(Sáng kiến kinh nghiệm) một số kinh nghiệm vận dụng đường thẳng simson và đường thẳng steiner trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi hình học lớp 9

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong giai đoạn nay, với phát triển vũ bão khoa học kỹ thuật, công nghệ thông tin giáo dục ln coi quốc sách hàng đầu Cùng với việc đổi chương trình giáo dục, đổi sách giáo khoa việc đổi phương pháp dạy học yêu cầu cấp thiết Việc dạy học không cung cấp kiến thức, kỹ cho học sinh mà phải tạo phương pháp tự học, nâng cao tính chủ động, tích cực sáng tạo cho người học Mục tiêu cao giáo dục nói chung giáo dục Quảng Xương nói riêng đào tạo người phát triển tồn diện Trong chương trình giáo dục THCS, bên cạnh việc đảm bảo chất lượng đại trà, giúp đỡ học sinh yếu việc bồi dưỡng học sinh giỏi có vai trị quan trọng nhằm phát huy tối đa khả cá nhân học sinh Toán học phận khoa học có tầm quan trọng phát triển khoa học kỹ thuật đời sống Việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn để đào tạo người giỏi toán việc cần thiết Một nội dung khó phân mơn hình học toán liên quan đến điểm đặc biệt, đường đặc biệt Đây loại toán xuất đề thi học sinh giỏi thường khó giải Trong đường thẳng đặc biệt , đường thẳng Simson đường thẳng Steiner với nhiều tính chất hay, đẹp có nhiều ứng dụng khơng việc giải tốn mà cịn giúp giáo viên sáng tạo việc đề theo mức độ khó dễ khác nhau,giúp nâng cao lực tư cho học sinh khơng cấp THCS mà cịn cấp học cao Qua kinh nghiệm giảng dạy thực tế trường học, nhận thấy học sinh tiếp cận toán dạng chưa hiệu quả, thiếu định hướng Các tài liệu chủ đề có nhiều chủ yếu dành cho học sinh Trung học phổ thơng Chính lí đó, chọn đề tài “Một số kinh nghiệm ứng dụng đường thẳng Simson đường thẳng Steiner việc bồi dưỡng học sinh giỏi hình học lớp 9” để nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài tìm hiểu khái niệm, tính chất hình học đường thẳng Simson đường thẳng Steiner, mối liên hệ đường với điểm, đường đặc biệt khác liên hệ với tính chất hình học Qua khảo sát ứng dụng đường thẳng việc giải dạng tốn hình học lớp Cụ thể chủ đề hình học : quan hệ thẳng hàng, đồng quy, vng góc, song song, điểm đường cố định, đẳng thức hình học Thơng qua việc nghiên cứu để góp phần nâng cao chất lượng, hiệu dạy học mơn hình học nhà trường, giúp giáo viên học sinh có thêm tài liệu tham khảo 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Phần kiến thức: Lý thuyết đường thẳng Simson đường thẳng Steiner, tập ứng dụng việc bồi dưỡng học sinh giỏi hình học - Học sinh: Học sinh giỏi khối trường THCS Nguyễn Du – Quảng Xương 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp quan sát: Thực trạng công tác đạo, công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, trình học tập, chất lượng học tập học sinh khá, giỏi Phương pháp nghiên cứu tài liệu nghiên cứu sách, giáo trình có liên quan đến kiến thức, tập, đề thi có liên quan điểm đường đặc biệt hình học Nghiên cứu chất lượng học sinh Nghiên cứu công tác đạo nhà trường công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Phương pháp tổng kết kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề: Trong q trình giảng dạy tốn cần thường xun rèn luyện cho học sinh phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao việc học tập, rèn luyện tu dưỡng sống học sinh Đối với học sinh giỏi, việc rèn luyện cho