Đối ngẫu của không gian lồi địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đàm Văn Ngọc ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đàm Văn Ngọc ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Đậu Thế Cấp tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn Em xin cảm ơn quý thầy giảng dạy em suốt trình học cao học quý thầy hội đồng khoa học đọc có ý kiến đóng góp quý báu Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn thầy làm việc phịng KHCN – SĐH giúp đỡ em nhiều trình học tập thực luận văn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian vectơ tôpô 1.2 Không gian vectơ khả mêtric 1.3 Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn compăc 1.4 Không gian đầy đủ 1.5 Ánh xạ tuyến tính 1.6 Không gian lồi địa phương 1.7 Định lý Hahn- Banach nguyên lý bị chặn 11 Chương LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU 2.1 Không gian đối ngẫu 12 2.2 Hệ đối ngẫu 15 2.3 Pôla 19 2.4 Song pôla 21 2.5 Ánh xạ liên hợp ánh xạ đối ngẫu 23 2.6 Tôpô không gian đối ngẫu Định lí Mackey-Arens 25 2.7 Tơpơ mạnh 30 Chương MỘT SỐ KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG ĐẶC BIỆT 3.1 Không gian thùng 35 3.2 Không gian phản xạ 40 3.3 (DF) - Không gian 43 3.4 Đặc trưng đối ngẫu không gian Frechet (F - không gian) (DF) - không gian 48 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết đối ngẫu, đặc biệt đối ngẫu khơng gian lồi địa phương có vai trò đặc biệt quan trọng chuyên ngành giải tích hàm nói chung khơng gian vectơ tơpơ nói riêng Do đó, việc nghiên cứu cách đầy đủ phát triển lý thuyết đối ngẫu không gian lồi địa phương vấn đề quan trọng cần thiết Mục đích Tìm hiểu lý thuyết đối ngẫu không gian lồi địa phương tổng quát số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt : không gian phản xạ, không gian thùng (DF) – không gian Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn nghiên cứu lý thuyết đối ngẫu không gian lồi địa phương tổng quát số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết lý thuyết đối ngẫu không gian lồi địa phương có nhiều ứng dụng giải tích phức nhiều biến, phương trình đạo hàm riêng nhiều ngành toán học khác Cấu trúc luận văn Gồm ba chương Chương đầu giới thiệu kiến thức không gian vectơ tôpô không gian lồi địa phương, đồng thời nhắc lại số kết giải tích hàm sử dụng chương sau Chương thứ hai trình bày khái niệm lý thuyết đối ngẫu không gian lồi địa phương : không gian đối ngẫu, hệ đối ngẫu tôpô hệ đối ngẫu, mà kết quan trọng định lý Mackey-Arens Chương cuối luận văn nhằm mục đích trình bày số lớp khơng gian lồi địa phương có nhiều ứng dụng gồm : không gian thùng, không gian phản xạ đặc biệt (DF) - không gian, lớp không gian chứa không gian đối ngẫu không gian Frechet Các kết quan trọng khơng gian xây dựng dựa kết lý thuyết đỗi ngẫu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày kiến thức số kết không gian vectơ tôpô, không gian lồi địa phương sử dụng các chương