Lặp picard cho hàm tăng mạnh và lipshitz giả co mạnh và nghiệm của phương trình phi tuyến trong không gian banach tùy ý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Văn Bình LẶP PICACRD CHO HÀM TĂNG MẠNH VÀ LIPSIT GIẢ CO MẠNH TRONG KHƠNG GIAN BANACH TÙY Ý Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: GITI-08-002 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ HỒN HĨA Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 Trang LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Hồn Hóa – người hướng dẫn tận tâm tạo điều kiện tốt nhất, giúp tơi hồn thành luận văn Tiếp theo, xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến cho tơi hồn thành luận văn cách hồn chỉnh Tơi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phịng Sau Đại học tồn thể thầy khoa Tốn – Tin học trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh giảng dạy tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian nghiên cứu đề tài Cuối cùng, trình viết luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý Q Thầy Cơ bạn đọc để hoàn thiện đề tài Xin chân thành cảm ơn Tp Hồ Chí Minh tháng 08 năm 2011 Trang MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN T T MỤC LỤC T T PHẦN MỞ ĐẦU T T Chương I Không gian lồi trơn T T 1.1 Không gian lồi T T 1.2 Không gian trơn 13 T T Chương II Một số bất đẳng thức không gian lồi trơn 24 T T 2.1 Bất đẳng thức không gian lồi 24 T T 2.2 Bất đẳng thức không gian trơn 37 T T Chương III Lặp Picard cho nghiệm phương trình phi tuyến 44 T T 3.1 Lặp Picard cho nghiệm phương trình phi tuyến khơng gian Banach T 44 3.2 Lặp Picard cho hàm tăng mạnh hàm lipsit giả co mạnh 58 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 T T T Trang PHẦN MỞ ĐẦU Cho E khơng gian Banach thực Ta xét phương trình Ax = f , với ánh xạ A : D( A) ⊂ E → E , D( A) mở Giả sử phương trình có nghiệm x∗ , ta tìm cách lặp dãy hội tụ đến nghiệm Việc cho phép tính xấp xỉ nghiệm Dãy lặp xem xét dãy lặp Picard: cố định x0 ∈ B ; xn +1 = xn − λ ( Axn − f ) (n ≥ 0) Để dãy lặp Picard hội tụ, ta xét E trơn p-trơn đều, A thỏa số tính chất, chẳng hạn như: lipsit địa phương tựa-tăng mạnh Nếu Ax = f khơng có nghiệm cố gắng lặp dãy hội tụ đến nghiệm vô nghĩa Tuy nhiên, A tăng mạnh lipsit tồn nghiệm phương trình Ax = f khẳng định định lý 13.1 xem [7] Luận văn gồm chương: Chương I: Giới thiệu không gian lồi p-lồi đều, tính chất mơđun lồi Giới thiệu khơng gian trơn q-trơn đều, tính chất mơđun trơn Chương II: Chứng minh số