Đường cong elliptic trên trường hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Nguyễn Quốc Hưng ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN Chuyên ngành: Hình học tơpơ Mã số: 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHAN DÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 LỜI CÁM ƠN Trước hết, tơi xin đặc biệt bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Phan Dân giảng viên trường đại học Ngân hàng TPHCM - người lên ý tưởng chọn đề tài, cho tiếp cận nguồn tài liệu cần thiết bảo tận tình nội dung lẫn hình thức trình bày cho luận văn Dù bận rộn Thầy dành thời gian quý báu để đọc chỉnh sửa giúp tơi hồn thành luận văn Kế đến, tơi xin tri ân thầy Khoa Tốn - Tin, trường đại học Sư phạm TPHCM, đặc biệt thầy Bộ mơn Hình học dày cơng đào tạo, trang bị kiến thức, giúp đỡ hỗ trợ tơi suốt q trình theo học trường Tơi tri ân đến Ban giám hiệu Phịng Đào tạo sau đại học trường đại học Sư phạm TPHCM tạo điều kiện để tơi hoàn thành việc học thực luận văn Cuối cùng, muốn gửi lời cảm ơn đến anh, chị, bạn lớp chuyên ngành Hình học tơpơ khóa 24 động viên tơi nhiều xun suốt q trình làm luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2015 Nguyễn Quốc Hưng MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU DANH MỤC KÝ HIỆU BẢNG CHÚ GIẢI CÁC THUẬT NGỮ KHOA HỌC 11 Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN 13 1.1 Nhóm abel hữu hạn sinh 13 1.2 Một số kết quen biết lĩnh vực đại số lý thuyết số 15 1.2.1 Lĩnh vực lý thuyết số 15 1.2.2 Xác định X   : phân chia bậc 16 1.3 Đa tạp afin - đa tạp xạ ảnh 19 1.3.1 Đa tạp afin 19 1.3.2 Đa tạp xạ ảnh 21 1.4 Đường cong elliptic 23 1.4.1 Giống (loại) đường cong 23 1.4.2 Các định nghĩa đường cong elliptic 24 1.4.3 Điểm kỳ dị 24 1.4.4 Bậc ánh xạ đường cong elliptic 25 1.4.5 Isogeny dual isogeny 25 1.4.6 Đường cong elliptic thông thường siêu kỳ dị 27 Chương CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN 29 2.1 Tổng quan đường cong dạng weierstrass 29 2.1.1 Mô tả đường cong dạng Weierstrass 29 2.1.2 Dạng Legendre 37 2.2 Luật nhóm 39 2.2.1 Luật nhóm 39 2.2.2 Ví dụ luật nhóm 44 2.3 Ánh xạ hữu tỉ đồng cấu frobenius 45 2.3.1 Ánh xạ hữu tỉ đa tạp 45 2.3.2 Đồng cấu Frobenius 49 2.3.3 Cấu trúc nhóm đường cong elliptic trường hữu hạn 51 2.4 Các điểm đường cong elliptic trường hữu hạn 52 2.4.1 Định lý Hasse 52 2.4.2 Phỏng đoán Weil 55 2.4.3 Bất biến Hasse 61 2.4.4 Thuật toán Schoof 66 2.4.5 Lớp đường cong y  x3  t x trường hữu hạn Fq 70 KẾT LUẬN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 78 LỜI NÓI ĐẦU I MỞ ĐẦU I.1 Lý chọn đề tài Trong lý thuyết đường cong Elliptic, vấn đề số điểm hữu tỷ đường cong cách xác định điểm vấn đề quan trọng Đối với cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ đường cong Elliptic Q tính chất điểm xoắn chúng (được mô tả qua Định lý Mordell-Weil, Mazur Nagell-Lutz) kết đẹp cho