c/ Bµi tËp cã ¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö nh»m cñng cè kiÕn thøc vµ phân tích đa thức của học sinh thấy đợc tác dụng rất nhiều của kiến thức này trong giải một số dạng bài tậ[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO LONG ĐIỀN TRƯỜNG THCS NGUYỄN CÔNG TRỨ ********************** S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Tªn §Ò tµi: ph¸t huy trÝ lùc cña häc sinh qua viÖc Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Người viết: Nguyễn Thị Kim Hương ******************************** N¨m häc 2011 - 2012 Nam đàn, tháng năm 2009 (2) A PHẦN MỞ ĐẦU: Môn toán là môn học phong phú và đa dạng, đó là niềm say mê ngời yêu thích toán học Đối với học sinh để có kiến thức vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi nhiều và bền bỉ Đối với giáo viên: Làm nào để trang bị cho các em đầy đủ kiến thức? Đó là câu hỏi mà giáo viên nào phải đặt cho th©n I/ Lý chọn đề tài: 1.Cơ sở lí luận: Đối với trình độ học sinh THCS , việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ, rèn luyện lực tư toán học Pháy huy trí lực học sinh là điều quan trọng, nó là sở vững để các em học tập toán tốt Trong ch¬ng tr×nh to¸n häc phæ th«ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµ mét vÊn đề dặc biệt quan tâm Vì nó đợc sử dụng nhiều giải toán trên các đa thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng các biểu thức hữu tỉ,chứng minh đẳng thức, giải phơng trình và xuyên suốt quá trình học tập sau này häc sinh §Ó ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö cã nhiÒu ph¬ng ph¸p ViÖc t×m ph¬ng pháp thích hợp cho lời giải bài toán đợc ngắn gọn, chính xác, khoa học hay tìm nhiều cách giải khác bài toán tất phụ thuộc vào việc tiếp thu và vận dụng kiến thức học sinh Khi lựa chọn các phơng pháp để phân tích giúp cho häcsinh ph¸t triÓn t to¸n häc, ãc t×m tßi s¸ng t¹o, kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc đã học giải bài toán cụ thể Không phân tích đa thức thành nhân tử học sinh đợc ôn lại hay sử dụng các kiến thức liên quan nh : Hằng đẳng thức, kỹ n¨ng thªm bít t¸ch c¸c h¹ng tö, tÝnh nhÈm nghiÖm cña ®a thøc Nãi chung ,c¸c thñ thuật toán học để giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi học sinh phải t nhiều nắm kiến thức và vận dụng linh hoạt , sáng tạo các kiến thức đó Để giúp đỡ các em học sinh tiếp cận và khai thác lời giải các bài toán phân tích đa thøc thµnh nh©n tö vµ c¸c bµi to¸n ¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö qu¸ tr×nh gi¶i, còng nh nh»m n©ng cao kiÕn thøc cÇn thiÕt gióp c¸c em häc tèt m«n to¸n vµ đồng thời phát huy đợc trí tuệ học sinh Qua quá trình giảng dạy môn Toán tôi m¹nh d¹n ®a s¸ng kiÕn vµ gi¶i ph¸p thùc hiÖn vÒ viÖc “ Ph¸t huy trÝ lùc cña häc sinh qua viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ” nh»m gióp c¸c em n¾m v÷ng mét sè ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, mét sè bµi tËp n©ng cao, mét sè bµi tËp cã áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, thấy đợc đó là công cụ đắc lực giải số loại toán Và qua đó nhằm phát huy trí lực học sinh, góp phÇn n©ng cao chÊt lîng d¹y vµ häc 2)C¬ së thùc tiÔn Trong nhiều năm tôi đợc phân công giảng dạy mụn toỏn cỏc lớp và 9, tôi đã tích lũy đợc nhiều kiến thức dạng toán “ Phân tích đa thức thành nhân tử” và dạng bài tập vận dụng ,đặc biệt là hớng dẫn học sinh cách nhận dạng bài toán để biết đợc nên áp dụng phơng pháp nào để vừa nhanh gọn, vừa dễ hiểu (3) Đây là hội để tôi đa đề tài này áp dụng vào công tác giảng dạy Với tất lý nêu trên, tôi định chọn đề tài này II/ Mục đích và phương pháp nghiên cứư: Mục đích nghiên cứu: 1/ Nhằm đào sâu nội dung phân tích đa thức thành nhân tử , giúp học sinh nắm đợc các phơng pháp phân tích, rèn luyện nhiều kĩ giải toán loại này và nhằm ph¸t tiÓn n¨ng lùc t duy, n¨ng lùc s¸ng t¹o cña häc sinh 2/ Gióp cho häc sinh cñng cè, kh¾c s©u kiÕn thøc c¬ b¶n, cã hÖ thèng vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a/ Bµi tËp ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b/ Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử góp phần rèn luyện cho học sinh đức tính cÈn thËn, s¸ng t¹o cña ngêi nghiªn cøu khoa häc c/ Bµi tËp cã ¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö nh»m cñng cè kiÕn thøc vµ phân tích đa thức học sinh thấy đợc tác dụng nhiều kiến thức này giải số dạng bài tập, đồng thời qua đó phát triển trí tuệ học sinh, kĩ vận dụng kiến thức đã học và kiến thức tiếp theo, t logic toán học, tÝnh s¸ng t¹o 2.NhiÖm vô vµ ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: a) NhiÖm vô NhiÖm vô kh¸i qu¸t:Nªu c¸c ph¬ng ph¸p d¹y lo¹i bµi “ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö” NhiÖm vô cô thÓ: -T×m hiÓu thùc tr¹ng häc sinh -Những phơng pháp đã thực -Nh÷ng chuyÓn biÕn sau ¸p dông -Rót bµi häc kinh nghiÖm b)Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: Để thực đề tài này, tôi sử dụng phơng pháp sau đây: a) Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lý luËn b) Ph¬ng ph¸p kh¶o s¸t thùc tiÔn c) Ph¬ng ph¸p quan s¸t d) Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch, tæng hîp, kh¸i qu¸t hãa e) Ph¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm III Giíi h¹n đề tài: Mét sè ph¬ng ph¸p, mét sè bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ,¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ë m«n to¸n líp IV Các giả thiết nghiên cứư: V Kế hoạch thực hiện: Từ ngày / / 2010 đến ngày 20 /5 / 2011 B PHẦN NỘI DUNG: I Thực trạng vấn đề cần nguyên cứu: Năm học 2010 - 2011 tôi đợc nhà trờng phân công giảng môn toán lớp Qua thùc tÕ d¹y häc kÕt hîp víi dù giê th¨m líp cña c¸c gi¸o viªn trêng, th«ng qua c¸c kú thi chÊt lîng b¶n th©n t«i nhËn thÊy c¸c em häc sinh cha cã kü n¨ng thµnh th¹o (4) làm các dạng bài tập nh: Quy đồng mẫu thức, giải các loại phơng trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ vì lý đó để giải đợc các loại bài tập này cần phải có kỹ ph©n tÝch c¸c ®a thøc thµnh nh©n tö NÕu nh c¸c em häc sinh líp kh«ng cã thñ thuËt vµ kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thành nhân tử thì việc nắm bắt các phơng pháp để giải các dạng toán và kiến thức quá trình học toán là vấn đề khó khăn Trong viÖc gi¶ng d¹y bé m«n to¸n gi¸o viªn cÇn ph¶i rÌn luyÖn cho häc sinh tÝnh t duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi kiến thức mới, phơng ph¸p lµm to¸n ë d¹ng c¬ b¶n nh c¸c ph¬ng ph¸p th«ng thêng mµ cßn ph¶i dïng mét sè phơng pháp khó đó là phải có thủ thuật riêng đặc trng, từ đó giúp các em có hứng thó häc tËp, ham mª häc to¸n vµ ph¸t huy n¨ng lùc s¸ng t¹o gÆp c¸c d¹ng to¸n khã Ngêi thÇy gi¸o gi¶ng d¹y cÇn rÌn luyÖn cho häc sinh cña m×nh víi kh¶ sáng tạo, ham thích học môn toán và giải đợc các dạng bài tập mà cần phải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lợng học tập, đạt kết tốt c¸c kú thi ph¸t hiÖn ph¬ng ph¸p gi¶i phï hîp víi tõng bµi cô thÓ ë c¸c d¹ng kh¸c Nhiều học sinh yếu tính toán, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn kiến thức các lớp dưới, là chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 8, khơng cố gắng học tập, ỷ lại, trông chờ vào người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt Giáo viên chưa thật đổi phương pháp dạy học đổi chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học Vẫn có giáo viên áp dụng lối giảng dạy cũ xưa, xác định dạy học phương pháp còn mơ hồ Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm đúng mức đến việc học tập em mình theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở học tập nhà II Các biện pháp giải vấn đề: 1) BiÖn ph¸p thø nhÊt Giáo viên phải trang bị cho học sinh mình các đơn vị kiến thức nh các quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã xếp, các quy tắc đổi dấu đa thức, thuộc và vận dụng thành thạo các đẳng thức đáng nhớ 2) BiÖn ph¸p thø hai Gi¸o viªn cho häc sinh n¾m v÷ng b¶n chÊt cña viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (5) Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức thành tích nhiều đơn thức và đa thức khác Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thông thường: Ph¬ng ph¸p dïng h»ng đẳng thức Ph¬ng ph¸p đặt nhân tử chung C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p Ch¬ng I: C¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n Ph¬ng ph¸p ph¸p đặc nhãm nhiÒu Khi ph©n tÝch ®a thøcbiÖt thµnhho¸ nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p nµy thêng lµm nh sau: h¹ng tö I Phơng pháp đặt nh©n tö chung C¸c ph¬ng - T×m nh©n tö chung - Ph©n tÝch mçi h¹ng tö thµnh tÝch cña nh©n tö chung, c¸c nh©n tö kh¸c ViÕt nh©n t chung ngoµi dÊu ngoÆc, viÕt c¸c nh©n tö cßn l¹i cña mçi h¹ng tö ë dÊu ngoÆc víi dÊu cña chóng Khi ph©n tÝch b»ng ph¬ng ph¸p nµy ta dùa vµo tÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n phép cộng các đa thức: A.B + A.C =A.(B +C) II Phơng pháp dùng đẳng thức Áp dụng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử Kiến thức c¬ b¶n lµ : B×nh ph¬ng cña mét tæng : ( A + B )2= A2+ 2AB +B2 B×nh ph¬ng cña mét hiÖu: ( A - B )2= A2- 2AB +B2 HiÖu hai b×nh ph¬ng: A2- B2 =( A + B ).( A - B ) (6) LËp ph¬ng cña mét tæng: ( A + B )3= A3+ 3A2B +3AB2+ B3 LËp ph¬ng cña mét hiÖu: ( A - B )3= A3- 3A2B + 3AB2- B3 Tæng hai lËp ph¬ng : A3+ B3 =( A +B ).(A2 - AB + B2 ) HiÖu hai lËp ph¬ng : A3 - B3 =( A - B ).(A2 + AB + B2 ) VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : 8x3y6 -1 =(2xy2)3 - 13 Gi¶i 8x3y6 - =(2xy2)3 - 13 = ( 2xy2 - ).(4x2y4 + 2xy2 + 1) VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : Gi¶i 25x4 + 10x2y + y2 = (5x2)2 + 2.5x2 y + y2 = ( 5x2 + y)2 III ph¬ng ph¸p nhãm nhiÒu h¹ng tö Khi sử dụng phơng pháp này ta cần nhận xét đặc điểm các hạng tử kết hîp c¸c h¹ng tö thÝch hîp nh»m lµm xuÊt hiÖn d¹ng h»ng d¼ng thøc hoÆc xuÊt hiÖn nhân tử chung các nhóm dùng các phơng phap đã biết để phân tích đa thức thµnh nh©n tö VÝ dô 3: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : 4x2+8xy - 3x - 6y Gi¶i 4x2+8xy - 3x - 6y = (4x2 + 8xy ) - (3x + 6y) = 4x.(x+2y) - 3(x+2y) = (x+2y)(4x-3) VÝ dô 4: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : x2 - y2+ 2xz + z2 Gi¶i x2 - y2+ 2xz + z2=( x2 + 2xz + z2) - y2=(x+z)2 - y2=(x+y+z)(x-y+z) IV Phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p Thờng đợc tiến hành theo các trình tự sau : + Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản dễ nhận xét + Nhãm h¹ng tö + Dùng đẳng thức VÝ dô 5: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : x2 + 2xy + y2- xz – yz Gi¶i x2 + 2xy + y2- xz – yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x+y).(x+y-z) (7) VÝ dô 6: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : 3x3y - 6x2y- 3xy3- 6axy2- 3a2 xy +3xy Gi¶i 3x3y - 6x2y-3xy3- 6axy2 -3a2 xy +3xy = 3xy(x2-2x-y2-2ay-a2+1) = 3xy[(x2-2x+1)-(y2+2ay+a2)] = 3xy[(x-1)2-( y+a)2] = 3xy(x-1-y-a)(x-1+y+a) Chơng II : Các phơng pháp đặc biệt I ph¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö Trong số trờng hợp các phơng pháp đã họckhông thể giải đợcmà ta phải nghĩ tách hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng đợc các phơng pháp đã biết VÝ dô 7: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : x2- 6x + Gi¶i C¸ch : x2- 6x + = x2 - 2x- 4x+8 =x(x-2)-4(x-2) =(x-2)(x-4) C¸ch : x2- 6x + = x2 - 6x +9-1 = (x-3)2 -12=(x-3+1)(x-3-1)= (x-2)(x-4) C¸ch : x2- 6x + = x2 - 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4) C¸ch : x2- 6x + = x2 - 4x +4-2x+4=(x-2)2- 2(x-2)= (x-2)(x-4) Có nhiều cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử khảctong đó có cách th«ng dông lµ : C¸ch : T¸ch h¹ng tö bËc nhÊt thµnh h¹ng tö råi dïng ph¬ng ph¸p nhãm c¸c hạng tử và đặt nhân tử chung Cách : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đa đa thức dạng hiệu hai b×nh ph¬ng VÝ dô 8: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : 9x2+6x-8 Gi¶i 9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4) HoÆc =9x2-6x+1 – =(3x+1)2-32 =(3x+1-3)(3x+1+3) =(3x -2)(3x+4) *Chú ý : Khi tách hạng tử bậc thành hai hạng tử ta có thể dựa vào đẳng thức đáng nhớ: mpx2 + (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q) (8) Nh vËy tam thøc bËc hai :a x2+bx+c hÖ sè b = b1+ b2 cho b1 b2 = a.c Trong thùc hµnh ta lµm nh sau : - T×m tÝch a.c - Ph©n tÝch a.c thµnh tÝch hai thõa sè nguyªn b»ng mäi c¸ch - Chän hai thõa sè mµ tæng b»ng b VÝ dô 9: Khi ph©n tÝch ®a thøc 9x2+6x-8 thµnh nh©n tö Ta cã : a = ; b = ; c = -8 + TÝch a.c =9.