Về nhóm con của nhóm số 3.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ VIỆT HÙNG VỀ NHÓM CON CỦA NHÓM SO(3) Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. VŨ THẾ KHÔI THÁI NGUYÊN - 2008 ờ ó ó é q t ệ ề tr ĩ ự ủ t ọ ó ó ột ố tợ ể ợ ứở ề t ọ ố tợ ợ trì tr ó ủ ó s ở é q ó ữ q trụ óó é q ợ q t ứ ó ó ứ ụtr í tết s ột í tết ứ q trì ủ ủ ột số ữ ì ệ trớ tr ổ ủ ột ọ ú t ỉ t tr tì ểết q số t tý trì ợ í tết s t số ứ tr tì ể trú số ủ ó G(p, q) s ở é q q trụ ó ớ ó q ợt 2/p 2/q ú t ứ ó ớ ú ý t ó ột số ết q ớ s ế p q G(p, q) ó ữ ế p q G(p, q) ó ịệ ữ G(4, 4) ó ố ứ ủ ì ò tt trờ ợ G(p, q) trù t tr ợ trì t ủ t r ết qí t ủ í ị í trú ị í ỉ rr ó G(p, q) ớ tí tự tí tự ớ ó ủ ó ó ó ị ệ ết q tế t ị í ề t ủ tử ó r ọ tử ủ óG(p, q) ề ó tể ể ễ ột t ớ tí ủ ột số tử ó ụ tể ị í r tr ố ò ứ ột í ụ ề ó ủ ó sở é q ớ ó q tí ủ 2 ớ ột số tỉ sệt sử ụ ĩ tt ứ ợột số trờ ợ ó tr í ụ ớ ó tự s ở tử ồ ể ớ tệ ệ tí t tr í ụ ọ ề é q tr é q ó tự tí tự tí tự ớ ó ụ ụ s trì ữ ộ í ủ ồ P trì ể ễ ó G(p, q) P trì í t ỗ tử ủ ó G(p, q) trì t ột í ụ ứ ề ó é qG(v, 4) tr ó ó ó q v ột số tỉ trớ ớ 2 ótrì í ụ ứ ớ ề ó G(, 4) ớ eit cos() s ệt ợ t ớ sự ớ t tì ủ s ũế tỏ sự í trọ ò ết s s tớ tr trọ t P s ọ P t tr ị t ế tứ sở tr trọ ệ ồ ệ trờP tr trọ ữ ờ t ớ ọ t ộ ú ỡ t tr q trì t ế tứ ị ột số ị ĩ ết q s Pé q tr é qPé q ó ột tử ủ ó t ị ĩé q q trụ ủ ệ trụ tọ ộ tr ề ớ ó q ị ĩ Pé q q trụ ớ ó q tr ề ớ ệ trụ t ộ ề ó ột tử ủó ó tr t ứ 1 0 00 cos sin0 sin cos.í ệ RxRx=1 0 00 cos sin0 sin cos. ũ ị ĩ t tự é q Ry Rzt ứ q trụ ớ tr t ứ ợt cos 0 sin0 1 0sin 0 coscos sin 0sin cos 00 0 1. ề tr ủ tế tí ó tể t P tế ttrì ý tết ó tự ể ễ ó tí tự tí tự ớ ó t ó tự ị ĩ ột t S ủ ó F ợ ọ sở tự ủF ế ọ : S G từ ột t S ế ó G ề ó tể ở rộ t t ột ồ : F G s (s) = (s), s S t ó s ồSFG!ột ó F ợ ọ ó tự ế ó ó ột t sở tự ủ F í ụ ét ó C ợ ết t ố ồ ỹ từ ủ tử a ó C ó C = { ., a2, a1, 1 = a0, a = a1, a2, a3, .}, é ợ ị ĩ ai.aj= ai+jớ i, j Z ó C ột ó tự ớ sở tự t S {a}.t ế : S G ột t ì (a) = g G tì ồ ở rộ : C G ợ ị ĩ ở (ai) = gi. ể ở rộ t ú ý r C ò ó ột sở tự ữ ó t {a1} ó sở tự t ủ C. tự t ũ óó số Z ớ C ó tự ớ sở tự {1} {1} ể ễ ó ở tử s ệ tứ ố t ó ết r ột tử s r ó r ột q ệ ữ ú tờ ù í ệG = a1, a2, a3, .|u1= v1, u2= v2, .,tr ó ai í tự uj, vj từ t ở ai tr ó t u = v uv1= 1 ì tế t ó tể ể ễ ó ớ tG = a1, a2, .|r1= 1, r2= 1, .,tr ó ri= uiv1iớ i = 1, 2, 3, . ể t í ệG = a1, a2, .