phép mô tả chi tiết cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ đường cong - mà kết tiếng kể tới kết Faltings khẳng định mối liên hệ điểm hữu tỷ đường cong đại số định lý lớn Fermat Khi đường cong elliptic định nghĩa trường hữu hạn người ta có cách tiếp cận, mơ tả nghiên cứu theo hướng khác công cụ khác, chủ yếu Lý thuyết số Trong trường hợp tập điểm hữu tỷ có lực lượng hữu hạn có cấu trúc nhóm việc tính tốn khơng phải dễ dàng Một mặt khác, thời gian gần lý thuyết đường cong Elliptic khơng cịn lĩnh vực nghiên cứu riêng nhà Hình học hay nhà nghiên cứu thuộc lĩnh vực Hình học Đại số Một ứng dụng quan tâm phát triển mạnh “sử dụng kết nghiên cứu đường cong elliptic trường hữu hạn vào lĩnh vực bảo mật, mã hố thơng tin” Vì vậy, có vấn đề đặt tự nhiên thử tìm hướng tiếp cận đến số thuật tốn tính tốn để xác định điểm hữu tỷ đường cong elliptic trường hữu hạn Chúng lựa chọn đề tài thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tiếp cận giới thiệu số kiến thức chuyên môn “Lý thuyết đường cong Elliptic trường hữu hạn” với việc xét tính chất số họ đường cong cụ thể để thực việc mơ tả cấu trúc nhóm điểm hữu tỉ chúng xây dựng thuật tốn tính tốn tương ứng Vì vậy, Luận văn có tên gọi là: “Đường cong elliptic trường hữu hạn” I.2 Lịch sử vấn đề Cơ sở lý thuyết công cụ nghiên cứu phương pháp giải vấn đề Luận văn dựa số kết sau đây: a) Định lý Hasse mô tả cận lực lượng nhóm E  Fq  đường cong elliptic trường hữu hạn Fq b) Các kết phương pháp mơ tả luật nhóm nhóm điểm hữu tỷ đường cong Elliptic trường hữu hạn Luận văn tập trung giải số vấn đề về: xác định nhóm điểm hữu tỉ số họ đường cong trường Fq (còn gọi Trường Galois, gồm q phần tử, với q lũy thừa số nguyên tố p ) cho dạng Weierstrass: y  x3  Ax  B Trong trường hợp đường cong xét trường p vấn đề xét thuật tốn xác định nhóm điểm hữu tỉ tập điểm đường cong Một số kết nghiên cứu thuộc hướng tiếp tục phát triển thời gian gần nhiều tác giả, đề tài thường trực Hội nghị Khoa học “Lý thuyết trường hữu hạn ứng dụng” – vấn đề trọng Lý thuyết mã hóa thơng tin I.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm điểm số họ đường cong elliptic dạng Weierstrass trường hữu hạn - Xét số họ đường cong có phương trình dạng Fq A  B  , nhằm mục đích mơ tả nhóm điểm hữu tỉ chúng Đề tài giới hạn phạm vi xét đường cong Elliptic E không kỳ dị trường hữu hạn F với ý tưởng mơ tả cấu trúc nhóm tập điểm hữu tỉ E  F  mơ tả thuật tốn tính tốn khác nêu (với F mô tả trên) I.4 Mục đích nghiên cứu - Mơ tả cấu trúc nhóm tập điểm hữu tỷ E  F  đường cong Elliptic không kỳ dị E trường hữu hạn F - Mô tả điểm hữu tỉ số lớp đường cong Elliptic: đường cong y  x3  t x trường Fq Trình bày phương pháp chứng minh số định lý mô tả cách xác định đối tượng liệt kê họ đường cong tổng quát I.5 Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng kết tổng quát biết tính chất đường cong