(Sáng kiến kinh nghiệm) giúp học sinh giải bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất bằng cách xác định tập hợp điểm biểu diễn hình học của số phức đó

1.MỞ ĐẦU 1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Số phức đưa vào giảng dạy bậc phổ thông nhiều nước giới, lại nội dung với học sinh trung học phổ thông Việt Nam Từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục Đào tạo thức đưa nội dung “số phức” vào chương trình phổ thơng Tính đến thời điểm này, gần 10 năm, nội dung sách giáo khoa mức độ đơn giản song phân bố khoảng thời lượng không nhiều, mặt khác tài liệu tham khảo nội dung cịn ít, nội dung đưa hầu hết đề thi tốt nghiệp THPT năm gần chiếm tỉ lệ định Bắt đầu từ năm học 2016-2017 mơn tốn chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, việc giúp học sinh nhận dạng đưa cách giải nhanh, xác yêu cầu tối cần thiết Vì việc dạy học “Số phức” có hiệu thật vấn đề cần nghiên cứu Trải qua số năm tham gia dạy chương trình tốn lớp 12, tơi thấy: Học sinh tiếp cận tập hợp “ Số phức” lớp 12 nên phần lớn vận dụng em bị ảnh hưởng nhiều tính chất tập hợp số thực, em tỏ lúng túng giải toán số phức, đặc biệt có em cịn nhầm tưởng tính chất tập hợp số thực tập hợp số phức Đặc biệt việc giải tốn “Tìm tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức” tốn q khó học sinh Các em cần nắm kiến thức số phức: phần thực, phần ảo, môđun số phức, phép toán số phức kết hợp với kiến thức phương trình đường thẳng, đường trịn, đường Elíp, em giải tốt tốn Vấn đề thơng qua tốn học sinh biết khai thác kiến thức toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, toán cực trị hình học, để từ giải tốn “Tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ thoả mãn điều kiện cho trước” Trên sở em phát huy sức sáng tạo tư logíc Riêng thân, mối tiết dạy, dạy trăn trở tìm phương pháp dạy học thích hợp để tác động tới đối tượng học sinh, tìm cách để xoá bỏ việc tiếp thu kiến thức cách thụ động Đồng thời nâng cao trình độ tư sức sáng tạo học sinh Chính lí nên tơi chọn đề tài “Giúp học sinh giải tốn tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ cách xác định tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức ” để viết sáng kiến kinh nghiệm. Nhằm góp phần nâng cao hiệu dạy học chương số phức lớp 12 Mục đích nghiên cứu Giúp em học sinh có nhiều cách nhìn việc tư giải toán đại số Đối tượng nghiên cứu Trong đề tài này, đối tượng nghiên cứu tơi cách tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Nghiên cứu tài liệu cơng trình nghiên cứu đổi PPDH theo hướng tích cực hóa việc học học sinh - Nghiên cứu cấu trúc nội dung chương trình giải tích 12 (Chương số phức) Phương pháp thực tập sư phạm Thực nghiệm sư phạm trường THPT, tiến hành theo quy trình đề tài sáng kiến kinh nghiệm để đánh giá hiệu đề tài nghiên cứu Phương pháp thống kê toán học: Sử dụng phương pháp để thống kê, xử lý, đánh giá kết thu 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận SKKN Phương pháp nghiên cứu SKKN dựa sở: + Các kiến thức số phức + Các kiến thức lượng giác phương pháp tọa độ mặt phẳng + Những sai lầm thực tế làm học sinh số phức 1.1 Số phức [1] 1.1.1 Định nghĩa 1: Mỗi số phức biểu thức có dạng a+ bi, với a, b  R i2 = -1 Kí hiệu số phức z = a +bi ; i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực, b gọi phần ảo số phức z = a + bi Tập hợp số