em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán trí tuệ điều kiện cần thiết vô quan trọng việc học tốn Với mục đích thứ rèn luyện khả sáng tạo toán học, trước tập tơi cho học sinh tìm hiểu cách giải, đồng thời người thầy giáo phải gợi ý cung cấp cho học sinh nhiều cách giải Trên sở học sinh tự tìm cách giải hợp lí Phát cách giải tương tự khái quát đường lối chung Trên sở với tốn cụ thể em khái qt hóa tốn thành tốn tổng qt xây dựng toán tương tự  4 2.2 Thực trạng vấn đề: Qua nhiều năm giảng dạy môn toán trường THCS, tham khảo tài liệu, học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp tích lũy trau dồi thân, đặc biệt qua trình bồi dưỡng học sinh khá, giỏi mơn tốn, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh Tơi nhận thấy khả xử lí tốn hình học học sinh cịn hạn chế, em thường lúng túng, thiếu định hướng bế tắc gặp hình học lạ Kết khảo sát đánh giá học sinh Trước viết đề tài , khảo sát chủ đề 20 học sinh lớp học sinh giỏi cấp huyện, kết sau Điểm  4,9  6,4 6,5   10 SL % SL % SL % SL % Tổng số HS 20 10 50 35 15 0 2.3 Giải pháp tổ chức thực hiện: 2.3.1Kế hoạch thời gian nghiên cứu Chủ đề áp dụng trường THCS Nguyễn Du thời gian từ đầu năm học 2017 - 2018 tiếp năm học sau với tinh thần rút học kinh nghiệm có sửa chữa, bổ sung cho phù hợp với đối tượng giai đoạn cụ thể: * Năm 2016 – 2017 : Tìm hiểu, xây dựng khung chương trình, nghiên cứu tài liệu xây dựng đề cương * Năm học 2017 – 2018 : Thực nghiệm so sánh kết 2.3.2 Giải pháp thực Phần 1: Lý thuyết đường thẳng simson đường thẳng steiner 1) Đường thẳng simson Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), gọi M điểm cung BC không chứa điểm A Gọi A’, B’, C’ hình chiếu điểm M BC, AC, AB Khi đó: ba điểm A’, B’, C’ nằm đường thẳng (gọi đường thẳng simson điểm M tam giác ABC, kí hiệu d M )  3 Chứng minh A Ta có A’BC’M tứ giác nội tiếp    MA'C' MBC' (1) Do tứ giác ABMC nội tiếp nên   MBC' ACM (2) Do tứ giác A’B’CM nội tiếp nên  'B' B'Cx  MA (3) O dM B' x A' B C C' M  'C'  MA  'B' ACM   Từ (1), (2) (3) ta có: MA  B'Cx 1800 Vì A’, B’, C’ nằm đường thẳng Xét định lý đảo toán 1, ta có tốn sau Bài tốn  Cho tam giác ABC nội tiếp (O), lấy M điểm nằm góc BAC Gọi A’, B’, C’ hình chiếu điểm M BC, AC, AB Khi A’,  không B’, C’ thẳng hàng (cùng nằm đường thẳng d M ) M nằm BC chứa điểm A  3 A Chứng minh  Do tứ giác A’B’CM nội tiếp nên: dM  'MC A  'B'A (1) A O B' Do tứ giác A’BC’M nội tiếp nên x A'  'MB A  'C'B (2) B A C Ta có: C' M     'MC  A  'MB BAC  BMC BAC A     'B'A  A  'C'B 1800 Kết hợp với (1) (2) thì: BAC  BMC BAC A (định lý tổng góc tam giác)  Vì ABMC tứ giác nội tiếp Suy M  BC Kết luận: Người ta gọi d M đường thẳng Simson điểm M đỉnh A tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) 2) Đường thẳng steiner Bài tốn Cho tam giác ABC điểm M nằm đường trịn ngoại tiếp tam giác Gọi M1, M2 , M3 điểm đối xứng M qua BC, CA, AB Khi ba điểm M1, M2 , M3 thẳng hàng đường thẳng qua ba điểm M 1, M2 , M3 gọi đường thẳng steiner  3 Chứng minh A M2 M1 M3 B dM O B' C A' C' M Gọi A’, B’, C’ hình chiếu M BC,CA,AB , ta có đường thẳng simson dM qua điểm A’, B’, C’ Vì B’C’ đường trung bình MM M nên M M / /d M (1) Vì A’C’ đường trung bình MM1M nên M M / /d M (2) Từ (1) (2) suy ba điểm M1; M ; M nằm đường thẳng đường thẳng song song với đường thẳng d M Khai thác thêm đường thẳng simson ta có số tính chất Tính chất Cho điểm M thuộc đường trịn (ABC) Khi