Elliptic trường hữu hạn để mơ tả xác định nhóm điểm hữu tỉ họ đường cong xét - Sử dụng phương pháp, công cụ Đại số Lý thuyết số để giải toán xác định nghiệm phương trình đồng dư trường hữu hạn, với kết Định lý Hasse khoảng giới nội lực lượng nhóm E  F  để xây dựng thuật tốn tính toán Đây số hướng nghiên cứu phương pháp dùng phổ biến việc nghiên cứu đường cong elliptic trường hữu hạn Các phương pháp nghiên cứu kỹ thuật thuật toán dùng Luận văn dựa công cụ nghiên cứu sử dụng [1], [2], [6], [7] II NỘI DUNG Chương 1: Kiến thức Chương trình bày số khái niệm kết nghiên cứu công bố nhiều tài liệu chuyên ngành Tốn: - Các định lí mơ tả cấu trúc nhóm hữu hạn - Một số kết quen biết lĩnh vực Lý thuyết số Đại số có liên quan tới nội dung Luận văn, bao gồm Lý thuyết trường hữu hạn, Các ánh xạ đồng cấu - Thuật chia, Phép đồng dư vá thuật toán trường hữu hạn - Một số kiến thức kỹ thuật tính tốn, số thuật tốn liên quan thuộc Hình học Đại số, trích dẫn từ [1], [2], [5], [6], [7] - Các khái niệm, kết nghiên cứu đường cong elliptic trường số hữu hạn Chương 2: Các đường cong Elliptic trường hữu hạn Tổng quan đường cong dạng Weierstrass trường hữu hạn F Các đường cong elliptic dạng Weierstrass trường hữu hạn Phương pháp mô tả cách tiếp cận Luật nhóm đường cong E  F  Các ví dụ luật nhóm Các hàm hữu tỉ cấu trúc nhóm E  F  - Các hàm hữu tỉ, lớp đẳng cấu, đồng cấu Frobenius - Cấu trúc nhóm thuật toán xác định số phần tử đường cong EF  Các điểm đường cong elliptic trường hữu hạn - Cách xác định điểm đường cong elliptic trường hữu hạn - Số điểm đường cong elliptic y  x3  t x - Định lý Hasse xấp xỉ tập điểm E  F  Tuy cố gắng trình độ thân cịn non trẻ số yếu tố khác nên luận văn khó tránh khỏi sai sót Rất mong nhận bảo quý thầy cô góp ý bạn để bổ khuyết đề tài hồn thiện TP Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2015 Nguyễn Quốc Hưng DANH MỤC KÝ HIỆU T  A Nhóm xoắn nhóm aben A A B Tổng trực tiếp A B K Bao đóng đại số K X K  Tập hợp điểm K -hữu tỉ đường cong X X Tập hợp điểm hữu tỉ đường cong X xác định  P2 Mặt phẳng xạ ảnh Pn  K  Không gian xạ ảnh n -chiều (trên trường K đóng đại số) EK  Đường cong E xác định trường K với K   , , , Fq  Etors  K  Tập hợp điểm xoắn đường cong E xác định K GK / K Nhóm Galois K / K n     Nhóm aben tự hạng n, khơng xoắn n lần K  x1; ; xn  Vành đa thức trường K với n biến An  K  Không gian afin n chiều trường K KX  Vành tọa độ X  n Ánh xạ nhân n End  E  Tập tự đồng cấu E KX  Trường hàm hữu tỷ X #EK  Số điểm hữu tỉ E trường K deg  Bậc ánh xạ  Z V / K ;T  Hàm zeta đa tạp V / K det  Định thức ánh xạ  10 O jE Điểm vô cực (tọa độ 0 :1: 0 ) j -bất biến đường cong elliptic E E Biệt thức đường cong elliptic E E  m Nhóm m -xoắn E  Đối đẳng giống đẳng giống  Fq Trường hữu hạn q phần tử tr Vết ánh xạ  Q p4 Các lớp thặng dư toàn phương 64 Thế tính tốn trực tiếp lưu ý m  p 1 , ta có 2  m DH p  