Đối địa phương hóa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trương Thị Ngọc Ánh ĐỐI ĐỊA PHƯƠNG HĨA LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trương Thị Ngọc Ánh ĐỐI ĐỊA PHƯƠNG HÓA Chuyên ngành : Đại số Lý thuyết số Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc PGS TS Trần Tuấn Nam, người hết lịng giúp đỡ tận tình hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo khoa Tốn Tin, lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN - SĐH trường tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành tốt nhiệm vụ học tập Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn tất thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Đại số lý thuyết số khóa 24 Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 17 tháng 09 năm 2015 Học viên Trương Thị Ngọc Ánh MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Bảng ký hiệu tốn học LỜI NĨI ĐẦU Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa tập nhân 1.2 Vành thương 1.3 Địa phương hóa 1.4 Môđun thương 1.5 Hệ ngược Giới hạn ngược 1.6 Môđun đầy đủ I- adic 1.7 Iđêan nguyên tố liên kết 1.8 Sự phân tích nguyên sơ 1.9 Iđêan nguyên tố đối liên kết 1.10 Giá môđun Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỐI ĐỊA PHƯƠNG HĨA CỦA MỘT R-MƠĐUN ARTIN 10 2.1 Định nghĩa tính chất đối địa phương hóa 10 2.2 Phép biểu diễn thứ cấp đối địa phương hóa 12 2.3 Tính chất phép biểu diễn thứ cấp, môđun biểu diễn 15 2.4 Môđun môđun biểu diễn 28 2.5 Tính khơng Artin đối địa phương hóa 34 2.6 Ứng dụng 1: Định lý kép Bourbaki 35 2.7 Ứng dụng II: Chứng minh kết Taherizadeh 37 2.8 Đối giá môđun 38 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 BẢNG KÍ HIỆU TỐN HỌC Kí hiệu Ý nghĩa R vành giao hốn có đơn vị Rˆ vành đầy đủ R lim M t giới hạn ngược {M t , ft r } lim M t giới hạn thuận {M t , ft r } ℜ không (Nilradical) Hom ( A, B ) tập hợp đồng cấu từ môđun A đến môđun B AssR ( M ) tập iđêan nguyên tố liên kết môđun M E ( R / m) bao nội xạ R / m ΛI ( M ) đầy đủ I - adic môđun M Coass ( M ) tập iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun M SpecR tập tất iđêan nguyên tố R Supp ( M ) giá môđun M CosR ( M ) đối giá môđun M V (I ) {P ∈ SpecR P ⊇ I } AnnR ( M ) 0} { x ∈ R xM = :K x 0} {a ∈ K ax = Att(M) Tập tất iđêan liên kết R-môđun biểu diễn M EM ( N ) {rm : r ∈ R, ∃k > : r m ∈ N } ←  t  → t k REM ( N ) môđun M sinh EM ( N ) rad M ( N ) N M :K x 0} {a ∈ K ax = LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết địa phương hóa phần quan trọng đại số giao hoán, nghiên cứu vành thương môđun hữu hạn sinh Phép lấy đối ngẫu đia phương hóa đối địa phương hóa Chúng ta xác định đối địa phương hóa Hom R ( RS , A) R môđun Artin A tâp nhân S R, R vành giao hốn khơng thiết phải Noether Việc xây dựng mang lại RS mơđun Artin A Tuy nhiên đối địa phương hóa mơt R mơđun Artin A có nhiều đặc tính kế thừa từ A Từ định nghĩa địa phương hóa, luận văn tìm hiểu số tính chất đối địa phương hóa mơđun artin Nội dung luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức Mục đích chương cung cấp trình bày lại khái niệm, số mệnh đề tính chất nhằm mục đích sử dụng chứng minh chương Vì lý nên chương tính chất, mệnh đề thừa nhận mà không chứng minh Chương 2: Một số tính chất đối địa phương hóa R-mơđun Artin Mục đích chương nghiên cứu vài tính chất đối địa phương hóa mơđun artin, phép biểu diễn thứ cấp, mơđun biểu diễn được, mơđun biểu diễn được, tính khơng Artin đối địa phương hóa, ứng dụng định lý kép Bourbaki, ứng dụng kết Taherizadeh đối giá môđun Dù cố gắng cịn nhiều hạn chế nhận thức nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp, phê