ (làm tròn số đến chữ số thập phân thứ hai) 15 Bài 49 Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là và hiệu độ dài hai cạnh tương ứng 17 chúng là 12,5cm Tính hai cạnh đó Bài 50 Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo AC lấy điểm E cho AC = AE Qua E vẽ đường thẳng song song với CD, cắt AD và BC theo thứ tự M và N a Tìm đồng dạng với ADC và tìm tỉ số đồng dạng b Điểm E vị trí nào trên AC thì E là trung điểm MN ? Bài 51 Cho ABC Dựng đồng dạng với đó, biết tỉ số đồng dạng k = Có thể dựng bao nhieâu nhö theá ? (5) Bài 52 Cho ABC có AB = 12cm, Ac = 15cm, BC = 18cm Trên cạnh AB, đặt đoạn thẳng AM = 10cm, trên cạnh AC đặt đoạn thẳng AN = 8cm Tính độ dài đoạn thẳng MN Baøi 53 Cho ABC coù AC = 12cm, BC = 16cm Ñieåm D BC cho: ADÂC = BAÂC Tính DC Bài 54 Hình thang ABCD có AB // CD,  = CBÂD Chứng minh: BD2 = AB CD Bài 55 Cho ABC có đường cao AD, BE, CF với H là trực tâm Chứng minh: a AHE đồng dạng với BHD b HA HD = HB HE = HC HF Baøi 56 Cho ABC coù A = 2B Tính AB, bieát AC = 9cm, BC = 12cm Bài 57 Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 2cm, BD = 4cm, CD = 8cm Chứng minh: a A = DBÂC b BC = 2AD Bài 58 Cho ABC có AB = 10cm, AC = 20cm Trên cạnh AC, đặt đoạn thẳng AD = 5cm Chứng minh: ABÂD = ACÂB Baøi 59 Treân moät caïnh cuûa xOÂy (xOÂy 1800), laáy caùc ñieåm A vaø B cho OA = 5cm, AB = 11cm Trên cạnh thứ hai lấy các điểm C và D cho OC = 8cm và OD = 10cm a Chứng minh: OCB và OAD đồng dạng b Gọi giao điểm các cạnh AD và BC là I Chứng minh: IAB và ICD có các góc đôi Bài 60 Chứng minh ABC đồng dạng với A’B’C’ theo tỉ số k thì: a Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng hai tam giác đó k b Tỉ số hai đường phân giác tương ứng hai tam giác đó k c Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đó k Bài 61 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 12,5cm; CD = 28,5cm; DÂB = DBÂC Tính độ dài BD (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) Baøi 62 Cho hình thang ABCD (AB // CD) coù AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD = 5cm; DAÂB = DBÂC a Chứng minh: ADB và BCD đồng dạng b Tính độ dài các cạnh BC, CD c Sau hki tính hãy vẽ lại hình chính xác thướt và compa Bài 63 Trên đoạn thẳng AC = 27cm lấy điểm B cho AB = 15cm Từ A và C vẽ hai tia Ax và Cy cùng vuông góc với AB và nằm cùng phía với Lấy E Ax, D Cy cho AE = 10cm, ABÂE = BDÂC a Chứng minh: BDE vuông b Tính CD, BE, BD và ED (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) c So sánh diện tích BDE với tổng diện tích hai tam giác AEB và BCD Bài 64 Cho ABC có AB = 3cm, AC = 2cm Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 3,5cm Từ D kẽ đường thẳng song song với AB cắt AC kéo dài E Tính BC, CE biết DE = 6cm Baøi 65 Cho ABC coù AB = 8cm, AC = 16cm, D AB, E AC cho: BD = 2cm, CE = 13cm Chứng minh: a AED đồng dạng với ABC b AB CD = AC BE Bài 66 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O là giao điểm đường chéo AC và BD a Chứng minh: OA OD = OB OC b Đường thẳng qua O và vuông góc với AB và CD theo thứ tự H và K C/m: OH AB = OK CD (6) Baøi 67 ABC coù AB = BC, M laø trung ñieåm cuûa BC, D laø trung ñieåm cuûa