đường thẳng  3 Steiner đường thẳng Simson cuả M với tam giác ABC song song Tính chất Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O điểm M thuộc (O) Khi đường thẳng Steiner M với tam giác ABC qua điểm A cố định trực tâm tam giác ABC  3 M1 Chứng minh E Giả sử tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O), đường cao AD,BE,CFcắt H F H M2 B C D M Gọi M1 M2 điểm đối xứng với M Qua AC AB Khi M1M2 đườngthẳng steiner điểm M tam giác ABC   C   Ta có AMC ( Tính chất đối xứng ) mà AMC ( góc nội tiếp AM ABC  C ABC  chắn cung AC ) nên AM     C 1800 => tứ giác AHCM1 nội tiếp Lại có AHC  ABC 180  AHC  AM  HC M  AC MAC  M (1) 1 Chứng minh tương tự ta có tứ giác AHBM2 nội tiếp  HB M  AB MAB  M (2) 2 Từ (1) (2) ta có  HB  M  HC  BHC         M MAB  MAC  BHC BAC  BHC BAC  EHF 1800 nên M1, H, M2 thẳng hàng hay đường thẳng M1M2 qua điểm H cố định Từ toán ta hướng dẫn học sinh giải nhiều dạng tập có liên quan đến điểm đường đặc biệt Phần Một số ứng dụng đường thẳng simson đường thẳng steiner vào giải dạng toán hình học 1) Các tốn đẳng thức hình học quan hệ hình học Bài Cho đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC, M điểm thuộc cung BC không chứa A Gọi E, F hình chiếu M lên cạnh AC AB Xác định vị trí M để EF lớn  6 Phân tích A Từ việc khai thác, phân tích giả thiết kết luận HS cễ dàng nhận EF đường thẳng Simson điểm M tam giác ABC Từ dẫn đến ý thưởng vẽ thêm điểm D hình chiếu M BC E tìm lời giải toán D B C F Lời giải M Gọi D hình chiếu M BC, ta có D,E,F thẳng hàng ( đường thẳng simson)   Bốn điểm F,D,B,M thuộc đường tròn nên MBD MFD   Bốn điểm E,D,C,M thuộc đường trịn nên MCD MED Từ ta có  MBC đồng dạng với  MFE (g.g) EF MF ME    1  EF BC BC MB MC Đẳng thức xảy F trùng với B E trùng với C,   MBA MCA 900  AM đường kính đường trịn tâm O => M điểm đối xứng với A qua O Nếu khai thác thêm quan hệ đường thẳng simson đường thẳng steiner dễ dàng giải thêm toán sau Bài toán 2: Cho đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC, M điểm thuộc cung BC không chứa A Gọi M1, M2 điểm đối xứng M qua AC AB Xác định vị trí M để M1M2 lớn  5 A Phân tích M1 Từ việc nhận biết M1M2 đường thẳng steiner M với tam giác ABC vận dụng tính chất đường thẳng Steiner song song với đường thẳng Simson, học sinh có D B E thể đưa tốn toán để C M2 giải F Lời giải M Gọi D, E, F hình chiếu M BC,AC, AB ta có D,E,F thẳng hàng ( đường thẳng simson) EF đường trung bình tam giác MM1M2 nên ta có EF  M 1M  M1M2 lớn EF lớn M điểm đối xứng A qua O (theo kết toán 1) Bài tốn Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn, M điểm thuộc cung BC không chứa A Gọi H, K, I hình chiếu M lên cạnh BC, CA,AB Chứng minh BC AC AB   MH MK MI  5 A B K H 1 C I M Phân tích Dễ dàng nhận thấy đường thẳng Simson (IHK), theo kinh nghiệm giải tốn tốn tỉ số thường liên quan đến tỉ số đồng dạng, diện tích tỉ số lượng giác Từ việc phân tích tốn, sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp để có góc nhau, nghĩ đến việc chứng minh tam giác đồng dạng tỉ số lượng giác giải toán Lời giải AB AC AI  BI AK  CK AI BI AK CK        Giả sử AC  AB ta có MI MK MI MK MI MI MK MK BI CK     MCK  cot MBI cot MCK   Do MBI (1) MI MK  C   cot A  cot C   AI  CH (2) Do A 1 1 MI MH  B   cot A  cot B   AK  BH (3) Do A 2 MK MH Từ (1), (2), (3) suy AC AB CH BH BC     MK MI MH MH MH Qua toán ta thấy việc ứng dụng đường thẳng đặc biệt để biến đổi tam giác