bình, bổ sung q thầy cơ, bạn để luận văn hoàn chỉnh thêm Sau nội dung luận văn Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa tập nhân Cho vành A vành giao hoán giao hoán có đơn vị ≠ Một tập S ⊂ A gọi tập nhân A nếu: i) 1∈S; ii) ∀x, y∈S ⇒ xy∈S Ví dụ:  S = A\p với p iđêan nguyên tố A  S = {f n | n ≥ 0} với f∈A  S = A\{0} với A miền nguyên  S = + a với a iđêan A 1.2 Vành thương 1.2.1 Định nghĩa Cho tập nhân S vành A Trên tập A× S ta định nghĩa quan hệ hai  sau: (a, s ) − (a ', s ') ⇔ ∃t ∈ S : ( as '− a ' s ) t =0 Dễ thấy  quan hệ tương đương A × S Ký hiệu tập thương −1 S A Ký hiệu lớp tương đương phần tử (a,s) ( A× S )  a s −1 Trên S A ta xác định phép cộng nhân: • Phép cộng: ∀ a b a b at + bs , ∈ S −1 A : + = s t s t st • Phép nhân: ∀ a b a b ab , ∈ S −1 A : = s t s t st −1 Khi đó, S A trở thành vành giao có đơn vị gọi vành thương vành A theo tập nhân S 1.2.2 Tính chất vành thương S −1 A vành không ∈ S Mọi phần tử S A có dạng −1 Nếu A miền nguyên, S = A \ {0} S A trường gọi trường −1 u với u , v ∈ S khả nghịch v thương A −1 Ánh xạ f : A → S A xác định f ( a ) = a đồng cấu vành (nói chung khơng đơn cấu) Đồng cấu f có tính chất sau: i) s ∈ S f (s) khả nghịch S −1 A ii) f (a) = ⇒ ∃ s ∈ S : as = iii) −1 Mọi phần tử S A có dạng f ( a ) f ( s ) −1 với a ∈ A, s ∈ S Mệnh đề: Cho g : A → B đồng cấu vành cho g(s) khả nghịch B với s ∈ S Khi tồn đồng cấu vành h : S−1 A → B cho g = h f Hệ quả: Cho g : A → B đồng cấu vành thỏa: i) s ∈ S g(s) khả nghịch B ii) g(a) = ⇒ ∃ s ∈ S : as = iii) −1 Mỗi phần tử S A có dạng f ( a ) f ( s ) −1 với a ∈ A, s ∈ S −1 Khi tồn đẳng cấu h : S A → B cho g = h  f 1.3 Địa phương hóa Cho P iđêan nguyên tố vành A Tập S = A\ P tập nhân A Vành −1 thương S A ký hiệu AP Khi đó, vành AP vành địa phương với iđêan tối p  p ∈ P;s ∈ S gọi địa phương hóa s  đại tập hợp S −1 P=  vành A theo iđêan nguyên tố P 1.4 Mơđun thương 1.4.1 Định nghĩa M ×S Cho tập nhân S vành A A-môđun M Trên tập quan hệ hai  ta định nghĩa sau: (m, s ) − (m', s ') ⇔ ∃t ∈ S : t ( sm '− s 'm ) =0 Dễ thấy  quan hệ tương đương M × S Ký hiệu tập thương M × S  S −1M Ký hiệu lớp tương đương phần tử (m,s) là m s −1 Tập S M với hau quy tắc cộng nhân: • Cộng: ∀ m n m n tm + sn , ∈ S −1 M : + = s t s t st • Nhân: ∀ a m a m am ∈ S−1A, ∀ ∈ S −1 M : = s t s t st −1 Khi đó, S M −1 S A môđun gọi môđun thương A- môđun M theo tập nhân S −1 Hiển nhiên, S M A-mơđun với phép tốn nhân ngồi: a m am = s s −1 • Nếu S = A\p với p iđêan nguyên tố vành A S M ký hiệu Mp −1 −1 −1 • Nếu u : M → N đồng cấu A-mơđun S u : S M → S N  m  u (m) S−1 u   = s s S−1 ( v  u ) = S −1v  S −1u đồng cấu S −1 A -môđun cho 1.4.2 Tính chất → M  → M '' khớp M Mệnh đề 1.4.2.1 Nếu dãy M '  f −1 g −1 S f S g S −1M '  → S −1M  → S −1M '' khớp S −1M Đặc biệt: Nếu M’ mơđun A-mơđun M đồng cấu tắc −1 S f S −1M '  → S −1M đơn cấu Do xem S −1M ' mơđun −1 S M Hệ 1.4.2.2 Nếu N, P mơđun A mơđun M thì: i) S ii) S iii) S −1 P) ( N += S −1 ( N ) + S −1 ( P ) −1 P) ( N ∩= S −1 ( N ) ∩ S −1 ( P ) −1 ( M/ N ) ≅ S −1 ( M ) / S −1 ( N ) S −1 A −1 −1 Mệnh đề 1.4.2.3 Cho M A-mơđun Khi đó, S A -mơđun S M S −1 A ⊗ A M đẳng cấu với Nói cách khác tồn đẳng cấu am f : S −1 A ⊗ A M → S −1M thỏa mãn f  a ⊗ m  = với a ∈ A, m ∈ M , s ∈ S s s  −1 Hệ 1.4.2.4 S A Là môđun phẳng −1 Mệnh đề 1.4.2.5 Nếu M,N A-mơđun tồn đẳng cấu S A −1 −1 môđun f : S M ⊗ S −1 A S N → S −1 ( M ⊗ A N ) thỏa mãn  m n m⊗n f  ⊗ = st s t Nói riêng: Nếu p iđêan nguyên tố M p ⊗ Ap N p ≅ ( M ⊗ A N ) P Ap 1.5 Hệ ngược Giới hạn ngược 1.5.1 Hệ ngược Một họ {M t , ft r } gồm R- môđun M t