t   p   p   4i    t i i 0 i  m Đặc biệt, char  Fq   nên DH p  t   Fq t  Do H p  t  có nghiệm bội Fq t  t  Tính tốn trực tiếp ta  p  1 m H p    H p 1      1  mod p   m  Cho nên nghiệm H p  t  phân biệt nghiệm  ứng với đường cong elliptic siêu kỳ dị E : y  x  x  1 x    Phần lại xác định với mở rộng E đẳng cấu với đường khác Với p  ta có H p  t    t , nên có đường cong elliptic siêu kỳ dị đặc số với j -bất biến j  1  1728  Giả sử p  ánh xạ  j     j  E  ánh xạ 6–1 ngoại trừ j  (tương ứng 2–1) j  1728 (tương ứng 3–1) (III.1.7) Hơn nữa, H p  t   với  ' thoả mãn j     j   ' ta phải có H p   '  , suy E  E ' nghiệm H p  t  xác giá trị  với E siêu kỳ dị Để thuận tiện, cho  p  j   đường cong elliptic với j -bất biến siêu kỳ dị, cho  p  j   tầm thường Do đó, H p  t  có 65 nghiệm phân biệt nên từ lập luận cho ta số đường cong elliptic siêu kỳ dị với đặc số p   p 1   2 p    3 p 1728    p     p 1728   6   p 1 1   p     p 1728 12 2 Ta tính tốn cụ thể điều ví dụ với 0 p  1 mod 3 1 p   mod 3  p  0   0 p  1 mod  p  mod     p 1728   Từ ta đưa bốn trường hợp p  mod12  cho ta điều cần chứng minh Chú ý Toán tử vi phân D mà ta dùng để chứng minh mục (c) định lý gọi toán tử vi phân Picard – Fuchs cho phương trình Legendre y  x  x  1 x  t  Ví dụ 2.4.3.2 Cho p  11 ta có H11  t   t  3t  t  t  3t    t  t  1  t  1 t   t  5  mod11 Các j -bất biến siêu kỳ dị đặc số 11 j  j  1728  Ví dụ 2.4.3.3 Với số nguyên tố p  đường cong elliptic E : y  x3  với j  siêu kỳ dị Khẳng định (V.4.1a) nói ta cần tính hệ số x p 1 đa thức  x3  1  p 1 /2 Nếu p   mod3 khơng có số hạng x p 1 , nên E 66   p  1 /  siêu kỳ dị Mặt khác, p  1 mod3 hệ số x p 1  ,   p  1 /    khác không theo môđun p , nên trường hợp E tầm thường Ví dụ 2.4.3.4 Tương tự, với số nguyên tố p  , đường cong elliptic E : y  x3  x với j  1728 siêu kỳ dị Nó xác định hệ số x x  1  p 1 /2 p 1 /2 đa thức   p  1 /  Hệ số p   mod     p  1 /    p  1 mod  Vậy E siêu kỳ dị p   mod  tầm thường p  1 mod  2.4.4 Thuật toán Schoof Cho E / Fq đường cong elliptic định nghĩa trường hữu hạn Từ định lý Hasse cho ta # E  Fq   q   aq aq  q Trong nhiều ứng dụng, đặc biệt mật mã học, việc địi hỏi có phương pháp hiệu để tính số điểm E  Fq  quan trọng Để đơn giản, ta giả sử q lẻ, E phương trình Weierstrass có dạng E : y  f  x   x3  b2 x  2b4 x  b6 với chút thay đổi không đáng kể ta làm việc với đặc số  Trong phần này, ta mô tả thuật tốn Schoof để tính # E  Fq  O  log q  c  bước, c cố định khơng phụ thuộc vào p Ý tưởng tính giá trị aq mod với số nguyên tố nhỏ aq Cho dùng định lý số dư Trung Hoa để xác định 67    : E Fq    E Fq  x ; y ,  x; y  Đặc biệt, P  E  Fq   q q    P    aq   P    q  P  O , với P   x; y   P  O  , ta có x q2 Vì ta giả sử P   x; y  có cấp  aq   x q ; y q    n  ; y q   aq   x q ; y q    q   x; y   O nên  xq ; y q  n  aq  mod  với  n  Tương tự, ta tìm  q   x; y  cách quy gọn q mod Hiển