phân loại bài tập giới hạn (2003)

Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích khoa Tốn bạn sinh viên Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào tận tình giúp đỡ em q trình hồn thành đề tài nghiên cứu Lần đầu thực công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Em xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn sinh viên Xn Hòa, tháng năm 2011 Tác giả Đỗ Thị Út Lộc Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, đề tài nghiên cứu khoa học “Phân loại tập giới hạn hàm số” hoàn thành theo quan điểm riêng cá nhân tơi Trong q trình làm đề tài, tơi kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Mục lục Mở đầu Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giới hạn điểm…………………………………………………… 1.2 Giới hạn vô cực……………………………………………………… 1.3 Giới hạn bên………………………………………………………… 1.4 Một số định lý giới hạn hữu hạn……………………………………… 1.5 Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực…………………………………… 1.6 Các dạng vơ định………………………………………………………… Chương ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2.1 Dùng định nghĩa tìm giới hạn hàm số……………………………… 2.2 Tính giới hạn định nghĩa tích phân……………………………… 2.3 Chứng minh giới hạn hàm số không tồn tại…………………………… 2.4 Giới hạn phía………………………………………………………… Chương CÁC DẠNG BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 3.1 Tính giới hạn dạng hàm phân thức đại số……………………… 3.2 Tính giới hạn dạng hàm phân thức đại số chứa bậc hai… 0 hàm phân thức đại số chứa thức bậc ba………………………………………………………………………………… 3.3 Tính giới hạn dạng hàm phân thức đại số chứa thức bậc cao……………………………………………………………………………… 3.4 Tính giới hạn dạng 3.5 Tính giới hạn dạng sử dụng dạng giới hạn đặc biệt………………… 3.6 Tính giới hạn dạng sử dụng phương pháp gọi số vắng…………… 3.7 Tính giới hạn dạng sử dụng quy tắc Lôpitan…………………………… 3.8 Tính giới hạn dạng ¥ ……………………………………………………… ¥ 3.9 Tính giới hạn dạng ¥ - ¥ ………………………………………………… 3.10 Tính giới hạn dạng 1¥ , 0.¥ , ¥ ………………………………………… Phụ lục Kết luận Tài liệu tham khảo Mở đầu 1.Lý chọn đề tài Tốn học mơn học có tính trừu tượng hóa cao độ, mơn học khó học sinh Hơn nữa, tốn học có tính thực tiễn phổ dụng, có thể ứng dụng lĩnh vực khác khoa học, công nghệ, sản xuất đời sống đại Có thể nói “khơng có giới hạn khơng có giải tích” tảng xây dựng nên yếu tố khác giải tích Đối với học sinh nghiên cứu giới hạn kiến thức hoàn toàn mẻ Trước