TOAN 9 THAM KHAO DE HSG KEYS

C là một điểm thay đổi trên đường tròn C khác A và B, kẻ CH vuông góc với AB tại H.. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn O;R tại M, MB cắt CH tại K.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HUYỆN TRỰC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang Bài 1: (4,0 điểm)   2x  x  2x x  x  x   A      : 1 x x  1 x x  1 x  Cho biểu thức x  0; x  ; x 1 Với a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x 17  12 c) So sánh A với A Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng: a b  2 b  c b a) Biết a; b; c là số thực thỏa mãn điều kiện: a = b + = c + ; c >0     20082 2008  2009 2009 có giá trị là số tự nhiên b) Biểu thức Bài 3: (3,0 điểm) Giải phương trình B   20082  a) x  3x   x   x   x  2x  4x   3x   x 3 b) Bài 4.(8,0 điểm) Cho AB là đường kính đường tròn (O;R) C là điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB H Gọi I là trung điểm AC, OI cắt tiếp tuyến A đường tròn (O;R) M, MB cắt CH K a) Chứng minh điểm C, H, O, I cùng thuộc đường tròn b) Chứng minh MC là tiếp tuyến (O;R) c) Chứng minh K là trung điểm CH d) Xác định vị trí C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn đó theo R  M 3  2008 (1,5 điểm) Cho Bài 5: a) Chứng minh M có giá trị nguyên b) Tìm chữ số tận cùng M   3  2008 Chú ý: Thí sinh không sử dụng máy tính - Hết - Họ tên thí sinh:………………………… Chữ ký giám thị 1:……………………… Số báo danh : ………………………… Chữ ký giám thị 2:……………………… HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Bài (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)   2x  x  2x x  x  x     A      x  0;x  ;x 1   :  1 x x  1x x   1 x   x 2x  x   x   x  2x  x  x    :   x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x  x     x x 1 x   x   x 1 x    :   x x1  x 1 x 1 x 1 x  x      x1  x  :  x       x  x  x x x                      x1 x  x             x 1  x   x x  1  x x x 1  : x1 : x1   x  x  x 1 :   1  x    x1 x x  0.5    0.5 0.25 0.25  0.5 b) Tính giá trị A x 17  12 (1 điểm) Tính  x 17  12   2    x  3 2      2 3  2 0.5    2  17  12 15  10  2 A   5 3 2 3 2 3 2 c) So sánh A với A (1 điểm) 1 A x x  x 1 x x Biến đổi 1 x 2 x  0;x  ;x 1 x Chứng minh với  A x  1  A   A    A A   x   A  A 0 A  A Bài (3 điểm) a) Chứng minh  a  b  2 b  b c  0.5 biết a; b; c là ba số thực thoả mãn điều 0.25 0.25 0.5 kiện a = b + = c + ; c > (2 điểm) Ta có: 0.5 a b   a  b 1  a  b  1 0.25 b  c   b  c 1  b  c    0.25 (c > theo (gt)) Từ (1) và (2) suy a > b > c > a  b 1  Mặt khác   a b   a  b 1  b  Vậy   a b 1  a  b b (Vì a >b>0) b  0.5 0.25 2 b Chứng minh tương tự cho trường hợp: a b  a  2 b  b c   b c  0.25 (đpcm) 2008 2008  2009 2009 có giá trị là số tự nhiên (1 điểm) b) Biểu thức 20082 2008 20082 2008 B   20082     2008  2.1.2008     2 2009 2009 2009 2009 Ta có : B   20082  2008 20082 2008 2008  2008    2009   2.2009     2009    2009 2009 2009 2009  2009  2008 2008 2008 2008  2009   2009   2009 2009 2009 2009 2009 0.5 0.75 0.25 Vậy B có giá trị là số tự nhiên Bài (3điểm) Giải phương trình x  3x   x   x   x  2x  a)   x  1  x    x    x  1  x   0 x  (1.75 điểm) 0.5  x  1  x  3  1  x  0  x 2  x     x  1  x  3 0 Điều kiện   1    x  x 1   x 1  x  x 3  0.25 0.25  x   0  x   0 x  0     x   x  0  0.5  x  1  x 2   x   x  x = thoả mãn điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm x = b) 4x   3x   x 3 (1) (1.25 điểm) 0.25 0.25 x Điều kiện 4x    1    (Vì 0.25  3x  4x   3x  x 4x   3x  4x   3x  x 3   4x   3x   x   4x   3x  x 3  4x   3x  x 3 x 3   4x   3x  0.25 4x   3x  5 (2) 0.5 nên x + > 0) Giải tiếp phương trình (2) ta nghiệm phương trình là x = Bài (8 điểm) M C I K A O H B 1) Chứng minh điểm C, H, O, I cùng thuộc đường tròn (2 điểm) Chứng minh OI  AC Suy  OIC vuông I suy I thuộc đường tròn đường kính OC CH  AB (gt)  CHO vuông H  H thuộc đường tròn đường kính OC Suy I, H cùng thuộc đường tròn đường kính OC hay C, I, O, H cùng thuộc đường tròn 2) Chứng minh MC là tiếp tuyến đường tròn (O; R) (2 điểm)   0.75 0.25 0.75 0.25 - Chứng minh AOM COM - Chứng minh  AOM =  COM - Chứng minh MC  CO  MC là tiếp tuyến (O; R) 3) Chứng minh K là trung điểm CH ( điểm) 0.75 0.75 0.25 0.25 KH HB AM.HB AM.HB   KH   AB 2R  MAB có KH//MA (cùng  AB)  AM AB (1)    AOM CBH MA AO AM.HB AM.HB   CH   HB AO R C/m  MAO đồng dạng với  CHB  CH (2) 0.75 Chứng minh cho CB // MO (đồng vị) Từ (1) và (2) suy CH = KH  CK = KH  K là trung điểm CH 4) Xác định vị trí C để chu vi  ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn đó  0.5 PACB AB  AC  CB 2R  AC  CB Chu vi tam giác ACB là Ta lại có  AC  CB  0.25 0  AC  CB 2AC.CB  2AC  2CB AC  CB  2AC.CB    AC  CB  AC  CB   AC  CB  AC  CB  AC  CB  2AB (Pitago) 0.75 AC  CB  2.4R  AC  CB 2R Đẳng thức xảy AC = CB  M là điểm chính cung AB 0.25  0.25 Suy PACB 2R  2R 2R   PACB 2R   , dấu "=" xảy M là điểm chính cung AB  0.25 Vậy max đạt M là điểm chính cung AB Bài (1,5 điểm) a) Chứng minh giá trị M là số nguyên (1 điểm) Biến đổi  M  52  1004   5  1004 0.25 Đặt a 5  ; b 5   a  b 10 và a.b 1 Đặt U n a n  b n với n  N Khi đó M = U 1004 n 2 n 2 n 1 n 1 U n 2 a  b a.a  b.b  10  b  a n 1   10  a  b n 1 Ta có 10  a n 1  b n 1   ab  a n  b n  10U n 1  U n 0.25 (vì ab = 1)  U n 2 10U n 1  U n (*) Ta thấy U0 =  Z ; U1 = a + b = 10  Z U a  b  a  b   2ab 10  2.1 98  Z 0.25 Theo công thức (*) thì U 10U  U1 mà U1, U2  Z suy U  Z Lại theo (*) U 10U  U có giá trị nguyên 0.25 * Quá trình trên lặp lặp lại vô hạn suy Un có giá trị nguyên với n  N Suy M = U1004 có giá trị là số nguyên a)Tìm chữ số tận cùng M (0.5 điểm) Từ (*) suy U n   U n 10U n 1 10  U n 4  U n  U n 4  U n 2    U n 2  U n  10   U n 4  U n  10  U 4k r có chữ số tận cùng giống 1004 = 4.251 suy U1004 và U0 có chữ số tận cùng giống Mà U0 có chữ số tận cùng là (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận cùng Chú ý: Nếu thí sinh làm bài cách khác đúng thì cho điểm tương đương Điểm toàn bài không làm tròn và Ur 0.25 0.25