với t ∈ V ( V tập định hướng) đồng cấu ft r : M r → M t với t ≤ r gọi hệ ngược V thỏa mãn điều kiện sau: ft t = id M ft s f sr = ft r với t ≤ s ≤ r t 27 Vậy, P iđêan nguyên tố P = Ann(Q) với Q môđun thương M Theo định lý 2.3.3, ta có P thuộc Att(M) Mệnh đề 2.3.26 Cho S tập nhân R Khi : (1) Nếu S có giao với ρ i ∈ Att(M) S−1M = (2) S−1M S−1R-môđun biểu diễn Att ( S −1M ) ⊂ S −1 ( Att ( M ) ) (3) Đồng cấu nhúng M → S−1M toàn cấu Mệnh đề 2.3.27 Cho P ∈ Supp(M) Khi đó, P chứa iđêan liên kết M Chứng minh Giả sử P không chứa iđêan gắn kết M Đặt S = A\P Khi đó, S có giao với iđêan gắn kết M Theo mệnh đề 2.3.26, ta có M P = S−1M = 0, tức P ∉ Supp(M) Do đó, P chứa iđêan gắn kết M Mệnh đề 2.3.28 Bất kỳ R mơđun Artin A có phép biểu diễn thứ cấp Trước hết ta có định nghĩa bổ đề sau: Định nghĩa: Một R-môđun A gọi bất khả quy tổng A ≠ tổng hai môđun thực môđun thực A Bổ đề: Nếu A R-mơđun Artin bất khả quy tổng A thứ cấp Chứng minh bổ đề: Giả sử A khơng phải thứ cấp Khi tồn x ∈ R cho A ≠ xA x n A ≠ với n > Vì A R-môđun Artin nên dãy { x n A}n >0 A dãy dừng p +1 Do đó, với số nguyên dương p ta có = x p A x= A ( Lấy A1 = ker ϕ x p ,A ) A = x p A A1 , A2 mơđun thực A Lấy u ∈ A Khi đó: x p u = x p v với v ∈ A suy u − x p v ∈ A1 u ∈ A1 + A2 Do : A = A1 + A2 tức A môđun bất khả quy tổng Vậy bổ đề chứng minh Chứng minh: Bất kỳ R mơđun Artin A có phép biểu diễn thứ cấp Thật vậy: Giả sử A R môđun Artin không biểu diễn Xét tập môđun khác không A không biểu diễn Vì A R mơđun Artin nên tập có phần tử tối tiểu B Rõ ràng B không thứ cấp B ≠ Vì theo bổ đề B tổng hai mơđun thực B1 , B2 28 Do tính tối tiểu B B1 , B2 biểu diễn nên B biểu diễn được, mau thuẩn với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.3.29 Một R môđun Artin A thỏa mãn P ∈ Att R A A có ảnh đồng dạng B với P = AnnR B 2.4 Môđun môđun biểu diễn Định nghĩa 2.4.1 Cho R vành giao hoán Một phần tử a R gọi quy có phần tử b thuộc R cho a = a2b Vành R gọi quy phần tử quy Một mơ đun N M gọi chia được, kí hiệu RD-môđun con, rN = N ∩ rM với r thuộc R Mệnh đề 2.4.2 Cho R vành quy M R-mơđun Khi đó, ta có: 1) Nếu M ρ-thứ cấp Ann(M) = ρ 2) Mọi iđêan nguyên tố R iđêan tối đại Chứng minh 1) Hiển nhiên Ann(M) ⊂ ρ Giả sử có a ∈ ρ a ∉ Ann(M), ta có số n > để an.M = a.M ≠ Do tính quy R, tồn b ∈ R để a = a2b Khi đó, = anM ⊃ an−2a2b.M ⊃ an−1.M ⊃ ⊃ a.M ≠ Vậy, khơng thể có a ∈ ρ mà a ∉ Ann(M), tức ρ ⊂ Ann(M) 2) Giả sử P iđêan nguyên tố R khơng phải iđêan tối đại Khi đó, tồn iđêan tối đại Q R để P  Q Lấy x ∈ Q\P xét đồng cấu ϕ : R P  → R biến r + P ∈ R thành x ( r + P ) = xr + P ∈ R Nếu x(r + P) = xr + P P P P = x.r ∈ P Nhưng x ∉ P P iđêan nguyên tố nên r ∈ P Do đó, ϕ đơn cấu Mặt khác, R quy nên tồn y ∈ R để x = x2y Khi đó, ta có ϕ (1 + P ) =x + P , ϕ ( xy + P ) = x y + P = x + P Do tính đơn cấu ϕ nên + P = xy + P Do đó, tồn p ∈ P để = p + xy ∈ Q Vậy, Q = R, trái giả thiết Q iđêan tối đại R Do đó, P iđêan tối đại R Mệnh đề 2.4.3 Cho R vành quy M R-mơđun Khi đó, R- môđun M RD-môđun Chứng minh Lấy r thuộc R Hiển nhiên rN ⊂ N ∩ rM Lấy phần tử x thuộc N ∩ rM Vì x thuộc rM nên có phần tử m thuộc M để x = rm Vì R quy nên có 29 phần tử s thuộc R để r = r2s Khi đó, x = rm = r (rsm) Vì x = rm ∈ N nên rsm ∈ N Vì thế, x = r (rsm) ∈ rN Vậy, rN = N ∩rM nên N RD-mô đun Bổ đề 2.4.4 Mọi RD-môđun môđun ρ-thứ cấp vành giao hoán ρ- thứ cấp Chứng minh Giả sử M R-môđun ρ-thứ cấp Lấy r ∈ R Nếu r ∈ ρ tồn số nguyên m để rmM = Do N RD-mô đun nên rmN = N ∩ rmM = Nếu r ∉ ρ rM = M Vì nên rN = N ∩ rM = N ∩ M = N Vậy, N ρ-thứ cấp Mệnh đề 2.4.5 Cho R vành giao hoán N khác RD-môđun R-môđun M