học sinh làm quen với đại lượng “hữu hạn, rời rạc” gặp phải đại lượng “biến thiên, liên tục” chuyển biến khiến học sinh gặp khơng khó khăn Chẳng hạn, học sinh phải xem xét định nghĩa có cấu trúc phức tạp, khó hiểu, khó nhớ, hay việc vận dụng định nghĩa, định lý vào giải tình cụ thể Trước thực tế đó, với mong muốn làm giảm bớt khó khăn cho học sinh phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh học tập, trả lời cách thỏa đáng câu hỏi “Tại lại nghĩ làm ?” Tôi chọn đề tài “Phân loại tập giới hạn hàm số” làm đề tài nghiên cứu cho Cấu trúc đề tài bố cục thành ba chương Chương1 Tác giả trình bày số kiến thức giới hạn giới hạn, định lý giới hạn hữu hạn, quy tắc tìm giới hạn vơ cực Chương2 Chương dành cho việc trình bày số kiến thức giới hạn hàm số, cách chứng minh tồn giới hạn hàm số, cách tính giới hạn hàm số định nghĩa, tích phân Chương3 Trong chương đưa dạng tốn tìm giới hạn hàm số với phương pháp ví dụ minh họa để làm sáng tỏ cách tìm giới hạn khác phù hợp với yêu cầu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu chủ đề “giới hạn hàm số” - Đề xuất hệ thống tập “giới hạn hàm số” - Tìm hiểu hệ thống tốn khai thác, vài ứng dụng giới hạn chương trình tốn Phương pháp nghiên cứu - Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giới hạn điểm Giả sử x điểm thuộc khoảng ( a,b) , f ( x) hàm số xác định khoảng ( a,b) có thể khơng xác định x0 Định nghĩa 1.1.1 (Giới hạn hữu hạn) Ta nói hàm số f có giới hạn số thực L x dần tới x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy số ( xn ) tập hợp ( a,b) \ { x0} (tức xn Ỵ ( a,b) xn ¹ x0 ) mà limxn = x0 ta có lim f ( xn ) = L f ( x) = L f ( x) ® L x ® x Khi ta viết: xlim ®x (Theo định nghĩa Nếu • Nếu • f ( x) = c (hằng số) lim f ( x) = lim c = c f ( x) = x lim f ( x) = lim x = x ) x®x0 x®x0 x®x0 x®x0 Định nghĩa 1.1.2 (Giới hạn vơ cực) Ta nói hàm số f có giới hạn vơ cực x ® x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy số ( xn ) tập hợp xn Ỵ ( a,b) \ { x0} ( tức xn Ỵ ( a,b) xn ¹ x0 ) mà lim xn = x0 ta u cú nđƠ lim f ( xn ) = Ơ nđƠ Khi ú ta vit: lim f ( x) = Ơ hoc f x đ Ơ x ® x ( ) x®x 1.2 Giới hạn vô cực Định nghĩa 1.2.1 Giả sử hàm số f ( x) xác đinh khoảng ( a, +¥ ) Ta nói hàm số f có giới hạn số thực L x dần tới +¥ với dãy số ( xn ) khoảng ( a, +¥ ) (tức xn > a với n ) mà limxn = +¥ ta có lim f ( xn ) = L Khi ta viết lim f ( x) = L hoc xđ+Ơ f ( x) đ L x đ +¥ Các giới hạn: lim f ( x) = L , lim f ( x) = +¥ , lim f ( x) = - Ơ c nh xđ- Ơ xđ+Ơ xđ- Ơ ngha tng t 1.3 Gii hn mt bên Định nghĩa 1.3.1 (Giới hạn bên phải) Giả sử hàm số f ( x) xác định ( x0,b) , ( x0 Ỵ ¡ ) Ta nói f có giới hạn bên phải số thực L x ® x0 (hoặc điểm x0 ) dãy ( xn ) ( x0,b) mà limxn = x0 ta có lim f ( xn ) = L f ( x) = L f ( x) ® L x ® x + Khi ta viết: xlim + ®x Định nghĩa 1.3.2 (Giới hạn bên trái) Giả sử hàm số f ( x) xác định ( a, x0) ( x0 Ỵ ¡ ) Ta nói f có giới hạn bên phải số thực L x ® x0 (hoặc điểm x0 ) dãy ( xn ) ( a, x0) mà limxn = x0 ta có lim f ( xn ) = L Khi ta viết : lim- f ( x) = L f ( x) ® L x ® x - x®x0 Điều nói với giới hạn vô cực 1.4 Một số định lý giới hạn hữu hạn Định lý 1.4.1 (Tính giới hạn) Nếu hàm số f ( x) có giới hạn x ® x0 (hoặc x đ Ơ ) thỡ gii hn ú l f ( x) = L lim g( x) = M , ( L , M Ỵ ¡ ) Khi Định lý 1.4.2 Giả sử xlim ®x x®x 0 lim éf ( x) + g( x) ù = L +M ú û lim éf ( x) - g( x) ù =L - M ú ë û x®x0 ê lim é f ( x) g( x) ù = L M Đặc biệt c số ê ú ë û x®x (i) ë x®x0 ê (ii) (iii) lim éc.f ( x) ù = c.L ú û ë x®x0 ê Nu M thỡ lim (iv) xđx0 f ( x) g( x) = L M (Giới hạn tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số điểm tổng, hiệu, tích, thương giới hạn chúng điểm (trong trường hợp thương, mẫu phải khác 0) Nhận xét Nếu k số nguyên dương a số với ( x0 Î ¡ ) ta axk = ax0k có xlim ®x f ( x) = L Khi Định lý 1.4.3 Giả sử xlim ®x (i) lim f ( x) = L x®x0 (ii) lim f ( x) = L x®x0 (iii) f ( x) = L Nếu f ( x) ³ với x ¹ x0 L ³ xlim ®x Định lý 1.4.4 (Nguyên lý kẹp) Giả sử f , g, h ba hàm số xác định ( a,b) chứa điểm x0 (có thể không điểm x0 ) Nếu f ( x) £ g( x) £ h ( x) với f ( x) = lim g( x) = L ,( L Ỵ ¡ x Ỵ ( a,b) \ { x0} xlim ®x x®x 0 ) h ( x) = L thỡ xlim đx Chỳ ý Ba nh lý thay x ® x0 x đ +Ơ hoc x đ - Ơ Ba định lý không áp dụng cho giới hạn vô cực Định lý 1.4.5 (Định lý tồn giới hạn hàm số) Hàm số f có lim f ( x) = L tồn lim+ f ( x) = lim- f ( x) = L x®x x®x x®x0 0 1.5 Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực f ( x) = ±¥ lim g( x) = L lim é f x g x ù Quy tắc 1.5.1 Nếu xlim ë ( ) ( )ú û ®x0 x®x0 x®x0 ê cho bảng sau : lim f ( x) Dấu L +¥ +¥ - Ơ - Ơ + + xđx0 f ( x) = L ( L ¹ Quy tắc 1.5 Nếu xlim ®x lim éf ( x) g( x) ù ú û +¥ - ¥ - ¥ +¥ g( x) = , g( x) > 0) xlim ®x ë x®x0 ê g( x) < với " x Ỵ J \ { x0} Trong J khoảng chứa điểm x0 éf ( x) ù ê ú lim ê úđược cho bảng