(-8) =-72 + Ph©n tÝch -72 thµnh tÝch hai thõa sè kh¸c dÊu cho thõa sè d¬ng cã gi¸ trÞ tuyệt đối lớn (để tổng hai thừa số 6) -72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).12 = (-6).12 = (-8).9 + Chọn hai thừa số có tổng 6, đó là -6 và 12 Từ đó ta phân tích 9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4) VÝ dô 10 : Khi ph©n tÝch ®a thøc x –x -6 thµnh nh©n tö Ta cã : a = ; b = -1 ; c = -6 + TÝch a.c =1.(-6) = -6 + Ph©n tÝch -6 thµnh tÝch hai thõa sè kh¸c dÊu cho thõa sè ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt đối lớn vì b=-1 < (để tổng hai thừa số -1) -6 = 1.(-6) = 2.(-3) + Chọn hai thừa số có tổng -1, đó là : và -3 Từ đó ta phân tích x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3) *Chó ý : Trong trêng hîp tam thøc bËc hai : ax2 + bx + c cã b lµ sè lÎ, hoÆc kh«ng lµ b×nh ph¬ng cña mét sè nguyªn th× nªn gi¶i theo c¸ch mét gän h¬n so víi c¸ch hai II Ph¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö Khi đa thức đã cho mà các hạng tử đa thức đó không chứa thừa số chung, không có dạng đẳng thức nào nh không thể nhóm các số hạng thì ta phải biến đổi hạng tử để có thể vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đã biÕt VÝ dô 11 : Ph©n tÝch ®a thøc x4 + thµnh nh©n tö (9) Ta thấy x4 =(x2)2 ; = 22 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tö 4x2 x4 + = (x4 + + 4x2)– 4x2= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2) VÝ dô 12 : Ph©n tÝch ®a thøc 64a2 + b4 thµnh nh©n tö Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng h¹ng tö 16a2b2 64a2 + b4 = 64a2 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2 = (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab) III Phơng pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ) VÝ dô 13 : Ph©n tÝch ®a thøc (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 thµnh nh©n tö Ta cã : (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2+x)2 + 4(x2 + x) - 12 Nhận thấy đặt x2 + x = y thì có đa thức đơn giản y2 + 4y -12 là tam thức bËc hai cña biÕn y Ta cã : y2 + 4y -12 = y2 +6y - 2y -12 = (y+6)(y-2) = (x2 + x+6)( x2 + x -2) =(x2 + x+6)( x2 +2x-x -2) =(x2 + x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ] =(x2 + x+6)(x+2)(x-1) *Chú ý : x2 + x+6 không phân tích đợc phạm vi số hữu tỉ (vì tích a.c = = 1.6 =2.3 kh«ng cã hai thõa sè nµo cã tæng b»ng - c¸ch phÇn I) VÝ dô 14 : Ph©n tÝch ®a thøc (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- thµnh nh©n tö Gi¶i §Æt (x2+ 3x + 1) = y Ta cã : (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- =y(y + ) - = y2 + y - = y2 + 3y - 2y - = (y + 3)(y - 2) = (x2+ 3x + +3)( x2+ 3x + -2) = (x2+ 3x + 4)( x2+ 3x -1) IV Ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc( ph¬ng ph¸p h¹ bËc ®a thøc ) Tæng qu¸t : cho ®a thøc f(x); a lµ nghiÖm cña f(x) nÕu f(a) = nh vËy nÕu f(x) chøa nh©n tö x - a th× a ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc Trong ®a thøc víi hÖ sè nguyªn, nghiÖm nguyªn nÕu cã ph¶i lµ íc cña h¹ng tử không đổi (10) - NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng th× ®a thøc chøa nh©n tö x-1 NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña h¹ng tö bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè bËc lÎ th× ®a thøc chøa nh©n tö x + VÝ dô 15 : Ph©n tÝch ®a thøc x3 + 3x2 -4 thµnh nh©n NÕu ®a thøc cã nghiÖm lµ a th× nh©n tö cßn l¹i cã d¹ng x2 + bx +c Suy ra: a.c = -4, tøc lµ a ph¶i lµ íc cña -4 ( ± 1; ± 2; ± 