Khi đó, M ρ-thứ cấp N M N ρ-thứ cấp Chứng minh Giả sử M ρ-thứ cấp theo mệnh đề 2.1.3, ta có M N ρ-thứ cấp Do N RD-mơ đun nên theo bổ đề 2.2.3, N ρ-thứ cấp Ngược lại, lấy r ∈ R ( ) Nếu r ∈ ρ tồn số n cho r n M N = r n N = Do đó, rnM ⊆ N Vì N chia nên = rnN = rnM ∩ N = rnM ( ) ( ) Nếu r ∉ r r M N = M N rN=N Vì r M N = M N nên M = rM+N Vì N = rN = rM∩N nên N ⊂ rM Do đó, M = rM+N = rM Vậy, với r ∈ R đồng cấu ϕr , M : M → M toàn cấu lũy linh Do đó, M ρ-thứ cấp Hệ 2.4.6 Cho R vành giao hốn quy, N khác mơđun Rmơđun M Khi đó, M ρ-thứ cấp N M N ρ-thứ cấp Chứng minh Theo mệnh đề 2.4.3, ta có N RD-mơđun M Áp dụng mệnh đề 2.4.5, ta có điều cần chứng minh Mệnh đề 2.4.7 Cho R vành quy M R-mơđun ρ-thứ cấp Khi đó, Rmơđun M ρ-thứ cấp Chứng minh Giả sử N mơđun M Nếu x ∈ ρ tồn số n để xnM = Do đó, ta có xnN ⊂ xnM = đồng cấu φ x,N : N → N lũy linh 30 Nếu x ∉ ρ xM = M xN ⊂ N Do R quy nên tồn y ∈ R để x = x2y Với n ∈ N, tồn m ∈ M để xm = n ∈ N Do đó, xyxm = xyn ∈ N n = xm = x2ym = xxym = xyxm ∈ xN Vậy xN = N đồng cấu ϕr ,N : N → N toàn cấu Định lý 2.4.8 Cho R vành quy Khi đó, mơđun khác Rmôđun biểu diễn biểu diễn Chứng minh Giả sử M R-môđun biểu diễn Đặt M = ∑ i =1 M i biểu diễn thứ n ρi Ta tìm phần tử r1 ∪ r1 mà r1 ∉  i = ri cấp tối tiểu M với ℜ ( M i ) = n Thật vậy, khơng có phần tử r ρ1 ⊂  i = ρi Do ρ i iđêan nguyên n tố nên ρ1 ⊂ ρi với i Vì iđêan ngun tố vành giao hốn quy iđêan tối đại nên ρ = ρ i Điều xảy Với phần tử r đó, tồn số nguyên m để r1m ∈ Ann( M ) môđun r1m1 M = ∑ i = r1m1 M biểu diễn n Tiếp tục trình cho iđêan ρ , , ρ n −1 , ta tìm số mi j m2 , , m n −1 phần tử r2 ∈ rr , , rn −1 ∈ n −1 để rj M = ∑=i 1,i ≠ j rj M i n m n −1 Đặt sn M M n ; sn ∉ ρ n Bằng cách tương tự, ta có ≠ S n r1m r2 m rn −1m ∈  i =1 ri , ta có= = phần tử s1 , ,s n −1 n−1 để = si M M i ; si ∉ ρi Khi đó, ta có M = ∑ i =1 Si M n s j ∈ =i 1,i ≠ j Ann ( M i ) n Giả sử N môđun khác M Lấy a thuộc N khác Khi đó, a thuộc M nên a = s b + + s n b n với b i thuộc M Do R vành quy nên tồn t , ,t n ∈ R để s i = s2 i t i Vì a khác nên phải có số i để s i b i ≠ s i b i = s2 i t i b i = s i t i a ≠ Do đó, s i N ≠ Bằng cách bỏ bớt số i mà s i N = đánh số lại cần, ta giả sử s N ≠ 0; ;s k N ≠ với k ≤ n Với a thuộc N, ta= có:= = a ∑ si bi ∑= s 2ti bi ∑= si ti a ∑ i s= i ti a ∈ ∑ i si N i 1= i i= i = n n n Do đó, với i, s i a = s2 i b i ∈ M i s i N mô đun M i k k 31 Do R quy M i ρ i -thứ cấp nên theo mệnh đề 2.4.7, s i N ρ i -thứ cấp Vậy, N môđun biểu diễn Định lý 2.4.9 Cho R vành giao hoán N môđun nguyên tố R- môđun thứ cấp M Khi đó, N (N : M) -thứ cấp Chứng minh Giả sử M R-môđun ρ-thứ cấp Lấy r ∈ R Nếu r ∈ ρ có số ngun n để rnN ⊂ rnM = Nếu r ∉ ρ rM = M Khi đó, rM = M ⊊ N r ∉ (N : M) Giả sử n ∈ N có phần tử m ∈ M để n=rm Vì N mơ đun ngun tố r ∉ (N : M) nên m ∈ N Do đó, n = rm ∈ rN rN = N Vậy, N ρ-thứ cấp Ta chứng minh ρ = (N : M) Ta có (N : M) iđêan nguyên tố Thật vậy, với xy ∈ (N : M) x ∉ (N : M) xyM ⊂ N xM N Vì xM N nên có phần tử m ∈ Mđể xm ∉ N Do yxm = xym ∈ N nên từ tính chất nguyên tố N, ta có yM ⊂ N Tức y ∈ (N : M) Nếu x ∈ ρ xnM = ⊂ N với n Do đó, xn ∈ (N : M) Vì (N : M) iđêan nguyên tố nên x ∈ (N : M) Do đó, ρ ⊂ (N : M) Nếu x ∉ ρ M = xM Vì N mơđun thực M nên N ≠ xM Vì nên xM N Do đó, x ∉ (N : M) Suy ra, (N : M) ⊂ ρ Vậy, (N : M) = ρ Bổ đề 2.4.10 Cho R vành giao hốn Đặt K N mơđun M cho N nguyên tố K ρ-thứ cấp Khi đó, N ∩ K ρ- thứ cấp Chứng minh Lấy r ∈ R Nếu r ∈ ρ có số ngun n cho rn (N ∩ K) ⊂ rnK = Nếu r ∉ ρ lấy t ∈ N ∩ K Vì t ∈ K K ρ-thứ cấp nên t = rs với s ∈ K Vì N nguyên tố t ∈ N nên s ∈ N r ∈ (N : M) Nếu r ∈ (N : M) K = rK ⊂ rM ⊂ N s ∈ N Tóm lại, ta có s ∈ N t ∈ r(N ∩ K) Do đó, N ∩ K = r(N ∩ K) Vậy, phép nhân N ∩ K r lũy linh r ∈ ρ toàn cấu r ∉ ρ nên N ∩ K ρ- thứ cấp Định lý 2.4.11 Cho M mơđun biểu diễn vành giao hốn R N môđun nguyên tố M với (N : M) = P Khi đó, N biểu diễn M N P-thứ cấp 32 Chứng minh Giả sử M = ∑ i =1 M i biểu diễn thứ cấp tối tiểu M với n Với i, giả sử ρ i (M i ) = ρ i P Khi đó, với x ∈ ρ i \P, tồn số n để xnM i = ∈ N Do tính chất nguyên tố N, ta có M i ⊂ N Ngược lại, giả sử M i N Khi đó, với x ∈ ρ i m i ∈ M i \N, tồn số n để xnm i = ∈ N Lại tính chất nguyên tố N nên x ∈ P, tức ρ i ⊂ P Vậy, với i, ρ i ⊂ P, M i ⊂ N Vì N mơđun thực M nên có số i để M i N Định lý 2.4.12 Cho B P-thứ cấp R môđun Artin Cho S tập nhân R (1) Nếu S ∩ P ≠ ∅ HomR ( RS , B ) = (2) Nếu S ∩ P = ∅ ánh xạ tắc HomR ( RS , B ) → B , f  f (1) toàn ánh Trong trường hợp này, HomR ( RS , B ) xem RS môđun PRS - thứ cấp Chứng minh s → HomR ( RS , B ) (1) Cho s ∈ S ∩ P , B P-thứ cấp, phép ánh xạ HomR ( RS , B )  lũy linh song ánh tức HomR ( RS , B ) = (2) Giả sử S ∩ P = ∅ , S ⊂ R \ P nghĩa B = sB, cho tất s ∈ S , B = S(B) IB = I =  s∈S :R s Do B R/I-mơđun Chúng ta giả sử S bao gồm ước khác khơng t t Khi đó, HomR ( RS , B )  lim ggg { Bs , g s } Bs = B với s ∈ S g s : Bt → Bs phép nhân a t = as Chúng ta có dãy khớp chẻ hệ ngược → {0 :B s, g st } → { Bs , g st } → { B / :B s, g st } → Bs = B cho tất s ∈ S ánh xạ tương ứng :B s , Bs tương ứng B / :B s phép nhân a t = as t t Theo bổ đề 2.1.3, đồng cấu lim ggg { Bs , g s } → lim ggg { B / :B s, g s } toàn cấu Dễ thấy g st : B / :B t → B / :B s đẳng cấu tất s, t ∈ S với t = as Lưu ý phép nhân a B toàn ánh B P-thứ cấp a ∈ R, a ∉ P Do đó, t lim ggg { B / :B s, g s } → B đẳng cấu suy HomR ( RS , B ) → B toàn ánh Cụ thể, HomR ( RS , B ) ≠ 33 r ∈ RS HomR ( RS , B ) vừa toàn ánh vùa lũy linh Bởi s Hơn nữa, phép nhân RadAnnRS HomR ( RS , B ) = PRS PRS môđun thứ cấp Bây ta chứng minh công cụ kỹ thuật cho phép biểu diễn thứ cấp A liên quan đến đối địa phương hóa HomR ( RS , A ) Định lý 2.4.13 Cho A R môđun Artin phép biểu diễn thứ cấp tối tiểu = 1, 2, , n S ∩ Pi =∅, i = 1, 2, , m A = A1 + A2 + += An Cho Pi RadAnn R Ai , i Điều tương đương với S ∩ Pi ≠ ∅, i= m + 1, , n Hom = HomR ( RS , A1 ) + HomR ( RS , A2 ) + + HomR ( RS , Am ) phép biểu diễn R ( RS , A ) thứ cấp tối tiểu HomR ( RS , A ) Đặc biệt có Att R HomR ( RS , A ) = {PRS : P ∈ AttR A, P ∩ S =∅} S Chứng minh Đầu tiên ý rằng: HomR ( RS ,= A1 ∩ A2 ) HomR ( RS , A1 ) ∩ HomR ( RS , A2 ) với A1 , A2 mơđun A Tiếp theo áp dụng tính khớp HomR ( RS ,*) R môđun Artin để HomR ( RS , A i / A1 ∩ A2 )  HomR ( RS , A i ) / HomR ( RS , A1 ) ∩ HomR ( RS , A2 ) , i = 1, Tiếp theo lấy dãy khớp thu gọn: → A1 ∩ A2 → A1 + A2 → A1 / A1 ∩ A2 ⊕ A / A1 ∩ A2 → để chứng minh HomR ( RS = , A1 + A2 ) HomR ( RS , A1 ) + HomR ( RS , A2 ) Để kết thúc chứng minh, ta lưu ý HomR ( RS ,*) khớp R mơđun Artin hốn đổi với tổng trực tiếp Do đó, A = A1 + A2 + + An phép biểu diễn thứ cấp tối tiểu Hom = HomR ( RS , A1 ) + HomR ( RS , A2 ) + + HomR ( RS , Am ) R ( RS , A ) phép biểu diễn thứ cấp tối tiểu HomR ( RS , A ) (theo định lý 2.4.12) ( ) Giả sử HomR ( RS , A i ) ⊂ HomR RS , ∑ j ≠i A j , ≤ i ≤ m Lấy a ∈ Ai tùy ý, Ai Pi thứ cấp nên tồn f a ∈ HomR ( RS , A i ) cho ( ) f a (1) = a (theo định lý 2.4.12) f a ⊂ HomR RS , ∑ j ≠i A j Ai ⊂ ∑ j ≠i A j Điều mau thuẩn với phép biểu diễn thứ cấp tối tiểu A 34 Cụ thể, R môđun Artin A, theo định lý 2.4.13 ta thấy P ∈ Att R A PRP ∈ Att R HomR ( RP , A ) P Hệ 2.4.14 Ảnh ánh xạ tự nhiên HomR ( RS , A ) → A S(A), S thành phần A Chứng minh