sau : x®x0 ê g( x) ú ë û Dấu L Dấu g( x) + + − − + − + − éf ( x) ù ú lim ê ê ú x®x0 ê g( x) ú ë û +¥ - ¥ - ¥ +¥ Chú ý (i) g( x) = g( x) thỡ lim Nu xlim đx xđx (ii) f ( x) = +Ơ thỡ lim Nu xlim đx x®x (iii) 0 Một số kết thường sử dụng 1 • lim = lim = xđ- Ơ x đ+Ơ x 0 f ( x) g( x) = = +¥ =- Ví dụ 3.6.3 Tính giới hạn lim 2x - + x - x®1 x- Ta có 4 2x - + x - 2x - - 1+ 1+ x - lim = lim x®1 x®1 x- x- 2x - - 1+ x - = lim + lim x®1 x®1 x- x- u4 - u = 2x - Û x - = Đặt v = x - Û x - = v5 - Khi 2x - - 2( u - 1) = = x ® Û u ® x- u - ( u + 1) u2 + ( ) 1+ x - v +1 = = x ® Û v ® - x- v +1 v - v +v - v +1 Vậy 2x - + x - 2 lim = lim + lim x®1 u®1 u + u2 + v®- v - v3 + v2 - v + x- ( ) ( = 10 Ví dụ 3.6.4 Tính giới hạn lim x® Ta có ) 1+ 2x x2 + 3x lim 1+ 2x - 1+ 3x x2 x® x2 x® = lim = 1+ 2x + ( x + 1) ù x2 ê ú ë û 1+ 3x 1+ 3x x2 x® x® é = ( x + 1) + lim x2 x2 x® 1+ 2x - ( x + 1) = lim = lim 1+ 2x - ( x + 1) + ( x + 1) - ( x + 1) + lim x® é - 1- 3x ê( x + 1) + ( x + 1) 1+ 3x + ( 1+ 3x) ê ë 2ù ú x ú û x +3 + lim 2ù x®0 é ê( x + 1) + ( x + 1) 1+ 3x + ( 1+ 3x) ú ê ú ë û +1= 2 x Ví dụ 3.6.5 Tinh giới hạn lim ( ) + 2004 1- 2x - 2004 x x® Ta có x ( lim x® ) x ( = lim + 2004 1- 2x - 2004 x ) + 2004 1- 2x - x2 - 2004 + x2 x x® ( ) ( ) éx2 + 2004 1- 2x - x2 + 2004 ù ê x2 ú = lim ê + ú x® ê x xú ê ú ë û é = lim ê x2 + 2004 ê x® ê ë ( ỉ - 2ử ữ = 2004.ỗ +0 ỗ ữ ữ ữ ỗ è7 ø ) ù 1- 2x - + xú ú x ú û =- 4008 3.7 Tính giới hạn dạng sử dụng quy tắc Lơpitan Phương pháp Dựa kết : Nếu f ( x) , g( x) khả vi lân cận x0 , f ( x0) = g( x0) = v gÂ( x0) lõn cn x0 , ng thi lim xđx0 f Â( x) gÂ( x) = A lim f ( x) ( x) x®x0 g =A Ví dụ minh họa Ví dụ 3.7.1 Tính giới hạn sau a) lim x + a - a với a > x® x n m b) lim 1+ ax - 1+ bx với a,b > x®0 x Ta có a) x +a x lim x® a a +x = x® a = lim 1 -1 -1 a b n m + ax + bx n m ( ) ( ) b) 1+ ax - 1+ bx a b m lim = lim n = x® x® x n m Nhận xét Với phương pháp thơng thường có thể tính giới hạn phép nhân liên hợp phương pháp gọi số vắng, phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 3.7.2 Tính giới hạn sau a) lim x®1 3x + - 2 x - 5x + b) lim x + - 3x - x® 2x + x +6 Ta có a) lim x®1 b) 3x + - x2 - 5x + = lim ( 3x + 5) x®1 - 2x - lim x® x +1- 3x - 2x + - x +6 = lim x® 12 =- x +1 - 3x - 2x + - x +6 =- 9x3 x® x - sin x Ví dụ 3.7.3 Tính giới hạn lim Ta có 9x3 3.9x2 3.2.9x lim = lim = lim = 2.3.9 = 54 x® x - sin x x® 1- cosx x® sin x 