phức kí hiệu C 1.1.2 Định nghĩa 2: Hai số phức a  a ' ' ' a  bi  a  b i   ' b  b Từ đó, a + bi =  a = b = 1.1.3 Biểu diễn hình học số phức: + Ứng với số phức z = a + bi có điểm M(a;b) mặt phẳng Oxy ngược lại Kí hiệu M(a+bi) hay M(a;b)  Ngồi ra, số phức z = a + bi cịn biểu diễn vectơ u (a; b) + Các điểm trục hoành Ox biểu diễn số thực Các điểm trục tung Oy biểu diễn số ảo 1.1.4 Phép cộng, phép trừ hai số phức: Cho hai số phức z = a + bi số phức z’ = a' + b’i Tổng hai số phức số phức z+z’ = (a+a’) + (b+b’)i Hiệu hai số phức số phức z-z’ =(a-a’) + (b-b’)i Khi đó, u (a; b) biểu diễn số phức z, u '(a ' ; b' ) biểu diễn số phức z’ vectơ  '  ' u  u , u  u biểu diễn số phức z+z’, z- z’ 1.1.5 Phép nhân số phức: Cho hai số phức z = a + bi số phức z’ = a' + b’i Tích hai số phức số phức zz’ = (aa’ –bb’)+ (ab’+a’b)i Chú ý: Có thể thực phép tốn cộng, trừ, nhân hai số phức cách hình thức tương tự phép toán cộng, trừ, nhân tập hợp số thực R 1.1.6 Phép chia số phức: + Số phức liên hợp số phức z = a +bi số phức z  a  bi + Môđun số phức z = a +bi z  a  b 1 + Số nghịch đảo số phức z = a +bi khác số phức z  z z z' hai số phức z’ = a’ + b’i số phức z = a + bi khác tích z z' z' z ' 1 ’  z z  z với số phức nghịch đảo z, tức z z + Thương a'  b' i (a'  b' i)(a  bi) Vậy:  ,(a  b2  ) 2 a  bi a b Chú ý : Nếu điểm M biểu diễn số phức z, điểm M’ biểu diễn số phức z’ ' MM’ = z  z 2.1.1.7 Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c số thực: ax  bx  c  (a  0),   b  4ac b   2a b  |  |.i +D < 0: Phương trình có nghiệm phức x1,2  2a 1.1.8 Tập hợp điểm biễu diễn số phức thừơng gặp: + Tập hợp điểm biễu diễn số phức z đường thẳng : Cho số phức z thoã mãn: z  z1  z  z2 Giả sử M,A,B lầ lượt điểm biểu diễn số phức z, z1,z2 Ta có z  z1  z  z2  MA  MB  M thuộc  : ax  by  c  trung trực AB +Tập hợp điểm biểu diễn đường trịn : Cho số phức z thỗ mãn: z  a  bi  R  Tập hợp điểm biễu diễn số phức z đường tròn (C ) : ( x  a )  ( y  b)  R +Tập hợp điểm biểu diễn elip: Cho số phức z thoã mãn: z  c  z  c  2a Tập hợp điểm biễu diễn số phức z x2 y (E) có phương trình:   (0  b  a; b  a  c ) a b 1.1.9 Một số kiến thức áp dụng 1.Bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki với bốn số thực: Với bốn số thực a,b,c,d, ta có: (ax  by )2  (a  b )( x  y ) Dấu đẳng thức xảy ay=bx Định lí dấu tam thưc bậc hai Sự đồng biến, nghịch biến hàm số 4.Giao điểm đường thẳng với đường thẳng, đường thẳng với đường tròn 2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm +D ³ 0: Phương trình có nghiệm thực x1,2  Thực trạng dạy học chương số phức nói chung tốn tìm số phức có mơ đun lớn nhất, nhỏ nói riêng trường THPT thể số điểm sau: Thời lượng SGK dành cho chương số phức không nhiều, kiến thức đơn giản, khơng có nhiều dạng tập đề thi ,với hình thức thi trắc nghiệm, nên dạng tiịp đa dạng , phong phú Mức , độ yêu cầu đề ngày cao, vượt xa GSK cung cấp gây nhiều hoang mang cho học sinh Đối với học sinh, việc tiếp thu vận dụng kiến thức số phức nhiều em hạn chế phần kiến thức mới.bài tốn tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ lại khó liên quan đến nhiều tốn định lượng, bất đẳng thức, mối liên hệ đại số với tốn hình học Qua kiểm tra thường xuyên, kiểm tra định kì lớp 12C2 thấy nhiều học sinh thường không làm tập phần Vì điểm kiểm tra thường thấp so với phần học khác Cụ thể kết kiểm tra 15 phút lớp 12C2 (Năm học 2014-2015), trước chưa đưa phương pháp sau: Đề bài: Câu 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z , biết z   z   Lời giải Giả sử z  x  yi,  x, y    Ta có : z   z     x    yi   x    yi    x  2  y   x  2  y  Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z Xét hai điểm F1  2;0  , F2  2;0  Khi hệ thức viết lại thành MF1  MF2  Tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện MF1  MF2  elip  E  nhận F1 , F2 làm hai tiêu điểm có độ dài trục thực Độ dài trục bé 32  22  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho elip  E  có phương trình x2 y   Câu 2: Tìm số phức z có môđun nhỏ thỏa mãn iz   z   i Lời giải Giả sử z  x  yi,  x, y    Khi iz   z   i   y   xi  x    y  1 i    y  3  x   x     y  1  x  y   Cách 1: (Theo Đại số) Ta có x  y    x    y  1 nên: 2 2 2 1  z  x  y   2 y  1  y   y     5 5  1 Dấu đẳng thức xảy y   ; x    z    i 5 5 Vậy môđun nhỏ số phức , đạt z    i 5 Cách 2: (Theo Hình học) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng d : x  y   Giả sử M  x; y  điểm biểu diễn z z nhỏ OM nhỏ OM nhỏ OM  d hay M hình chiếu vng góc O đường thẳng d Khi đó, đường thẳng OM có phương trình x  y  2 2 Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình : 2 x  y   x  ;y   5 x  y   , đạt z    i 5 Lớp 12C2(Năm học 2014-2015): ( Tổng số HS :36) Vậy môđun nhỏ số phức Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 0 16,7 15 41,7 11 30.56 11.04 Phân tích : +Nhiều em khơng làm câu lúng túng khơng biết xử lí tốn cho z, z Khơng nắm vững kiến thức elip nên khơng tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z + Nhiều em theo hướng không lập mối liên hệ x y nên khơng thể tính z khơng giải tốn +Nhiều em theo hướng khơng giải tốn khơng nắm chất “Hình học” toán Các giải pháp sử dụng giải vấn đề 2.3.1 Một số tốn tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức điển hình: Bài tốn1: Giả sử M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện sau đây: a) z   i =2 b)  z   i c) z   z   Giải: Đặt z = x +yi (x, y  R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y) a) Xét hệ thức: z   i =2 (1)   x – 1   y  1 i   x  1   y  1  2   x  1   y  1    Tập hợp điểm M(z) mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) đường trịn có tâm I(1;-1) bán kính R = b) Xét hệ thức 2 z  z i  |(x+2) +yi| = |x+(y-1)i|  (x+2)2 + y2 = x2 + (y-1)2  4x + 2y + = Vậy tập hợp điểm M đường thẳng 4x + 2y + = Nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + = đường trung trực đoạn AB Giải Giả sử z  x  yi,  x, y    Ta có : z   z     x    yi   x    yi   x  2  y   x  2  y  Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức  2 2 z Xét hai điểm F1  2;0  , F2  2;0  Khi hệ thức viết lại thành MF1  MF2  Tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện MF1  MF2  elip  E  nhận F1 , F2 làm hai tiêu điểm có độ dài trục thực Độ dài trục bé 32  22  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho elip  E  có phương trình x2 y   Bài toán 2: (Trích đề thi TS ĐH KB năm 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z  i  1 i z Lời giải Giả sử z  x  yi,  x, y    Ta có : z  i    i  z  x   y  1 i    i   x  yi   x   y  1 i   x  y    x  y  i  x   y  1   x  y    x  y   x  y  y    x   y  1  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho đường tròn  C  có phương trình x   y  1  Bài toán 3 