BM C/m: AD = AC Bài 68 Cho ABC vuông A, đường cao AD và phân giác BE cắt F C/minh: FD EA = FA EC Baøi 69 Cho ABC coù AB = 24cm, Ac = 28cm Tia phaân giaùc cuûa A caét caïnh BC taïi D Goïi M, N theo thứ tự là hình chiếu B và C trên đường thẳng AD BM AM DM = a Tính tæ soá: b Chứng minh: CN AN DN Bài 70 Cho hình bình hành ABCD có độ dài các cạnh AB = 12cm, BC = 7cm Trên cạnh AB lấy điểm E cho AE = 8cm Đường thẳng DE cắt cạnh CB kéo dài F a Hãy các cặp tam giác đồng dạng với và chứng minh b Tính độ dài các đoạn thẳng EF và BF, biết DE = 10cm Bài 71 Cho tứ giác ABCD, có  = C = 900, hai đường chéo AC và BD cắt O, BÂO = BDÂO a Chứng minh: ABO và DCO đồng dạng b Chứng minh: BCO và ADO đồng dạng Bài 72 Cho ABC vuông A, AC = 9cm, BC = 24cm Đường trung trực BC cắt các đường thaúng AC taïi D, BC taïi M Tính CD Bài 73 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a = 12cm, BC = b = 9cm Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD a Chứng minh: AHB và BCD đồng dạng b Tính AH vaø SAHB Bài 74 Cho ABC vuông A, AC = 4cm, BC = 6cm Kẻ tia Cx BC (Cx và A khác phía so với đường thẳng BC) Lấy trên tia Cx điểm D cho BD = 9cm Chứng minh: BD // AC Bài 75 Cho ABC vuông A, AH là đường cao, M là trung điểm BC, gọi N là hình chiếu cuûa M treân AC a Hãy tìm và chứng minh các cặp đồng dạng với b Bieát BH = 4cm, CH = 9cm, tính dieän tích AMH Bài 76 ABC và DEF có  = DÂ, B = Ê, AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm Tính độ dài các caïnh AC, DF, EF, bieát raèng caïnh AC daøi hôn caïnh DF laø 3cm Bài 77 Cho hình bình hành ABCD Gọi E và F là trung điểm AB và CD Chứng minh: ADE và CBF đồng dạng Bài 78 Cho ABC ( = 900), đường cao AH = 8cm, BC = 20cm Gọi D là hình chiếu H trên AC a Hỏi hình đã cho có bao nhiêu đồng dạng ? Viết các tỉ lệ thức các cạnh tương ứng chúng b Goïi E laø hình chieáu cuûa H treân AB Tính dieän tích ADE Bài 79 Cho ABC vuông A, đường cao AH Tính chu vi và diện tích ABC biết HB = 25cm vaø HC = 36cm Bài 80 Cho tam giác vuông đó cạnh huyền dài 20cm và cạnh góc vuông dài 12cm Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vuông trên cạnh huyền Bài 81 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Chứng minh: a AH2 = HB HC b AB2 = BH BC (7) c AC2 = CH CB d AH BC = AB AC 2 e BC = AC + AB (Ñònh lyù Pi-ta-go) Bài 82 Cho ABC có các đường cao BD và CE a Chứng minh: ABD đồng dạng với ACE b Chứng minh: ADE đồng dạng với ABC c Tính AEÂD bieát ACÂB = 480 Bài 83 Tứ giác ABCD có AB = 3cm, BC = 10cm, CD = 12cm, AD = 5cm, đường chéo BD = 6cm Chứng minh: a ABD và BDC đồng dạng b ABCD laø hình thang Baøi 84 Cho ABC caân taïi A, O laø trung ñieåm cuûa BC D AB, E AC cho OB2 = BD CE a Chứng minh: OBD và ECO đồng dạng, góc DÔE có số đo không đổi b Chứng minh: tam giác EOD, OBD và ECO đồng dạng c Chứng minh: DO là tia phân giác BDÂE, EO lài tia phân giác CÊD d Chứng minh: D, E di động (vẫn thỏa OB = BD CE) thì khoảng cách từ O đến DE không đổi và chu vi ADE < 2AB Bài 85 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi I là giao điểm AC và BD Đường thẳng qua I và song song với đáy cắt BC J, AD K 1 = + a Chứng minh: Suy I laø trung