3.8 Tính giới hạn dạng ¥ ¥ Phương pháp Để tính giới hạn dạng ¥ , ta lựa chọn cách sau ¥ Cách 1(Được sử dụng cho phân thức đại số) : Ta chia tử mẫu cho lũy thừa bậc cao x có mặt phân thức Cách : Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, ta thực theo bước sau Bước : Chọn hai hàm số g( x) , h( x) thỏa mãn g( x) £ f ( x) £ h ( x) Bước : Khẳng định lim g( x) = lim h ( x) = L xđƠ xđƠ Bc : Kt lun lim f ( x) = L xđƠ Cỏch : Sử dụng quy tắc Lơpitan Ví dụ minh họa Ví dụ 3.8.1 ( 1- x) ( 1+ x) ( + x) lim Tính giới hạn 2 xđƠ ( 2- x) ( 3- x) ( - x) Chia tử mẫu cho x6 , ta c 2 ổ1 ỗ ỗ ỗ ốx ( 1- x) ( 1+ x) ( + x) = lim lim 2 xđƠ ( 2- x) ( 3- x) ( - x) xđƠ ổ ỗ ç ç èx Tổng quát Giả sử R ( x) = 2 ửổ ổ ỗ ç ÷ ÷ ÷ 1÷ ç + 1÷ ç + 1ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗx ứốx ứố ứ ửổ3 ỗ ữ 1ữ ỗ ữ ỗx ữ øè anxn + an- 1xn- + L + a0 bmxm + bm- 1xm- + L + b0 ổ4 ỗ ữ 1ữ ỗ ữ ỗx ữ ứố ÷ 1÷ ÷ ÷ ø =1 , với an ¹ bn ¹ Chứng minh R ( x) = ¥ n > m a) xlim đƠ b) lim R ( x) = xđƠ an n = m bm R ( x) = n < m c) xlim đƠ Chng minh a)Nếu n > m Khi R ( x) = x n- m an- a + K + n0 x x > x n- m an x đủ lớn b b0 2bm bm + m- + K + m x x an + n- m Vì lim x xđƠ an = Ơ nờn ta cú lim R ( x) = Ơ xđƠ 2bm b)Nu n = m Khi an- a + K + n0 x x đ an x đ Ơ R ( x) = b b0 bm bm + m- + K + m x x an + c)Nếu n < m Khi R ( x) = Vì xlim đƠ an- a + K + n0 x x < 2an x đủ lớn m- n b bm- b0 m x bm + +K + m x x an + x x m- n 2an m- n bm = nên ta có lim R ( x) = xđƠ Vớ d 3.8.2 Tớnh gii hn xlim đƠ x +2 x2 + Chia tử mẫu cho x , với ý x2 + 2 = 1+ x > x x x2 + 2 = - 1+ x < x x Và Do ú sột hai trng hp lim xđ+Ơ x +2 x +2 = lim xđ+Ơ 1+ 1+ x = x2 lim xđ- Ơ x +2 x2 + 1+ = lim xđ- Ơ x - 1+ = - x2 Vậy lim x +2 xđ+Ơ Suy xlim đƠ x +2 x2 + x2 + lim xđ- Ơ x +2 x2 + khơng tồn Ví dụ 3.8.3 Tớnh gii hn lim xđƠ x - sin x x + sin x Với x ¹ thuộc lân cận điểm ta ln có sin x 1 sin x £ Û £ £ , " x 0, x x x x x ổ ỗ 1ữ ữ lim ỗ = lim = ữ ỗ ữ xđƠ ỗ xđƠ x ữ x ỗ ố ứ Vy lim xđƠ sin x =0 x Khi ú sin x x - sin x x = lim = lim xđƠ x + sin x xđƠ sin x 1+ x 1- Ví dụ 3.8.4 Tính giới hạn sau a) lim xđ+Ơ b) lim xđƠ ln x x9 ex x2 Ta có ln x lim = lim x8 = lim =0 xđ+Ơ x xđ+Ơ 9x xđ+Ơ 9x9 ex ex ex b) lim = lim = lim = +Ơ xđƠ x2 xđƠ 2x xđƠ a) 3.9 Tính giới hạn dạng ¥ - ¥ Phương pháp Sử dụng phương pháp biết để tính giới hạn dạng giới hạn dạng ¥ - ¥ thơng qua phép nhân liên hợp ¥ tính ¥ Ví dụ minh họa Ví dụ 3.9.1 Tính