bất đẳng thức quan trọng sử dụng chương III Chương III: Trình bày cách lặp dãy hội tụ nghiệm phương trình theo dãy lặp Picard Trang Chương I Không gian lồi trơn 1.1 Không gian lồi Bài giới thiệu không gian lồi p-lồi đặc biệt vài tính chất mơđun lồi Cho X khơng gian định chuẩn cố định x0 ∈ X Đặt S ( x0 , r ) ={ x ∈ X : x − x0 =r} Định nghĩa 1.1.1 Một không gian định chuẩn X gọi lồi cho bất x 1,= y x − y ≥ ε , kỳ ε ∈ (0, 2] có δ > cho x, y ∈ X mà = ( x + y) ≤ − δ Nhận xét 1.1.2 Trong định nghĩa không khác thay ε ∈ (0, 2] ε > x 1,= y Thật vậy, với ε > có δ > cho x, y ∈ X mà = x − y ≥ ε , ( x + y ) ≤ − δ Do dúng với ε ∈ (0, 2] Ngược lại, x 1,= y với ε ∈ (0, 2] với ε > 2= x − y ≥ ε ⇒ x − y > , dẫn đến ( x + y) ≤ − δ Mệnh đề 1.1.3 Cho số p, < p < ∞ Không gian định chuẩn X lồi khi, cho ε > có số δ p (ε ) > cho, x, y ∈ X mà x , y ≤ x − y ≥ ε (*) x+ y p p x + y ≤ (1 − δ p (ε )) p Trang Chứng minh Ta chứng minh chiều ngược lại Cho ε > có số δ p (ε ) > cho, y = x − y ≥ ε x, y ∈ X mà x = x+ y p p x + y ≤ (1 − δ p (ε )) p , điều dẫn đến 1   x+ y ≤ (1 − δ p (ε ) ) p =1 − 1 − (1 − δ p (ε ) ) p  ,    chọn δ (ε ) = 1 − − δ p (ε )  ( ) p   , ta X lồi  Ta chứng minh chiều thuận Giả sử X không gian định chuẩn lồi Nếu p > 1+ t p , hàm ϕ (t ) = (1 + t ) p ϕ ′(t ) t ≥ đạt giá trị nhỏ t = Thật pt p −1 (1 + t ) p − p(1 + t ) p −1 (1 + t p ) p(1 + t ) p −1 (t p −1 − 1) = , dấu ϕ ′(t ) (1 + t )2 p (1 + t )2 p (t ) ϕ= (1) 21− p dấu t p −1 − ϕ= t ≥0 Bởi 1+ t p ≥ 21− p , ∀t ≥ , p (1 + t ) điều dẫn đến p  1+ t  p   ≤ (1 + t ) , với ≤ t ≤   Bây giời khẳng định đủ để chứng minh (*) cho x, y ∈ X x 1, y ≤ Thật giả sử (*) cho x, y ∈ X cho= x 1, y ≤ Khi cho = Trang y với ≥ x , y (xem y ≤ x ) ε ≤ x −= x y , (nếu xem x ≤ y đổi − x x x x y ) ε ≤ ε ≤ x − y ta x x+ y x p x x p ≤ (1 − δ p (ε )) x + y x p x 1, y ≤ ε ≤ x − y Nếu (*) khơng Vì vậy, thiết lập (*) cho = có ε > , dãy ( xn ),( yn ) X cho yn ≤ =xn xn − yn ≥ ε cho xn + yn (α ) p xn + yn p p →1 Vì yn → (Thật vậy, yn khơng hội tụ có < q < dãy { } yn cho với qk = − yn ≤ q < cho tất n Thật vậy, giả sử điều khơng { } 1 , ta có dãy ynk { yn } cho − k = qk < ynk ≤ , suy k 2 ynk → Ta chứng minh dãy hội tụ dãy { y } hội tụ Giả sử có n { y } { y } thỏa { y } hội tụ phần tử khác 1, theo chứng minh nk′ n nk′ { } có dãy mà dãy chuẩn hội tụ 1, suy { y } hội tụ (mâu ynk′ thuẫn) Như dãy hội tụ dãy yn → (mâu thuẫn)) Do yn ≤ q < nên, nk′ { y } hội tụ giới hạn nên n Trang (1 + y ) p (1 + q ) p ≤ ≤ p −1 p 1+ q n