4) KiÓm tra thÊy là nghiện đa thức Nh đa thức chứa nhân tử x – Do đó ta tách các hạng tử cña ®a thøc lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung x-1 C¸ch 1: x3 + 3x2 -4 = x3 - x2+ 4x2 -4 = x2(x-1) +4(x-1) = (x-1)(x2 +4x+4) = (x-1)(x+2)2 C¸ch 2: x3 + 3x2 -4 = x3 -1+ 3x2 -3 =(x-1)(x2 + x +1) +3(x-1)(x+1) =(x-1)( x2 + x +1 +3x+3) =(x-1)(x2 +4x+4) = (x-1)(x+2)2 ë vÝ dô trªn ta cµng nhËn thÊy tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc lµ 1+3-4 = nªn ®a thøc chứa nhân tử x-1 Do đó ta tách các hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung x-1 VÝ dô 16 : Ph©n tÝch ®a thøc 2x3 - 5x2+ 8x-3 thµnh nh©n tö C¸c íc cña -3 lµ : ± ; ± mµ ± 1; ± kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc Nh vËy ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn Nhng ®a thøc cã thÓ cã nghiÖm h÷u tØ *Chó ý : Trong ®a thøc víi sè nguyªn, nghiÖm h÷u tû nÕu cã ph¶i cã d¹ng ¿ p q ¿ với p là ớc hạng tử không đổi, q là ớc dơng hạng tử cao Nh vËy ®a thøc trªn nghiÖm h÷u tØ nÕu cã chØ cã thÓ lµ : -1 ; - ; - ; - 2 KiÓm tra thÊy x= lµ mét nghiÖm cña ®a thøc nªn ®a thøc chøa nh©n tö x- hay 2x-1 Do đó ta tìm cách tách các hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung 2x-1 Ta cã: 2x3 - 5x2+ 8x-3 =2x3 - x2-4x2+2x+6x-3 =x2(2x-1)-2x(2x-1)+3(2x-1) =(2x-1)(x2-2x-3) V Phơng pháp hệ số bất định (11) VÝ dô 17: Ph©n tÝch ®a thøc 2x3-5x2+8x-3 thµnh nh©n tö Giải : Nếu đa thức tiện phân tích đợc thành nhân tử thì phải có dạng (ax+b)(cx2+dx+m)=acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm Đồng đa thức này với đa thức đã cho 2x3-5x2+8x-3 , ta đợc: 2x3-5x2+8x-3 = acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm Suy : a.c = ; ad+bc =-5 ; am+bd = ; b.m = -3 Có thể giả thiết a>0 (vì a<0 thì ta đổi dấu hai nhân tử) Do đó a=2 a=1 XÐt a=2 th× c=1 suy : 2d+b=-5 ; 2m+bd=8 ; bm=-3 => b cã thÓ lµ ± hoÆc ± XÐt b=-1 th× m=3 => d=-2 tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn trªn => a=2 ; b=-1 ; c=1 ;d=-2 ; m=3 VËy 2x3-5x2+8x-3 = (2x-1)(x2-2x+3) VI Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng VÝ dô 18 : Ph©n tÝch ®a thøc P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thµnh nh©n tö Gi¶i Sö dông ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng ta cã NÕu ta thay a bëi b th× P= 0+ bc(b-c) + bc(c-b) =0 ,nªn p chia hÕt cho a-b vai trß cña a,b,c nh ®a thøc nªn p chia hÕt cho (a-b)(b-c)(c-a) Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc tập hợp các biến và đa thức chia (a-b)(b-c)(c-a) có bậc tập hợp các biến số nên thơng là số k ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a) Trong đẳng thức trên cho ta các biến nhận giá trị riêng a=2 ; b=1 ; c=0, ta đợc : 2.1.1+0 +0 =k.1.1.(-2) = -2k => k=-1 VËy P = (a-b)(b-c)(c-a) VÝ dô 19 : Ph©n tÝch ®a thøc Q = (a+b+c)3-a3-b3-c3 thµnh nh©n tö Gi¶i Sö dông ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng ta cã NÕu ta thay a bëi -b th× Q= (0+c)3+b3-b3-c3=0 VËy Q chia hÕt cho (a+b) vai trß cña a,b,c nh ®a thøc nªn Q chia hÕt cho (a+b)(b+c)(c+a) (12) Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc tập hợp các biến và đa thức chia (a+b)(b+c)(c+a) có bậc tập hợp các biến số nên thơng là sè k (a+b+c)3-a3-b3-c3 = k(a+b)(b+c)(c+a) Cho biÕn nhËn c¸c gi¸ trÞ riªng a=0; b=1; c=2 ta cã : (0+1+2)3-0 -13-23 = k(0+1)(1+2)(2+0) 18 = k => k=3 VËy : (a+b+c)3-a3-b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(c+a) *Chó ý : Khi ®a thøc cã nhiÒu biÕn sè vµ vai trß c¸c biÕn nh ®a thøc th× ta sö dông ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng nh trªn Ch¬ng III ph¸t huy trÝ lùc cña häc sinh qua viÖc Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö I Bµi to¸n chøng minh sù chia hÕt VÝ dô 20 : Chøng minh r»ng : x3 - x chia hÕt cho3 víi mäi sè nguyªn x Gi¶i : Ta cã P = x3 - x =x(x2 -1) = x(x+1)(x-1) Vì x nguyên nên x+1,x-1 là số nguyên Do đó: P = (x+1) x (x-1) lµ tÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp sÏ chia hÕt cho