sau 1.1 Không gian vectơ tôpô 1.1.1 Định nghĩa Cho E không gian vectơ trường K ( K  R K  C ) Một tôpô  E gọi tương thích ( với phép tốn đại số E ) phép cộng  : E  E  E phép nhân vô hướng : K  E  E liên tục Ta gọi không gian vectơ E tơpơ tương thích không gian vectơ tôpô 1.1.2 Định lý Cho E khơng gian vectơ tơpơ Khi đó: a) Với a E , phép tịnh tiến x  x + a phép đồng phôi từ E lên E Đặc biệt, U sở lân cận  E a + U = { a  U, U  U} sở lân cận a  E b) Với   K,   , ánh xạ x  x phép đồng phôi E lên E Đặc biệt, U lân cận  E U,   lân cận Theo định lý 1.1.2, tồn cấu trúc tơpơ E xác định sở lân cận Sau lân cận gọi vắn tắt lân cận 1.1.3 Định nghĩa  Tập A không gian vectơ E gọi hút UnA  E Gọi cân n 1 x  A với   K,   có x  A 1.1.4 Định lý Nếu U sở lân cận E với U  U ta có: a) U tập hút b) Tồn V U cho V  V  U c) Tồn lân cận cân W cho W  U 1.1.5 Hệ Trong không gian vectơ tôpô, lân cận U chứa lân cận đóng 1.1.6 Hệ Cho U sở lân cận không gian vectơ tơpơ E Khi E Hausdorff I U  0 UU 1.1.7 Định nghĩa nửa chuẩn chuẩn Giả sử E không gian vectơ Hàm p xác định E nhận giá trị thực gọi nửa chuẩn E i) p(x)  0, x  E ii) p(x)   p(x), x  E iii) p(x  y)  p(x)  p(y), x, y  E Nửa chuẩn p gọi chuẩn p(x)   x  1.1.8 Định nghĩa Một không gian vectơ với chuẩn gọi khơng gian định chuẩn 1.2 Không gian vectơ khả mêtric 1.2.1 Định nghĩa Không gian vectơ tôpô E gọi không gian khả mêtric tồn mêtric d sinh tôpô E 1.2.2 Định lý Không gian vectơ tôpô Hausdorff E khả mêtric E có sở lân cận đếm Trong trường hợp tồn hàm x  x từ E lên R thỏa mãn : a) x  x , x  E,   K,   ; b) x  y  x  y , x, y  E ; c) x   x  ; d) Mêtric d(x,y) = x  y sinh tôpô E Chứng minh Giả sử Vn  sở lân cận cân E thỏa mãn Vn 1  Vn 1  Vn với n  N Với tập hữu hạn khác rỗng H  (1) , đặt VH   Vn Ta có VH nH lân cận cân Đặt p H   2 n nH Từ (1) , quy nạp theo số phần tử H dễ dàng chứng minh p H  2 n  n  H  VH  Vn (2) (ở n  H nghĩa n  k với k  H ) x  VH , H 1 Đặt : x   inf p H : x  VH  H, x  VH ta có hàm x a x từ E vào Dễ thấy x   0;1 Do VH cân nên 1) thỏa mãn Hiển nhiên 2) x  y  Bây giả sử x  y  Chọn   cho x  y  2  Khi tồn tập hữu hạn H K N cho x  VH , y  VK p H  x  ,p K  y   Với x  E , xét phiếm hàm tuyến tính J  x  E xác định bởi: J  x  x   x(x) , với x  E Vì J  x  x   x  x   px  x  với x  E nên J  x  liên tục E  J  x   E Dễ thấy J : E  E đơn ánh tuyến tính, nên ta đồng E với x J x  không gian vectơ J  E   E Tuy nhiên tôpô E    E  khơng trùng với tôpô E cảm sinh tôpô E 3.2.1 Định nghĩa Không gian lồi địa phương E gọi nửa phản xạ E  E không gian vectơ gọi phản xạ E  E không gian lồi địa phương Nhận xét Tính nửa phản xạ E biểu diễn dạng : z  E , tồn x  E cho z  y   y  x  , với y  E Không gian lồi địa phương E phản xạ ngồi tính chất đặc trưng phải thêm điều kiện phép nhúng tắc J : E  E liên tục hai chiều 3.2.2 Định lý Không gian lồi địa phương E nửa phản xạ tập bị chặn E compăc yếu tương đối Chứng minh Theo định lý Mackey-Arens, E nửa phản xạ  