nhiên, ta giá trị n , nên với số nguyên n ta tính  n  x q ; y q  cho điểm  x; y   E   \ O kiểm tra thoả mãn  n  x q ; y q    x q ; y q Tuy nhiên, thân điểm E    q x; y   có khuynh hướng định nghĩa trường mở rộng Fq , nên đồng thời ta làm việc với điểm -xoắn Để thực điều này, ta sử dụng đa thức chia   x   Fq  x , mà nghiệm chúng toạ độ x điểm -xoắn khác không E (để đơn giản, ta giả sử  ) Đa thức chia có bậc bày tính tốn vành thương R  Fq  x; y    x  ; y  f  x   2  1 Bây ta trình 68 Nên ta có luỹ thừa khơng tuyến tính y , ta thay đổi y với f  x  , ta có luỹ thừa x d với d   2  1 , ta chia cho   x lấy phần dư Bằng cách này, ta làm việc với đa thức có bậc lớn  2  3 Mục tiêu tính aq mod Định lý Hasse aq  q , ta cần dùng số nguyên tố    max cho 4 q max Bây giờ, ta trình bày thuật tốn để tính # E  Fq  Thuật tốn Schoof Cho E / Fq đường cong elliptic Thuật toán mơ tả hình thuật tốn đa thức thời gian để tính # E  Fq  ; xác,  giúp ta tính # E  Fq  O  log q   bước Thuật toán Schoof 69 CHỨNG MINH Ta chứng minh thời gian chạy thuật toán Schoof   O  log q  , cần kiểm tra khẳng định sau: (a) Số nguyên tố  O  log q  lớn sử dụng thuật toán thoả mãn Định lý số nguyên tố tương đương với mệnh đề [4, định lý 4.4(9)] X  X lim Do   log  , với nguyên tố X  e X , để xây dựng tích lớn q , ta cần cho X X  log 16q  (b) Phép nhân vành R thực O   log q   phép toán bit Ở đây, phép toán bit phép tốn máy tính hai bit Chẳng hạn, phép toán bit bao gồm phép cộng, phép nhân, phép hội, phép tuyển, phép lấy phần bù v.v… Các phần tử vành R đa thức bậc O  phép thu gọn môđun  cho O   x   Phép nhân hai đa thức phép toán (cộng nhân)   phép toán bit Vậy cho O   log q   phép toán bit trường Fq Tương tự, phép nhân Fq cho ta O  log q  các phép toán R 2 (c) Cần O  log q  phép toán vành R để quy gọn x q , y q , x q , y q vành 2 R Nhìn chung, thuật tốn bình phương nhân (tài liệu [5] XI.1.2) cho phép ta tính luỹ thừa x n y n cách dùng O  log n  phép nhân R Ta ý việc tính tốn thực lần, điểm x q2  ; y q   q mod  x; y   x q ; y q  70 tính tốn chuẩn bị cho bước (4) thuật toán Schoof Bây giờ, ta sử dụng (a), (b), (c) để ước lượng thời gian chạy thaut65 bé O  log q  Ta toán Schoof Từ (a), ta cần sử dụng số nguyên tố có O  loq / log log q  số nguyên tố thế, có lần A -chu trình từ bước (2) đến (9) thực Như thế, lần thực A -chu trình n chu trình, từ bước (3) đến (5), thực  O  log q  lần  O  log q  , khẳng định (b) phép tốn Hơn nữa,  R cho ta O  log q   phép toán bit Giá trị n x ; y  bước (4) có q q thể tính toán O 1 phép toán R từ giá trị trước  n  1  x q ; y q  , khơng hiệu ta tính O  log n   O  log   O  log log q  R- phép tốn sử dụng thuật tốn gấp đơi cộng ([5] XI.1.1) Vậy tổng cộng số phép tốn bit địi hỏi cho thuật tốn Schoof A-chu trình n chu trình phép tốn bit R -phép toán O  log q  O  log q   O  log q     O  log q   phép toán bit Điều kết thúc chứng