Điều rút từ (2.4.12), (2.4.13) 2.5 Tính khơng Artin đối địa phương hóa Đối địa phương hóa HomR ( RS , A ) R môđun Artin A RS - môđun với phép biểu điễn thứ cấp Tuy nhiên, khơng phải RS - môđun Artin Trong thực tế E bao nội xạ trường thặng dư có vành Noether địa phương R với iđêan tối đại M Nếu P iđêan nguyên tố R mà tối tiểu ngồi khác biệt với M E R môđun Artin, HomR ( RP , E ) RP - môđun Artin Để chứng minh điều ta cần xác định số iđêan nguyên tố RP - môđun HomR ( RP , E ) Bổ đề 2.5.1 Nếu P không iđêan nguyên tố tối đại vành Noether địa phương (R,M) E bao nội xạ R/M AssR HomR ( RP , E ) = {Q ∈ SpecR : Q ⊂ P} Chứng minh Cho iđêan nguyên tố Q ⊂ P , có đẳng cấu tự nhiên HomR ( RP / Q RP , E )  HomR / Q ( RP / Q RP , :E Q ) Vì vậy, môđun đẳng cấu với môđun HomR ( RP , E ) Bây :E Q bao nội xạ trường thặng dư R/Q Do ta kết luận R miền nguyên, nghĩa phải chứng minh (0) có liên quan tới HomR ( RP , E ) Giả sử x ∈ M \ P cho Q iđêan nguyên tố tối tiểu xR, htQ = (theo định lý Krull’s principal ideal) Nếu s ∈ R \ P t ∈ R \ Q ( s, t ) R  P ∪ Q nghĩa u = as + bt ∈ ( R \ P ) ∩ ( R \ Q ) với ( s, t ) R  P Vậy  ( s, t ) R  Q a, b ∈ R Do đó: u a b = = + ∈ RP + RQ Điều RP + RQ vành K, trường st stu tu su thương R 35 Nếu RP + RQ vành K RP + RQ có iđêan ngun tố N khác khơng Do đó, ≠ N ∩ R ⊂ Q , htQ = N ∩ R ⊂ PRP ∩ R = P ta có mau thuẩn x ∈ P Vậy RP + RQ = K dẫn đến RP / RP ∩ RQ  K / RQ ≠ Nếu = af 0, a ≠ af= ( K / RQ ) f = (a K / RQ ) f ( K / RQ ) = f ∈ HomR ( K / RQ , E ) Do f =0 suy ( ) ∈ AssR HomR ( RP / RP ∩ RQ , E ) ⊂ AssR HomR ( RP , E ) Bây ta giả sử HomR ( RP , E ) P ≠ M RP - mơđun Artin Khi đó, AssRP HomR ( RP , E ) = { PRP } AssR HomR ( RP , E ) = { P} nên P phải tối tiểu Nếu P iđêan nguyên tố tối tiểu HomR ( RP , E ) không cần thiết RP - môđun Artin  có Cho R miền Noether địa phương với trường thương K cho bao đủ R iđêan nguyên tố Q không tối tiểu đối lập với (0) R Vì Q(n) Q-primacy,  mơđun, (0)-thứ cấp R mơđun An = :E Q (n) Q-thứ cấp R Vì Q (n) ≠ Q (n +1) nên ta suy A(n)  A(n +1) A(n +1) / A(n) (0)-thứ cấp cho tất n Giả sử HomR ( K , E ) K mơđun Artin, tức K khơng gian vectơ có số chiều hữu hạn d Khi ta có dãy khớp → HomR ( K , A n ) → HomR ( K , E ) → HomR ( K , E / A n ) → = Do đó, d n dim K HomR ( K , A n ) ≤ d Do (2.1.4) ta có dãy khớp ngắn → HomR ( K , A n ) → HomR ( K , A n +1 ) → HomR ( K , A n +1 / A n ) → suy d n +1 − d n dim K HomR ( K , A n +1 / A n ) > Qua ta thấy mau thuẩn = 2.6 Ứng dụng 1: Định lý kép Bourbaki Lưu ý: Nếu A K môđun Artin N R mơđun hữu hạn sinh A ⊗ R N R môđun Artin Ta muốn biểu diễn cho iđêan nguyên tố, điều thực trường hợp N biểu diễn hữu hạn, kết xuất định lý kép Bourbaki Định lý 2.6.1 Nếu N hữu hạn sinh M mô đun vành Noether R AssR Hom( = N , M ) AssR M ∩ SupR N 36 Để áp dụng đối địa phương hóa ta xây dựng đẳng cấu tự nhiên Bổ đề 2.6.2 Nếu A R môđun Artin, N R môđun hữu hạn sinh S tập nhân R ta có đẳng cấu tự nhiên đẳng cấu tự nhiên HomRS ( RS , A ) ⊗ RS N S → HomR ( RS , A⊗ R N ) Chứng minh Cho R môđun X ta có HomR ( RS , A ) ⊗ RS X S → HomR ( RS , A) ⊗ R X → HomR ( RS , A ) ⊗ R HomR ( R, X ) → HomR ( RS ⊗ R R, A⊗ R X) → HomR ( RS , A⊗ R X ) Qua ta xây dựng phép biến đổi tự nhiên η x hai hàm tử x S HomR ( RS , A ) ⊗ R X S x S HomR ( RS , A⊗ R X ) Vì tính khớp tích tenxơ tính khớp đối địa phương hóa môđun Artin (xem định lý 2.1.4), hai hàm tử khớp phải môđun hữu hạn sinh η R đẳng cấu nên η N đẳng cấu cho R môđun hữu hạn sinh Mệnh đề 2.6.3 Cho R vành giao hốn, A R mơđun Artin N R mơđun hữu hạn sinh Att R A ⊗ R N= Att R A ∩ SupR N Chứng minh Vì N ảnh đồng cấu