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức   i  z  , biết z số phức thỏa mãn điều kiện z   2i  Lời giải Cách 1: Giả sử z  x  yi,  x, y    2 2 Ta có z   2i    x  3   y   i    x     y     * 2 Đặt w    i  z  Giả sử w  a  bi,  a, b    Ta có : w    i  z   a  bi    i   x  yi    a  bi  x  y    x  y  i ab2  x  a  x  y     b  x  y y  b  a   2 ab2 ba2     Do từ hệ thức  * , ta có   3    2  2       a  b     b  a    16  a  b  6a  2b   2   a  3   b  1  2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức   i  z  đường trịn có phương trình :  x  3   y  1  Cách 2: Đặt w    i  z  Khi ta có w   i    i   z   2i  Từ giả thiết tính chất mơđun ta có w   i    i   z   2i  2  w   i   i z   2i  w   i  2 Giả sử w  x  yi,  x, y    w   i  2   x  3   y  1  2 Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z  i  z  z  2i Lời giải Giả sử z  x  yi,  x, y    Ta có z  i  z  z  2i  x   y  1 i  x  yi   x  yi   2i  x   y  1 i   y  1 i x Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho parabol  P  có phương trình y  x 3.2 Bài tốn tìm cực trị số phức Phương pháp: Bài toán: Trong số phức z thoả mãn điều kiện T Tìm số phức z để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn vào biểu thức P để hàm biến Tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu tốn hàm số biến vừa tìm Kỹ năng: +Phương pháp đại số +Phương pháp hình học + Phương pháp bđt modun +Phương pháp casio 3.2.1 Một số tốn điển hình Dạng 1: Quỹ tích điểm biễu diễn số phức z đường thẳng :Giả sử M,A,B lầ lượt điểm biểu diễn số phức z, z1,z2 Ta có : z  z1  z  z2  MA  MB  M thuộc  : ax  by  c  trung trực AB Khi z điểm M(x;y) biểu diễn số phức z hình chiếu vng góc O lên  Nhận xét : Đề suy biến tốn thành số dạng khác,khi ta cần thực biến đổi đưa dạng bản: Ví dụ : +Cho số phức z thoã mãn z  a  bi  z  c  di Khi ta biến đổi:  x   y  1   y  1  y  2 z  a  bi  z  c  di  z  a  bi  z  c  di + Cho số phức z thoã mãn iz  a  bi  z  c  di Khi ta biến đổi: a  bi c  di iz  a  bi  z  c  di  z   z  z  b   z  d  ci i i Ví dụ 1: Trong số phức z thoả mãn điều kiện z   5i  z   i , tìm số phức có mơđun nhỏ Gọi z  x  yi  x; y  R  Giải: z   5i  z   i  ( x  1)  ( y  5)  ( x  3)  ( y  1)  x  y   () Gọi điểm M(x;y) biểu diễn số phức z suy z M hình chiếu vng 6 10 góc O lên  Tìm M ( ; ) suy z  z   i 5 5 *Nhận xét: Nếu gặp toán chẳng hạn : Trong số phức z thoả mãn điều kiện z   5i  z   i Tìm z z  d (O; )  10   Ví dụ 2: Biết số phức z th ã mãn : u   z   i  z   3i số thực Tìm giá trị nhỏ z Giải Đặt z= x+ yi (x, y  R ) ta có u   x  3   y  1 i   x  1   y  3 i   x  y  x  y    x   y   i Ta có: u  R  x  y   Tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng d: x-y-4=0 M(x;y) điểm biểu diễn z , z có môđun nhỏ độ dài OM nhỏ  OM  d Tìm M(-2;2) suy z= -2+2i  z  2 Dạng 2: Quỹ tích điểm biễu diễn số phức z đường tròn (C ) : (x  a)  ( y  b)  R Gọi M(x;y) biểu diễn số phức z ,Khi ta có:  z  OI  R  a  b  R  z  R   2 z  max  OI  R  a  b  R  z0  R Nhận xét : Đề suy biến tốn thành số dạng khác,khi ta cần thực biến đổi đưa dạng bản: Ví dụ : + Cho số phức z thoã mãn iz  a  bi  R Khi ta biến đổi:  a  bi R iz  a  bi  R  z    z  a  bi  R i i + Cho số phức z thoã mãn z  a  bi  R Khi ta biến đổi: z  a  bi  R  z  a  bi  R (Lấy liên hợp hai vế) + Cho số phức z thoã mãn (c  di ) z  a  bi  R Khi ta biến đổi:  a  bi R R (c  di ) z  a  bi  R  z    c  di c  di c2  d z 2i  Tìm giá