Dãy số an được cho như sau:.[r]
(1)GIỚI HẠN DÃY SỐ A /Tóm Tắt Lý Thuyết: lim c c lim un L lim un L 3 limun L lim un L ; lim un L, un 0n L 0, lim un L lim un lim lim 0 un 1 0; lim 0; n n lim q 0 q n 0; n lim k 0, k N * n lim n ; lim n ; lim lim un , lim lim un lim lim un lim c 0 nk lim q n q ; lim un , lim L 0 lim un Dấu lim un lim n k , k N * lim un L 0 , lim 0 L lim n ; Dấu L Dấu lim un B/ Bài Tập 2n 2n 3n 4n n3 lim lim lim lim n ; n ; 2n 3n ; 5n n n 2n 1 3n n 2n 1 n 1 n4 lim lim 3 lim lim 6n 1 6n 1 n n n ; ; ; n 2n 1 3n n3 lim lim 6n 1 n ; 10 ; 11 lim ; với |a| < ; |b| < 12 16 20 23 n 1 n 1 n 1 n2 1 lim lim lim n ; 15 n 1 n ; 14 2n ; 13 lim 3 3 n 1 n n3 n n n n n 2 lim lim lim n n ; 17 n ; 19 n n2 1 n2 ; 18 lim lim lim n 1 n ; n n n 21 lim ds1/3; n 5n 24 lim n n2 n n 1 ; 22 ds0 ; lim lim 25 3n 2n 3n 4n n n3 n2 1 n 3n 4n 1 3n 4n 2n 6n n1 lim n 2 lim lim lim n 3n n 4n 4n ; 28 n 2n 3n 6n1 26 ; 27 ; 29 12 22 32 n2 (2n 1) n lim lim lim n( n 1)(n 2) ds1/3 3n n2 30 ds1/3; 31 ds1/2; 32 3 2 (2) 1 1 lim lim n(n 1) ds1; 34 (2n 1)(2n 1) ; 35 lim 1.2 2.3 1.3 3.5 33 GIỚI HẠN HÀM SỐ A/Lý thuyết : ,k 2l 1 x k 0 lim k 0 lim x k xlim x x ,k 2l * x x0 ; x x0 ; x x ; ; x ; lim f x L lim f x lim f x L lim x x0 lim lim C C * x x x x0 lim f x x x0 x x0 lim g x lim f x g x x x0 x x0 L0 L0 lim f x Dấu g(x) lim g x x x0 x x0 L L>0 lim x x0 Tuỳ ý + + - L<0 B/ Bài tập f x g x Daïng voâ ñònh Dạng phân tích thành nhân tử: lim x2 1) x x 3x ; lim x 3x 5) x x 4x ; x5 1 9) x x ; lim 10) lim x 1 x 2) 6) lim x2 lim 3x ; x x x 1 x 3x ; x 5x 3x x1 x x 8x lim x 5x 3) x x 25 ; 7) ; 11) x 5x 4x 4) x 2x 6x 2x2 x 2 x3 ; lim x lim x 2x 8) lim x x x 72 x2 2x x 3x 9x lim x x 2 x 1 x3 x ; 12) lim x x (a 1)x a (x h) x lim lim x (1 x) h x3 a3 14) ; 15 ) h ; 16) x a x 2 x x4 a4 2(x h)3 2x x1992 x lim lim lim lim x x 5x 3(x 3x 2) ; 20) x x1990 x h 17) x a x a ; 18) h ; 19) x n nx n x x 18 x x 30 x 1 lim lim lim lim 2 x (x 1) 21) ; 22) x x ; 23) x 2x 9x ; 24) x x 2x x lim x x x 13) ; lim 25) x 4x 4x 2x lim x 4x lim lim x x x 2x ; 26) ; 27) 2x 5x 4x 2x 3x lim ; 28) x x 4x (3) x 16 lim 29) x x 2x ; lim 33) x1 x3 lim 30) x x x ; x 27 lim 31) x x 4x ; x 6x 12x lim x 4x 32) x x3 x x 8x 64 x 2x 6x x x 5x lim lim lim x 5x ; 34) x x 5x ; 35) x x3 ; 36) x x 3x x 4x 6x lim x2 x 37) x ; x 3x lim x x 2x 38) x5 lim ; 39) x x Dạng nhân – Chia lượng liên hợp: 1) lim x 1 x x x 1 x lim Equation.DSMT4 x 2) x x 2x x ; Equation.DSMT4 lim x x 3) lim x 2 x 2 x 3x 4) EMBED 4x x2 2x lim x 1x 5) EMBED Equation.DSMT4 lim x 3 49 x lim 4x ; 6) EMBED Equation.DSMT4 7) EMBED Equation.DSMT4 lim x x2 x 3x ; 8) EMBED x x 2 x3 3 5x 3x 4x x lim lim x 3x 9) x ; 10) EMBED Equation.DSMT4 x x ; 11) EMBED 3 8x x x2 lim lim Equation.DSMT4 x 2x x ; 12) EMBED