minh thuật tốn Shoof để tính # E  Fq  đa thức thời gian Phần gây thời gian thuật tốn Schoof tính tốn vành R (là mở rộng Fq đến cấp 2 ) Nên dù cận log q , q đủ lớn cận tuyến tính Fq -số chiều vành R lớn 2.4.5 Lớp đường cong y  x3  t x trường hữu hạn Fq Ta ký hiệu:  Q p tập lớp thặng dư toàn phương  Q p4, tập phần tử lũy thừa bậc bốn Fp *  Qp4,  Fq * \Qp4, 71  Qp4  Qp4,  Qp4, Khi # Qp4,  # Qp4,  p 1 p 1 , # Qp4  Trích từ ([8]/105) ta có kết sau đường cong E p ,t : y  x3  t x Fp (1) Nếu p   mod  # E p ,t  Fq   p  (2) Nếu p  1 mod  , ta viết p  a  b2 , a, b số nguyên, b chẵn a  b  1 mod  , # E p ,t  p   2a t  Q p4, ,    p   2a t  Q p4, ,  p   2b t  Q p  Định lý sau cho ta kết mở rộng điều vừa trình bày lên trường Fq với q  p n , n  Định lý 2.4.5.1 Cho E p ,t : y  x3  t x đường cong elliptic trường hữu hạn Fq với q  p n , n  (1) Nếu p   mod  ,  n   p      n # E p ,t  Fq    p   n  p  1     n   mod  , n  1;3  mod  , n   mod  (2) Nếu p  1 mod  , n n    a  ib    a  ib  # E p ,t  Fq   q    n n   a  ib    a  ib  CHỨNG MINH t  Qp4, , t  Qp4, 72 (1) Giả sử p   mod  , ta có # E p ,t  Fp   p  , a p ,t  theo định lý Hasse Đặt x  p   x    x    ,   i p   i p  Nếu n   mod  , ta đặt n  4m, m  Khi đó:  n  n  i p  i 4m    i p  4m   4m p   i  4m 4m   4m p  p2m  p2m n  2p  n  Do vậy, # E p ,t  Fq   q   2q   q  1   n n  Nếu n  1 mod  , ta đặt n  4m  1, m  Khi đó:  n  n  i p  i m i i  m 1     i p m1 p  p m 1 i  m 1   i   p 4m  i   p  m1 m 1  Do vậy, # E p ,t  Fq   q n   Nếu n   mod  , ta đặt n  4m  2, m  Khi đó:  n  n  i p   i m i m   i p   m p   p m1  p m1  m   i  4m  i    p m 73 n  2 p  n2  Do vậy, # E p ,t  Fq   q   2q   q  1   n n  Nếu n  3 mod  , ta đặt n  4m  3, m  Khi đó:  n  n  i p  i mi  i   m 3  i p  p  p m 3 m 3  m 3   i  i 4m  p  i  m 3  Do vậy, # E p ,t  Fq   q n  (2) Giả sử p  1 mod  Ta xét hai trường hợp sau:  Trường hợp 1: t  Qp4, Đặt 2a  a p ,t , đó: # E p ,t  Fp   p   2a Nếu x  2ax  p   x    x     x      x   , 2a     p   Nhờ đó, ta có: 2a    p     2a  p   1,2  a  ib Vì vậy, 1  a  ib  1  p 1  a  ib ,   a  ib    Kết hợp điều ta được: p 2  a  ib  p m 3 74 # E p ,t  Fq   q n    n   n     q n    a  ib    a  ib  n n  Trường hợp 2: t  Qp4, Đặt 2a  a p ,t , đó: # E p ,t  Fp   p   2a Nếu x  2ax  p   x    x     x      x   , 2a     p   Nhờ đó, ta có: 2a    p     2a  p   1,2  a  ib Vì vậy, 1  a  ib  1  p 1  a  ib ,   a  ib    p 2  a  ib Kết hợp điều ta được: # E p ,t  Fq   q n    n   n     q n    a  ib    a  ib  n Định lý chứng minh xong Bảng sau trường hợp p giá trị a, b tương ứng n 75 ` Ví dụ 2.4.5.2 Dựa vào định lý trên, ta tính số điểm đường cong E : y  x3  x số trường hữu hạn  t  1 Hình 2.6 Đồ thị đường cong y  x3  x 76 (a) Xét q  25  52 , tức p  5, n  Lại p   1 mod  t  1 Q54, Tra bảng, ta có a  1, b  Do  # E5,1  F25   25   1  2i   1  2i  2   32 (b) Xét q  27 , tức p  3, n  Vì p   mod  n  3 mod  nên # E3,1  