p + yn ta có p xn + yn p p  x + y   + yn  n n   ≤ =     2     Mặt khác, chọn ρ < cho  + yn    Chọn p   ≤ρ   ( p xn + yn p ) , ∀n ∈ ¥ 1+ t p ϕ (t ) = (1 + t ) p ∗ nghịch biến ϕ (t ) ≥ ϕ (q) > ϕ (1) = 21− p , ∀t ∈ [0, q] , suy ra, 1 (1 + t ) p p −1 ≤ cho A lipsit = B Br ( x* ) ⊂ D( A) Gọi L > k ∈ (0,1) , k < L số lipsit tăng mạnh A Ta lưu ý f = Ax* Lấy tùy ý x0 ∈ B chọn λ = kL−2 Thành lập dãy ( xn ) n≥0 : x0 ∈ B; xn +1 = Aλ xn = xn − λ ( Axn − f ) Ta chứng minh theo qui nạp xn ∈ B , n ≥ Ta có x0 ∈ B , giả sử xn ∈ B ta chứng minh xn +1 ∈ B Thật vậy, ta có: Trang 53 xn +1 − x* = xn − x* − λ ( Axn − Ax* ) = xn − x* + λ ( Ax* − Axn ) 2 ≤ xn − x* + 2〈 λ ( Ax* − Axn ), j ( xn − x* )〉 + λ ( Ax* − Axn ) 2 2 = xn − x* + 2λ 〈 Ax* − Axn , j ( xn − x* )〉 + λ Axn − Ax* = xn − x* − 2λ 〈 Axn − Ax* , j ( xn − x* )〉 + λ Axn − Ax* Mà A − kI tựa-tăng nên với xn ∈ D( A), x* ∈ S ( A) ta có: 〈 ( A − kI ) xn − ( A − kI ) x* , j ( xn − x* )〉 ≥ ⇔ 〈 Axn − Ax* − k ( xn − x* ), j ( xn − x* )〉 ≥ ⇔ 〈 Axn − Ax* , j p ( xn − x* )〉 ≥ k 〈 xn − x* , j p ( xn − x* )〉 ⇔ −2λ 〈 Axn − Ax* , j ( xn − x* )〉 ≤ −2k λ 〈 xn − x* , j ( xn − x* )〉 Axn − Ax* ≤ L xn − x* Từ điều ý L2 λ = k , ta thu được: xn +1 − x* p 2 ≤ xn − x* − 2k λ xn − x* + L2 λ xn − x* = (1 − 2k λ + L2 λ ) xn − x* =1 − (2k − L2 λ )λ  xn − x*  k = 1 −     L   *  xn − x  2 ≤ r2 (3.6) Do đó, từ x0 ∈ B ta dãy ( xn ) thành lập phải nằm B Đặt  k     2 ω= 1 −    nhận xét ω ∈ (0,1) L  2 Do đó, lặp lại dạng (3.6) ta xn − x* ≤ (ω ) n x0 − x* , điều tương đương xn − x* ≤ ω n x0 − x* Cho n → ∞ ta điều phải chứng minh Trang 54 Định lý 3.1.18 Cho E không gian Banach p-trơn ánh xạ T : D(T ) ⊂ E → E lipsit địa phương nửa co mạnh với miền mở D(T) điểm bất động x* ∈ D(T ) Cho số thực λ, ta định nghĩa Tλ : D(T ) → E , Tλ x := x − λ ( I − T ) x; ∀x ∈ D(T ) Khi có lân cận B x* số thực λ ∈ (0,1) cho dãy Picard ( xn ) n≥0 thành lập sau: cố định x0 ∈ B ; xn +1 = Tλ xn ; n ≥ (3.7) nằm B hội tụ mạnh x* với hội tụ tiến triển nhanh chóng với tỷ lệ hình học Chứng minh Đặt A= I − T , nhận xét Ax∗ = = B B ( x , r ) ⊂ D(T ) cho T lipsit B Gọi k ∈ (0,1) , k < * Chúng L∗C1/p p ta chọn L > lần p lượt số nửa co mạnh lipsit T Ta có A lipsit B với số L* = + L A tựa-tăng mạnh với số k ∈ (0,1) Chọn  pk λ =  2C Lp  p *  p −1   x0 ∈ B với ta xây dựng dãy ( xn ) n≥0 : xn += Tλ x= xn − λ Axn n Ta chứng minh theo quy nạp xn ∈ B , n ≥ Ta có x0 ∈ B , giả sử xn ∈ B ta chứng minh xn +1 ∈ B Thật vậy, ta có xn +1 − x* p = xn − x* − λ ( Axn − Ax* ) p = xn − x* + λ ( Ax* − Axn ) p p + p 〈 λ ( Ax* − Axn ), j p ( xn − x* )〉 + C p λ ( Ax* − Axn ) xn − x* p + λ p 〈 Ax* − Axn , j p ( xn − x* )〉 + λ p C p Axn − Ax* p = xn − x* p − λ p 〈 Axn − Ax* , j p ( xn − x* )〉 + λ p C p Axn − Ax* p ≤ xn − x* = p Trang 55 A − kI Mà tựa-tăng nên xn ∈ D( A), x* ∈ S (T ) với ta có: 〈 ( A − kI ) xn − ( A − kI ) x* , j p ( xn − x* )〉 ≥ ⇔ 〈 Axn − Ax* − k ( xn − x* ), j p ( xn − x* )〉 ≥ ⇔ 〈 Axn − Ax* , j p ( xn − x* )〉 ≥ k 〈 xn − x* , j p ( xn − x* )〉 ⇔ −λ p 〈 Axn − Ax* , j p ( xn − x* )〉 ≤ − pk λ 〈 xn − x* , j p ( xn − x* )〉 Axn − Ax* ≤ L∗ xn − x* Từ điều ý L∗p C p λ p −1 = xn +1 − x* p p ≤ xn − x* − pk λ xn − x* p + L∗p C p λ p xn − x* =− (1 pk λ + L∗p C p λ p ) xn − x* p p =1 − ( pk − L∗p C p λ p −1 )λ  xn − x*   p −1   pk pk   x − x* p = −   n p   L∗ C p     ≤ rp pk , ta thu được: p (3.8) Do đó, từ x0 ∈ B ta dãy ( xn ) thành lập phải nằm B Đặt  pk  k ω= 1 −  p  L∗ C p     p −1 p L∗C1/p p  nhận xét ω ∈ (0,1) k<  p  Do đó, lặp lại dạng (3.8) ta xn − x* p p ≤ (ω p ) n x0 − x* , điều tương đương xn − x* ≤ ω n x0 − x* Cho n → ∞ ta điều phải chứng minh Định lý 3.1.19 Trong định lý 3.1.15, cho A lipsit địa phương tựa-tăng với tập mở D(A) cho phương trình x + Ax = f có nghiệm x* ∈ D( A) Cho dãy ( xn ) n≥0 thành lập sau: x0 ∈ B , xn +1 = Aλ xn với Aλ x := x − λ ( x + Ax − f ); ∀x ∈ D( A) Khi đó, có có lân cận B x* số thực λ ∈ (0,1) cho với x0 giả định ban Trang 56 đầu x0 ∈ B dãy ( xn ) n≥0 nằm B hội tụ mạnh x* với hội tụ tiến triển nhanh chóng với tỷ lệ hình học ω ∈ (0,1) Chứng minh Nhận xét I + A tựa-tăng mạnh Thật vậy, ta chứng minh C := I + A − kI = (1 − k ) I + A tựa-tăng Do A tựa-tăng nên lấy x ∈ D( A), y ∈ S ( I + A) , ta có j p ( x − y ) ∈ X ∗ : Ax - Ay, j p ( x − y ) ≥ Bởi Cx − Cy, j p ( x − y ) =〈(1 − k )( x − y ) + Ax − Ay, j p ( x − y )〉 = (1 − k ) p x − y + 〈 Ax − Ay, j p ( x − y )〉 ≥ p với k ∈ (0,1) số lipsit L* =1 + L > Áp dụng định lý 3.1.15 cho I + A ta điều cần chứng minh Định lý 3.1.20 Cho E không gian Banach p-trơn A : D( A) ⊂ E → E lipsit địa phương tựa-tiêu tán cho phương trình x − γ Ax = f có nghiệm x* ∈ D( A) cho tất γ > Cho số thực λ định nghĩa hàm Aλ : D( A) → E , Aλ := x − λ ( x − γ Ax − f ); ∀x ∈ D( A) Khi có lân cận B x* số thực λ ∈ (0,1) cho với x0 ∈ B dãy ( xn ) n≥0 : xn +1 = Aλ xn nằm B hội tụ mạnh x* với hội tụ tiến triển nhanh chóng với tỷ lệ hình học ω ∈ (0,1) Chứng minh Từ A tựa-tiêu tán lipsit địa phương với số L > 1, có hàm I − γ A tựa-tăng