VËy P ⋮ ∀ x Z VÝ dô 21 : Chøng minh r»ng : x5 - 5x3 + 4x chia hÕt cho 120 víi mäi sè nguyªn x Gi¶i : Ta cã M = x5 -5x3 + 4x = x(x4-5x2+4)=x( x4- x2-4x2+4) =x[ x2 (x2-1)-4(x2-1)]= x(x2-1) (x2-4) =(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) M Lµ tÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp nªn M ⋮ 2;3;4;5 V× M ⋮ vµ M ⋮ nªn M ⋮ ( lµ BCNN cña 2vµ 4) Vậy M ⋮ 8.3.5 =120 ( vì 3;8;5nguyên tố cùng đôi ) (13) VÝ dô 22 : Chøng minh ®a thøc x3- x2 +x -1 chia hÕt cho ®a thøc x-1 Gi¶i : Ta cã P = x3- x2 +x -1= x2(x-1)+(x-1) = (x-1)(x2 +1) §a thøc P chøa nh©n tö x-1 nªn P ⋮ (x-1) Để giải các bài toán trên tôi đã phân tích các đa thức bị chia thành nhân tử ( sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử ) để biến đa thức chia thành tích sau đó tiếp tục sử dụng các kiến thức tính chia hết suy điều phải chứng minh Khi chøng minh mét ®a thøc chia hÕt cho mét ®a thøc kh¸c ta cã nhiÒu c¸ch chøng minh Ë vÝ dô ta cã thÓ chøng minh b»ng c¸ch thùc hiÖn phÐp chia, sè d có thể dùng lợc đồ Hoocme tìm số d ( d ) Hoặc chứng minh nghiệm đa thức chia là nghiệm đa thức bị chia Nhng cách làm đó dài, đơn điệu hoÆc phøc t¹p h¬n so víi c¸ch lµm trªn ( ¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ) biến đổi đa thức thành tích đó biểu thức đã cho chia hết cho nhân tử cho tích đó đã làm cho phép giải bài toán nhanh và lời giải thông minh II Bµi to¸n chøng minh biÓu thøc lu«n d¬ng, lu«n ©m, hoÆc kh«ng ©m Bài toán này kích thích t học sinh phải tìm đờng lối giải và giải phải nắm đợc kiến thức: - BiÓu thøc lu«n d¬ng ( lín h¬n ) tö thøc vµ mÉu thøc cïng dÊu - BiÓu thøc kh«ng ©m ( lín h¬n ) biÓu thøc cho b»ng luü thõa bËc ch½n cña biÓu thøc kh¸c - Bên cạnh đó cần chú ý với trờng hợp biểu thức nguyên ta xét luôn luôn d¬ng hoÆc lu«n ©m cña biÓu thøc dùa vµo dÊu cña c¸c nh©n tö kÕt hîp víi qui t¾c nh©n dÊu dÊu nguyªn VÝ dô 23 : Cho biÓu thøc P = 4x - 12x + Chøng minh r»ng P kh«ng ©m víi mäi x Gi¶i : Ta cã P = 4x -12x + = (2x)2-2.2x.3 +(-3)2 = (2x-3)2 VËy P 0 víi ∀ x Hay biÓu thøc P kh«ng ©m víi ∀ x VÝ dô 24 : Chøng minh r»ng biÓu thøc M = x − x − x +1 x + x +3 x + x +2 kh«ng ©m víi mäi x Gi¶i Ta cã : M = = 3 x − x − x +1 x + x +3 x +2 x +2 = x ( x −1)−( x −1) = x + x +3 x + x +2 (x −1)( x − 1) x + x +3 x + x +2 2 x −1 ¿ ( x + x +1) x −1 ¿ ¿ ¿ = ¿ ¿ ¿ ¿ (14) V× x2 +x +1 = x2 +x + + =(x+ )2 + >0 ∀ x 4 ∀ x vµ x2 +2 > MÆt kh¸c (x-1)2 ∀ x ∀ x Hay M kh«ng ©m ∀ x VËy M Víi nh÷ng bµi to¸n nµy c¸c em ph¶i ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö hoÆc rót gọn biểu thức Qua đó kỹ phân tích các em đợc rèn luyện và phát triển cïng víi nh÷ng kü n¨ng gi¶i to¸n kh¸c III Bµi to¸n rót gän vµ vµ tÝnh sè trÞ cña biÓu thøc Đây là bài toán áp dụng gần gũi việc phân tích đa thức thành nhân tử Đờng lối giải là vận dụng tính chất phân thức đại số để thu thành nhân tử sau đó rút gọn thành nhân tử chung đây là rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử bên cạnh đó sử dụng số tính chất toán học khác để giải Sự kết hợp đó có tác dụng rèn trí tuệ cho học sinh giúp các em thấy liên hệ chặt chÏ gi÷a c¸c kiÕn thøc to¸n häc ph¸t triÓn trÝ tuÖ th«ng minh vµ t logickhoa häc ë c¸c em x+5 x +8 x+ VÝ dô 25 : Cho P = a/ Rót gän P Gi¶i P= x+5 x +8 x+ ( víi x -1; x = (x −1) 5(x −1) = = x +7 ( x+ x)+(7 x +7) x (x +1)+7 ( x +1) -7) b/ TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x=2001 P= IV = x +7 = 2001+7 2008 Bài toán chứng minh đẳng thức Loại toán này đờng lối giải là ta phải bến đổi, rút gọn biểu thức phức tạp vế này đến kết là biểu thức đơn giản vế nhng có bài ta phải biến đổi rút gọn hai vế để đến kết giống Thùc chÊt cña bµi to¸n nµy lµ bµi to¸n rót gän biÓu thøc Ví dụ 26: Chứng minh đẳng thức sau : Giải : Biến đổi VT ta có : VT = x+5 = x +7 x +8 x+ x+5 = x +8 x+ 5(x +1) = =VP x +7 ( x+ 1)(x +7) (15) Vậy đẳng thức đợc chứng minh Ví dụ 27: Chứng minh đẳng thức sau − 2− x = x −1 Gi¶i Biến đổi VP ta có : VP = x +8 (1− x)(x −2 x + 4) x +8 (1− x)(x −2 x + 4) = ( x +2)(x −2 x +4) = x+ 2 1−x (1− x)( x −2 x + 4) Biến đổi VT ta có : VT = − 2− x = −(x +2) = x+ x −1 x −1 1−x VT =VP Vậy đẳng thức đợc chứng minh Víi häc sinh c¸c em rÊt thÝch thó víi d¹ng bµi tËp nµy v× c¸c em cho r»ng ®©y lµ dạng toán đã cho sẵn kết V Bài toán tìm giá trị biến số để biểu thức có giá trị nguyªn Để giải bài toán này đờng lối chung là tách phần nguyên để còn xét phần phân thức dạng đơn giản ( Phần lớn các bài toán sau rút gọn kết còn phân thức đơn giản ) Tiếp thea ta dùng giá trị tử biến số để phân thức có giá trị nguyên Muốn đạt đợc giá trị nguyên thì tử thức phải chia hết cho mẫu thức hay nói cách khác: Mộu thúc phải là ớc tử thức Từ đó ta tìm đợc giá trị cña biÕn VÝ dô 28: Cho P = Gi¶i: x+5 x +8 x+ Tìm giá trị xđể biểu thức có giá trị nguyên Theo VD1 ë IV -3 ta cã: P= x+5 = x +8 x+ x +7 P đạt giá trị nguyên ⇔ x+7 là ớc ( ± 1; ± 5) Do đó x+7 =-1 ⇒ x=-8 x+7 = ⇒ x=-6 x+7 =-5 ⇒ x=-12 x+7 = ⇒ x=-2 VËy biÕn sè nhËn mét c¸c gi¸ trÞ nguyªn { -12;-8;-6;-2} thì P đạt giá trị 4) Kết đạt đợc: ¸p dông s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy vµo gi¶ng d¹y ë trêng THCS Nguyễn Công Trứ năm học 2010 - 2011 đã thu đợc các kết khả quan Kết học tập học sinh đợc nâng lên rõ rệt qua các học, qua kỳ thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết (16) tốt, đa số các em học sinh đã biết sử dụng các phơng pháp phân tích thông thờng mét c¸ch thµnh th¹o, đa số c¸c em häc sinh cã kü n¨ng n¾m v÷ng thñ thuËt ph©n tÝch đa thức dựa vào các phơng pháp phân tích đã đợc nêu sáng kiến kinh nghiệm Bên cạnh đó các phơng pháp này các em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó và các kiÕn thøc míi còng nh viÖc h×nh thµnh mét sè kü n¨ng qu¸ tr×nh häc tËp vµ gi¶i to¸n häc bé m«n to¸n Cụ thể kết kiểm tra dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử thốâng kê qua các giai đoạn hai lớp 8A,8C,8C,8D năm học 2010 –2011 sau: a) Chöa aùp duïng giaûi phaùp Kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm: Trung bình trở lên Đầu học kỳ I đến học kỳ Tổng số II Hoïc Sinh Số lượng Tæ leä (%) Chöa aùp duïng giaûi phaùp 106 63 59,4% * Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm kỹ phân tích bài toán, các đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, cách trình bày bài giải còn lung tung b) AÙp duïng giaûi phaùp : Laàn 1: Kieåm tra tieát Trung bình trở lên Đầu học kỳ I đến học kỳ II Toång soá Hoïc Sinh Số lượng Tæ leä (%) Keát quaû aùp duïng giaûi phaùp (laàn 1) 106 83 78,3% * Nhận xét: Học sinh đã hệ thống, nắm kiến thức các đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, vận dụng khá tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử giải toán, biết nhận xét đánh giá bài toán các trường hợp, trình bày khá hợp lý Laàn 2: Kieåm tra hoïc kì I: Trung bình trở lên Đầu học kỳ I đến học kỳ II Toång soá (17) Hoïc Sinh Keát quaû aùp duïng giaûi phaùp (laàn 2) 106 Số lượng Tæ leä (%) 98 92,4% * Nhận xét: Học sinh nắm vững các kiến phân tích đa thức thành nhân tử, vận dụng thành thạo kỹ biến đổi, phân tích, biết dựa vào các bài toán đã biết cách giải truớc đó, linh hoạt biến đổi và vận dụng đẳng thức và đã trình bày bài giải hợp lý có hệ thống và logic, còn số ít học sinh quá yếu, kém chưa thực tốt Học sinh tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ giải nhanh các bài toán có dạng tương tự, đặt nhiều vấn đề mới, nhiều bài toán * Toùm laïi: Từ thực tế giảng dạy áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán dạng bài tập này Kinh nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững cách phân tích đa thức thành nhân tử chương trình đã học, học và rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi bài tập Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo học sinh học toán C KÕt luËn: I Ý nghĩa đề tài công tác: Tr¶i qua thùc tÕ gi¶ng d¹y vËn dông s¸ng kiÕn kinh nghiÖm trªn ®©y cã kÕt qu¶ hữu hiệu cho việc học tập và giải