giới hạn sau ổ lim ỗ x + x + 1ố xđ+Ơ ç b) lim æ ç x2 + + x ố xđ- Ơ ỗ a) xữ ữ ứ 1÷ ÷ ø Ta có a) x2 + x + 1- x2 ổ ữ ỗ lim x + x + - xữ= lim ố ứ xđ+Ơ xđ+Ơ ç x2 + x + + x x +1 = lim xđ+Ơ x2 + x + + x 1+ x = lim xđ+Ơ 1 1+ + + x x = b) æ lim ỗ x +1+ x ố xđ- Ơ ỗ 2 x2 + 1- ( x - 1) ö 1ữ lim ữ= xđứ Ơ x2 + - x + 2x = lim xđ- Ơ x2 + - x + = lim xđ- Ơ 1 - 1+ - + x x = - Ví dụ 3.9.2 Cho hàm số f ( x) = x2 + 2x + - x2 - 2x + lim f ( x) lim f ( x) , từ nhận xét tn ti ca Tớnh cỏc gii hn xđxđ+Ơ Ơ f ( x) gii hn xlim đƠ Ta cú lim xđ- Ơ x2 + 2x + - x2 - 2x + = lim xđ- Ơ = lim xđ- ¥ =lim x®+¥ x2 + 2x + - 4x x2 + 2x + + x2 - 2x + 4 ổ 4ử ữ ỗ ỗ - ỗ 1+ + + 1- + ữ ữ ữ ỗ x x ữ x x ố ứ = - 2 x2 - 2x + = lim xđ+Ơ = lim xđ+Ơ 4x x2 + 2x + + x2 - 2x + 4x æ 4ử ữ ỗ ỗ x ỗ 1+ + + 1- + ữ ữ ữ ỗ x x ÷ x x è ø = lim xđ+Ơ = 1+ 4 + + 1- + x x x x = 2 Vy lim f ( x) xđ+Ơ lim f ( x) xđ- Ơ f ( x) khụng tn ti Suy xlim đƠ 3.10 Tớnh gii hn dng 1Ơ , 0.¥ , ¥ Phương pháp i) Đối với dạng 1¥ cần nhớ giới hạn sau ổ 1ử x ữ ỗ ữ lim + =e xđ0ỗ ữ ỗ ữ ố xứ x ổ 1ử ữ ỗ lim 1+ ữ =e ữ ỗ xđƠ ỗ ữ ố xứ Vic ỏp dng chỳng tìm giới hạn hàm số nhiều trường hợp cần thực phép biến đổi phù hợp ii) Đối với dạng 0.¥ ¥ , ta chọn hai cách sau Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi để tận dụng dạng giới hạn Cách 2: Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, với bước Bước 1: Chọn hai hàm số g( x) , h ( x) thỏa mãn g( x) £ f ( x) £ h ( x) Bước 2: Khẳng định lim g( x) = lim h ( x) = L x®x0 x®x0 g( x) = lim h ( x) = L ) (hoc xlim đƠ xđƠ Bc 3: Vậy lim g( x) = L (hoặc lim f ( x) = L ) xđƠ xđx0 Vớ d minh Ví dụ 3.10.1 Tính giới hạn lim( 1+ sin2x) x x® Ta có ( 1+ sin2x) x = ( 1+ sin2x) sin2x sin2x x = ( 1+ sin2x) sin2x sin2x 2x Do x lim( 1+ sin2x) = lim( 1+ sin2x) x® sin2x sin2x 2x x® 2x ổ 3x + 5ử ữ ỗ Vớ d 3.10.2 Tớnh gii hn lim ỗ ữ ữ ữ xđƠ ỗ x ố ứ Ta cú 2x ổ ổ x + ữ ỗ ç ÷ = 1+ ç ç ÷ ç 3x ÷ ç è3x - 1ø è Đặt 6t + = Û x= t 3x - Khi x đ Ơ thỡ t đ Ơ Vy ö2x ÷ ÷ ÷ 1÷ ø = e2 2( 6t +1) 2x t ỉ ỉ 1ư 3x + 5ử ữ ữ ỗ ỗ ữ = ỗ1+ ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ tứ ữ ữ ố3x - 1ứ è 3t Do 2x t 2( 6t +1) ỉ ổ 1ử 3x + 5ử ữ ỗ ữ ữ lim ç = lim ç ç1+ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ỗ tứ xđƠ ỗ xđƠ ố ố3x - 1ứ Chỳ ý Với hàm số f ( x) = u ( x) v( x) 3t = e4 , u ( x) > lân cận x0 , giả sử cần xác f ( x) trường hợp giới hạn có dạng vơ định, ta chọn định xlim ®x hai cách sau