|r1, r2, ị ĩ ột ể ễ P = S|D ột ồ ột tS tử s ột t D từ tr S ọ ệ tử ị ĩó ể ễ ở P í ệ gp(P ) ó FS/NDtr ó FSó tự ớ sở tự S ND ó t ủ D tr FSó ó t ỏ t ủ FSứ D. ó ế r D tìr ND ì tế r = 1gp(P )ế G = gp(P ) t tờ ết G = S|D tết ệt ó sự t ó ó ột ể ễ P = S|D ọ ữ s ế S ó ữ tử q ệ ữ ế D ó ữ tử ế S D ề ó ữ tử tì P ột ể ễ ữế S = {a1, a2, a3, .}, D = {r1, r2, r3, .} t sử ụ í ệP = a1, a2, a3, .|r1, r2, r3, .,tr trờ ợ riợ ọ ệ tử P = a1, a2, .|r1= 1, r2= 1, .,tì ri= 1 ọ ệ tứ í ụ ó C ợ ết t ố ớ tửs a ó ể ễ C = a| ớ ệ tử ị ĩ rỗ ổ qt ó tự FSớ sở tự S ó ể ễ F = S|. ó ữ Cnó ó ể ễ Cn= a|an= 1. í tự ị ĩ sử H K ó ó ợ ọ tí tự ủ H K ế ó ồ iH: H L iK: K L t ề ệ s ớ ọ ồ : H G : H Gtr ó G ó t ì tì ó t ồ : L G s = iH = iK ó ể ồH L KGiH!iK t õ ể ồ ễ t r tí tự ủ H K t s ột í ệ ó H K.ễ t r tí tự tồ t ì t ó tể ết r ể ễ H K sử H K ợ ở ể ễ H = S|D K = T |E t ổ ột tr ữ ế tết t ó tể tết S T ờ tứ S T = ì ể ễ H K ó H K = S T |D E ị ĩ ò ỏ iH iK ữ ồ s ởsự tr ữ tử s ề t ết ị ĩ : H K H t ứ s s t 1 ớ ọ s H ọ t K tì ột ồ iH ồ ồ t tr H ó iH t ũ ó H K = {1} tự iK ố ù ồ , tr ị ĩ ợ ở(s) = (s) ớ ọ s S (t) = (t) ớ ọ t T tì ịột ồ từ ị ĩ t ị t r ù ột ị ĩ tì tí tự H K ó tự ứ H K ó H K ợ ọ tử tự ủ H K í ụ Zp= |p= 1 Zq= |q= 1 tìZp Zq= , |p= 1, q= 1,Zp Zq= , |p, q.ột ể tứ ột từ tr H K ột tí ó h1k1h2k2ã ã ã hmkmtr ó hi H ki K q ớ t từ ó tể ột h1 km ợ ể ễ tứ ố ủ ể tứ ó tể ó ể tứ ó tể ó ộttr ố h1k1h2k2ã ã ã hmkm k1h2k2ã ã ã hmkmtr ó h1ợ ể ễ h1k1h2k2ã ã ã hmtr ó km ợ ể ễ k1h2k2h2ã ã ã hmtr ó km ợ ể ễố tử ợ ể ễ ọ ộ ủ từ từ ể tứrỗ ó ộ ột ể tứ ợ ọ rút ọ ếỗ hi= 1H ki= 1K ể ễ ế ột ể tứ ợ rút ọ ó sẽ ột ể tứ t ợ ờ ột tr tử ộ ú ó ế hi= 1Hể tứ h1k1ã ã ã ki1hikiã ã ã hmkmó tể t tế ểtứ h1k1ã ã ã hi1(ki1ki)hi+1ã ã ã hmkmó ít sự ể ễ ù ó tử ế tụ t ố ù t ế ột ể tứ rút ọ ể ễ ù ột ó tử ú ý r ể tứ rỗ ể tứ ợ rút ọừ í ở tr t ó ị í ó tể ứ tết tr tr ị ý ị í tỗ tử ủ H K ợ ể ễ ột ể tứ t ó h1k1h2k2ã ã ã hmkmớ hi= 1H ki= 1K ự t ở ó ĩ ế ể tứ tr H K ụ tểh1k1ã ã ã hmkm= h1k1ã ã ã hnkntr H K tì n = m ỗ hi= hitrH ỗ ki= kitr K ớ ọ i = 1, 2, , m í tự ớ ó tổ qt ệ ự tí tự s sử H K ó ột ó ì tế ó ột é ú : M H : M K ố ó tự t ứ H K ó ủ ú (M) (M) trù tứ H K = (M) = (M) ị ĩ ó L ợ ọ tí tự ủ H K ớ ó M ế ó iH: H L iK: K L s iH = iK t ề ệ s ỗ ồ : H G : K G s = tr ó G ó t ì tì ó t ồ : L G t = iH = iK ó ểồMH L KGiH!iK õ ể ồ tr t ễ ỉ r r tí tự L ủ H Kớ ó M t s ột í ệ L = H MKũ ễ ỉ r r tí tự ớ ó tồ t ì tó tể ết r ể ễ L = H MK sử H K ợ ở ểễ H = S|D K = T |E sử M = Q|V t ổột tr ữ ế tết t ó tể tết S T = ì ểễ H MK t ợ ở sự t ù ồ t ủ M ó H MK = S T |D E, (q) = (q), q Q. iH iKò ỏ ồ s t ộ tửs ề ữ t ó tể ỉ r HK = (M) = (M)ố ù ồ tr ị ĩ ợ ở(s) = (s), s S (t) = (t), t T tì ị ột ồ ồ t t ị ĩ r trờ ợ M ó t tờ tì H MK q ề tí tự H Kó í ệ ù ợ tờ ợ sử ụ ó A = (M) H B = (M) Ktì A, B ớ q ồ = 1: A B ótí tự ớ ó A = B tờ ợ í ệ H A=BK ợ ể ễ ớ t sH A=BK = S T |D E, a = (a), a (Q). í ụ ét ó H = c| K = d| ớ ó t ứ A = c2 B = d3 A B ớ q c2 d3tì tí tự t ứ ủ ú G = H A=BK = c, d| c2= d3.ể sử ụ ó ệ q tí tự ớ ó t ột ểtứ í t t ỗ tử ữ ể tí t ú ũ ể ứ ữ ể tứ G = H A=BK ột tí tự ớ ó í ệ ột từ ột ể tứ ũ ố tr tí tự õ rỗ tử g G ột ể tứ ó ó ột sốú ý tết t ết H K ợ ú G ì tế t ể tứ ó tự ở tr G [...]... đầu về nhóm 2/4 G(, 4) = Rx , Ry với ei là siêu việt 3. 1 Biểu diễn cho nhóm G(v,4) Cho v = 2 tan1 (1/2) = tan1 (4 /3) Trong không gian 3 chiều, xét nhóm /2 v G(v, 4, 4) sinh bởi T = Rx , Rx và /2 Ry Xét nhóm con G(v, 4, 1) sinh bởi /2 v T = Rx và Ry , và xa hơn là nhóm con G(v, 1, v) Ta cũng có một số kết qủa tương tự như trường hợp số hữu tỉ 3. 1.1 Bổ đề Một biểu thức dạng W S b1 T a1 ã ã ã S bn T... trường hợp p, q là những số vô tỉ hay siêu việt? Chương sau ta xét một trường hợp đặc biệt có quay p là số vô tỉ và một trường hợp có góc mà ei là siêu việt 37 Chương 3 Phép quay đại số và siêu việt Trong chương này chúng tôi trình bày một ví dụ nghiên cứu về nhóm G(v, 4) 2/4 v Rx , Ry trong đó = v là tích của một số vô tỉ cho trước với 2 Sau đó có định lí nghiên cứu bước đầu về nhóm 2/4 G(, 4) = Rx... q/2 Nhóm con của nhóm G(p, q) sinh bởi và là Dp , nhóm con của nhóm và G(p, q) sinh bởi và là Dq Trong trường hợp (iii), à sinh ra nhóm con D2 2.1.7 Hệ quả tích tự do Nếu p Zp Nếu Z2 4 p và 2.1.8 Chú ý 3 lẻ thì nhóm G(p, q) là đẳng cấu với Dq , trong đó p/2 Zp chẵn và với nhóm con chung q/2 Dq 4 chẵn và q q = 2s, s D2 p/2 Dp là Dp D2 3 Dq được đồng nhất với lẻ thì Trong đó được đồng nhất... tích tự do với nhóm con chung của Zp (hoặc Dp hoặc G(p, 4) với Zq ( hoặc Dq hoặc G(4, q)) Có quá nhiều mối quan hệ Dù thế nào trong trường hợp này G(p, q) = G(m, 4) trong đó m = [p, q] Điều này cho ta một tích tự do với nhóm con chung D4 là Dm trong đó 2.2 D4 G(4, 4), /2 D4 là nhóm con sinh bởi Rx và Rz Dạng chính tắc nhóm G(p ,q) Phần này ta xây dựng dạng chính tắc cho mỗi phần tử của nhóm Do (2.15)... S , H Z4 = H1 = Z2 = S 2 H = H1 S 3 H1 m = 2s, s lẻ suy ra 2/2 2/4 H = G(4, 4, 1) G(m, 4, 1) = Rx , Ry = U 2, S là nhóm 8 phần tử sinh bởi và S và U 2 , H1 là nhóm con 4 phần tử sinh bởi S 2 U 2 , và H = H1 S 3 H1 Nếu m chia hết cho 4 thì H = G(4, 4, 1) là nhóm 24 phần tử sinh bởi S và U , H1 là nhóm con 8 phần tử sinh bởi S 2 và SU S 1 , và H = H1 S 3 H1 U H1 (iii), Khi m chia hết cho 4,... rằng A = T q , B = S 3 T p S A và B bởi một từ bằng S và T Mặc dù tất cả S trong từ đều lẻ, biểu thức khá giống dạng (2.24), một T m/4 có thể xuất hiện Ta sẽ loại bỏ điều này bằng cách sử dụng hệ thức T b S 3 T m/4 ST b = T bm/4 S 3 T b +m/4 (do S 3 U S = U 3 S 3 U nên S 3 T m/4 S = T m/4 S 3 T m/4 ) Trừ khi từ nguyên bản là A0 B 0 ; A0 B q/2 ; Ap/2 B 0 hoặc Ap/2 B q/2 , kết quả của biến đổi là dạng... bằng 0 (ở trường hợp (ii), (iii) ta sử dụng hệ thức đã cho để hạn chế thêm điều kiện của ai và bi ) 21 Từ đó (g) = Aa1 B b1 ã ã ã Aan B bn = T qa1 (S 3 T p S)b1 ã ã ã T qan (S 3 T p S)bn (2.14) = T a1 S 3 T b1 S ã ã ã T an S 3 T bn S, với ai = q ai , bj = pbj Xét các trường hợp của định lí Trường hợp (i) Nếu nên 3 và q p 3 đều lẻ (4, p) = (4, q) = 1 4ai = 0 (mod m) với i > 1 (giả sử 4ai = 4q ai chia... q) luôn là nhóm con của nhóm G(pq, 4, 1) nên đầu tiên ta xây dựng 24 dạng chính tắc cho nhóm G(m, 4, 1) với m là số nguyên bất kì (trường hợp m = [p, q] khi p, q cùng chia hết cho 4 và G(p, q) = G(m, 4, 1) của ta chỉ là một trường hợp đặc biệt), đó chính là nội dung Định lí 2.2.1 Trong các trường hợp còn lại p chẵn và q không chia hết cho 4, Định lí (2.2.6) cho dạng chính tắc mỗi phần tử nhóm G(p, q)... (y u z v + y u z v )/y 2 2i I / 19 Chứng minh (Bổ đề 2.1.4) Bản chất của việc chứng minh bổ đề này là ta phải đếm số mũ tử (1 + y) sao cho (1 + y)w (y u + y u ) là bội của 2 trong Z[y] (Cần nhớ là ta xét trong Z[y] chứ không phải trong Z[x]) Ta có một số tính chất về luỹ thừa của (1) Nếu (vì và w của nhân 2q k = c là một luỹ thừa của 2 thì (1 + y)c 1 + y c 1 y c (mod 2) 2q k!(2q k)! và t1 1 + y2... những giá trị của Có một nhóm con H1 của H mà có thể được giao hoán (hoặc không giao hoán) (tức là hoán đổi vị trí với được hấp thụ vào W được hiểu như sau ST a hoặc không) qua luỹ thừa của ST a hoặc ST a (tức là cùng ST a tạo thành một luỹ thừa mới của ST a ) Nhân tử trong H1 có thể bị loại bỏ từ W và hấp thụ vào ST a1 hoặc được di chuyển theo tất cả các cách từ 25 W E Vậy việc lấy giá trị của W là biểu . TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ VIỆT HÙNG VỀ NHÓM CON CỦA NHÓM SO (3) Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC. Aa1Bb1ã ã ã AanBbn= Tqa1(S3TpS)b1ã ã ã Tqan(S3TpS)bn= Ta1S3Tb1S ã ã ã TanS3TbnS,ớ ai= qai, bj= pbjét trờ ợ ủ ị írờ ợ ế p 3 q 3 ề (4, p) = (4, q) =