trị nhỏ Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 i giá trị lớn z Giải Giả sử z  x  yi,  x, y    Ta có z  2i   z   i  z   i  x    y  1 i  x    y  1 i z 1 i 2 2   x     y  1   x  1   y  1   x   y    10   Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I  0;  3 , bán kính R  10 Giả sử M  x; y  điểm biểu diễn số phức z z nhỏ OM nhỏ nhất; z lớn OM lớn Đường thẳng OI có phương trình x  Giao điểm đường thẳng OI với đường tròn  I ; R   là     M 0;   10 , M 0;   10 OM   10; OM  3  10 Khi Với điểm M nằm đường tròn  I ; R  , ta ln có OM  OM  OM Vậy giá trị lớn z  10 giá trị nhỏ z 3  10 3.2.2 Mở rộng: Bài tốn gốc số 1: Cho đường trịn (T ) cố định có tâm I bán kính R điểm A cố định Điểm M di động đường tròn (T ) Hãy xác định vị trí điểm M cho AM lớn nhất, nhỏ Giải: TH1: A thuộc đường trịn (T) Ta có: AM đạt giá trị nhỏ M trùng với A AM đạt giá trị lớn 2R M điểm đối xứng với A qua I TH2: A không thuộc đường tròn (T) Gọi B, C giao điểm đường thẳng qua A,I đường tròn (T); Giả sử AB < AC +) Nếu A nằm ngồi đường trịn (T) với điểm M (T), ta có: AM  AI  IM  AI  IB  AB Đẳng thức xảy M  B AM  AI  IM  AI  IC  AC Đẳng thức xảy M  C +) Nếu A nằm đường trịn (T) với điểm M (T), ta có: AM  IM  IA  IB  IA  AB Đẳng thức xảy M  B AM  AI  IM  AI  IC  AC Đẳng thức xảy M  C Vậy M trùng với B AM đạt giá trị nhỏ Vậy M trùng với C AM đạt giá trị lớn Bài toán gốc số 2: Cho hai đường trịn (T1 ) có tâm I, bán kính R1; đường trịn (T2 ) có tâm J, bán kính R2 Tìm vị trí điểm M (T1 ) , điểm N (T2 ) cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Giải: Gọi d đường thẳng qua I, J; d cắt đường tròn (T1 ) hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt (T2 ) hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC) Với điểm M bất khì (T1 ) điểm N (T2 ) MN  IM  IN  IM  IJ  JN  R1  R2  IJ  AD Ta có: Đẳng thức xảy M trùng với A N trùng với D MN  IM  IN  IJ  IM  JN  IJ  R1  R2  BC Đẳng thức xảy M trùng với B N trùng với C Vậy M trùng với A N trùng với D MN đạt giá trị lớn Khi M trùng với B N trùng với C MN đạt giá trị nhỏ Bài toán gốc số 3: Cho hai đường trịn (T ) có tâm I, bán kính R; đường thẳng  khơng có điểm chung với (T ) Tìm vị trí điểm M (T ) , điểm N  cho MN đạt giá trị nhỏ Giải: Gọi H hình chiếu vng góc I d Đoạn IH cắt đường tròn (T ) J Với M thuộc đường thẳng  , N thuộc đường tròn (T ) , ta có: MN  IN  IM  IH  IJ  JH  const Đẳng thức xảy M  H ; N  I Vậy M trùng với H; N trùng với J MN đạt giá trị nhỏ Ví dụ 4: Trong số phức z thoả mãn z   4i  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Giải: Gọi z  x  yi  x; y  R   M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy z   4i   ( x  3)  ( y  4)   ( x  3)  ( y  4)  16 Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường trịn (T) có tâm I (3; 4) , bán kính R = z  x  y  OM ; OI   R nên O nằm ngồi đường trịn (T) z lớn OM lớn nhất, nhỏ OM nhỏ (Bài toán qui toán gốc số 1- Trường hợp 2) Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) hai điểm phân biệt    27 36  A  ;   ; B  ;    OA  1; OB   5 5  Với M di động (T), ta có: OA  OM  OB   OM    z   OM nhỏ M trùng với A; OM lớn M trùng với B 27 36  i Vậy z nhỏ z   i ; z lớn z  5 5 Cách Gọi z  x  yi  x; y  R   M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy    4i  A(3; 4) biểu diễn cho số phức  z  OM ;   OA   z    AM ; Theo giả thiết z   4i   z     AM  Ta có: OM  OA  AM  4  OM  OA   4  OA  OM   OA   OM  27 36   z  ; z  z   i ; z  z   i 5 5 27 36  i Vậy z nhỏ z   i ; z lớn z  5 5 Nhận xét: Ngồi tốn giải phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki phương pháp lượng giác hố Ví dụ 5: Trong số phức z thoả mãn điều kiện z ( z   4i) số ảo, tìm số phức z cho   z   i có mơđun lớn Giải: Gọi z  x  yi  x; y  R   M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy z ( z   4i )  ( x  yi )  ( x  2)  ( y  4)i   x( x  2)  y ( y  4)   x( y  4)  y ( x  2)  i z ( z   4i) số ảo  x( x  2)  y ( y  4)   x  y  x  y   ( x  1)  ( y  2)   M biểu diễn cho z thuộc đường trịn (T) có tâm I (1;2) , bán kính R    z   i  ( x  1)  ( y  1)i  ( x  1)  ( y  1)  AM với A(1;1) IA   A  (T ) (Bài toán qui toán gốc số - trường hợp 1) Vì M điểm di động (T) nên AM lớn  AM đường kính (T)  M đối xứng với A qua I  I trung diểm AM  M (3;3)  z  3  3i    4  2i Vậy  lớn z  3  3i Ví dụ 6: Trong số phức z1, z2 thoả mãn: z1   i 1 ; z2   6i  , tìm số phức z1, z2 cho z1  z2 đạt giá trị lớn Giải: Gọi z1  a  b.i ; z2  c  d i ; (a, b, c, d số thực); z1 biểu diễn điểm M(a; b); z2 biểu diễn điểm N(c; d) mặt phẳng toạ độ Oxy z1   i   z1   i   (a  1)  (b  1)  suy M thuộc đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = z2   6i   z2   6i  36  (c  6)  (d  6)  36 suy M thuộc đường tròn tâm J(6; 6), bán kính R' = z1  z2  (c  a )  (d  b)  MN Ví dụ 7: (Trích đề thi thử THPT chuyên Phan Bội Châu ) Cho số phức z thoã mãn z   3i  Giá trị lớn z   i A 13  B.4 C.6 D 13  Giải: Cách 1: Gọi z=x+yi, ta có z-2-3i=(x-2)+(y-3)i Nên ta có : ( x  2)  ( y  3)  Do điểm M biểu diễn số phức z nằm đường tròn tâm I(2;3), bán kính R=1 2 Ta có z   i  ( x  1)  ( y  1) Gọi M(x;y) H(-1;1) MH  ( x  1)  ( y  1) Vì M chạy đường trịn , H cố định nên MH lớn M giao điểm HI với đường tròn  x   3t Phương trình HI:  , Giao điểm HI với đường trịn ứng với t thỗ y   t  2 mãn 9t  4t   t   suy 13 3 M (2  ;3  ), M (2  ;3  ) 13 13 13 13 Tính độ dài MH , ta chọn kết MH  13  Chọn đáp án D Cách 2: Đặt W  z   i Ta có z   3i   z   3i   ( z   i)   2i   W   2i  Nên tập hợp điểm biểu diễn W đường trịn có tâm I(3;-2), bán kính R=1 Vậy W max  OI  R   13 Chọn đáp án D Nhận xét: dùng lượng giác để giải tốn (Bài toán qui toán gốc số 2) Đường thẳng IJ có phương trình y = x Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I 2 2  2 2  ; ; hai điểm M  ; M   2 2     Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm J hai điểm N1  2;6  ; N  2;6      M N1  MN  M N    z1  z2   max z1  z2   M  M , N  N Vậy z1  2 2  i ; z2     i z1  z2 đạt giá trị lớn 2   Ví dụ 8: Cho số phức z1; z2 thoả mãn: z1 1 ; z2  z2  (1  i )    2i số thực Tìm số phức z1; z2 cho P  z2   z1 z2  z1 z2  đạt giá trị nhỏ Giải: Gọi z1  a  bi ; z2  c  di ;  a, b, c, d  R   M (a; b), N (c; d ) biểu diễn cho z1; z2 hệ toạ độ Oxy z1   a  b   a  b   M thuộc đường trịn (T ) có tâm O, bán kính R = z2  c  di;   z  z    i     2i   c  di   (c  1)  (d  1)i    6i  c(c  1)  d (d  1)    c(d  1)  d (c  1)   i  số thực  c(d  1)  d (c  1)    c  d    N thuộc đường thẳng  : x  y   Ta có d (O; )  nên  (T ) khơng có điểm chung z1 z2  ac  bd  (bc  ad )i; z1 z2  ac  bd  (bc  ad )i  z1 z2  z1z  2(ac  bd ) P  c  d  2(ac  bd )  (c  a )2  (b  d )2   MN  (vì a  b  ) (Bài toán qui Bbài toán gốc số 3) Gọi H hình chiếu vng góc O  : x  y    H (3;3)  2 ( T ) I ; Đoạn OH cắt