b*  *    E,E  Điều tương đương với tập bị chặn B E, tồn tập tuyệt đối lồi, compăc yếu M E cho p B  p M Điều tương đương với :     B0  y  E : sup y  x    y  E : sup y  x    M xB xM Theo định lý song pôla, B0  M   B   B00  M 00  M Vì   B  bị chặn B bị chặn nên ta có kết luận định lý 3.2.3 Định lý Không gian Frechet E phản xạ tập bị chặn E compăc yếu tương đối Chứng minh Nếu E phản xạ tập bị chặn compăc yếu tương đối theo định lý 3.2.2 Ngược lại tập bị chặn E compăc yếu tương đối nên theo định lý 3.2.2, E nửa phản xạ Mà theo định lý 3.1.4, E không gian thùng nên theo bổ đề 3.1.11 họ thùng sở lân cận theo tôpô b** nên b** yếu tơpơ E trùng với tơpơ E Vậy E phản xạ 3.2.4 Định lý Cho E không gian lồi địa phương Các điều kiện sau tương đương : a) E phản xạ b) E nửa phản xạ tựa thùng c) E nửa phản xạ thùng Chứng minh a)  b) E phản xạ E nửa phản xạ b** trùng với tôpô E nên theo bổ đề 3.1.11, ta có E tựa thùng b)  a) E nửa phản xạ E  E không gian vectơ Do E tựa thùng nên thùng hút tập bị chặn lân cận Theo bổ đề 3.1.12 họ tập nói sở lân cận b** nên b** yếu tơpơ E trùng với tôpô E Vậy E phản xạ c)  b) Hiển nhiên b)  c) Theo định lý 3.2.2 tập tuyệt đối lồi, đóng, bị chặn E compăc yếu nên chúng đĩa Banach Từ đó, theo bổ đề 3.1.12, E không gian thùng 3.2.5 Định lý Không gian Banach phản xạ hình cầu đơn vị E compăc yếu Chứng minh Theo định lý song pơla, hình cầu đơn vị đóng E đóng theo tơpơ yếu nên từ định lý 3.2.3 ta có điều cần chứng minh 3.3 (DF) - Khơng gian Trong phần này, ta trình bày lớp không gian chứa đối ngẫu không gian Frechet, (DF) - khơng gian Ta kí hiệu B  E  để họ tập tuyệt đối lồi, bị chặn không gian lồi địa phương E, U  E  họ lân cận tuyệt đối lồi  E 3.3.1 Định nghĩa (DF) - không gian Không gian lồi địa phương E gọi (DF) khơng gian thỏa mãn điều kiện sau : 1) E có hệ sở đếm gồm tập bị chặn 2) Giao dãy lân cận  E giao hút tập bị chặn E Chú ý Điều kiện 2) thay điều kiện sau : 2) Mọi hợp đếm tập bị chặn E đồng liên tục 3.3.2 Mệnh đề Giả sử E (DF) - không gian Bn nN hệ sở tăng B  E  Khi đó, với dãy U n nN chứa U  E  , tập : W  I nN  Bn  U n  lân cận  E Chứng minh Với n  , chọn Vn  U  E  với: Vn  Vn  U n Khi : VI nN Cố định n  N Ta có: I 1 k  n  Bn  U n   W Vk  I 1 k  n  Bk  U k  nên I  Bk  Vk  lân cận  E , đó, r  cho: rBn  1 k  n I B 1 k  n k  Vk  nên: rBn  Bk  Vk với  k  n Hơn ta có: Bn  Bk  Vk , k  n Lấy   1,r  Bn  Bk  Vk , k  N  Bn  I k¥  Bk  Vk   V Vậy, V hút tập Bn  V hút tập bị chặn E Mà V  W nên W hút tập bị chặn E, đó, W lân cận  E 3.3.3 Mệnh đề Giả sử E (DF) - không gian Khi đó, với dãy U n nN  U  E  , tồn số rn  0, n  cho: W  I rn U n  U  E  nN Đặc biệt, dãy U n nN  U  E  , tồn W  U  E  hút U n Chứng minh Giả sử Bn nN hệ sở tăng tập bị chặn E Ta chọn rn 0 cho Bn  U n  rn U n Thế thì, theo mệnh đề 3.3.1., tập WI nN  Bn  U n   U  E  3.3.4 Định lý Giả sử E (DF)-không gian Bn nN hệ sở B  E  Khi đó: Một tập tuyệt đối lồi W E thuộc U  E  giao với Bn lân cận không Bn Chứng minh Ta xây dựng dãy số dương  n n dãy U n nN lân cận tuyệt đối lồi  E cho:  n Bn  W (1)  n Bn  U k (2) U n I Bn  W (3) xảy với n k Giả sử  n U n xác định với n  m (1),(2), (3) thỏa mãn n,k  m Từ giả thiết có lân cận U không với U  Bm1  W 1 Chọn  m1 cho :  m 1Bm1  U  m 1Bm1  Bm 1 3  m 1Bm 1  1  Bm1  U   W 3 Vậy (1) cho m  Hơn nữa, ta chọn  m1 đủ bé để (2) với n  m  với k  m Đặt B m 1       i Bi   nN   Gọi V lân cận tuyệt đối lồi  E cho U m1  B mãn (3) tức U m1 I Bn  W Thì từ  n Bn  B m 1 m 1   V thỏa  U m1 , (2) thỏa mãn cho n  m  k  m  Ta cần chứng minh:  2B m 1   2V I Bm1  W Đặt M  Bm1 I  E \ W  ta chứng minh với V chọn đủ nhỏ ta có:  2B Vì B m 1 m 1    2V I M   hay 2V I M  2B m 1  1 m 1  W nên W  2B   W 3 1 m 1 Từ W I M    W  2B  I M   nên N I W   3 Do tập 3N bị chặn nên có k  ¥ cho 3N  Bk Bởi giả thiết ta có W I Bk lân cận Bk Từ 3N I W   nên khơng điểm dính 3N Bk Vậy khơng điểm dính N  2V I N   Như vậy, ta xây dựng dãy số dương nn U n nN thỏa (1), (2), (3) Đặt U  I U n Từ (2) ta có U hấp thụ tập bị chặn U lân n¥ cận  E Từ (3) ta có U I Bn  W n  N : UUI UB n¥ n  W Suy W lân cận  E 3.3.5 Định lý Nếu S ánh xạ tuyến tính từ (DF)- không gian E vào không gian lồi địa phương F S liên tục S liên tục tập bị chặn E Chứng minh Thật vậy, điều kiện cần hiển nhiên Ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử S liên tục tập bị chặn E, Bn nN hệ sở tập bị chặn E Gọi V lân cận tuyệt đối lồi  F Khi S1  V  tuyệt đối lồi S1  V   Bn lân cận không Bn Theo định lý 3.3.4, S1  V  lân cận  E Vậy S liên tục 3.3.6 Mệnh đề Giả sử E không gian lồi địa phương có hệ sở đếm tập bị chặn Khi đó, E (DF)- khơng gian hợp đếm tập đồng liên tục E đồng liên tục hợp (E,E) - bị chặn Chứng minh Lấy Vn n dãy lân cận tuyệt đối lồi, đóng  E cho  V  I Vn hấp thụ tập bị chặn E Khi : n 1  E ' ,E    V   I Vn    U Vn  n¥  n¥ bị hấp thụ pơla tập bị chặn E Do V   E ' ,E  - bị chặn Vì V   Vn0  M nên M   E ' ,E  n bị chặn Do M đồng liên tục có nghĩa tồn lân cận tuyệt đối lồi, đóng U E cho M  U Nhưng U tuyệt đối lồi   E ' ,E  - đóng nên V  U , U  U 00  V 00  V nên V lân cận  E Vậy E (DF) - không gian 3.3.7 Mệnh đề Một khơng gian lồi địa phương có hệ sở đếm tập bị chặn (DF)- khơng gian tựa thùng Chứng minh Giả sử Vn n¥ dãy lân cận tuyệt đối lồi, đóng E cho V  I Vn hấp thụ tập bị chặn E Khi đó, V thùng hấp thụ n¥ tập bị chặn E nên V lân cận  E Vậy E (DF)- không gian 3.4 Đặc trưng đối ngẫu không gian Frechet (F - không gian) (DF) - không gian 3.4.1 Định nghĩa Một dãy tập bị chặn U n nN không gian E gọi dãy tập bị chặn tập bị chặn B E , tồn n  ¥   cho B  U n 3.4.2 Bổ đề Cho E không gian lồi địa phương khả mêtric U n nN dãy lân cận điểm  E Thế thì, U n  n¥ hệ tập bị chặn E , gồm đĩa Banach Đặc biệt, E có hệ sở đếm tập bị chặn Chứng minh Theo định lí Alaoglu- Bourbaki 2.6.3, U 0n tập tuyệt đối lồi, nữa, theo hệ 2.7.6 U 0n đĩa Banach Theo định lí Banach- Mackey, U 0n bị chặn E Nếu B tập bị chặn tùy ý E , B0 lân cận điểm không không gian tựa thùng E Do đó, tồn số n    cho U n  B0 suy B  U 0n 3.4.3 Bổ đề Cho E không gian lồi địa phương khả mêtric Vn nN dãy lân cận tuyệt đối lồi  E Nếu I n¥ I n¥ Vn hút tập bị chặn Vn lân cận  E Chứng minh Lấy U n nN hệ sở lân cận tuyệt đối lồi E Nếu Bn  U 0n Bn   E,E  - compăc ( theo định lý Alaoglu- Bourbaki 2.6.3) theo bổ đề 3.4.3, Bn nN hệ tập bị chặn E Với n  ¥ , chọn tập bị chặn M n E với Wn  M 0n  Vn , Wn lân cận tuyệt đối lồi,   E,E  - đóng lân cận khơng E Khơng tính tổng qt, ta giả sử Wn  Wn 1 , n  ¥ Từ V tập hấp thụ tập bị chặn, nên với k  , tồn  k  cho:  k Bk  V  k Bk  Wn , k  ¥ (1) Bây giờ, lấy n  ¥ cho trước, bao đóng theo tơpơ  *    E,E  tập  U k Bk chứa Wn Vì tập Bk * k n n compăc nên tập U k Bk tập * -compăc (Định lý Banach k 1 Alaoglu) Vì tổng tập đóng tập compăc đóng nên ta có: *  U k Bk   k 1 k n  U k Bk   U k Bk  V  Wn k 1  * Định nghĩa W  U k Bk , từ ta có: k 1 W 1  V  Wn   I  Vn  Vn   V I n¥ n¥ Vì W tập tuyệt đối lồi * - đóng, theo định lí song pơla ta có 2 W  W 00 Vì W   k Bk , k  ¥ , suy W  B0k  U k , k  ¥ k k Do W bị chặn E  W 00 lân cận không E Mà W  W 00  V nên V lân cận không E 3.4.4 Bổ đề Nếu E khơng gian lồi địa phương khả mêtric E không gian đầy đủ Chứng minh Giả sử y M D y D lưới Cauchy E Với M  B (E) , lưới Cauchy BK (M) (không gian Banach hàm bị chặn tập M với chuẩn sup) nên y M D hội tụ BK (M) Ta có phiếm hàm tuyến tính y E cho y(x)  lim y  (x) bị chặn địa phương E  Ta chứng minh y liên tục Giả sử U n nN sở lân cận E cho U n  U n 1 ,với n Nếu y khơng liên tục có lân cận V  K cho y 1 (V) lân cận E Vậy tồn x n  U n với y(x n )  nV , rõ ràng x n  tập bị chặn cịn  y(x n ) lại khơng bị chặn,điều mâu thuẫn Do y liên tục Vậy y  y  E Nên E không gian đầy đủ Từ bổ đề ta có kết sau 3.4.5 Mệnh đề Nếu E khơng gian lồi địa phương khả mêtric E (DF) - không gian, đầy đủ Chứng minh: Theo bổ đề 3.4.2 3.4.3 ta có E (DF)- không gian, nữa, theo hệ 3.4.4 E đầy đủ, nên ta có điều phải chứng minh Chú ý Ta thấy không gian lồi địa phương tựa thùng có hệ sở đếm tập bị chặn (DF)- không gian nên không gian định chuẩn (DF)- không gian 3.4.6 Hệ Nếu E không gian Frechet hay F- khơng gian E (DF)khơng gian Chú ý Theo 3.4.5 ta thấy, không gian định chuẩn, không đầy đủ (DF)- không gian khơng phải khơng gian đối ngẫu không gian lồi địa phương khả mêtric 3.4.7 Mệnh đề Với (DF)- không gian E, không gian E không gian Frechet Chứng minh Theo giả thiết, E có hệ sở đếm Bk k gồm tập bị chặn Do đó,    với y k  sup y  x  : x  Bk , y  E hệ k nửa chuẩn với tôpô   E,E  Nếu  y n    E,E  - dãy Cauchy  y n (x) dãy Cauchy k với x  E , đó, hội tụ Bởi y : x  lim y n  x  , x  E dạng tuyến tính Để chứng minh n  tính liên tục y, ta đặt :   Vn  x  E : y n  x   , n  V  I Vn n¥ Vì dãy Cauchy bị chặn, có sup y n nN k  c k   , với k  ¥ Điều suy Bk  Ck V, k  ¥ Do đó, V hút tập bị chặn, nên V lân cận không E Từ y n  x   1, n  ¥ x  V suy y  x   