ñieåm cuûa KJ IJ AB CD S ABCD b Cho AB = m, CD = n tính tæ soá theo m vaø n S Δ AIB c Bây cho ABCD là hình thang cân Chứng minh: AC2 = AB CD + AD2 Bài 86 Cho ABC, M và N trung điểm BC, CA Gọi H là trực tâm , G là trọng tâm, O là giao điểm các đường trungtrực các cạnh BC, AC Chứng minh: a ABH và MNO đồng dạng, AHG và MOG đồng dạng b H, G, O thaúng haøng Bài 87 Cho hình bình hành ABCD có B tù Từ C kẻ các đường CE, CF vuông góc với AB, AD Chứng minh: AB AE + AD AF = AC2 (Đề thi vô địch Toán Hungari – 1918) Bài 88 Trên các cạnh BC, CA, AB ABC, ta lấy các điểm tương ứng P, Q, R Chứng minh PB QC RA ⋅ ⋅ =1 điều kiện cần và đủ để AP, BQ và CR đồng qui là có hệ thức PC QA RB (Ñ.lyù Ceva) Bài 89 Hãy áp dụng định lý Ceva để Chứng minh tam giác: a Ba đường cao đồng qui b Ba đường phân giác đồng qui c Ba đường trung tuyến đồng qui Bài 90 Trên các đường thẳng qua các cạnh BC, CA, AB ABC, ta lấy các điểm tương ứng P, Q, R (không trùng với các đỉnh và ít điểm nằm ngoài tam giác) C/m rằng: điều PB QC RA ⋅ ⋅ =1 (Ñ.lyù kiện cần và đủ để điểm P, Q và R thẳng hàng là có hệ thức PC QA RB Menelaus) Baøi 91 Cho hình bình haønh ABCD Laáy ñieåm M treân caïnh AD cho AM = 2MD, ñieåm N treân AS CD cho DN = 3NC Hai đường thẳng BM và AN cắt S Tính tỉ số SN Baøi 92 Cho hình thang vuoâng ABCD (A = D = 90 0), AB = 6cm, CD = 12cm, AD = 17cm, E AD cho AE = 8cm Chứng minh: BEEC = 900 (8) Bài 93 Cho A’B’C’ và ABC có góc nhọn Kẻ đường cao A’H’ và AH Biết A ' H ' AH A ' H ' AH = = vaø Chứng minh: ABC và A’B’C’ đồng dạng A ' B' AB A ' C ' AC Baøi 94 Cho hình bình haønh ABCD Hình chieáu cuûa A treân CD laø H, treân BC laø K a Chứng minh: AHD và AKB đồng dạng b Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để các AHC và AKC đồng dạng ? Bài 95 Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt O, ABÂD = ACÂD Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC Chứng minh: a AOB và DOC đồng dạng b AOD và BOC đồng dạng c EA ED = EB EC Bài 96 Cho ABC có hai trung tuyến AK và CL cắt O Từ điểm P trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL (E BC, F AB) Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự M, N Chứng minh: FM = MN = NE Bài 97 Cho h/vuông ABCD cạnh a Một đường thẳng d qua đỉnh C, cắt tia AB E và cắt AD F BE AE2 = a Chứng minh: BE DF = a b Chứng minh: DF AF Bài 98 Cho ABC cân A, vẽ các đường cao BH và CK a Chứng minh: BK = CH b Chứng minh: KH // BC c Cho BC = a, AB = AC = b Tính HK Bài 99 Cho ABC,  = 900, CÂ= 300 và đường phân giác BD (D AC) AD a Tính tæ soá: CD b Bieát AB = 12,5cm, tính chu vi vaø dieän tích ABC Bài 100 Tứ giác ABCD có AB = 4cm, BC = 20cm, CD = 25cm, DA = 8cm, đường chéo BD = 10cm a Nêu cách vẽ tứ giác ABCD b Các tam giác ABD và BDC có đồng dạng với không ? Vì ? c Chứng minh: AB // CD Bài 101 Cho hình thang ABCD (AB // CD), AB = 15cm, CD = 30cm, đường cao 20cm, các đường cheùo caét taïi I Tính dieän tích caùc OAB vaø OCD Bài 102 Đường cao tam giác vuông xuất phát từ đỉnh góc vuông chia cạnh huyền thành đoạn thẳng có độ dài 9cm và 16cm Tính độ dài các cạnh tam giác vuông đó Bài 103 Cho ABC vuông A Vẽ đường cao AH Biết chu vi ABH = 3dm, chu