mạnh với số k ∈ (0,1) lipsit địa phương với số L*= (1 + γ L) Thật I −γ A lipsit địa phương chứng minh x − γ Ax − y + γ Ay ≤ x − y + γ Ax − Ay Đặt C :=(1 − k ) I − γ A , , ta chứng minh C tựa- tăng Thật vậy, với x ∈ D( A), y ∈ S ( I − γ A) ta phải có: Trang 57 〈Cx − Cy, j p ( x − y )〉 ≥ ⇔ 〈 (1 − k )( x − y ) + γ ( Ay − Ax), j p ( x − y )〉 ≥ ⇔ (1 − k ) p x − y p + γ 〈 ( Ay − Ax), j p ( x − y )〉 ≥ Bởi vậy, j p ( x − y ) phải chọn cho 〈 ( Ax − Ay ), j p ( x − y )〉 ≥ , f − (1 − k ) y việc thực A tựa-tiêu tán nên − A tựa-tăng, mà − Ay = γ , tồn j p ( x − y ) cho 〈− Ax + Ay, j p ( x − y )〉 ≥ Đến áp dụng định lý 3.1.15 ta có điều phải chứng minh Định lý 3.1.21 Cho E không gian Banach thực p-trơn A : D( A) ⊂ E → E tưa-tăng mạnh địa phương lipsit địa phương Giả sử miền D(A) mở phương trình Ax = f có nghiệm x∗ ∈ D( A) Cho số thực λ ta định nghĩa Aλ x := x − λ ( Ax − f ) Khi có lân cận B x∗ số thực λ cho với x0 ∈ B dãy lặp ( xn ) n≥0 thành lập sau: xn+1 = Aλ xn hội tụ mạnh đến x∗ với hội tụ tiến triển nhanh chóng với tỷ lệ hình học ω ∈ (0,1) Chứng minh Từ A tựa-tăng mạnh địa phương , có số thực r1 > cho A tựa-tăng mạnh Br ( x∗ ) Cũng từ lipsit địa phương, có số thực r2 > cho A lipsit Br ( x∗ ) Chọn r = {r1 , r2 } đặt B = Br ( x∗ ) Khi đó, A tựa2 tăng mạnh lipsit B Chọn k ∈ (0,1) L > số tăng mạnh lipsit A B Lập luận tương tự chứng minh định lý 3.1.15 Nhận xét Định lý 3.1.21 nói lên rằng, cần A : D( A) ⊂ E → E tựa-tăng mạnh địa phương lipsit địa phương kết định lý 3.1.15 Trang 58 3.2 Lặp Picard cho hàm tăng mạnh hàm lipsit giả co mạnh Định nghĩa 3.2.1 Cho E không gian Banach thực với không gian đối ngẫu E ∗ Một hàm T từ D(T) vào R(T) gọi giả co mạnh với x, y ∈ D(T ) , bất đẳng thức sau thỏa mãn: x − y ≤ (1 + r )( x − y ) − rt (Tx − Ty ) (3.9) với r > 0, t > Nếu t = bất đẳng thức (3.9) T gọi giả co Định lý 3.2.2 T giả co mạnh khi: 〈 ( I − T ) x − ( I − T ) y, j ( x − y )〉 ≥ k x − y (3.10) ∀x, y ∈ D(T ) j ( x − y ) ∈ J ( x − y ), k = t −1 ∈ (0,1) t Chứng minh Giả sử ∀x, y ∈ D(T ) có x − y ≤ (1 + r )( x − y ) − rt (Tx − Ty ) với r > 0, t > Khi x − y ≤ x − y + r [ x − y − t (Tx − Ty ) ] nên ta áp dụng bổ đề 3.1.13 ta tìm f ∈ J ( x − y ) : 〈 x − y − t (Tx − Ty ), f 〉 ≥ , điều tương đương với 〈 ( I − T ) x − ( I − T ) y, f 〉 ≥ k x − y Đặt j ( x − y ) = f 〈( I − T ) x − ( I − T ) y, j ( x − y )〉 ≥ k x − y Trang 59 Ngược lại, có j ( x − y ) ∈ J ( x − y ) cho 〈( I − T ) x − ( I − T ) y, j ( x − y )〉 ≥ k x − y , ∀x, y ∈ D(T ) 〈 x − y − t (Tx − Ty ), j ( x − y )〉 ≥ 0, ∀x, y ∈ D(T ) , nên theo bổ đề 3.1.13 ta x − y ≤ x − y + r [ x − y − t (Tx − Ty ) ] , với r > 0, t > chọn, điều tương đương x − y ≤ (1 + r )( x − y ) − rt (Tx − Ty ) với r > 0, t > Nhận xét 3.2.3 Nếu đặt r = s ta được: t 〈 ( I − T ) x − ( I − T ) y, j ( x − y )〉 ≥ k x − y ∀x, y ∈ D(T ) j ( x − y ) ∈ J ( x − y ), k = x − y ≤ x − y + s[(I − T − kI ) x − ( I − T − kI ) y ] (3.10) t −1 ∈ (0,1) t (3.11) ∀x, y ∈ D(T ), ∀s > Định nghĩa 3.2.4 Hàm A : D( A) → R( A) gọi tăng bất đẳng thức sau thỏa mãn: x − y ≤ x − y + s ( Ax − Ay ) , ∀x, y ∈ D( A), ∀s > Mệnh đề 3.2.5 Hàm A : D( A) → R( A) tăng ∀x, y ∈ D( A) , có j ( x − y ) ∈ J ( x − y ) cho 〈 Ax − Ay, j ( x − y )〉 ≥ Chứng minh Với x, y ∈ D( A) , theo bổ đề 3.1.13 ta có x − y ≤ x − y + s ( Ax − Ay ) , ∀s > có f ∈ J ( x − y ) : 〈 y, f 〉 ≥ Mệnh đề 3.2.6 Hàm A : D( A) → R( A) tăng T: = (I – A ) giả co Trang 60 Chứng minh x − y ≤ x − y + s ( Ax − Ay ) , ∀s > x − y ≤ (1 + s )( x − y ) − s (Tx − Ty ) với s > Mệnh đề 3.2.7 Cho hàm T : D( A) → R( A) , đặt A : = (I – T ) Khi đó, T giả co mạnh ( A − kI ) tăng Chứng minh T giả co mạnh khi: có số k ∈ (0,1) thỏa: x − y ≤ x − y + s[(I − T − kI ) x − ( I − T − kI ) y ] ∀x, y ∈ D(T ), ∀s > Điều tương đương với x − y ≤ x − y + s[(A − kI ) x − ( A − kI ) y ] , ∀x, y ∈ D(T ), ∀s > Tương đương ( A − kI ) tăng Định nghĩa 3.2.8 Hàm A : D( A) → R( A) gọi tăng mạnh : có số k ∈ (0,1) thỏa: 〈 Ax − Ay, j ( x − y )〉 ≥ k x − y , ∀x, y ∈ D( A) (3.12) Mệnh đề 3.2.9 Hàm A : D( A) → R( A) tăng mạnh T: = (I – A ) giả co mạnh Chứng minh.Nhận xét I − T = I − ( I − A) , theo mệnh đề 3.2.7, ta có (I – A ) giả co mạnh I − T − kI tăng, điều tương đương 〈 Ax − Ay, j ( x − y )〉 ≥ k x − y , ∀x, y ∈ D( A) số k ∈ (0,1) Điều nói lên A tăng mạnh Trong phần tiếp theo, ký hiệu L > để số Lipschitz hàm A k > để số tăng mạnh A (như bất đẳng thức (3.12)) Hơn nữa, ε >  1 k định nghĩa ε :=  Với khái niệm chứng minh 1 + L(3 + L − k )  định lý Trang 61 Định lý 3.2.10 Cho E không gian Banach thực, A : E → E hàm tăng mạnh lipschitz với số tăng mạnh k ∈ (0,1) Giả sử x∗ nghiệm phương trình Ax = Định nghĩa Aε : E → E , Aε x := x − ε Ax Cho x0 ∈ E , định nghĩa dãy { xn }n≥0 E = xn +1 Aε xn , n ≥ (3.13) Khi đó, { xn } hội tụ mạnh đến x∗ với xn +1 − x∗ ≤ δ n x0 − x∗ , δ =(1 − kε ) ∈ (0,1) Hơn nữa, x∗ Chứng minh Sự tồn x∗ định lý 13.1 [7] Định nghĩa T=: ( I − A) Nhận xét Ax∗ = x∗ điểm bất động T Hơn nữa, T giả co mạnh (thỏa bất đẳng thức (3.10) A