Rm với số m, A ⊗ R N ảnh đồng cấu Am với số m Do Att R A ⊗ R N ⊂ Att R Am = Att R A Vì AnnN ⊂ AnnA ⊗ R N nên P ∈ Att R A ⊗ R N phải chứa AnnN nghĩa P ∈ Att R A ⊗ R N Bây ta cho P ∈ Att R A ∩ SupR N A có P-thứ cấp thương B cho P = AnnB Phép nhân a ∈ R a ∈ P toàn ánh a ∈ R \ P , miễn B ⊗ R N ≠ kéo theo B ⊗ R N P-thứ cấp ảnh đồng cấu A ⊗ R N dẫn đến P ∈ Att R A ⊗ R N Theo bổ đề 2.6.2 ta thấy: HomR ( RP , B ⊗ R N )  HomR ( RP , B ) ⊗ RP N P  HomR ( RP , B ) ⊗ RP / PRP N P / P N P Vì PRP HomR ( RP , B ) = Bây giờ, HomR ( RP , B ) N P / P N P không gian vectơ khác không trường RP / P RP suy HomR ( RP , B ⊗ R N ) ≠ Vậy B ⊗ R N ≠ Để 37 bao hàm ngược Att R A ⊗ R N ⊂ Att R A ∩ SupR N ta cần chứng minh N R môđun hữu hạn sinh 2.7 Ứng dụng II: Chứng minh kết Taherizadeh Một ứng dụng khác đối địa phương hóa chứng minh kết sau Taherizadeh Để có điều này, cho A R môđun Artin, P iđêan nguyên tố R, cho S P ( A) ký hiệu S P thành phần A S P = R \ P Mệnh đề 2.7.1 Cho I iđêan vành giao hốn có đơn vị R, P ∈ At ( I , A) \ B t ( I , A) có số nguyên k B môđun P-thứ cấp R môđun Artin A, thực tế B = S P ( :A P k ) cho P phần phép biểu diễn thứ cấp tối tiểu :A I n , ∀n ≥ k Chứng minh Cho S biểu thị tập nhân R \  i =1 Pi t } {Q ∈ At (I, A) : Q  P} {P1 , , Pt= Lấy s ∈ P ∩ S , s khơng phần tử iđêan nguyên tố Q chứa P Q ∈ Att ( :A I n +1 / :A I n ) với với n đủ lớn, suy HomR ( RP , : A I n +1 / :A I n ) ⊗ R R / sR = theo tính chất phép biểu diễn thứ cấp Áp dụng hàm HomR ( RP ,*) tử cho dãy khớp (0 :A I n ) ⊗ R R / sR → (0 :A I n +1 ) ⊗ R R / sR → (0 :A I n +1 / :A I n R ) ⊗ R R / sR → thực phép toàn ánh ta suy có số nguyên l cho đồng cấu HomR ( RP , : A I l ) ⊗ R R / sR → HomR ( RP , : A I n ) ⊗ R R / sR toàn ánh với tất ∀n ≥ l {Q ∈ Att (I, A n= ) : Q ⊂ P} {P, P1 , , Pt } , ∀n ≥ l ( ( )) l Điều Hom = HomR RP , : A I l + s ( : A I n ) , ∀n ≥ l Điều R ( RP , : A I ) tương đương với S P (= : A I n ) S P ( : A I l ) + s r S P ( : A I n ) , ∀n ≥ l , r ≥ Với n ≥ l tổn số r cho S P (= : A I n ) S P ( : A I l ) + S ( : A I n ) , ∀n ≥ l sr SP ( : A I n ) = S ( : A I n ) Do đó, 38 Bây ta có S P ( : A I l = ) B '+ S ( : A I n ) số P-thứ cấp môđun B’ Chọn k ≥ l cho P k B ' = B ' ⊂ S P ( : A P k ) ⊂ S P ( : A I n ) , n ≥ k Đặt B = S P ( : A P k ) ta có S P ( : A I n ) = B + S ( : A I n ) , ∀n ≥ k Do đó, ∀n ≥ k P mơđun P- thứ cấp, phần phép biểu diễn thứ cấp nhỏ : A I n 2.8 Đối giá môđun Liên quan tới chứng minh mơđun coi địa phương hóa ta định nghĩa đối giá mơđun theo khái niệm đối địa phương hóa Định nghĩa 2.8.1 Cho R môđun X, đặt CosR X = {P ∈ SpecR : HomR ( RP , X ) ≠ 0} gọi đối giá X Điều dễ thấy CosR X ⊂ SpecR Để có điều cho ( ) P ⊂ Q hai iđêan nguyên tố R đó, HomR ( RP , X )  HomRQ RP , HomR ( RQ , X ) Ta chứng minh điều Bổ đề 2.8.2 (1) Cho A R môđun Artin Khi đó, iđêan nguyên tố chứa phần tử Att R A thuộc CosR A (2) Bất kỳ iđêan nguyên tố CosR A chứa phần tử Att R A Chứng minh Cho A = A1 + A2 + + An phép biểu diễn thứ cấp tối tiểu A, Ai Pi -thứ cấp, i = 1,2,…,n Cho P iđêan nguyên tố Pi ⊂ P m ≤ i ≤ m với số nguyên m định Khi HomR ( RP , A ) = ∑ HomR ( RP , A i ) i =1 HomR ( RP , A i ) ≠ ⇔ Pi ⊂ P Theo ta có kết luận sau: Đối với R môđun X tùy ý, biết X ≠ ⇔ SuppR X ≠ Đối với R môđun Artin A, A ≠ ⇔ CosR A ≠ điều không cho trường hợp Để chứng minh, cho p biểu thị số nguyên tố  , số nguyên Suy Hom (  ( P ) ,  )= 0, ∀p  ≠ Đây lý để hạn chế khái niệm đối giá R môđun Artin Ở chưa có rõ ràng khái niệm đối giá trùng với CosR A cho R môđun Artin A 39 Bổ đề 2.8.3 (1) Một R mơđun Artin A có dãy: = Ar ⊂ Ar −1 ⊂ ⊂ A1 ⊂ A0 = A thương Ai −1 / Ai thứ cấp (2) Mỗi dãy, = Pi RadAnnR Ai −1 / Ai , ∀1 ≤ i ≤ r Att R A ⊂ { P1 , P2 , , Pr } ⊂ CosR A (3) Trong (2) tập có phần tử nhỏ trùng với tập iđêan nguyên tố tối tiểu chứa AnnR A Chứng minh (1) phần (2) chứng minh [5, (4.5) ] , khơng làm tính tổng qt R mơđun với phép biểu diễn thứ cấp Phần lại (2) chứng minh Cos = CosR A ' ∪ CosR A '' cho R môđun Artin dãy khớp ngắn RA → A ' → A → A '' → Cuối (3) tính chất [5, (2.7)] bổ đề 2.8.2 Đặc biệt với R môđun Artin A, bổ đề 2.8.3 CosR A = V ( AnnR A ) tương đương với tập đóng SpecR Chúng ta đưa kết luận với R môđun Artin có chiều dài hữu hạn Mệnh đề 2.8.4 Cho (R,M) vành nửa địa phương Đối với R môđun Artin A ≠ , điều kiện sau tương đương: (i) CosR A = {M } (ii) Att R A = {M } (iii) A R mơđun có chiều dài hữu hạn Chứng minh Theo kết trước đó, bổ đề 2.8.2 định lý 2.4.12 đủ để chứng minh (ii) thể điều kiện (iii) Có điều đủ chứng minh M k A = với số nguyên k định Vì A R môđun Artin nên tồn iđêan hữu hạn sinh I ⊂ M cho 0= :A I n :A M n , ∀n ≥ Vì A M-thứ cấp nên I k A = 0, số nguyên k định 40 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau: Trình bày khái niệm chứng minh số tính chất đối địa phương hóa Trình bày cách hệ thống khái niệm chứng minh số tính chất phép biểu diễn thứ cấp, môđun môđun biểu diễn Trình bày tính khơng Artin đối địa phương hóa Trình bày hai ứng dụng: Định lý kép Bourbaki Chứng minh kết Taherizadeh Trình bày khái niệm chứng minh số tính chất đối giá mơđun Vì thời gian khả có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót cịn số vấn đề chưa làm sáng tỏ, mong nhận ý kiến đóng góp, phê bình bổ sung q thầy bạn để luận văn hoàn chỉnh 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO N Bourbaki, (Hermann, Paris, 1963) Theorie des ensembles Chap sec ed N Bourbaki, (Hermann, Paris, 1967) Algebre commutative Chap et D kirbv, (2) (1973),571-576 Coprimary decomposition of Artinian modules, J London Math Soc J.P.Lafon, (Hermann, Paris,1977) Algebre commutative: Langages geometrique et algebrique I G Macdonald, 11 (1973), 23-43 Secondary representation of modules over a commutative ring, Sympos.Math H Matsumura, (Cambridge University Press, Cambridge, 1986) Commutative ring theory L Melkersson, 107 (1990), 267-271 asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal, Math Cambridge Philos Soc D.G Northcott, Quart J Math.Oxford (2) 23 (1972), 289-297 Generalized Koszul complexes and Artinian modules, J ROTMAN, (Academic Press, New York, SanFrancisco, London, 1979) An introduction to homological algebra R.Y.Sharp, (2)34(1986), 212-218 Asymptotic behaviour of certain sets of attached prime ideals, J London Math.Soc 10 R.Y Sharp, A method for the study of Artinian modules, with an application to asymptotic behavior, in: Commutative Algebra 11 A.J.Taherizadeh, J 30 (1988), 293-300 On asymptotic values of certain sets of attached prime ideals, Glasgow Math 12 H.Zoschinger, 63 (1988),196-211 Uber koassoziierte Primideale, Math Scand ... thuyết địa phương hóa phần quan trọng đại số giao hoán, nghiên cứu vành thương môđun hữu hạn sinh Phép lấy đối ngẫu đia phương hóa đối địa phương hóa Chúng ta xác định đối địa phương hóa Hom... CHẤT CỦA ĐỐI ĐỊA PHƯƠNG HĨA CỦA MỘT R-MƠĐUN ARTIN 2.1 Định nghĩa tính chất đối địa phương hóa Định nghĩa 2.1.1 Đối địa phương hóa R mơđun X với tập nhân S R RS môđun HomR ( RS , X ) Đối với R... môđun Artin A Tuy nhiên đối địa phương hóa mơt R mơđun Artin A có nhiều đặc tính kế thừa từ A Từ định nghĩa địa phương hóa, luận văn tìm hiểu số tính chất đối địa phương hóa mơđun artin Nội dung