Bài giảng Giải tích 2: Chương 2 - TS. Nguyễn Văn Quang

Bài giảng Giải tích 2: Chương 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Đạo hàm riêng, vi phân; Đạo hàm riêng, vi phân của hàm hợp; Đạo hàm riêng, vi phân của hàm ẩn; Đạo hàm theo hướng; Công thức Taylor, Maclaurint; Cực trị hàm nhiều biến. Mời các bạn cùng tham khảo!

1 Đạo hàm riêng, vi phân Đạo hàm riêng, vi phân hàm hợp Đạo hàm riêng, vi phân hàm ẩn Đạo hàm theo hướng Công thức Taylor, Maclaurint Cực trị hàm nhiều biến TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm Định nghĩa đạo hàm riêng theo biến 𝒙 Cho hàm hai biến 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) với điểm 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) cố định Xét hàm biến 𝐹 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦0 ) theo biến 𝑥 Đạo hàm hàm biến 𝐹(𝑥) 𝑥0 gọi đạo hàm riêng theo biến 𝑥 hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ), ký hiệu: f ( x0 , y0 ) F ( x0  x)  F ( x0 )  f x ( x0 , y0 )  lim x 0 x x f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 )  lim x 0 x 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa đạo hàm riêng theo biến 𝒚 Cho hàm hai biến 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) với điểm 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) cố định Xét hàm biến 𝐹 𝑦 = 𝑓(𝑥0 , 𝑦) theo biến 𝑦 Đạo hàm hàm biến 𝐹(𝑦) 𝑦0 gọi đạo hàm riêng theo biến 𝑦 hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ), ký hiệu: f ( x0 , y0 ) F ( y0  y )  F ( y0 )  f y ( x0 , y0 )  lim y 0 y y f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 )  lim y 0 y 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ghi nhớ Đạo hàm riêng 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) theo 𝑥 đạo hàm hàm biến 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦0 ) Đạo hàm riêng 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) theo 𝑦 đạo hàm hàm biến 𝑓 = 𝑓(𝑥0 , 𝑦) Qui tắc tìm đạo hàm riêng Để tìm đạo hàm riêng 𝑓 theo biến 𝑥, ta coi 𝑓 hàm biến 𝑥, biến lại 𝑦 số 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 𝑓(𝑥, 𝑦) biễu diễn mặt 𝑆 (màu xanh) Giả sử 𝑓 𝑎, 𝑏 = 𝑐, nên điểm 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ 𝑆 Cố định 𝑦 = 𝑏 Đường cong 𝐶1 giao 𝑆 mặt phẳng 𝑦 = 𝑏 Phương trình đường cong 𝐶1 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑏) Hệ số góc tiếp tuyến 𝑇1 với đường cong 𝐶1 là: 𝑔′ 𝑎 = 𝑓𝑥′ (𝑎, 𝑏) Đạo hàm riêng theo 𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦) hệ số góc tiếp tuyến 𝑇1 với đường cong 𝐶1 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) Tương tự, đạo hàm riêng theo 𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) hệ số góc tiếp tuyến 𝑇2 với đường cong 𝐶2 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ Cho hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = − 𝑥 − 2𝑦 Tìm 𝑓𝑥′ (1,1) biễu diễn hình học đạo hàm riêng 𝑓𝑥′ 𝑥, 𝑦 = −2𝑥 → 𝑓𝑥′ 1,1 = −2 Mặt bậc hai 𝑓(𝑥, 𝑦) Mặt phẳng 𝑦 = cắt ngang đường cong 𝐶1 Tiếp tuyến với 𝐶1 (1,1,1) đường thẳng màu hồng Hệ số góc tiếp tuyến với 𝐶1 (1,1,1) đạo hàm riêng cần tìm 