Equation.DSMT4 x 4x x2 2x 4x 1 lim x3 2x 1 13) EMBED Equation.DSMT4 x ; 14) EMBED Equation.DSMT4 x1 1 1 x lim lim 2 x x x ; 15) EMBED Equation.DSMT4 x x x ; 16) EMBED Equation.DSMT4 lim x x 1 x 5x 3 lim 17) EMBED Equation.DSMT4 x 19) EMBED Equation.DSMT4 lim x x 7 x1 lim x7 2x 12 x lim x1 x 2x ; 18) EMBED Equation.DSMT4 x x x 1 x 1 ; 20) EMBED Equation.DSMT4 (4) x1 x1 lim x ; 23) EMBED Equation.DSMT4 x 4x ; lim 22) EMBED Equation.DSMT4 x lim x x 1 (x 1) x1 24) EMBED Equation.DSMT4 ; 25 EMBED Equation.DSMT4 x 1 2x lim x Dạng gọi “số hạng vắng”: lim x 1 x x ; lim x 1 x 1 x ; x x x x 3x x2 ; lim x lim ; 8x 11 x7 x 3x x x − √ x −2 lim ; x→ x2 −1 x 1 x x x +4 − √ x √ lim x−1 x→ lim √ x 2+ 3+ x −3 x lim x9167 lim x0x ; x→4 x −5 x +4 Daïng voâ ñònh 2x lim a) x x 3x x lim e) x x x lim x lim p) x lim s) x lim x 1 b) 3x 5x c) 3x3 x lim f) x x x (x 1)2 (7x 2) lim x (2x 1)4 i) m) x 1 lim n) x 2x 4x x x k) lim x 4x x x x 3 x x q) x (5x 1)(x 2x) x 3x 1 lim h) x x x 4x 3x x 4x 2x x lim o) x r) x x 3x x 3x lim l) lim lim 4x x d) x x 3x x 3x(2x 1) lim x 1 x3 x lim g) x x x (2x 3) (4x 7)3 lim x (3x 4) (5x 1) j) x 3x x 3x lim x x 1 9x 3x 2x x3 2x2 x 2x (x x x 1)( x 1) (x 2)(x 1) t) x ( x x )2 x x x x 3x x lim Daïng voâ ñònh a) e) i) l) lim (2 x x) x ; b) lim ( x x x) x lim ( x x lim (2x x lim (2 x x ) x ; f) x 2) ; ; c) lim x lim ( x x x) x j) 4x 4x 3) ;g) lim ( x 4x x ; m) lim (3x x x 3x ; d) lim ( x 3x x) x x 3x 2) 9x 12x 3) ; k) ; n) lim ( x x x) x ; h) lim ( x x x ) x lim x( x x ) x lim ( x 3x x 2) x (5) o) lim ( x 3x x 2) x ; p) r) x v) x x 1) ; q) lim ( x x x 1) lim ( x lim ( x x x 1) x ; s) ; w) lim ( x x x) x lim ( x x x lim ( x x x 3) x lim ( x x x x) ; t) x x 3x ) Giới hạn bên x2 x lim a) x 3x lim f) x 0 2x 4x x x lim c) x x 3x lim x 2 b) x 3x lim x g) x x lim d) x x x 3x lim x h) x lim e) x x lim x 4 x i) x2 x3 2x x 3x lim j) x x x cos 2x lim 1 x x 3x x x x 3x lim x lim lim lim x x x x x h) x k) x x x l) x x 5x g) i) * Tìm giới hạn bên phải, bên trái hs f(x) xo và xét xem hàm số có giới hạn xo không ? x 3x (x 1) x a) f(x) x (x 1) với x o 1 4 x (x 2) b) f(x) x 1 2x (x 2) với x o 2 1 x c) f (x) x 3 / với x o 0 x 0 x 0 *Tìm A để hàm số sau có giới hạn xo: x (x 1) f(x) x Ax (x 1) a) với x0 = x 2x A f (x) x 4x 3x 3x ; b) x 3 x 3 ; với x0 = HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC Định nghĩa: lim f (x) f (x o ) *Hàm số f(x) liên tục xo x xo *Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nó liên tục điểm xo (a;b) Các định lý: Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác là các hàm số liên tục trên tập xác định chúng Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương hàm liên tục là hàm liên tục Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < thì