đường tròn   2   Với N thuộc đường thẳng  , M thuộc đường tròn (T ) , ta có: MN  ON  OM  OH  OI  IH   Đẳng thức xảy M  I ; N  H    P     18  Đẳng thức xảy z1  2  i; z2   3i 2 Vậy P đạt giá trị nhỏ 18  z1  2  i; z2   3i 2 Ví dụ 9: ( PTNK TP HỒ CHÍ MINH).Cho số phức z thoả mãn z   i  2 Tìm giá trị lớn biểu thức P  z   i  z   3i Giải Cách 1: Gọi z  x  yi ( x, y   ) , M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z.Ta có : z   i   ( x  1)  ( y  1)  suy M nằm đường tròn (C) tâm I(1;1), bán kính R=2 Xét A(2;1), B(2;3), N(0,2) trung điểm AB.Khi đó: 2 P  z   i  z   3i  ( x  2)  ( y  1)  ( x  2)  ( y  3) AB  MA  MB  2MN   2MN  10 Mặt khác N nằm ngồi đường trịn (C) nên MNmax =NI+R=  10  Pmax  38  10 Cách 2: Ta có : 2 P  z   i  z   3i  ( x  2)  ( y  1)  ( x  2)  ( y  3) 2 2  x  y  y  18  P  Suy toạ độ điểm M thoả mãn hệ: ( x  1)  ( y  1)  ( x  1)  ( y  1)    2 2x  y  y  18  P  4x  12 y  22  P  () Hệ có nghiệm d ( I ,  )  R  P  38  10  38  10  P  38  10 Suy Pmax  38  10 x2 y Dạng 3: Quỹ tích điểm biễu diễn số phức z elip (E):   1,(0  b  a) a b Ví dụ 10: Trong số phức z thoả mãn điều kiện z   z   10 Tìm số phức z có mơđun lớn Giải: Gọi z  x  yi  x; y  R   M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy z   z   10  ( x  3)  y  ( x  3)  y  10  MF1  MF2  10 ; (với F1 (3;0); F2 (3;0) ) 2 x y  M  ( E ) có tâm O, trục lớn 10; tiêu cự  M  ( E ) :  1 25 z  OM ; OM lớn  OM  a   M (5;0)  M ( 5;0) Vậy z lớn z=-5 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Với cách làm tơi vừa trình bày trên, giáo viên cần gơị mở để học sinh chủ động phát tập hợp điểm biểu diễn số phức z để đưa tốn phức tạp toán đơn giản Sau dạy xong chủ đề: “Giúp học sinh giải tốn tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ cách xác định tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức ” Tơi cho học sinh làm kiểm tra 15 phút sau: Đề bài: Câu 1: ( ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Cho số phức z   thỏa mãn z  Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w    4i  z  i Giải: a ; b ; c   Đặt w  a  bi với a   b  1 i  a   b  1 i    4i  w    4i  z  i  z    4i 25 3a  4b   3b  4a  3 z  i z  25 25 Mà z  4  3a  4b     3b  4a  3 25  3a  4b     3b  4a  3 25 4   3a  4b     3b  4a  3  1002 2  a  b  2b  399  a   b  1  202 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn I  0;1 , R  20   Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện w   z   i  z   3i số thực Tìm giá trị nhỏ z Giải Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng d : x  y   Giả sử M  x; y  điểm biểu diễn z z nhỏ OM nhỏ OM nhỏ OM  d hay M hình chiếu vng góc O đường thẳng d Khi đó, đường thẳng OM có phương trình x  y  x  y   x   Tọa độ M nghiệm hệ phương trình  x  y   y  2 Vậy giá trị nhỏ z 2 , đạt z   2i Kết kiểm tra thể cụ thể sau: Lớp 12A1(Năm học 2017-2018): ( Tổng số HS :40) Giỏi Khá TB Yếu SL % SL % SL % SL % 13 32.5 15 42.5 10 25 Kém SL % Qua bảng trên, thấy kết học tập lớp 12A1 sau học xong chủ đề có khác biệt rõ rõ rệt so với anh chị khoá trước Từ chỗ chưa có học sinh đạt điểm giỏi chưa áp dụng cách làm mà tơi trình bày trên, áp dụng cách làm có 13 học sinh đạt điểm giỏi Số lượng học sinh đạt điểm khá, trung bình tăng lên, số lượng học sinh đạt điểm yếu cịn em khơng cịn học sinh bị điểm Như vây, thành công bước đầu quan trọng cách làm cải thiện chất lượng học tập học sinh