đồng dạng dùng tỉ số lượng giác giúp học sinh có định hướng dễ dàng gặp toán tương tự 2) Các toán quan hệ thẳng hàng đồng quy Bài toán Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), D mọt điểm cung BC khong chứa A Dựng hình bình hành ADCE Gọi H K trực tâm tam giác ABC ACE Gọi P Q hình chiếu K BC, gọi I giao điểm EK AC a Chứng minh ba điểm P, I, Q thẳng hàng b Chứng minh PQ qua trung điểm KH  7 Phân tích tốn a) Từ quan sát hình vẽ nghiên cứu giả thiết, thấy EK vng góc với AC, P,I, Q hình chiếu K ba cạnh tam giác ABC , từ liên tưởng đến đường thẳng simson Vậy việc lại cần chứng minh K thuộc đường tròn (O) hay tứ giác ADCK nội tiếp     Để ý thấy ADC  AKC AKC  AEC 1800 nên tứ giác ADCK nội tiếp b) Từ tính chất đường thẳng Steiner song song với đường thẳng Simson qua trực tâm tam giác ABC hình thành ý tưởng để giải tốn Nếu gọi M N điểm đối xứng K qua AB BC M,N,H thẳng hàng Khi PQ đường trung bình tam giác KMN từ suy PQ qua trung điểm HK Lời giải a) Trước hết ta chứng minh điểm K thuộc đường tròn (O) Ta có K trực tâm tam giác ACE nên tứ giác   KJEF nội tiếp AKC  AEC 1800 Lại có tứ giác ADCE hình bình hành nên   AEC ADC      ADC  AKC AKC  AEC 1800   Tứ giác ADCK có ADC  AKC 1800 Nên tứ giác nội tiếp , suy điểm K thuộc đường tròn (O) Chứng minh I,P,Q thẳng hàng Do K trực tâm tam giác AEC nên KI vng góc với AC, lại có P, Q hình chiếu K BC AB nên suy I, P, Q thẳng hàng ( đường thẳng simson điểm K với tam giác ABC ) b) Gọi M N điểm đối xứng K qua AB BC, MN đường thẳng steiner điểm K tam giác ABC Áp dụng tính chất đường thẳng Steiner qua trực tâm tam giác ta có M,H,N thẳng hàng Xét tam giác KMN có PQ đường trung bình nên QM=QK Tam giác MHK có QM=QK mà PQ // MH nên PQ qua trung điểm HK Bài toán Cho tam giác nhọn ABC có đường cao CE (E thuộc AB) nội tiếp đường trịn (O) có đường kính AD, Gọi F hình chiếu vng góc C lên AD, M trung điểm BC Chứng minh E, M, F thẳng hàng  2 A Phân tích Vì có E,N,F hình chiếu C Trên cạnh tam giác ABC nên Có thể dễ dàng nhận đường thẳng Simson tốn Khi có E,N,F thẳng hàng cần chứng minh E,M,N thẳng hàng toán giải Lời giải E O B M C F D N Xét tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O) , C điểm thuộc đường tròn (O) E, F, N hình chiếu vng góc C lên đường thẳng chứa ba cạnh tam giác ABD, E, F, N thẳng hàng (đường thẳng simson điểm C tam giác ABD)    Xét tứ giác BECN có BEC EBN BNC 900 nên tứ giác BECN hình chữ nhật , suy hai đường chéo BC EN cắt trung điểm đường Vì M trung điểm BC nên M trung điểm EN hay E, M, N thẳng hàng Vậy E, M, F thẳng hàng Bài toán Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) M điểm cung BC không chứa điểm A Đường trịn ( I ) đường kính MB đường trịn (J) đường kính MC cắt N a) Chứng minh N thuộc đường thẳng BC b) Đường tròn ( I ) cắt AB P (P khác B), đường tròn (J) cắt AC Q (Q khác C) Chứng minh P, N, Q thẳng hàng c) Qua A vẽ đường thẳng d song song với PQ d cắt (O) K Chứng minh M, N, K thẳng hàng  2 A Phân tích Câu a học sinh dễ dàng sử dụng tính chất tứ giác nọi tiếp để chứng minh điểm thẳng hàng Câu b nhận thấy P Q hình chiếu M AB AC, cần chứng minh MN vng góc với BC để có đường thẳng simson O Q N B P Câu c, trực tiếp chứng minh Ba điểm thẳng hàng gặp khó khăn Tuy nhiên vẽ giao điểm MN với (O) sử dụng tính chất tứ giác Nội tiếp dễ dàng Vì nghĩ đến việc chứng minh Giao điểm MN với đường tròn (O) trùng với điểm K Lời giải