thỏa bất đẳng thức (3.12), T thỏa bất đẳng thức (3.11) Trở lại công thức xn +1 = Aε xn trở thành: xn +1 =− (1 ε ) xn + ε Txn , n ≥ (3.14) Nhận xét x∗ = (1 + ε ) x∗ + ε ( I − T − kI ) x∗ − (1 − k )ε x∗ , trở lại công thức (3.14) ta có: xn = (1 + ε ) xn +1 + ε ( I − T − kI ) xn +1 − (1 − k )ε xn + (2 − k )ε ( xn − Txn ) + ε (Txn +1 − Txn ) Vì vậy: xn − x∗ = (1 + ε )( xn +1 − x∗ ) + ε [( I − T − kI ) xn +1 − ( I − T − kI ) x∗ ] − (1 − k )ε ( xn − x∗ ) + (2 − k )ε ( xn − Txn ) + ε (Txn +1 − Txn ) Áp dụng x − y ≥ x − y ta được: Trang 62   ε xn − x∗ ≥ (1 + ε )  ( xn +1 − x∗ ) + [( I − T − kI ) xn +1 − ( I − T − kI )]x∗  1+ ε   − (1 − k )ε xn − x∗ − (2 − k )ε xn − Txn − ε Txn +1 − Txn Áp dụng bất đẳng thức (3.11) với = x x= x∗ , s = n +1 , y ( xn +1 − x∗ ) + ε 1+ ε ε ta : ε +1 [( I − T − kI ) xn +1 − ( I − T − kI )]x∗ ≥ xn +1 − x∗ Bởi vậy: xn − x∗ ≥ (1 + ε ) xn +1 − x∗ − (1 − k )ε xn − x∗ − (2 − k )ε xn − Txn − ε Txn +1 − Txn Vì vậy, thu ước lượng: xn +1 − x∗ ≤ + (1 − k )ε xn − x∗ + (2 − k )ε xn − Txn + ε Txn +1 − Txn 1+ ε ( vế phải, phải tất chia (1 + ε ) ) Nhận xét rằng: xn − Txn = Axn − Ax∗ ≤ L xn − x∗ ; Txn +1 − Txn = xn +1 − xn + Axn − Axn +1 ≤ xn +1 − xn + L xn +1 − xn = (1 + L) xn +1 − xn =(1 + L)ε Txn − xn ≤ ε L(1 + L) xn − x∗ (do định nghĩa xn +1 ) Vì Trang 63 1 + (1 − k )ε  + (2 − k )ε L + ε L(1 + L)  xn − x∗ xn +1 − x∗ ≤   1+ ε  ≤ 1 + (1 − k )ε + (2 − k )ε L + ε L(1 + L)  xn − x∗ (*) = {1 − kε + ε [1 + L(3 + L − k ) ]} xn − x∗ = δ xn − x∗ + (1 − k )ε ≤ + (1 − k )ε ⇔ −kε < (1 − k )ε + (1 − k )ε (đúng < k < )) 1+ ε ( (*) Vì Do xn − x∗ ≤ δ n x0 − x∗ → n → ∞ Ta phải chứng minh x∗ Giả sử có x∗∗ thỏa Ax∗∗ = , xn → x∗∗ giới hạn nên x∗∗ = x∗ , chứng minh nhờ thuộc tính tăng mạnh A Hệ 3.2.11 Cho E không gian Banach thực, tập lồi khác rỗng K ⊆ E Cho T : K → K Lipschitz ( với số lipschitz L >0 ) giả co mạnh ( T thỏa bất đẳng  1 k thức (3.11)) Giả sử T có điểm bất động x∗ ∈ K Đặt ε :=  1 + L(3 + L − k )  định nghĩa Tε : K → K , Tε x =− (1 ε ) x + ε 0Tx Lấy x0 ∈ K , định nghĩa dãy { xn }0 K ∞ 0 bởi: xn +1 Tε xn , n ≥ = Khi dãy { xn }0 ∞ hội (3.15) tụ mạnh x∗ với xn +1 − x∗ ≤ ρ n x0 − x∗ , (1 − kε ) ∈ (0,1) Hơn x∗ ρ= Chứng minh Nhận xét x∗ điểm bất động T điểm bất động Tε Hơn nữa, từ cơng thức (3.15) ta có cơng thức đơn giản xn +1 = (1 − ε ) xn + ε 0Txn Để ý thấy rằng, xem A =: I − T hệ lúc giống định lý Trang 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Charles Chidume, Geometric Properties of Banach Spaces and