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN Ví dụ Biễu diễn hình học 𝑓𝑥′ (1,1): 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN Tính chất đạo hàm riêng Vì đạo hàm riêng đạo hàm hàm biến nên tính chất đạo hàm riêng có tính chất đạo hàm hàm biến 1) ( f )x   f x 2) ( f  g )x  f x  g x 3)  f  g  x  f x  g  f  g x gf x  fg x  f  4)    g g  x Hàm biến: hàm có đạo hàm cấp 𝑥0 hàm liên tục 𝑥0 Hàm nhiều biến: tồn hàm có đạo hàm riêng cấp (x0,y0) chưa hàm liên tục điểm 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ Tìm đạo hàm riêng f x (1, 2), f y (1, 2) , biết f ( x, y )  ln( x  y )  x 2x x2  y 2  f x (1, 2)  f y ( x, y )  ln( x  y )  y 4y f y ( x, y )  x  y2  f y (1, 2)  f x ( x, y )  ln( x  y ) f x ( x, y )  30-Jan-21   TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ Tìm đạo hàm riêng f x (1, 2), f y (1, 2) , biết f ( x, y )  ( x  y ) y  f x ( x, y )  ( x  y ) y x  f x ( x, y )  y ( x  y ) y 1  f x (1, 2)  10 ln f  y ln( x  y ) f y  ln( x  y )  y  Đạo hàm riêng hai vế theo y, ta có: f x  2y  y  f y ( x, y )  ( x  y ) ln( x  y )  y  x  y     f y ( x, y )  25(ln  ) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 10 Tìm cực trị hàm f ( x, y )   x  y với điều kiện x  y  1) Hàm Lagrange: L( x, y )   x  y   ( x  y  9)  Lx  5  2 x   L  4  2 y   y  2  ( x , y )  x  y 9    2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2: P1 (5, 4), 1  / P2 (5, 4), 2  1 /   2 , Lxy   0, Lyy  2 Lxx 3) Khảo sát điểm dừng: P (5, 4), 1  1/ :  ( P1 )dx  Lxy  ( P1 )dxdy  Lyy ( P1 )dy  dx  dy d L( P1 )  Lxx từ điều kiện: d ( P1 )   10dx  8dy   dy   dx  2  5 d L( P1 )  dx   dx    dx  → P1 điểm cực đại có điều kiện 16   30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 122 Giá trị lớn nhất, nhỏ Định nghĩa Số 𝑎 gọi giá trị lớn hàm f tập đóng bị chặn D, M  D : f ( M )  a M  D : f ( M )  a Tương tự ta có định nghĩa giá trị nhỏ Nhắc lại: Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ 𝑓 = 𝑓(𝑥) [𝑎, 𝑏]: 1) Tìm điểm tới hạn thuộc (𝑎, 𝑏): x1 , x2 , Loại điểm khơng thuộc (𝑎, 𝑏) Tính giá trị 𝑓 điểm cịn lại 2) Tính giá trị 𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏) 3) So sánh giá trị 𝑓 bước 1) bước 2) Kết luận 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 123 Giá trị lớn nhất, nhỏ Định lý Weierstrass Hàm nhiều biến f liên tục tập đóng, bị chặn D đạt giá trị lớn giá trị nhỏ điểm tới hạn D, điểm biên D Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm nhiều biến f D: 1) Tìm D (các điểm D) (bài tốn tìm cực trị khơng điều kiện) Tìm điểm tới hạn f : P1, P2 , Loại điểm khơng điểm D Tính giá trị f điểm cịn lại 2) Tìm cực trị f biên D (bài tốn tìm cực trị có điều kiện) 3) So sánh giá trị f bước 1) bước 2) Kết luận 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 124 Giá trị lớn nhất, nhỏ Chú ý: 1) Tìm biên D: giả sử biên D cho phương trình  ( x, y )  Tìm biên D tức tìm cực trị 𝑓(𝑥, 𝑦) với điều kiện  ( x, y )  Lập hàm Lagrange: L( x, y )  f ( x, y )  . ( x, y ) Tìm điểm dừng 𝐿:  Lx ( x, y )     L y ( x, y )   ( x, y )    Q1 ( x1 , y1 )   Q2 ( x2 , y2 )   Tính giá trị 𝑓 điểm 𝑄1, 𝑄2, … 