tạo hứng thú, say mê học sinh học phần kiến thức Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận Dạng tập tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ chương trình giải tích lớp 12 nói chung đa dạng, phong phú dạng tập khó đa số học sinh THPT Để áp dụng sáng kiến kinh nghiệm thân có hiệu vào đối tượng học sinh u cầu người dạy người học phải không ngừng học hỏi tìm kiếm tri thức Các em học sinh phải ln cố gắng, tìm tịi, sáng tạo, phân tích vấn đề khái qt hố vấn đề, Trong khn khổ viết mình, tơi xin đưa số tốn tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ số phức qua việc tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Từ đó, giúp em giải tốn cách dễ dàng nhanh làm trắc nghịêm 3.2 Kiến nghị Với khả năng, kinh nghiệm thân hạn chế, việc áp dụng phương pháp hệ thống tập đưa chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đồng nghiệp quý vị độc giả góp ý để SKKN hồn thiện XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 22 tháng 05 năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Ký ghi rõ họ tên Nguyễn Huy Quang TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải tích 12 NXB Giáo dục 2.Xây dựng tài liệu số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh Nguyễn Tiên Tiến,THPT Gia Viễn B 3.Bài toán Max-Min số phức-Lương Văn Huy –Thanh Trì- Hà Nội Đề thi thử đại học THPT Quốc Gia (Từ 2006-2018) -Nguồn internet 5.Trích số tập từ Word tốn MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài 1 Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận 1.1.Số phức 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Định nghĩa 1.1.3 Biểu diễn hình học số phức 1.1.4 Phép cộng, phép trừ hai số phức 1.1.5 Phép nhân số phức .3 1.1.6 Phép chia số phức .3 1.1.7 Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c số thực 1.1.8 Tập hợp điểm biễu diễn số phức thường gặp 1.1.9 Một số kiến thức áp dụng 2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ……….5 Các biện pháp sử dụng để giải vấn đề ……………………… 3.1 Một số tốn tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức điển hình… Bài tốn tìm cực trị số ………………………………………….…… Hiệu sáng kiến kinh nghiệm …………………………………… 18 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ……………………………………………….… 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………… 21 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH GIẢI BÀI TỐN TÌM SỐ PHỨC CĨ MƠ ĐUN LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT BẰNG CÁCH XÁC ĐỊNH TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC ĐĨ Người thực hiện: Nguyễn Huy Quang Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn THANH HỐ, NĂM 2018 ... THPT ĐẶNG THAI MAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH GIẢI BÀI TỐN TÌM SỐ PHỨC CĨ MƠ ĐUN LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT BẰNG CÁCH XÁC ĐỊNH TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC ĐÓ Người thực hiện: Nguyễn... để học sinh chủ động phát tập hợp điểm biểu diễn số phức z để đưa tốn phức tạp toán đơn giản Sau dạy xong chủ đề: ? ?Giúp học sinh giải tốn tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ cách xác định tập hợp. .. học? ?? tốn Các giải pháp sử dụng giải vấn đề 2.3.1 Một số tốn tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức điển hình: Bài tốn1: Giả sử M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn