Một số phương pháp nghiên cứu bài toán điểm tới hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH VÕ GIANG GIAI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN ĐIỂM TỚI HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2004 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH VÕ GIANG GIAI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN ĐIỂM TỚI HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2004 CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP TRƯỜNG GIẢ GRADIENT I CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÝ CƠ SỞ: Trong suốt chương này, không nói thêm ta hiểu X không gian Banach phiếm hàm f : X  R thuộc lớp C Định nghóa 1: Phiếm hàm f gọi thoả điều kiện C  , :  f v n  bị chặn v n   X :  df v n   nlim   v n  hội tụ k  Đặc biệt: Nếu điều kiện nghiệm f    (tương ứng f    ) ta nói f thoả mãn điều kiện C   (tương ứng C   )  Định lý 2: (a) Nếu f thoả điều kiện C   thì: (k ,  0, r  0,   : v  X , k  f v    , v  r  df v    ) (1) (b) Giả sử f thoả đồng thời điều kiện sau: (i) (ii) k ,  0,  r  0,   : v  X ,k  f v    , v  r  df v     f v n   0, n  N * Neáu v n  bị chặn  X :  df v n   nlim   v n k  hội tụ Khi f nghiệm điều kiện C   Chứng minh: (a) Giả sử f thoả điều kiện C   không thoả (1) Vì  k ,  vn   X cho:   k  f v n       n   df v n    n (2) (n  N * ) (3) (4) Từ (2) (4) suy  v n k  hội tụ (Vì f thoả điều kiện C   ) Cùng với (3) ta có  nk  k , k  N * k Do lim v nk   k   Điều dẫn đến mâu thuẫn với vn  hội tụ k (b) Xét dãy vn   X ,  f v n  bị chặn dưới, (5) f v n     0, n  N * vaø lim df v n   n   ta cần chứng minh v n  hội tụ k Quả vậy, giả sử v n  không bị chặn, tức là:    v nk cho vnk  k , k  N * Goïi    chặn  f vn  thì:      f vnk   , vnk  k , k  N * Theo điều kiện (i)   (không phụ thuộc vaøo k) cho:     , k  N df v nk * Dẫn đến mâu thuẫn với điều kiện (5) Tức v n  bị chặn Do theo điều kiện (ii)  v n k  hội tụ  Hệ 3: Nếu X không gian định chuẩn hữu hạn chiều điều kiện C   tương đương với điều kiện: k,   0, r  0,   : v  X, k  f v   , v  r  df v   Chứng minh: Ta biết không gian hữu hạn chiều: “Mọi dãy bị chặn tồn dãy hội tụ” Vì vậy, X hữu hạn chiều kết hợp với định lý ta có hệ  Định nghóa 4: Phiếm hàm f gọi riêng,  K tập compact R f 1 K  tập compact X  Định lý 5: Nếu f thoả điều kiện C  thu hẹp f tập điểm tới hạn riêng Chứng minh: Gọi W  v  X / df v   0 K tập compact R Ta cần chứng minh W  f 1 K  tập compact X Quả vậy: Xét dãy vn   W  f 1 K   f v n   K  vn   W  f v n  bị chặn R  df v n   nlim   Hơn f thoả điều kiện C  , nên vn  hội tụ v  X k    f v nk  f v  (Vì f thuộc lớp C )  df v nk  df v   klim     (Vì K tập Compact)  f v   K  df v   v  f 1 K   v  W  v W  f Vậy v n  hội tụ v  W  f 1 K  k 1 K   Hệ 6: Nếu f thoả điều kiện C  W  v  X / df v   0 f W  tập đóng R Chứng minh: Xét dãy y n   f W , y n  y  y n  f vn  với vn   W  f vn  bị chặn Như vaäy  df v n   nlim   (Vì y n  hội tụ) (Vì vn   W ) Mặt khác f thoả điều kiện C  , nên  vn  hội tụ v  X k    f v nk  f v   df v nk  df v   klim      y n  f v   k df v   (Vì f thuộc lớp C )  y  f v   df v    y  f W  Vaäy f W  tập đóng R  Định lý 7: Cho X không gian Hilbert, f : X  R thuộc lớp C Khi v  X theo định lý Riesz  ! f v   X : df v w  f v , w , w  X Xét toán Cauchy:  d  f     dt  t   v t  R  (6) Khi tồn khoảng lớn   ,   (         ) chứa t để (6) có nghiệm (xem [4])  Định lý 8: Cho X không gian Hilbert, f : X  R thuộc lớp C thoả điều kiện C  , gọi  nghiệm (6) Khi đó: Hoặc lim f  t    (tương ứng lim f  t    ) t  t  (i)   Hoặc     (ii) (tương ứng     ) tồn q  X ,  lim  t n   q dãy t n   (tương ứng t n   ) cho: n df q   Chứng minh: Đặt g t   f  t ,t    ,    Ta coù g , t    f  t    g giảm   ,      lim g t   c   ,  t   Nếu c   lim f  t    t    Neáu c   ta coù d  f   dt t   t    s    f  t .dr s a  s  t    a cố định    ,    ,với  t   f  r  dr s 1 t  t  2       dr    f  r  dr  (Do bất đẳng thức Holder) s  s      t  s    f  r  dr    a  1 Vì      t ta ,  dãy Cauchy X  Do  t   v  X (khi t    ) Điều chứng tỏ nghiệm phương trình (6) kéo dài bên phải   (Do định lý kéo dài nghiệm) Dẫn đến mâu thuẫn với định nghóa   Do       Khi  f r   f  r  dr  a dr  0,  a Ta cần chứng minh tìm dãy t n   : f  t n   (7) Thật vậy, theo định lý trung bình: n  N  cho t n  a  n, a  2n  * n   f  t n   f  t n   n a  2n  f  r  an   f  n dr  (khi n   ) a  f  t n    f  t n   Tức (7) Như ta có  Dãy  f  t  hội tụ n    f  t n    ï Vì vaäy   t n   q  X k  f q   (Vì f thoả điều kiện C  ) (Vì f thuộc lớp C ) Trong trường hợp t    phép chứng minh tương tự Hệ 9:  dr Cho X không gian Hilbert, f : X  R thuộc lớp C bị chặn thoả điều kiện C  Khi f đạt giá nhỏ X Chứng minh: Do f bị chặn nên  inf  f v  / v  X   c  R   p n   X : c  f  p n   c  , n  N * n Gọi  nghiệm (6) thoả  0  p n df q n   Khi theo định lý  q n   X :  c  f q n   f  p n   c  n * (vì f thoả điều kiện C  ) Do  q n  q k (vì c  f q n   c   f q   c n  N  k 1  c  , k  N * ) nk k Vậy f đạt giá trị nhỏ q  X  II ĐỊNH LÝ MINIMAX: Định nghóa 10: w  X gọi vectơ giả gradient f v  X , w thoả đồng thời hai điều kiện sau: (i) (ii) w  df v  df v w  df v   Định nghóa 11: Cho   S  X ,  : S  X gọi trường vectơ giả gradient f S , v  S v  vectơ giả gradient f v  Định lý 12: ~ ~ Cho W  v  X / df v   0 X  X \ W ta tìm hàm  : X  X Lipschitz ~ ~ địa phương X , đồng thời trường vectơ giả gradient f X Chứng minh: ~ v  X , tacó df v   inf df v w / w  X , w  1 neân: ~ X : w ~  vaø df v w ~   df v  w Khi chọn w    w  df v   df v w   df v   ~ ,ta df v  w (8) Hơn df liên tục v df v   , nên tồn cầu mở Bv tâm v: df v   df u   f v  , u  Bv 6 (9) Ta lại chọn tiếp wv  w wv   w để df u w~    wv  df u  Từ (8) (9) ta có  df u wv   df u  Maø (10) , u  Bv ~ X   Bv laø paracompact, nên với (10) suy ~ v X ~ ~ tồn phủ làm mịn hữu hạn Bv  X wv  X , i  I cho: i i  wv  df u   i , u  Bvi  df u  wvi  df u  ~    i v   inf  v  w / w   \ Bv i     ~  ,v X  w v i  i v   v     i   j v  (11)   Đặt j ~ ~ Khi v1 , v2  X   , ta w  X \ Bv : v2  w   i v    i   i v1   v1  w  v1  v2  v  w   i v2     v1  v   i v1    i v     v1  v ,     i v1    i v   v1  v2 Chứng minh tương tự (12)  i v2    i v1   v  v1 (13) (14) Từ (12) (13) ta có  i v1    i v   v1  v2 Từ (11) (14) ta dễ dàng kiểm tra  thoả mãn vấn đề đặt Vậy định lý chứng minh hoàn toàn  Định nghóa 13:  f c  v  X / f v   c  1  f c   v  X / f v   c  W  v  X / df v   0  1 Wc  v  W / f v   c  W  f c  U   v  X / d v,Wc     Cho c  R   , ta đặt  Bổ đề 14: Cho   A  X Ta coù (i) d:X R v  d v   d v, A liên tục Nếu A đóng d v    v  A (ii) Chứng minh: (i) u, v  X , w  A Ta coù: d u, w  d u, v   d v, w ,với d u , v   u  v  d u, A  d u, w   d u, v   d v, w  d u, A  d u, v   d v, w  d u, A  d u, v   d v, A (Do tính chất cận dưới)  d u, A  d v, A  d u, v  Chứng minh tương tự d v, A  d u , A  d v, u  Vaäy (ii) d u , A  d v, A  d u , v  , u, v  X Nếu v  A  d v, A  d v, v    d v, A  Ngược lại d v, A  v n   A cho:  d v, v n   n  lim d v, v n   n    v Maø A đóng nên v  A  Bổ đề 15: Cho f thoả điều kiện C    ,  b,   :   df v   b , v  f c  \ f c  \ U   D Lúc F gọi tán xạ liên kết với hàm f (gọi tắt tán xạ) u  X , v  F u  , ta coù: f v   d u, v   f u   Định lý 6: Cho F tán xạ, f u    tồn động chuyển động u u  X cho u  u vaø u    C u n  nN Chứng minh: Xét u  X : f u    vaø v  C u  Khi  chuyển động u  chứa u0  u , u k  v  f u i 1   d u i , u i 1   f u i  , i  0,1, , k  k 1   i 0 k 1 k 1 i 0 i 0 f u i 1    d  xi , xi 1    f u i   f u k   d u , u k   f u   f v   d u, v   f u   d u, v   f u   f v   f u   g u  với g u   inf  f w / w  C u     diameterC0 u   2 f u   g u  Cũng từ (3) g u   inf  f w / w  C u   v0  u , v n1  C v n  : f v n1   g v n    n  C v n1   C v n   g v n1   g v n   f v n1   g vn    n  g vn 1    n  f v n1   g vn 1    n  diameterC0 vn 1   21 n Như   (Do định lý 2)   C v n 1   C v n   1 n diameterC0 vn 1   (4) (Do (3)) (Do (4))   C v n1   C v n   diameterC vn   2 n  0, : n    C v n   u  (Vì X đầy đủ) nN Hơn từ v n1  C v n  , n  N , neân: (5)  v1  C v    chuyển động u 0 chứa u 00  v  u , u 0k  v1  v  C v1    chuyển động u 1 chứa u10  v1 , u1k1  v  v  C v    chuyển động u chứa u 20  v , u 2k  v  v i1  C v i    chuyển động u i chứa u i0  v i , u ik i  v i 1  Lúc ta xây dựng chuyển động u  sau: k  phần tử đầu tiên: u 00 , u10 , , u 0k (trích từ k  phần tử  chuyển động u 0 ) k  phần tử (kế lần 1): u10 , u11 , , u1k1 (trích từ k  phần tử  chuyển động u1 ) k  phần tử (kế lần 2): u 20 , u12 , , u 2k (trích từ k  phần tử  chuyển động u 2 ) k i  phần tử (kế lần i): u i0 , u1i , , u ik i (trích từ k i  phần tử  chuyển động u i ) k  N , suy m  N : v m  C u k  Khi Vì Neân  u  C v m   C u k   u  C u k  (Do (3) vaø (5))  u   C u k  kN diameterC u k   (khi k   )  C u k   u   kN Hệ 7: Cho F tán xạ nửa liên tục  u  X điểm bất biến F , tức F u   u  Chứng minh: Xét u chuyển động u  định lý (thì u n  u ) Hơn F nửa liên tục u , nên w  F u  ta wn  F u n  hội tụ tới w Khi wk  C u n  , k  n , k, n  N k   , ta w  C u n , n  N Cho w   C u n   u   (Vì C u n  đóng) (Do định lý 6) nN  w u  F u   u   Hệ 8: Cho F tán xạ liên kết với hàm f Khi đó:  f u    Nếu u  X :  u  C0 u  : F u   u  C u  đóng Chứng minh: Xét u chuyển động u  định lý Ta có C u n  đóng, n  N nên u    C u n  nN  u  C u n , n  N  F u   C u n , n  N  F u    C u n   u  nN F u   u    Định lý 9: Cho f : X  0, không đồng với   Khi hệ thống động học G định G u   v  X / f v   d u, v   f u  tán xạ liên kết với f vaø G u   C u , u  X Chứng minh: Ta có: u  X : u  G u  neân G   G hệ thống động học tán xạ (Vì u  X , v  G u  , ta coù f v   d u, v   f u  ) Vấn đề lại ta phải chứng minh G u   C u , u  X Quả vậy:  Nếu f u     G u   C u   X  Neáu f u    , v  G u , w  G v    f v   d u , v   f u    f w   d v, w  f v   f w  d u, v   d v, w  f u   f w  d u, w   f u  (Vì f u    neân f v , f w   )  w  G u   G v   G u , v  G u   C u   G u  Hơn G u   C u  (Do định nghóa) Vaäy G u   C u   Hệ 10: Ta có G hệ động học lớn liên kết với f Và u điểm bất biến G u điểm bất biến F (với F hệ động học liên kết với f ) Chứng minh: u  X , v  F u  , ta coù f v   d u , v   f u     v  Gu   F u   G u  Nếu u điểm bất biến G, đó:   F u   G u  G u   u    F u   u    Định lý 11: Cho f : X  0, không đồng với   nửa liên tục dưới, đó: Nếu u  Dom f  v  Dom f cho: (i) (ii) f v   d u , v   f u  f v   f u   d u, v , u  v Chứng minh: Đặt G u   v  X / f v   d u, v   f u  (nhö định lý 9) Vì u nửa liên tục nên Gu  đóng (6) Theo định lý G tán xạ (7) Hơn f u    , nên kết hợp (6),(7) hệ ta suy ra: v  C u  : G v   v  C u0   G u    f v   d u , v   f u    f u   d u , v   f v , u  v  Nhận xét: Qua việc chứng minh ta nhận thấy định lý hệ (liên quan đến tán xạ trên) ta thay điều kiện f bị chặn bởi  điều kiện f bị chặn Định lý 12 (nguyên lý biến phân Ekeland): Cho f : X  R    nửa liên tục bị chặn Lấy  , h  u  X cho f u      inf f ,với inf f  inf  f u  / u  X  Khi v  X thoaû: f v   f u   (i) (ii) d u  , v   h f u   f v    h.d u , v , u  v (iii) Chứng minh: Áp dụng định lý 11 trường hợp:  thay  h.d  d '  d  f thay f  inf f  g   u thay u    g v   d ' u , v   g u   v  X :   g v   g u   d ' u , v , u  y   f v   inf f   h.d u  , v   f u    inf f   f v   inf f  f u   inf f   h.d u , v , u  v   f v    h.d u  , v   f u     f v   f u    h.d u , v , u  v   f v   f u     f v    h.d u  , v   f u      inf f    f v   f v   f u    h.d u , v , u  v       f v   f u     d u  , v   h   f u   f v    h.d u , v , u  v (Vì inf f  R )  Hệ 13: Cho f : X  R nửa liên tục bị chặn Khi đó: Nếu f khả vi Gateaux tồn v n   X thoả: với inf  inf  f u  / u  X   f vn   inf f   f ' v n   Chứng minh: Đặt   inf f   Khi u n   X : f u n     , n  N * n Theo định lý 12 thì: v n  X :  f vn   f u n     f u   f v n   n u  v n , u  X    ,với  n h      f v n     n   f v  tu   f v    v  tu   v , u  X , t  n n n  n n   lim f v n    n  f v n  tu   f v n  u   , u  X , t   t n  Cho t   ,ta được:  lim f v n    n  u  f ' v n u    , u  X n    lim f v n    n    f ' v n u   0, u  X nlim     lim f vn    n    f ' v n   nlim    Định nghóa 14: Cho f : X  R khả vi Gateaux, phiếm hàm f gọi thoả điều kiện      , neáu:  f v n  v n    :  '  f vn   v  v n / n  N  : f ' v    C  Định nghóa 15: Cho f : X  R khả vi Gateaux Khi phiếm hàm f gọi thoả điều kiện (C yếu)     X , nếu:  f v  bị chặn v n     n  :  f ' v n   0, n  N  f ' v   n  v  X : n  lim inf f vn   f v   lim sup f v n  n    f ' v    Định lý 16: Cho X không gian Banach phản xạ, phiếm hàm f : X  R khả vi Gateaux, lồi, nửa liên tục yếu X f v    v   f thoả điều kiện (C yếu) X Chứng minh: bị chặn Gọi  f v n  vn   X :  f ' v n   0, n  N  f ' v   n  Xét v n  dãy vn  : nlim sup f vn   lim f v n   n  Vì  f v   , v     f v n, bị chặn  v n,   v n,, (dãy v n, ) bị chặn  X          v  (dãy v ) hội tụ yếu tới v  X ,, , n ,, n (Vì X không gian Banach phản xạ)    lim sup f vn   lim f v n,,,  f v  n  n   (Vì f nửa liên tục yếu X) Hơn nữa:      f v n,,, v  v n,,,  f v n,,,  f v , v  X (Vì f lồi khả vi Gateaux) Cho n   , ta được:   f v   lim f v n,,,  f v , v  X n    f v   lim sup f v n   f v , v  X n   (8) lim sup f v n   f v   inf f v   n  v X Chứng minh tương tự lim inf f vn   inf f v  n  (9) v X Từ (8) (9) ta coù lim f v n   inf f v  vaø f ' v   n   v X (Vì f v   inf f v  f khả vi Gateaux) vX  Định lý 17: Cho f : X  R khả vi Gateaux, nửa liên tục bị chặn Nếu f ' liên tụ c đường thẳng f thoả điều kiện (C yếu) f đạt giá trị nhỏ Chứng minh: Theo hệ 13  f v n   inf f v n   X :   f ' v n   Ta xét trường hợp: (i) Hoặc u n  dãy v n  : f ' u n   0, n  N (ii) Hoặc u n  dãy v n  : f ' u n   0, n  N \ A (với   A tập hữu hạn  N)  Xét trường hợp (i): Vì f thoả điều kiện (C yếu), nên: u  X : lim sup f u n   f u  n    inf f  f u   inf f  f u  Điều chứng tỏ định lý 17  Xét trường hợp (ii): Đặt S  u  X / f ' u   0   o Neáu S  X f  const định lý 17 hiển nhiên o Nếu S  X w  X \ S , f ' w  Ta lại có  t   f ' tw  1  t u n  liên tục 0,1 nên: n    n   0,  : t1 , t  0,1 : t1  t  n  n  1   t1    t    n  1 n   (Với max max f tw  1  t u n  , w  u n ,1   n ) t0 ,1 Đặt t n  inf t / tw  1  t u n  S , t  0,1   u  t w   t u  S n n n  n 2 2   t n  t n  t n  : u n  t n w   t n u n  S    t 1n  t n2  n2 n          n 1  f ' u 1n  f ' u n2   f ' u n2    1   n  1 n  n t n2        f ' tw  1  t u w  u dt n f u f u n n n t n1 t n2   f ' tw  1  t u  w  u n n dt t1n t n2 t n2   max f ' tw  1  t u n   n dt t1n t0,1     n2 t n2  t n1   n       f u n1  f u n2     n2 dt n 1 n 1     Hơn f u n1  f u n  neân f u n2  f u n   Như  f u n2  inf f   f u n  0, n  N   f ' un  n 1       Kết chứng minh trường hợp (i) Vậy định lý chứng minh  t1n CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ÁNH XẠ ĐA TRỊ Định nghóa 1: Cho f : X  R , vi phân f u  X tập hợp xác định bởi:  f u   p  X * / f u   f u   pu  u , u  X  Định lý 2: Nếu f : X  R phiếm hàm lồi liên tục x  X compact *yếu lim f  x  d   f  x    0   maxp d  / p  f  x , d  X   f x  tập lồi,  Định lý (định lý Minimax): Cho X,Y không gian Banach,   M loài  X ,   N lồi  Y Phiếm hàm f : M  N  R u, v   f u , v  thoả đồng thời điều kiện sau: (i) v  N , u  f u, v  lồi nửa liên tục (ii) v0  N : u  f u, v  inf compact, tức u  M / f u, v0   r tương đối compact, r  R (iii) u  M , v  f u, v  lõm nửa liên tục (iv) u  M : v  f u , v  sup compact, tức v  N / f u , v   r  tương đối compact r  R Khi inf sup f u, v   sup inf f u, v  uM , vN  vN ,uM Nhận xét:  Định lý trình bày [6]  Và định lý trình bày [1], luận văn sử dụng kết mà không chứng minh lại . Định lý (định lý Ambrosetti - Rabinowitz): Cho f : X  R liên tục khaû vi Gateaux, f ' : X  X * liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô *yếu đồng thời thoả điều kiện sau: (i) (ii) (iii)   : m   inf  f u  / u     f 0  w X : w   : m   f w f thoả điều kiện (C yếu) u  X / f u   m    f u   m   f ' u   Khi u  X :  Chứng minh: Đặt C  c / c  C0,1, X  , c0   c1  0  C  c / c  C0,1, X  , c0   0, c1  w Khi C , C không gian mêtric đầy đủ với: d c1 , c   max c1 t   c t  / t  0,1 Đặt tiếp I :C R c  I c   max f ct  / t  0,1 Thì I nửa liên tục Hơn xeùt  t   ct    , c  C, t  0,1 Ta coù  0       1  w    Do  0 . 1  neân t   0,1 : t     ct      I c   max f ct  / t  0,1  f ct    m   I bị chặn m  Vì   0, ta luoân c  C : Ic    inf Ic / c  C    Ic  Ic    .d c, c  , c  C  h  I c  h   I c    d c  h , c ,    C  h  I c  h   I c     ,   C h   1  Mặt khác (Do định lý 12 chương II) I c  h   I c   max f c t   h t  / t  0,1  I c   max f c t   hu ' c t  t   t h   I c  (Với lim h 0  0t  h  h  0, t  0,1 )  maxu t   hvt  / t  0,1  0h   I c    u  hv   u   0h  Với (thì u  C 0,1 ) u  f c  treân 0,1 v  f ' c   0,1 (thì v  C 0,1)   0h   sup0 t h  / t  0,1  : C 0,1  R       max t  / t  0,1  Suy  hàm lồi liên tục C0,1 và:   u  hv   u  0h   h h (1) Lúc vi phân  u laø:   u     /  d  vaø sup   M u   số đo Radon dương [0,1] M u   t  0,1 / u t   u    với  Thật vậy: Nếu   0,  d  vaø sup   M u  v  C0,1 , ta coù  v  u d   vd   ud   v d   ud   v   u    v   u    v  u d    u  Ngược lại,   f u  thì:  u    0   u    0  u d   ud   u    ud w  C 0,1 ,   , ta coù:  w  u    u    w  u  u d   w  u   u     wd (với w = u)  u   u     wd  w       (với w = 1) (với w = -1) Cho    , ta  w   wd  u   ud    1   d      d  u   ud     d    u   u d     d   sup   M u    d  (Vì   t   u   u t  liên tục [0,1]) Quay lại việc chứng minh định lý, kết hợp (1) định lý ta được:    lim h0 u  hv  u   max  vd /   u  h         max  f ' c  d /   u      inf max  f ' c  d /   u ,   C ,       max inf     f ' c  d /   u ,   C ,   1  (Vì  ,     f ' c  d thoả điều kiện định lý Minimax)    max   f ' c  d ,   u     f ' c t  / t  M  f c     min f ' c t  / t  M  f c     f ' c t   ,với t   M  f c  Bây ta lấy   u n  c t  (n  N * ) n   f ' u n   n  m   f u   inf I c  / c  C  n  n Và f lại thoả điều kiện (C yếu) Do chứng minh tương tự định lý 17 chương II ta tìm được: u  X : f u   vaø f u   lim inf f u n   m  n    Nhận xét: max f ct  , theo định lý Moutain Pass với điều kiện nửa liên tục l Đặt l  inf cC t0,1 giá trị tới hạn f (Đã chứng minh [5])  Định lý 5: Cho X  X  X  , dim X   , f : X  R liên tục khả vi Gateaux, f ' : X  X * liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô *yếu đồng thời thoả điều kiện sau: (i) (ii) (iii) R  : u  X , u  R  f u  0  u   X   f 0  u    f thoả điều kiện (C yếu) u  X / f u   0 Khi u  X : f ' u   vaø f u   Chứng minh: Đặt: B  u  X / u  R (thì B tập compact) S  u  X / u  R  B C    C B, X   /  S   0 I: CR   I    max f u   u  / u  B Thì I nửa liên tục bị chặn Vì      C : I     inf I   /   C     I    I          ,   C  I    h        h  ,   C , h  (Do định lý 12 chương II) Tiếp tục chứng minh tương tự định lý (thay C0,1 C B  ) 0  f u    u   max f u    u  / u  B Thì ta luôn  u  int B :   f ' u     u     Hôn f lại thoả điều kiện (C yếu) Từ định lý chứng minh  ... SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH VÕ GIANG GIAI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN ĐIỂM TỚI HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS... hữu hạn chiều kết hợp với định lý ta có hệ  Định nghóa 4: Phiếm hàm f gọi riêng,  K tập compact R f 1 K  tập compact X  Định lý 5: Nếu f thoả điều kiện C  thu hẹp f tập điểm tới hạn riêng... giá trị tới hạn f X F  Chứng minh: Ta coù c  inf sup f v  / v  F  F   inf b  R / F   : F  f b  (vì c   ) (26) Vì   F   : F  f c  Do đó, c giá trị tới hạn f Wc