toán Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định h ớng phơng pháp làm bài cha có gợi ý giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo và kÕt qu¶ tèt tõ viÖc gi¶i to¸n rót c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Vì lẽ đó vơí giáo viên chung và thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả tiếp thu bài các đối tợng học sinh để từ đó đa bài tập và phơng pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm đợc các bài tập, gây hứng thú học tập, say sa giải toán, yêu thích học toán Từ đó nâng cao từ dễ đến khó, có đợc nh thì ngời thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phơng pháp giải toán, có nhiều bài toán hay để hớng dÉn häc sinh lµm, ®a cho häc sinh cïng lµm, cïng ph¸t hiÖn c¸c c¸ch gi¶i kh¸c còng nh c¸ch gi¶i hay, tÝnh tù gi¸c häc to¸n, ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n nhanh, cã (18) kü n¨ng ph¸t hiÖn c¸c c¸ch gi¶i to¸n nhanh, cã kü n¨ng ph¸t hiÖn c¸c c¸ch gi¶i Mét sè kinh nghiÖm ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ë trªn ®©y gióp häc sinh rÊt nhiÒu qu¸ tr×nh gi¶i to¸n cã sö dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö C¸c kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử mà tôi đã viết trên đây có lẽ còn nhiều hạn chế Mong tổ chuyên môn trờng, đồng nghiệp góp ý chân thành để tôi có nhiÒu s¸ng kiÕn kinh nghiÖm tèt h¬n phôc vô tÝch cùc cho viÖc gi¶ng d¹y nh»m thùc hiÖn tèt ch¬ng tr×nh míi THCS II Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển: Trong quá trình thực đề tài và thân tôi là ngời trực tiếp giảng dạy mụn toỏb Tôi đã rút số bài học kinh nghiệm và giải pháp thực nh sau: - §Ó thùc hiÖn tèt c«ng t¸c giảng dạy môn toán, tríc hÕt gi¸o viªn cÇn ph¶i có trình độ chuyên môn vững vàng, nắm vững các thuật toán, giải đợc các bài toán khó cách thành thạo Cần phải có phơng pháp giảng dạy phù hợp kích thích đợc tò mò, động, sáng tạo, tích cực học sinh - Toán học là môn khó, các vấn đề toán là rộng Chính vì vậy, giáo viªn cÇn ph¶i biÕt ch¾t läc, x©y dùng thµnh mét gi¸o tr×nh «n tËp c¬ b¶n bao gåm tÊt c¶ các chuyên đề Với chuyên đề cần phải chọn lọc bài toán điển hình, để học sinh từ đó phát huy khả mình, vận dụng cách sáng t¹o vµo gi¶i c¸c bµi to¸n kh¸c cïng thÓ lo¹i - Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi cần thờng xuyên bám sát đối tợng học sinh, theo dõi và động viên kịp thời cố gắng, nỗ lực học sinh Đồng thời, kÝch thÝch c¸c em ph¸t huy tèi ®a kh¶ n¨ng cña m×nh qu¸ tr×nh «n luyÖn, häc tËp Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời sai sót mà học sinh có thể m¾c ph¶i, gióp c¸c em cã niÒm tin, nghÞ lùc vµ quyÕt t©m vît qua nh÷ng khã kh¨n bíc đầu học tập các chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi mà giáo viên đa - Trong qu¸ tr×nh båi dìng häc sinh giái còng cÇn hÕt søc tr¸nh cho häc sinh biểu tự đắc, cho mình là giỏi Điều này làm cho các em khó tránh khỏi nh÷ng thÊt b¹i tham dù nh÷ng cuéc thi lín ChÝnh v× vËy, gi¸o viªn cÇn lu«n cã bài toán khó, yêu cầu cao để các em thấy đợc quá trình học bồi dỡng học sinh giái lµ mét qu¸ tr×nh kh«ng thÓ diÔn ngµy mét, ngµy hai, mµ lµ c¶ mét qu¸ tr×nh l©u dµi, thêng xuyªn, liªn tôc Tuy nhiªn, còng cÇn tr¸nh cho häc sinh sù tù ti, v× liên tục không giải đợc các bài toán khó gây cho các em nản chí, niÒm tin vµo kh¶ n¨ng cña m×nh III Đề xuất: - Cần t¨ng thªm thêi gian båi dìng cho häc sinh giái m«n To¸n - Tăng thêm thời gian cho học sinh học phụ khoá - Phụ đạo cho học sinh yếu kém (19) Long Haûi ngaøy 15 thaùng 10 naêm 2010 Ngöoøi vieát Nguyễn Thị Kim Hương tµi liÖu tham kh¶o Để thực đề tài này, tôi đã sử dụng số tài liệu sau: 1) Một số vấn đề đổi phơng pháp dạy học môn toán trờng THCS 2) S¸ch híng dÉn gi¶ng d¹y m«n to¸n líp 3) S¸ch gi¸o khoa to¸n 4) Tµi liÖu Båi dìng thêng xuyªn m«n to¸n chu kú 2004-2007 5) Toán nâng cao và các chuyên đề Đại Số (20) đánh giá, nhận xét tổ chuyên môn và nhà trờng: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… (21) (22) (23)