F27   27   28 (c) Xét q  121 , tức p  11, n  Vì p  11   mod  n   mod  nên # E11,1  F121   111  1  144 (d) Xét q  81  34 , tức p  3, n  Vì p   mod  n   mod  nên # E3,1  F81    32  1  64 (e) Xét q  289 , tức p  17, n  Vì p  17  1 mod  t  1 Q174, Tra bảng, ta có a  b   Do # E17,1  F289   289   1  4i   1  4i  2   320 (f) Xét q  19 , tức p  19, n  Vì p   mod  n  1 mod  nên # E19,1  F19   191   20 (g) Xét q  61 , tức p  61, n  Vì p  61  1 mod  t  1 Q614, Tra bảng, ta có a  b    Do # E61,1  F61   61     6i     6i   52 1 77 KẾT LUẬN “Đường cong elliptic trường hữu hạn” đề tài rộng, khn khổ hạn hẹp luận văn khơng thể trình bày bao qt tất điều lý thú Tuy nhiên, luận văn chọn lọc đưa vào mảng kiến thức nhất, mô tả cách tổng quan đường cong elliptic trường hữu hạn tiếp cận công cụ phục vụ cho việc tính số điểm đường cong elliptic Nội dung bao gồm số kết sau: - Lược đồ xây dựng đường cong elliptic trường hữu hạn, với số họ đường cong elliptic cụ thể đưa mô tả chung luật nhóm, j -bất biến chúng - Cấu trúc nhóm lớp đường cong y  x3  t x trường hữu hạn khác - Ý tưởng lược đồ chung giải vấn đề tổng quát 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N D Elkies, Heegner point computations, Algorithmic number theory (Ithaca, NY, 1994), 122–133, Lecture Notes in Comput Sci 877, Springer, Berlin, 1994 [2] Gezer B., Ozden H., Tekcan E and O Bizim The number of Rational Points on Elliptic Curves y  x3  b2 over finite fields International Journal of Mathematics Sciences 1(3), (2007), 178-184 [3] L J Mordell, On the magnitude of the integer solutions of the equation ax2  by  cz  J Number Theory (1969), 1–3 [4] R Schoof Counting Points on Elliptic Curves Over Finite Fields Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, 7(1995), 219–254 [5] J H Silverman, The arithmetic of elliptic curves Graduate Texts in Mathematics 106, Spring-Verlag, New York-Berlin, 1986 [6] J H Silverman and J Tate Rational points on elliptic curves Undergraduate Texts in Mathematics Springer-Verlag, New York, 1992 [7] Tekcan A The Elliptic curves y  x3  t x over Fp International Journal of Mathematics Sciences 1(3), (2007), 165-171 [8] L.C.Whashington Elliptic Curves, Number Theory and Cryptography Chapman&HallCRC, Boca London, New York, Whashington DC, 2003 ... elliptic trường số hữu hạn Chương 2: Các đường cong Elliptic trường hữu hạn Tổng quan đường cong dạng Weierstrass trường hữu hạn F Các đường cong elliptic dạng Weierstrass trường hữu hạn Phương pháp... định số phần tử đường cong EF  Các điểm đường cong elliptic trường hữu hạn - Cách xác định điểm đường cong elliptic trường hữu hạn 8 - Số điểm đường cong elliptic y  x3  t x - Định lý Hasse... tả cấu trúc nhóm tập điểm hữu tỷ E  F  đường cong Elliptic không kỳ dị E trường hữu hạn F - Mô tả điểm hữu tỉ số lớp đường cong Elliptic: đường cong y  x3  t x trường Fq Trình bày phương