vi ACH = 4dm Tính chu vi ABC Bài 104 Cho ABC Trung tuyến AM Vẽ đường cao MH AMC a Chứng minh: ABM và AMH đồng dạng b Gọi E, F là trung điểm BM, MH Chứng minh: AB AF = AM AE c Chứng minh: BH AF d Chứng minh: AE EM = BH HC Bài 105 Cho ABC có góc nhọn, đường cao AM, BN, CP đồng qui H a Chứng minh: ABM và AHP đồng dạng, ABH và AMP đồng dạng b Chứng minh: MH MA = MB MC c Chứng minh: AHB và NHM đồng dạng (9) d Chứng minh: MAP và MNH đồng dạng e Cho b, c cố định, A thay đổi vị trí cho ABC có góc nhọn ABC phải có đặc điểm gì để tích MH MA có giá trị lớn Baøi 106 Cho ABC Keû DE // BC cho DC2 = BC DE a Chứng minh: DEC và CDB đồng dạng Suy cách dựng DE b Chứng minh: AD2 = AC AE và AC2 = AB AD Bài 107 Cho ABC vuông A, có đường cao AH Từ H vẽ HI AB I và HJ AC J Gọi AM laø trung tuyeán cuûa ABC a Bieát AB = 30cm, AC = 40cm Tính BC, AH, BI b Chứng minh: IJ = AH và AM IJ c Chứng minh: AB AI = AC AJ; AIJ và ACB đồng dạng d Chứng minh: ABJ và ACI đồng dạng; BIJ và IHC đồng dạng Bài 108 Cho ABC cân A có  > 90 và CI là tia phân giác ABC Đường thẳng vuông góc với CI I cắt các đường thẳng AC, BC E và F C/minh: BC AE = AC BF Bài 109 Các đường cao tam giác có góc nhọn ABC cắt O trên các đoạn thẳng OB và OC người ta lấy các điểm B’, C’ cho ABÂ’C = ACÂ’B = 90 Chứng minh: AB’ = AC’ Baøi 110 Cho ABC có góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh: a AD BC = BE AC = CF AB b HD HA = HE HB = HF HC c AE AC = AB AF vaø AD HD = BD CD HD HE HF + + =1 d AD BE CF e ABC và AEF đồng dạng, BDF và EDC đồng dạng f ABH và EDH đồng dạng, AFD và EHD đồng dạng g H cách cạnh DEF Bài111 Cho ABC có  = 900, AB = 80cm, AC = 60cm, AH là đường cao, AI laø phaân giaùc (I BC) a Tính BC, AH, BI, CI b Chứng minh: ABC và HAC đồng dạng c HM và HN là phân giác ABH và ACH C/minh: MAH và NCH đồng daïng d Chứng minh: ABC và HMN đồng dạng chứng minh> MAN vuông cân e Phân giác góc ACÂB cắt HN E, p/giác góc ABÂC cắt HM F C/m: EF // MN f Chứng minh: BF EC = AF AE Bài112 Cho ABC có đường cao AH (H nằm B và C) Từ H vẽ HM AB (M AB) và HN AC (N AC) a b c Bieát HA = 15cm, HC = 36cm, BC = 56cm Tính AB, AC ABC và ANM đồng dạng Chứng minh: AB AM = AC AN; Chứng minh: AB CM = AC BN (10) d e f Baøi113 Baøi114 và BKC đồng dạng CM BN CM cắt BN K Chứng minh: MKN Chứng minh: MN BC + BM CN = Neáu cho A, H coá ñònh , B vaø C di chuyeån trên đường thẳng vuông góc với AH H cho H nằm B và C Chứng minh trung trực đoạn thẳng MN luôn qua điểm cố định Cho ABC Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là BC, vẽ tia Cx cho BCÂx = BAÂC Gọi D là phân giác ABC Tia Cx cắt tia AD E Chứng minh: a ABD và CED đồng dạng; ABD và AEC đồng dạng b AE2 > AB AC c Trung trực BC qua E d Gọi I là trung điểm DE Chứng minh: 4AB AC = 4AI2 – DE2 Cho hình vuoâng ABCD coá ñònh, M laø ñieåm laáy treân caïnh BC (M B) Tia AM caét DC P Trên tia đối tia DC lấy điểm N cho DN = BM a Chứng minh: AND = ABM và MAN là vuông cân b Chứng minh: ABM và PDA đồng dạng và BC2 = BM DP c Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với MN H và cắt CD Q, MN cắt AD I Chứng minh: AH AQ = AI AD và DÂQ = HMÂQ d Chứng minh: NDH và NIQ đồng dạng (11)