Nonlinear Iterations, Springer – Verlag London Limited 2009 [2] Bernard Beauzamy, Introduction to Banach Spaces and their Geometry, North – Holland Publishing Company, 1982 Trang 65 [3]Joseph Diestel, Geometry of Banach Spaces – Selected Topic, Springer – Verlag Berlin Heidelberg New York 1975 [4]Lindenstrauss, J and Tzafriri, L; Classical Banach Spaces II: Function Spaces, Ergebnisse Math Grenzgebiete Bb 97 Springer – Verlag Berlin 1979 [5] Picard Iterations for soluiton of Nonlinear Equations in Certain Banach Spaces Journal of Mathematical Analysis and Applications, Volume 245, Issue 2, 15 May 2000, Pages 317-325 [6]C.E Chidume Picard Iterations for Strongly Accretive and Strongly Pseudocontractive Lipschitz Maps The Abdus Sadam International Centre for Theoretical Physics, Trieste, Italy [7] K Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer – Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo (1980) [8] T Kato, Nonlinear semigroups and evolution equations, J Math Soc Japan 19 (1967), 508-520 [9] Zong – Ben Xu and G F Roach, Characteristic Inequalities of Uniformly Convex and Uniformly Smooth Banach Spaces Journal of Mathematical Analysis and Applications 157, 189 – 210 (1991) [10] Hong-Kun Xu, Inequalities in Banach Spaces with Applications, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Application Vol 16 No 12 pp 1127-1138, 1991 [11] Day, M M; Uniformly convexity in Factor and Conjugate Space, Ann Math 45, no 2, (1944) [12] C Z linescu; On uniformly convex functions Journal of Mathematical T T T T Analysis and Applications, Volume 95, Issue 2, September 1983, Pages 344-374 Trang 66 [13] On Picard iterations for strongly accretive and strongly pseudo-contractive Lipschitz mappings Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, Volume 70, Issue 12, 15 June 2009, Pages 4332-4337, Ljubomir Ćirić, Arif Rafiq, Nenad Cakić ... III Lặp Picard cho nghiệm phương trình phi tuyến 3.1 Lặp Picard cho nghiệm phương trình phi tuyến khơng gian Banach Cho E không gian định chuẩn thực Định nghĩa 3.1.1 Một hàm A: E → E gọi tăng. .. thức không gian trơn 37 T T Chương III Lặp Picard cho nghiệm phương trình phi tuyến 44 T T 3.1 Lặp Picard cho nghiệm phương trình phi tuyến không gian Banach T 44 3.2 Lặp. .. 44 3.2 Lặp Picard cho hàm tăng mạnh hàm lipsit giả co mạnh 58 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 T T T Trang PHẦN MỞ ĐẦU Cho E không gian Banach thực Ta xét phương trình Ax = f , với