1, x  V , tức y  E Vì yn n hội tụ Bk đến y với k  ¥ nên ta có y  lim y n E n  Vậy E đầy đủ theo định lý 1.2.2 E khả mêtric nên E không gian Frechet 3.4.8 Hệ Với không gian Frechet E, không gian E khơng gian Frechet E coi khơng gian đóng E Chứng minh Theo hệ 3.4.6, E (DF)- không gian Do đó, E khơng gian Frechet, phép nhúng tắc: J : E  E đẳng cấu E J(E) Do E khơng gian tựa thùng, đó, J(E) đầy đủ đóng E 3.4.9 Mệnh đề Giả sử E F- khơng gian cịn F (DF)- khơng gian Khi đó: a) Mọi ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F bị chặn lân cận  E b) Mọi ánh xạ tuyến tính liên tục từ F vào E bị chặn lân cận  F Chứng minh Giả sử U n n¥ hệ sở lân cận tuyệt đối lồi giảm  E Bn n hệ sở tập tuyệt đối lồi bị chặn F a) Giả sử:  : E  F ánh xạ tuyến tính liên tục Ta chứng minh có n cho   U n   nBn Giả sử ngược lại, tồn dãy x n   E, x n  U n , với n mà   x n   nBn , n  ¥ Như x n  hội tụ đến E dãy    x n   không bị chặn F, mâu thuẫn với tính liên tục  b) Giả sử  : F  E ánh xạ tuyến tính liên tục từ F vào E Với n  , đặt Vn  1  U n  Vn lân cận  F Theo mệnh  đề 3.3.3 có rn  cho W  I rn   U n  lân cận  E Khi đó: n 1   n 1 n 1   W   I rn   U n   I rn U n Vậy   W  bị hấp thụ tập U n nên   W  bị chặn E KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách tương đối đầy đủ lý thuyết đối ngẫu không gian lồi địa phương tổng quát, đồng thời luận văn nêu kết quan trọng số lớp không gian lồi địa phương không gian thùng, không gian phản xạ, (DF)- khơng gian đặc biệt tính chất đặc trưng đối ngẫu không gian Frechet (DF)- khơng gian Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khơng tránh khỏi sai sót Mong quý thầy bạn có góp ý để luận văn hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đậu Thế Cấp (2009), Giải tích hàm, Nxb Giáo Dục Đậu Thế Cấp (2008), Không gian vectơ tôpô, (Tài liệu cho lớp cao học giải tích K17 Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh) Hồng Tụy (2000), Hàm thực Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm Giải tích hàm (Tập 2), Nxb Giáo Dục Tiếng Anh A.P Robertson and W.J Robertson (1964), Topologiccal Vector Spaces, Cambridge Press H Schaefor (1971), Topological Vector Spaces, Spinger – Verlag R Meise and D Vogt (1997), Introduction to Functional Analysis, Clarendon Press, Oxford ... gồm : không gian đối ngẫu, hệ đối ngẫu tôpô hệ đối ngẫu Bằng cách coi lân cận điểm gốc pơla tập khơng gian lồi địa phương, ta xác định tôpô lồi địa phương khác đối ngẫu không gian lồi địa phương. .. thuyết đối ngẫu không gian lồi địa phương vấn đề quan trọng cần thiết Mục đích Tìm hiểu lý thuyết đối ngẫu không gian lồi địa phương tổng quát số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt : không gian. .. MỘT SỐ KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG ĐẶC BIỆT Trong chương trình bày số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt không gian thùng, không gian phản xạ, (DF) - không gian đặc trưng đối ngẫu không gian