Cách1: Sử dụng phương pháp biến đổi để tận dụng dạng giới hạn 1¥ Cách 2: Xét lim éln f ( x) ù = lim év( x) ln u ( x) ù =A ú ú û x®x0 ê ë û xđx0 ị lim f ( x) = eA x®x0 Ví dụ 3.10.3 Tính giới hạn limp ( sin x) x® tgx Cách 1: Ta biến đổi lim ( sin x) p x® tgx ( ) = lim sin x x® p ( tgx 2 ) = lim 1- cos x x® p = e0 = 1 cos2x sin x.cosx Cách 2: Xét tgx ù é A = lim êln( sin x) ú= lim tgx.ln( sin x) pê ú x® p û x® ë t= Đặt Khi x ® p p - xÛ x= - t 2 p t ® Vậy ïìï æ p ù A = lim é tgx ln sin x = lim tgỗ ỗ ( ) ỳ ỷ tđ ù ỗ pở ố xđ ùợ ộ ổ p ỗ ữ tữ ln sin ỗ ữ ữ ố ỗ2 ứ ửựùỹ ỳùý ữ tữ ữ ữ ù ứỳ ỷùỵ ỡ ỹ ù= limïïí cost ln é1+ ( cost - 1) ùïïý = lim é cot gt ln cos t ( ) ú ê ú ë û t® ï sint ë ỷù tđ0 ùỵ ợù ộ1+ ( cost - 1) ù ïìï ïü t ln ë ê ú cost - 1ïï ï û = limí cost ý ïï tđ0 ù sin t cos t t ùợù ùỵ ìï ü ïï t ïï é ù sin ln + cos t ỉ ( ) t t ùù ỳ ỷ ỗ ữ = limùớ cost ỗ- 2sin ữ ý ữ ữ ỗ ùù t®0 ï sin t cos t t è ứ ùù ùù ùợù ù ỵ =0 Do ú lim ( sin x) tgx p x® = e0 = 1 Ví dụ 3.10.4 Tính giới hạn limx sin xđ x Vi mi x thuc lân cận điểm ta ln có x sin 1 £ x Û - x £ x sin £ x , x x ( ) lim - x = lim x = x® x® Vậy limx sin x® = x Kết luận Trên toàn nội dung đề tài “Phân loại tập giới hạn hàm số” Đề tài giải vấn đề sau: Hệ thống hóa kiến thức giới hạn hàm số, định lý tính chất giới hạn Trình bày định nghĩa giới hạn, cách tính, cách chứng minh Đưa phương pháp tìm giới hạn với hệ thống ví dụ cụ thể Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng, Bài tập nâng cao số chuyên đề đại số giải tích 11, NXB Giáo dục [2] ThS Lê Hồng Đức, Phương pháp giải toán giới hạn hàm số, NXB Đại học sư phạm [3] Phan Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Tạ Mân, Đào Tam, Lê Thống Nhất, Các giảng luyện thi mơn Tốn_ tập 3, NXB Giáo dục 1996 ... kiến thức giới hạn giới hạn, định lý giới hạn hữu hạn, quy tắc tìm giới hạn vơ cực Chương2 Chương dành cho việc trình bày số kiến thức giới hạn hàm số, cách chứng minh tồn giới hạn hàm số,... phân …………………………… 2.3 Chứng minh giới hạn hàm số không tồn tại…………………………… 2.4 Giới hạn phía………………………………………………………… Chương CÁC DẠNG BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 3.1 Tính giới hạn dạng hàm phân. .. cao……………………………………………………………………………… 3.4 Tính giới hạn dạng 3.5 Tính giới hạn dạng sử dụng dạng giới hạn đặc biệt………………… 3.6 Tính giới hạn dạng sử dụng phương pháp gọi số vắng…………… 3.7 Tính giới hạn dạng sử dụng quy