tồn ít số c (a;b) cho f(c) = Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < thì phương trình f(x) = có ít nghiệm trên khoảng (a;b) 1.Xét liên tục các hàm số sau điểm x0: (6) a) x −3 x +4 f(x) = 2x − ¿ x <1 x ≥ xo = 1; ¿{ ¿ c) f(x) = ¿ x ≠2 x=2 xo = ¿{ ¿ ¿ x −3 , x ≠ √3 x −√3 √ , x =√3 ¿{ ¿ x3− x − x2 − x − b) f(x) = 11 xo = ; x 3x x 1 x x x d) f(x) = xo = x x 0 4 x x x x x 0 3 e) f(x) = 1 2x khix xo = 2; f) f(x) = x xo = 1 2x x 3x x 2 ; x 1 2 x x 1 x 2 g) f(x) = 2012; x 1 trên TXĐ nó ; h) f(x) = xo = 2 x x 25 x 3 x 5 x x x 3 x =3; l.f(x) = 9 x 5 x =5 k.f(x) = 6 0 x x2 x x x x x3 x f x f x x 3x 4 x 1 x 2 tạix =2; n m x0= -1 o 1 x f x x 1 q x x x f x x 3 x x 2 x 2 x0=2; x0= -1; x +4 x f x 2 x x 2 x0=2 p x x f x 1 x x 0 x =0 s x x x f x 3 x 5 r x0=5 2.Tìm a để các hàm số sau liên tục x0 ¿ x +2 x − x <1 a) f(x) = 2x+ a x ≥ ¿{ ¿ x +2 x −3 x2 − x0 = 1; b) f(x) = a ¿ x ≠1 x=1 ¿{ ¿ x0 = (7) ¿ 3x x x <1 x x ax+ b ≤ x ≤ − x x >3 ax + x 2 ¿{{ c) f(x) = ; d) f(x) = ¿ ¿ x+2 a , x <0 x 2+ x +1 , x ≥ e.f(x) = treân R ;g f(x) = ¿{ ¿ 2 x x ¿ x x2 x −3 x+ f x treân R , x≠1 | x −1| ax x a , x=1 , taïi x = 1;h ¿{ ¿ ; Chứng minh các phương trình sau có nghiệm: a) x3 – 2x – = ; b) x5 + x3 – = c) x3 + x2 + x + 2/3 = ; d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = Chứng minh phương trình a) x3 – 3x2 + = có nghiệm khoảng (– 1;3) b) 2x3 – 6x + = có nghiệm khoảng (– 2;2) c) x3 + 3x2 – = có nghiệm khoảng (– 3;1) 5*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = a)Tính f(0), f(1) ,f(1/2) b)Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm (0;1) Cho phương trình: (1-m2)(x+1)3 + x2 –x – = (m: tham số) Chứng minh phương trình có nghiệm với giá trị m? Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với m là số thực: a.(m2 +m+1)x2 +6x - 9m2 - 9m + = 0; m c m x 2x 0 b m x 1 x 2x 0 d (m 2m 2) x 3x 0 ; Cho các số thực a, b, c thoả mãn 3a 5b 9c 0 Chứng minh phương trình ( ; 1) ax bx c 0 , luôn có nghiệm khoảng 2 1 0; ax bx c CMR phương trình: luôn có nghiệm x với a và 2a + 6b + 19c = BÀI TẬP VỀ QUY NẠP TOÁN HỌC Baøi 1: Chứng minh với n N*, ta có: n(n 1) a) + + … + n = b) 12 22 n2 n(n 1)(2n 1) n(n 1) 13 23 n3 c) 1.4 2.7 n(3n 1) n(n 1) e) Baøi 2: d) 1 n n(n 1) n f) 1.2 2.3 Chứng minh với n N*, ta có: 1.2 2.3 n(n 1) n(n 1)(n 2) (8) n a) 2n b) c) 1 1 n 2 2 (n 3) 2n n 2 n 2n 1 2n 2n d) n (n 2) 2 n e) 1 13 n 1 n 2n 24 Baøi 3: f) (n > 1) Chứng minh với n N*, ta có: a) n 11n chia heát cho b) n3 3n2 5n chia heát cho 3 d) n 2n chia heát cho 2n 32 n chia heát cho c) 7.2 n 1 2n2 chia heát cho e) chia heát cho f) n(n 3) Bài 4: Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh là Baøi 5: Dãy số (an) cho sau: Chứng minh với n N* ta có: a1 2, an 1 an an 2 cos 2n1 với n = 1, 2, … 13n (9)