a) Chứng minh N thuộc đường thẳng BC Vì N thuộc đường trịn đường kính MB nên N thuộc đương trịn đường kính MC nên K C M  MNB 900  MNC 900   Ta có MNB  MNC 1800  B,N,C thẳng hàng b) Chứng minh P,Q, N thẳng hàng  Vì P thuộc đường trịn đường kính MB nên MPB 900  MP  AB  Q thuộc đương trịn đường kính MC nên MQC 900  MQ  AC Mà MN  BC Suy P,N, Q thẳng hàng ( đường thẳng simson điểm M với tam giác ABC) a) Chứng minh M, N , K thẳng hàng Gọi K’ giao điểm đường thẳng MN với đường tròn (O), ta chứng minh K trùng với K’  ' AC K  ' MC ( Hai góc nội tiếp chắn cung AC) Ta có K  ' MC AQN  Tứ giác MNQC nội tiếp  K  ' AC AQN   K  AK '/ /NQ Mà AK//NQ K thuộc (O) nên K trùng với K’ => ĐPCM Bài tốn Cho hai đường trịn bán kính (O) (O’) cắt hai điểm A, B (O, O’ khác phía đường thẳng AB) Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) C, cắt (O’) D (C, D khác A CD khơng vng góc với AB) Gọi E, F hình chiếu vng góc B lên hai tiếp tuyến C (O) D (O’) Chứng minh E, F qua trung điểm M CD  2 F P M C D A O E B Phân tích Nhận thấy : điểm B nằm đường trịn ngoại tiếp tam giác PCD có hình chiếu vng góc xuống đường thẳng chứa ba cạnh tam giác PCD E, M, F nên ta có E, M, F thẳng hàng (đường thẳng simson điểm B 10 tam giác PCD) Từ dẫn đến yêu cầu cần chứng minh tứ giác PCBD nội tiếp Lời giải   Vì (O) (O’) hai đường trịn nên ta có ACB ADB  BCD cân B BM  CD (đường trung tuyến đường cao) Gọi P giao điểm hai tiếp tuyến C D (O) (O’)   Vì PC tiếp tuyến đường tròn (O) nên ABC PCD   Vì PD tiếp tuyến đường trịn (O’) nên ABD PDC         Ta có CPD  CBD CPD  CBA  DBA CPD  DCP  CDP 1800 ( tổng ba góc tam giác PCD ) => tứ giác PCBD nội tiếp Điểm B nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác PCD có hình chiếu vng góc xuống đường thẳng chứa ba cạnh tam giác PCD E, M, F nên ta có E, M, F thẳng hàng (đường thẳng simson điểm B tam giác PCD) Bài toán Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, AD đường phân giác góc A (D thuộc cạnh BC) Gọi P, Q hình chiếu vng góc D lên AB, AC Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt trung tuyến AM tam giác ABC N Chứng minh P, N, Q thẳng hàng  2 A Phân tích Ở tốn này, việc nhận biết đường thẳng Simson hay đường thẳng steirner không dễ dàng điểm M O nằm cạnh BC Q N Dựa việc phân tích giả thiết nhận V P thấy PQ có tính chất tương tự đường thẳng M simson, đưa đến việc chứng minh B C D U PQ song song với đường thẳng simson kẻ từ M Lời giải E Gọi E giao điểm AD với (O) Vì AD phân giác nên E điểm cung nhỏ BC EM  BC Gọi U, V hình chiếu vng góc E lên AB, AC Khi ta có U, M, V thẳng hàng (đường thẳng simson điểm E với tam giác ABC) AP AD  AU AE AQ AD DQ  AC ; EV  AC  DQ / / EV   AV AE AP AQ    PQ / /UV (1) AU AV Ta có DP  AB; EU  AB  DP / / EU  11 Lại có DN  BC ; EM  BC  DN / / EM   AN AD  AM AE AN AP   PN / /UM (2) AM AU Từ (1) (2) U,M,V thẳng hàng => P, N, Q thẳng hàng Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), Sa, Sb, Sc, Sd đường thẳng simson A với tam giác BCD, B với tam giác ACD, C với tam giác ABD D với tam giác ABC Chứng minh Sa, Sb, Sc, Sd đồng quy  8 Lời giải Gọi Ha; Hb; Hc; Hd trực tâm tam giác BCD,ACD,ABD, ABC, M trung điểm AB Ta chứng minh DHc = 2OM = CHd Mặt khác DHc // CHd nên tứ giác DCHdHc hình bình hành nên đường chéo DHd CHc cắt trung điểm đường Tương tự ta có AHa; BHb; DHd CHc cắt trung điểm đường mà Sa; Sb; Sc; Sd qua trung điểm AHa; BHb; DHd CHc nên Sa; Sb; Sc; Sd đồng quy (ĐPCM) 3) Các toán quan hệ song song vng góc Bài tốn Cho tam giác ABC nội tiếp (O), lấy M điểm cung BC không chứa điểm A Từ M kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt (O) điểm P thứ hai P Chứng minh AP // d M  1 A Lời giải:    Do P ACM (hai góc nội tiếp chắn ABM )  ' ACM  Do tứ giác A’B’CM nội tiếp nên A (2)  ' Từ (1) (2) suy P A AP // d M 1 O B A' d B' M C C' M Khai thác kết toán kết hợp với đường thẳng steiner ta có toán Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp (O), lấy M điểm cung BC không chứa điểm A Từ M kẻ đường thẳng vng góc với BC cắtP (O) điểm thứ M2 hai P Gọi M1;M điểm đối xứng với điểm M qua AB AC A Chứng minh AP // M1M  1 dM Lời giải: Dựng hình chiếu M BC, AC, BC B C M M 12 ta có đường thẳng simson dM Ta có đường thẳng M1M đường thẳng Steiner nên M1M // d M Theo d M // AP Từ AP // M1M Bài tốn Cho tam giác ABC nội tiếp (O), lấy M điểm nằm cung BC, N điểm nằm cung AC cho MN qua O Chứng minh: d M  d N  1 K Lời giải: N Do tứ giác ADNK nội tiếp A     AKD AND 900  NAD dM Do tứ giác BEMF nội tiếp D     BFE BME 900  MBE Ta có:     I AKD  BFE 1800  NAD  MBE E    180  sd NCM 900 d  d Như M N B C F dN M Nhận xét: Đảo lại tốn ta có tốn sau: Bài 3.1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), lấy điểm M cung BC không chứa điểm A, lấy điểm N cung AC không chứa điểm B cho d M  d N Chứng K minh MN đường kính (O)  1 N Lời giải: A dM   900 Do d M  d N nên IFK  IKF    AND  BME 900 D 0    90  NAC  90  MBC 90     E    NAC  MBC 900 B    sd NC  sd MC 900 2 F M    sd NC  sd MC 180  MN đường kính (O) I C dN Nhận xét: Phát triển ta có tốn sau: Bài tốn 3.2: Cho tam giác ABC vuông A nội tiếp (O) Lấy điểm M dM E F hình chiếu cung AC khơng chứa điểm B, kẻ đường kính MN Gọi E, M điểm M AB, AC Gọi điểm H, I hình chiếu N AC, AB dN Chứng minh EH  IF  1 A F Lời giải: H Do MN đường kính, áp dụng kết B C K 13 I N tốn d M  d N  Suy EKI 900 Xét tam giác EIH có HA EK hai đường cao suy F trực tâm EHI Vậy EH  IF 4) Các toán điểm đường cố định Đây dạng tốn khó, địi hỏi nhạy cảm toán học người học, cần khai thác, phân tích giả thiết kết luận để tìm mối liên hệ với tính chất đối tượng, dự đốn điểm cố định liên hệ với tính chất hình học để giải vấn đề Xét hai toán sau Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp (O), lấy M thuộc cung BC không chứa điểm A, N điểm cung AC không chứa điểm B cho MN đường kính (O) Gọi I giao điểm d M d N Chứng minh I nằm đường tròn Euler tam giác ABC  1 Ghi chú: Đường tròn Euler đường tròn H N qua điểm tam giác: chân đường cao, A trung điểm ba cạnh, trung điểm dM đoạn nối ba đỉnh đến trực tâm Lời giải Gọi E, F, G trung điểm BC, AC, AB   (1) Suy FGE C  Theo tốn phần QIT 900 P G B F O Q K Gọi MQ  (O)  H Do MN đường kính nên   900  HN / /BC MHN 900 , lại có MQC Suy BQ = TC ET = EQ       C   QIE IQE BQK BMK 900  KBM 900  C  IPC  TNC   C  Ta có FIP 90  C I E T C d M N     90  QIE   90  900  C  C   900  C  C   FIP Suy FIE 0   1800  FGE  (do (1)) Suy tứ giác GFIE nội tiếp 1800  C Vậy giao điểm I nằm đường tròn Euler tam giác ABC Bài tốn Cho đường trịn (O, R) đường thẳng d không cắt (O) M điểm thay đổi đường thẳng d, từ M ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B tiếp điểm) Gọi H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng d a) Chứng minh AB qua điểm cố định M thay đổi d 14 b) Gọi E, F hình chiếu vng góc H lên MA, MB Chứng minh EF qua điểm cố định M thay đổi d  2 H E P J A M I K O F Lời giải B Chứng minh AB qua điểm cố định M thay đổi d Gọi I giao điểm OH với AB, K giao điểm OM với AB Ta có  OKI đồng dạng với  OHM nên OK OH   OK OM OH OI  1 OI OM Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng OAM ta có K.OM=OA2=R2(2) Từ (1) (2)ta có OH OI R  OI  R2 mà OH R không đổi nên OI OH khơng đổi Lại có OH đường thẳng cố định nên I cố định Vậy AB qua điểm I cố định b) Chứng minh EF qua điểm cố định M thay đổi d Gọi P hình chiếu vng góc H lên đường thẳng AB Ta có MHAB tứ giác nội tiếp (đường trịn đường kính MO) Do điểm F, E, P thẳng hàng (đường thẳng simson điểm H với tam giác MAB) Gọi J giao điểm FP với OH Ta chứng minh J trung điểm IH     Ta có tứ giác HPAE nội tiếp ( HPA HEA 900  HPE HAM     Mà HAM ( tứ giác nội tiếp) HOM ( so le HP//MO) HOM OHP   HPE OHP   HPJ cân J => HJ=JP (1) Vì tam giác IHP vng P nên ta có   IHP    900  HIP    JPI cân J => JI=JP (2) HIP HPE  EPI EPI Từ (1) (2) suy JH = JI => J trung điểm IH mà IH cố định nên J cố định Vậy EF qua điểm J cố định Như vậy, toán xuất hình chiếu điểm cạnh tam giác điểm đối xứng điểm cạnh liên 15 hệ đến đường thẳng Simson đường thẳng Steiner để có điểm thẳng hàng, từ khai thác yếu tố liên quan để định hướng lời giải cho tốn Bài tập vận dụng Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi d A ; d B ; d C ; d D đường thẳng Simson A, B, C, D với tam giác chứa ba đỉnh lại Chứng minh rằng : d A ; d B ; d C ; d D đồng quy  1 Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Gọi H trực tâm tam giác ABD I giao điểm d A ; d B Chứng minh H, I, C thẳng hàng  2 Bài Cho tam giác ABC vng A nội tiếp đường trịn (O) có MN đường kính (M, N nằm khác phía AC) Gọi E, F hình chiếu vng góc M lên AB, AC P, Q hình chiếu vng góc N lên AB, AC a) Chứng minh EF vng góc với PQ b) Chứng minh PFvng góc với EQ  1 Bài Cho tam giác ABC nội tiếp (O), lấy điểm P thuộc cung nhỏ BC, gọi d P  AB  M , d P  AC  N , lấy D điểm đối xứng với C qua N Gọi K giao điểm BN với MD Chứng minh : d P  PK  1  Bài Cho tam giác ABC có BAC  900 Đường trịn (O) đường kính BC cắt AB, AC F, E, đường trịn đường kính BE cắt AB, BC P, Q a) Chứng minh PQ qua trung điểm EF b) Gọi K giao điểm PQ với CF Chứng minh tứ giác CQKE nội tiếp  2 Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đưởng tròn (O) Gọi E, H, F hình chiếu D lên BC, CA, AB a) Chứng minh E, H, F thẳng hàng b) P trung điểm EH, Q trung điểm AB Chứng minh PQ vng góc với DP  2 Bài Cho đường tròn (O) điểm M nằm (O) Qua M vẽ MA, MB hai tiếp tuyến (O) (A, B tiếp điểm) cát tuyến MCD (C nằm M, D) Đường trịn (I) đường kính DA cắt CA P, đường trịn (J) đường kính DB cắt CB Q, E giao điểm (I) (J) (E khác D) Chứng minh E trung điểm PQ  9 Bài (IMO 2003)Giả sử ABCD tứ giác nội tiếp Gọi P, Q, R chân đường vng góc hạ từ D lên đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh PQ=QR phân giác góc ABC ADC cắt AC  9 Bài Cho tam giác ABC nội tiếp (O) AD tia phân giác góc A (D  (O)).Đường trịn tâm K qua hai điểm A D (K  AD) cắt AB, AC M, N Gọi I, J trung điểm BC MN Chứng minh IJ vng góc với AD  3 16 Bài Cho tam giác ABC M điểm thay đổi BC Gọi D, E điểm đối xứng M qua AB, AC Chứng minh trung điểm DE thuộc đường thẳng cố định M thay đổi BC  9 Bài 10.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).giả sử S1, S2 hai điểm di động đối xứng qua O Gọi d1, d2 tương ứng đường thẳng Simson S1, S2 tam giác ABC Chứng minh d1vng góc với d2 giao điểm d1, d2 chạy đường tròn cố định  3 Bài 11.Cho tam giác ABC có trực tâm H M trung điểm BC Phân giác góc A cắt HM K Đường tròn thay đổi qua A K cắt AB, AC theo thứ tự J L a) Chứng minh trực tâm tam giác AJL thuộc đườngthẳng cố định Gọi d đường thẳng cố định b) Gọi P giao điểm d với HM Chứng minh HP=HK  2 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Đối với hoạt động giáo dục Khi thực đề tài này, nhận thấy học sinh hứng thú, bớt cảm giác “Sợ” hình học em có định hướng tốt việc tìm lời giải cho tốn hình học liên quan đến điểm đường đặc biệt Kết khảo sát tháng năm 2018 20 học sinh giỏi lớp thay đổi rõ rệt so với ban đầu Điểm  4,9  6,4 6,5   10 SL % SL % SL % SL % Tổng số HS 20 10 30 30 30 2.4.2 Đối với thân, đồng nghiệp nhà trường Việc tìm tài liệu, tổng hợp tập, đề thi liên quan thực chuyên đề giúp cho thân cảm thấy vững vàng mặt kiến thức, phương pháp có hứng thú với cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi Việc trao đổi kinh nghiệm, học hỏi đồng nghiệp tạo môi trường dạy học hứng thú hơn, gắn kết đồng nghiệp trường, đặc biệt tổ môn Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Với mục tiêu tìm hiểu ứng dụng đường thẳng Simson đường thẳng Steiner giải tốn hình học 9, đề tài SKKN thực nội dung: - Hệ thống kiến thức đường thẳng Simson đường thẳng Steiner phù hợp với cấp THCS - Phân dạng tập vận dụng: + Các tốn đẳng thức hình học + Các toán quan hệ thẳng hàng đồng quy 17 + Các toán quan hệ song song vng góc + Các tốn điểm đường cố định 3.2 Kiến nghị - Đối với phòng giáo dục: tổ chức chuyên đề chuyên môn theo hệ thống với chuyên đề cụ thể - Đối với nhà trường tổ môn: giúp đỡ giáo viên việc xếp chuyên môn, cung cấp tài liệu tăng cường trao đổi học tập kinh nghiệm Để hồn thành đề tài thân tơi cố gắng, song chắn đề tài nhiều thiếu sót hạn chế Vì tơi mong góp ý, bổ sung hội đồng khoa học cấp để đề tài tơi hồn chỉnh XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa ngày 20 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết , khơng chép nội dung người khác TÀI LIỆU THAM KHẢO  1 haian.edu.vn/SiteFolders/thcshongbang  2 Diễn đàn toán học Toanth.net  3 Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Trần Văn Tấn (chủ biên) – nhà xuất giáo dục  4 SKKN “Vận dụng bất đẳng thức Cơ-si vào giải tốn hình học lớp tăng tính sáng tạo cho học sinh” – Cao Thế Anh – THCS Nguyễn Du  5 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán – Bùi Văn Tuyên – nhà xuất giáo dục 18  6 Nâng cao phát triển toán – Vũ Hữu Bình – nhà xuất giáo dục  7 Đề thi chọn học sinh giỏi toán tỉnh Nghệ An năm học 2016-2017  8 https://123doc.org › Giáo Dục - Đào Tạo › Trung học sở - phổ thông  9 http://pitago.vn 19 ...- Phần kiến thức: Lý thuyết đường thẳng Simson đường thẳng Steiner, tập ứng dụng việc bồi dưỡng học sinh giỏi hình học - Học sinh: Học sinh giỏi khối trường THCS Nguyễn... luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Với mục tiêu tìm hiểu ứng dụng đường thẳng Simson đường thẳng Steiner giải tốn hình học 9, đề tài SKKN tơi thực nội dung: - Hệ thống kiến thức đường thẳng Simson đường. .. thẳng hàng hay đường thẳng M1M2 qua điểm H cố định Từ toán ta hướng dẫn học sinh giải nhiều dạng tập có liên quan đến điểm đường đặc biệt Phần Một số ứng dụng đường thẳng simson đường thẳng steiner