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 125 Giá trị lớn nhất, nhỏ Chú ý: 2) Trường hợp đặc biệt, biên D đoạn thẳng Tìm đoạn thẳng Giả sử tìm đoạn AB có phương trình: a c ax  by  c (b  0)  y   x  b b Thay vào hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) ta có hàm biến x, tìm GTLN, GTNN hàm 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 126 Giá trị lớn nhất, nhỏ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f ( x, y )  ( x  6)  ( y  8) miền D: x  y  25  f x  2( x  6)  1) Tìm D:   P1 (6, 8)  D  f y  2( y  8)  2) Tìm biên D:  ( x, y )  x  y  25  Lập hàm Lagrange: L( x, y )  ( x  6)  ( y  8)   ( x  y  25) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 127 Giá trị lớn nhất, nhỏ  Lx  2( x  6)  2 x   L  2( y  8)  2 y   Q1 (3, 4); Q2 (3, 4) Tìm điểm dừng L:  y  2 x  y  25  f (Q1 )  f (3,  4)  25 f (Q2 )  f (3, 4)  225 3) So sánh giá trị f bước 1) bước 2) Kết luận Giá trị lớn 225 đạt (-3,4) Giá trị nhỏ 25 đạt (3,-4) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 128 Giá trị lớn nhất, nhỏ 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f ( x, y )  x  xy  y miền D: | x |  | y |  A(0,1)   D(1,0) B (1,0)  C (0, 1)  f x  x  y   P1 (0,0)  D  f ( P1 )  1) Tìm D:   f y   x  y  30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 129 Giá trị lớn nhất, nhỏ 2) Tìm biên D Có cạnh Tìm cạnh Trên AB: phương trình AB là: y   x, x [0,1] f  x  x(1  x)  (1  x)  x  x  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm biến [0,1]  f  x    x   [0,1] 1 1 Trên AB có điểm cần xét: A(0,1), B(1,0) Q1  ,  2 2 Tính giá trị f điểm này: f ( A)  1; f ( B )  1; f (Q1 )  Tương tự tìm cạnh lại 3) So sánh, kết luận: GTLN: 1; GTNN: 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 130 Giá trị lớn nhất, nhỏ 2 f ( x , y )  x  y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ miền D: x  y  x  f x  x   P1 (0,0) loại khơng điểm D 1) Tìm D:   f y  2 y  30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 131 Giá trị lớn nhất, nhỏ 2 2) Tìm biên D:  ( x, y )  x  y  x   y  x  x2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm biến: f  x  (2 x  x )  x  x f   4x    x  [0,2]   1 f    ; f (0)  0; f (2)  2 1 3) So sánh, kết luận: Giá trị lớn 4; giá trị nhỏ Chú ý: lập hàm Lagrange 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 132 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 133 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 134 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 135 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 136 ... (2 x  y ) dx  (3 x  y ) dy 2) Cho x0 = 2, y0 =  x  0.05, y  0.04, x  2. 05, y  2. 96 df (2, 3)  (2. 2  3.3)0.05  (3 .2  2. 3)(0.04)  0.65 f (2, 3)  f (2. 05, 2. 96)  f (2, 3) f (2, 3)... 2 2  x  a t  x /(4 a 2t ) u   x /(4 a t ) e  e   32 t  2a  t  t 8a t  t u  u  a t x 30-Jan -2 1 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 18 Ví dụ  xy , x  y   x2... liên tục điểm 30-Jan -2 1 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ Tìm đạo hàm riêng f x (1, 2) , f y (1, 2) , biết f ( x, y )  ln( x  y )  x 2x x2  y 2  f x (1, 2)  f y ( x,